Страница 37, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

4 Вычисли значения выражений.

$252 : 9 \cdot 6 : 4$

$27 \cdot 6 - 76 : 19 + 30$

$144 \cdot 5 : 8 : 30$

$154 : 7 - (64 + 36) : 25$

252 : 9 ⋅ 6 : 4
В выражении присутствуют только действия деления и умножения. Они имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняются последовательно слева направо.
1) Сначала выполним деление: $252 : 9$.
$252 : 9 = 28$
2) Затем результат умножим на $6$.
$28 ⋅ 6 = 168$
3) Полученное число разделим на $4$.
$168 : 4 = 42$
Ответ: 42

144 ⋅ 5 : 8 : 30
Данное выражение также содержит только действия умножения и деления, которые выполняются по порядку слева направо.
1) Первое действие – умножение.
$144 ⋅ 5 = 720$
2) Далее выполняем первое деление.
$720 : 8 = 90$
3) И последнее действие – второе деление.
$90 : 30 = 3$
Ответ: 3

27 ⋅ 6 - 76 : 19 + 30
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.
1) Первым действием выполним умножение.
$27 ⋅ 6 = 162$
2) Вторым действием выполним деление.
$76 : 19 = 4$
3) Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $162 - 4 + 30$. Выполним вычитание.
$162 - 4 = 158$
4) И последнее действие – сложение.
$158 + 30 = 188$
Ответ: 188

154 : 7 - (64 + 36) : 25
В этом выражении есть скобки, поэтому действие в скобках выполняется в первую очередь. Затем выполняются деление и вычитание.
1) Выполним действие в скобках.
$64 + 36 = 100$
2) Теперь выражение имеет вид: $154 : 7 - 100 : 25$. Выполним деление слева направо. Первое деление:
$154 : 7 = 22$
3) Второе деление:
$100 : 25 = 4$
4) Теперь выражение выглядит так: $22 - 4$. Выполним вычитание.
$22 - 4 = 18$
Ответ: 18

5 В актовом зале школы 360 мест. Сколько осталось свободных мест после того, как 4 класса, по 27 учащихся в каждом, и 5 классов, по 32 ученика в каждом, заняли свои места?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Рассчитаем, сколько всего учащихся пришло из 4 классов.
По условию, в каждом из 4 классов было по 27 учащихся. Чтобы найти их общее число, нужно количество классов умножить на количество учащихся в каждом классе:
$4 \times 27 = 108$ (учащихся).

2. Рассчитаем, сколько всего учеников пришло из 5 классов.
Аналогично, в каждом из 5 классов было по 32 ученика. Найдем их общее число:
$5 \times 32 = 160$ (учеников).

3. Найдем общее количество занятых мест.
Теперь сложим количество учащихся из первой и второй группы, чтобы узнать, сколько всего мест в зале было занято:
$108 + 160 = 268$ (мест).

4. Определим количество свободных мест.
Всего в актовом зале 360 мест. Чтобы найти, сколько мест осталось свободными, вычтем из общего числа мест количество занятых:
$360 - 268 = 92$ (места).

Эту задачу также можно решить, составив одно числовое выражение:
$360 - (4 \times 27 + 5 \times 32) = 360 - (108 + 160) = 360 - 268 = 92$ (места).

Ответ: осталось 92 свободных места.

6 Выполни деление с остатком и сделай проверку.

$83 : 6$

$67 : 9$

$54 : 16$

$70 : 12$

83 : 6

1. Найдём неполное частное. Для этого найдём наибольшее число, которое меньше 83 и делится на 6 без остатка. Это число 78.
Делим 78 на 6: $78 : 6 = 13$. Таким образом, неполное частное равно 13.

2. Найдём остаток. Для этого из делимого вычтем полученное произведение: $83 - 78 = 5$.

3. Сравним остаток с делителем. $5 < 6$. Так как остаток меньше делителя, деление выполнено верно.

Результат: $83 : 6 = 13$ (ост. 5).

Проверка:

Чтобы выполнить проверку, нужно неполное частное умножить на делитель и к результату прибавить остаток. Полученное число должно быть равно делимому.

$13 \cdot 6 + 5 = 78 + 5 = 83$.

$83 = 83$. Проверка подтверждает, что решение верное.

Ответ: $83 : 6 = 13$ (ост. 5).

67 : 9

1. Найдём неполное частное. Наибольшее число до 67, делящееся на 9 — это 63.
$63 : 9 = 7$. Неполное частное равно 7.

2. Найдём остаток: $67 - 63 = 4$.

3. Сравним остаток с делителем: $4 < 9$. Остаток меньше делителя.

Результат: $67 : 9 = 7$ (ост. 4).

Проверка:

$7 \cdot 9 + 4 = 63 + 4 = 67$.

$67 = 67$. Решение верное.

Ответ: $67 : 9 = 7$ (ост. 4).

54 : 16

1. Найдём неполное частное. Подберём число, которое при умножении на 16 даст результат, максимально близкий к 54, но не превышающий его. $16 \cdot 3 = 48$.
Неполное частное равно 3.

2. Найдём остаток: $54 - 48 = 6$.

3. Сравним остаток с делителем: $6 < 16$. Остаток меньше делителя.

Результат: $54 : 16 = 3$ (ост. 6).

Проверка:

$3 \cdot 16 + 6 = 48 + 6 = 54$.

$54 = 54$. Решение верное.

Ответ: $54 : 16 = 3$ (ост. 6).

70 : 12

1. Найдём неполное частное. Наибольшее число до 70, делящееся на 12 — это 60, так как $12 \cdot 5 = 60$.
Неполное частное равно 5.

2. Найдём остаток: $70 - 60 = 10$.

3. Сравним остаток с делителем: $10 < 12$. Остаток меньше делителя.

Результат: $70 : 12 = 5$ (ост. 10).

Проверка:

$5 \cdot 12 + 10 = 60 + 10 = 70$.

$70 = 70$. Решение верное.

Ответ: $70 : 12 = 5$ (ост. 10).

7 За 8 м льняной ткани заплатили 368 р., а за 6 м шёлковой ткани заплатили 552 р. Во сколько раз цена шёлковой ткани больше цены льняной ткани?

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сначала найти цену за один метр для каждого вида ткани, а затем сравнить их.

1. Найдём цену одного метра льняной ткани. Для этого общую стоимость (368 р.) разделим на количество метров (8 м):
$368 \div 8 = 46$ (р.) – цена 1 метра льняной ткани.

2. Найдём цену одного метра шёлковой ткани. Для этого общую стоимость (552 р.) разделим на количество метров (6 м):
$552 \div 6 = 92$ (р.) – цена 1 метра шёлковой ткани.

3. Теперь определим, во сколько раз цена шёлковой ткани больше цены льняной. Для этого разделим цену шёлковой ткани на цену льняной:
$92 \div 46 = 2$ (раза).

Ответ: цена шёлковой ткани больше цены льняной ткани в 2 раза.

8 На отрезке AB отмечены точки M и N так, что точка N делит отрезок AB на 2 отрезка одинаковой длины, а точка M лежит между точками A и N. Найди длину отрезка AB, если длина отрезка AM равна 18 см, а длина отрезка MN в 3 раза меньше.

18 см

$AN = NB$

1. Найдем длину отрезка MN.
По условию задачи, длина отрезка $AM$ равна 18 см, а отрезок $MN$ в 3 раза короче. Чтобы найти его длину, необходимо длину отрезка $AM$ разделить на 3.
$18 \div 3 = 6$ (см) — длина отрезка $MN$.

2. Найдем длину отрезка AN.
Так как точка M лежит между точками A и N, то длина отрезка $AN$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MN$.
$18 + 6 = 24$ (см) — длина отрезка $AN$.

3. Найдем длину отрезка AB.
По условию, точка N делит отрезок AB на два равных отрезка, что означает, что N является его серединой. Следовательно, $AN = NB$. Длина всего отрезка AB будет в два раза больше длины отрезка $AN$.
$24 \times 2 = 48$ (см) — длина отрезка $AB$.

Ответ: 48 см.

9 На столе лежит 10 пронумерованных мешочков, в каждом из которых лежит 10 золотых монет. В одном из мешочков все монеты фальшивые. Масса настоящей монеты равна $10 \text{ г}$, а масса фальшивой — $9 \text{ г}$. Как с помощью весов со шкалой в граммах определить, в каком из мешочков находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? (Весы могут взвешивать груз, масса которого не более $750 \text{ г}$.)

Для того чтобы определить мешочек с фальшивыми монетами за одно взвешивание, необходимо применить метод, который позволит по итоговой массе однозначно идентифицировать источник фальшивых монет. Алгоритм действий следующий:

1. Пронумеруем мешочки от 1 до 10 (как они и пронумерованы на рисунке).
2. Возьмем из мешочка №1 одну монету, из мешочка №2 — две монеты, из мешочка №3 — три монеты, и так далее, до мешочка №10, из которого возьмем десять монет.
3. Положим все отобранные монеты на весы и проведем взвешивание.

Далее проведем расчеты, чтобы понять, как интерпретировать результат взвешивания.

Сначала найдем общее количество монет, которые мы будем взвешивать. Это сумма чисел от 1 до 10:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$ монет.

Теперь рассчитаем, какой была бы общая масса, если бы все монеты были настоящими. Масса одной настоящей монеты — 10 г.
$55 \text{ монет} \times 10 \text{ г} = 550 \text{ г}$.

Эта масса (550 г) меньше максимальной грузоподъемности весов (750 г), следовательно, такое взвешивание провести возможно.

По условию, в одном из мешочков находятся фальшивые монеты, масса каждой из которых 9 г. Это значит, что каждая фальшивая монета на 1 грамм легче настоящей ($10 \text{ г} - 9 \text{ г} = 1 \text{ г}$).

Из-за наличия фальшивых монет итоговый вес на весах будет меньше 550 г. Величина этой "недостачи" веса в граммах будет в точности равна количеству фальшивых монет на весах. А поскольку мы взяли из каждого мешочка уникальное количество монет (равное его номеру), то количество фальшивых монет укажет нам на номер мешочка, из которого они были взяты.

Например:

• Если фальшивые монеты находятся в мешочке №1, то на весах окажется 1 фальшивая монета. Общий вес будет на 1 г меньше эталонного: $550 \text{ г} - 1 \text{ г} = 549 \text{ г}$.
• Если фальшивые монеты находятся в мешочке №2, то на весах окажется 2 фальшивые монеты. Общий вес будет на 2 г меньше эталонного: $550 \text{ г} - 2 \text{ г} = 548 \text{ г}$.
• И так далее, до последнего случая.
• Если фальшивые монеты находятся в мешочке №10, то на весах окажется 10 фальшивых монет. Общий вес будет на 10 г меньше эталонного: $550 \text{ г} - 10 \text{ г} = 540 \text{ г}$.

Таким образом, номер мешочка с фальшивыми монетами $N$ можно вычислить по формуле: $N = 550 - M$, где $M$ — это масса, которую показали весы.

Ответ: Нужно взять из мешочка №1 — 1 монету, из мешочка №2 — 2 монеты, и так далее до мешочка №10, из которого взять 10 монет. Затем взвесить все эти монеты вместе. Номер мешочка с фальшивыми монетами будет равен разнице между 550 г и показанием весов в граммах.

8 Начерти любую окружность. Проведи в ней два диаметра. Соедини последовательно концы этих диаметров так, чтобы получился четырёхугольник. Есть ли у этого четырёхугольника прямые углы? Сделай вывод.

Начертим окружность с центром в точке $O$. Проведем в ней два произвольных диаметра, например, $AC$ и $BD$. Последовательно соединим концы этих диаметров отрезками и получим четырехугольник $ABCD$.

Чтобы ответить на вопрос о наличии прямых углов, рассмотрим любой из углов полученного четырехугольника, например, угол $∠DAB$.

Этот угол является вписанным в окружность, так как его вершина (точка $A$) лежит на окружности, а его стороны ($AD$ и $AB$) пересекают окружность.

Вписанный угол $∠DAB$ опирается на дугу $DCB$. Так как отрезок $DB$ является диаметром окружности, он делит ее на две полуокружности. Дуга $DCB$ — это одна из таких полуокружностей. Градусная мера полуокружности всегда равна $180°$.

По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно:

$∠DAB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } DCB = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°$

Таким образом, угол $∠DAB$ является прямым.

Аналогичные рассуждения можно применить ко всем остальным углам четырехугольника:

• Угол $∠ABC$ опирается на диаметр $AC$, его величина равна $90°$.
• Угол $∠BCD$ опирается на диаметр $BD$, его величина равна $90°$.
• Угол $∠CDA$ опирается на диаметр $AC$, его величина равна $90°$.

Вывод:

Четырехугольник, вершины которого являются концами двух диаметров окружности, всегда является прямоугольником. А у прямоугольника все углы прямые. Следовательно, у такого четырехугольника не просто есть прямые углы, а все четыре его угла являются прямыми, независимо от того, как проведены диаметры (перпендикулярно или под любым другим углом друг к другу).

Ответ: Да, у этого четырехугольника есть прямые углы. Все четыре его угла являются прямыми.

9 Начерти прямоугольник со сторонами длиной 6 см и 4 см. Раздели его на две такие части, чтобы площадь одной из них была в 5 раз больше площади другой.

Для решения задачи сначала найдем общую площадь прямоугольника. При сторонах $a = 6$ см и $b = 4$ см площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \times b = 6 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$

Далее, нам нужно разделить эту площадь на две части, $S_1$ и $S_2$, так, чтобы одна была в 5 раз больше другой. Пусть $S_1$ — меньшая часть, а $S_2$ — большая. Тогда можно составить систему уравнений:

$S_2 = 5 \times S_1$

$S_1 + S_2 = 24 \text{ см}^2$

Подставим первое уравнение во второе:

$S_1 + 5S_1 = 24$

$6S_1 = 24$

$S_1 = \frac{24}{6} = 4 \text{ см}^2$

Теперь найдем площадь второй, большей части:

$S_2 = 5 \times S_1 = 5 \times 4 = 20 \text{ см}^2$

Проверка: $S_1 + S_2 = 4 + 20 = 24 \text{ см}^2$, что соответствует общей площади прямоугольника.

Теперь нужно разделить прямоугольник на две части с площадями 4 см² и 20 см². Самый простой способ — провести линию, параллельную одной из сторон.

Рассмотрим деление, проведя линию, параллельную стороне длиной 4 см. Мы должны получить меньший прямоугольник с площадью 4 см². Одна из его сторон будет равна 4 см, а вторую сторону (назовем ее $x$) можно найти так:

$4 \text{ см} \times x = 4 \text{ см}^2$

$x = 1 \text{ см}$

Таким образом, чтобы разделить прямоугольник, нужно на одной из его сторон длиной 6 см отмерить от угла 1 см и провести через эту точку отрезок, параллельный стороне длиной 4 см. В результате прямоугольник будет разделен на две части:

• Прямоугольник со сторонами 1 см и 4 см, его площадь $1 \times 4 = 4 \text{ см}^2$.
• Прямоугольник со сторонами $(6-1)=5$ см и 4 см, его площадь $5 \times 4 = 20 \text{ см}^2$.

Соотношение площадей: $\frac{20}{4} = 5$. Условие задачи выполнено.

Ответ: Нужно начертить прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Затем на одной из сторон длиной 6 см отмерить 1 см от любого угла. Из этой точки провести отрезок до противоположной стороны, параллельный стороне длиной 4 см. Этот отрезок разделит исходный прямоугольник на две части с площадями 4 см² и 20 см², что удовлетворяет условию задачи.