Страница 39, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 (Устно.) Вычисли значения выражений, используя приём округления.

$279 + 184$

$687 + 156$

$369 + 178 + 192$

$584 + 252$

$598 + 273$

$296 + 185 + 279$

Для упрощения вычисления используем приём округления. Округлим первое слагаемое $279$ до ближайшего круглого числа $280$. Для этого мы прибавили $1$. Чтобы значение выражения не изменилось, мы должны будем вычесть эту $1$ из итоговой суммы.

$279 + 184 = (280 - 1) + 184 = 280 + 184 - 1$

Сначала сложим $280$ и $184$:

$280 + 184 = 464$

Теперь вычтем $1$, которую мы добавили для округления:

$464 - 1 = 463$

Ответ: 463

Используем приём округления. Округлим второе слагаемое $252$ до $250$, вычтя из него $2$. Чтобы компенсировать это, мы добавим $2$ в конце.

$584 + 252 = 584 + (250 + 2) = 584 + 250 + 2$

Сначала сложим $584$ и $250$:

$584 + 250 = 834$

Теперь прибавим $2$:

$834 + 2 = 836$

Ответ: 836

Округлим первое слагаемое $687$ до $700$. Для этого мы прибавили $13$. Значит, из результата нужно будет вычесть $13$.

$687 + 156 = (700 - 13) + 156 = 700 + 156 - 13$

Сначала сложим $700$ и $156$:

$700 + 156 = 856$

Теперь вычтем $13$:

$856 - 13 = 843$

Ответ: 843

Округлим первое слагаемое $598$ до $600$. Для этого мы прибавили $2$. Эту двойку нужно будет вычесть из конечной суммы.

$598 + 273 = (600 - 2) + 273 = 600 + 273 - 2$

Сложим $600$ и $273$:

$600 + 273 = 873$

Теперь вычтем $2$:

$873 - 2 = 871$

Ответ: 871

Округлим каждое слагаемое для удобства вычислений:

$369$ округлим до $370$ (прибавили $1$)

$178$ округлим до $180$ (прибавили $2$)

$192$ округлим до $200$ (прибавили $8$)

Исходное выражение можно переписать так:

$(370 - 1) + (180 - 2) + (200 - 8)$

Сгруппируем слагаемые:

$(370 + 180 + 200) - (1 + 2 + 8)$

Вычислим сумму округлённых чисел:

$370 + 180 + 200 = 550 + 200 = 750$

Вычислим, сколько всего мы прибавили для округления:

$1 + 2 + 8 = 11$

Теперь вычтем это число из полученной суммы:

$750 - 11 = 739$

Ответ: 739

Округлим каждое слагаемое до ближайшего удобного круглого числа:

$296$ округлим до $300$ (прибавили $4$)

$185$ округлим до $200$ (прибавили $15$)

$279$ округлим до $300$ (прибавили $21$)

Запишем выражение с учётом округления:

$(300 - 4) + (200 - 15) + (300 - 21)$

Сгруппируем слагаемые:

$(300 + 200 + 300) - (4 + 15 + 21)$

Вычислим сумму округлённых чисел:

$300 + 200 + 300 = 800$

Вычислим, сколько всего мы прибавили для округления:

$4 + 15 + 21 = 40$

Теперь вычтем это число из полученной суммы:

$800 - 40 = 760$

Ответ: 760

2 Реши каждую задачу выражением.

1) На чашу весов положили три яблока: одно массой 183 г, другое, массой 196 г и третье массой 278 г. Найди общую массу этих яблок.

2) Длины сторон треугольника равны 275 см, 199 см и 387 см. Вычисли его периметр.

1) Чтобы найти общую массу яблок, нужно сложить массу каждого яблока. Составим числовое выражение и вычислим его значение.

Выражение: $183 + 196 + 278$.

Выполним сложение:

$183 + 196 = 379$

$379 + 278 = 657$ (г)

Таким образом, общая масса трех яблок составляет 657 граммов.

Ответ: 657 г.

2) Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Чтобы найти периметр данного треугольника, нужно сложить длины его сторон: 275 см, 199 см и 387 см.

Выражение: $275 + 199 + 387$.

Выполним вычисления:

$275 + 199 = 474$

$474 + 387 = 861$ (см)

Следовательно, периметр треугольника равен 861 сантиметру.

Ответ: 861 см.

7 Перечерти в тетрадь окружность с центром в точке O и радиусом OA. Проведи в окружности диаметр AB и отметь точки C, D, E, как показано на рисунке.

Верно ли утверждение: «Углы $ACB$, $ADB$, $AEB$ прямые»? Отметь на окружности ещё какую-нибудь точку F, не лежащую на диаметре, и определи вид угла $AFB$. Сделай вывод.

Верно ли утверждение: «Углы ACB, ADB, AEB прямые»?

Да, это утверждение верно.

Углы $\angle ACB$, $\angle ADB$ и $\angle AEB$ являются вписанными в окружность, так как их вершины (точки C, D, E) лежат на окружности, а их стороны являются хордами.

Все эти углы опираются на отрезок AB, который является диаметром окружности. Согласно свойству вписанных углов, угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Это следует из того, что величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Диаметр AB делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$.

- Угол $\angle ACB$ опирается на дугу AEB, равную $180^\circ$. Следовательно, $\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
- Угол $\angle ADB$ также опирается на дугу AEB. Следовательно, $\angle ADB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
- Угол $\angle AEB$ опирается на дугу ADB, равную $180^\circ$. Следовательно, $\angle AEB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, все три угла являются прямыми.
Ответ: Да, утверждение верно.

Определение вида угла AFB.

Если отметить на окружности любую другую точку F, не лежащую на диаметре (то есть не совпадающую с A или B), и построить угол $\angle AFB$, то этот угол также будет вписанным и будет опираться на диаметр AB.

По той же причине, что и в предыдущем пункте, его величина будет равна половине дуги, стягиваемой диаметром AB. Эта дуга является полуокружностью и ее градусная мера равна $180^\circ$.

$\angle AFB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, угол $\angle AFB$ также является прямым.
Ответ: Угол AFB является прямым.

Вывод.

На основании рассмотренных примеров можно сделать общий вывод, который является важной теоремой геометрии: любой вписанный в окружность угол, который опирается на её диаметр, является прямым.
Ответ: Любой вписанный угол, который опирается на диаметр окружности, равен $90^\circ$.

$700 : 2$ $350$

$25 \cdot 30$ $250 \cdot 3$

$16 \cdot 200$ $160 \cdot 2$

$10 \cdot 404$ $440$

$96 : 4$ $960 : 40$

$500 : 50$ $50 : 5$

700 : 2 ... 350

Чтобы сравнить эти два значения, сначала вычислим результат выражения слева.
$700 \div 2 = 350$.
Теперь сравним полученный результат с числом справа: $350$ и $350$.
Так как $350 = 350$, ставим знак "равно".
Ответ: $700 : 2 = 350$

25 · 30 ... 250 · 3

Для сравнения вычислим значения обоих выражений.
Левая часть: $25 \cdot 30 = 750$.
Правая часть: $250 \cdot 3 = 750$.
Сравним результаты: $750 = 750$.
Значения выражений равны, поэтому ставим знак "равно".
Ответ: $25 \cdot 30 = 250 \cdot 3$

16 · 200 ... 160 · 2

Для сравнения вычислим значения обоих выражений.
Левая часть: $16 \cdot 200 = 3200$.
Правая часть: $160 \cdot 2 = 320$.
Сравним результаты: $3200 > 320$.
Значение левого выражения больше значения правого, поэтому ставим знак "больше".
Ответ: $16 \cdot 200 > 160 \cdot 2$

10 · 404 ... 440

Чтобы сравнить эти два значения, сначала вычислим результат выражения слева.
При умножении на 10 к числу дописывается ноль: $10 \cdot 404 = 4040$.
Теперь сравним результат с числом справа: $4040$ и $440$.
Так как $4040 > 440$, ставим знак "больше".
Ответ: $10 \cdot 404 > 440$

96 : 4 ... 960 : 40

Для сравнения вычислим значения обоих выражений.
Левая часть: $96 \div 4 = 24$.
Правая часть: $960 \div 40$. При делении чисел, оканчивающихся нулями, можно убрать одинаковое количество нулей в делимом и делителе: $960 \div 40 = 96 \div 4 = 24$.
Сравним результаты: $24 = 24$.
Значения выражений равны, поэтому ставим знак "равно".
Ответ: $96 : 4 = 960 : 40$

500 : 50 ... 50 : 5

Для сравнения вычислим значения обоих выражений.
Левая часть: $500 \div 50 = 10$.
Правая часть: $50 \div 5 = 10$.
Сравним результаты: $10 = 10$.
Значения выражений равны, поэтому ставим знак "равно".
Ответ: $500 : 50 = 50 : 5$

9 Две бригады рабочих асфальтировали дорогу между городом и дерев- ней. Когда одна бригада заасфальтировала в направлении от города к деревне 3 км 900 м, а другая бригада — в направлении от деревни к городу на 1 км 80 м больше, то осталось ещё заасфальтировать 4 км 250 м. Найди длину дороги от города до деревни.

Для того чтобы найти общую длину дороги, нужно сложить три отрезка: расстояние, которое заасфальтировала первая бригада, расстояние, которое заасфальтировала вторая бригада, и оставшееся расстояние.

1. Сначала найдем, какое расстояние заасфальтировала вторая бригада. Известно, что первая бригада заасфальтировала 3 км 900 м, а вторая — на 1 км 80 м больше. Чтобы найти работу второй бригады, сложим эти два значения:

$3 \text{ км } 900 \text{ м } + 1 \text{ км } 80 \text{ м } = (3+1) \text{ км } + (900+80) \text{ м } = 4 \text{ км } 980 \text{ м}$.

Итак, вторая бригада заасфальтировала 4 км 980 м.

2. Теперь найдем, какое расстояние обе бригады заасфальтировали вместе. Для этого сложим расстояния, которые прошла каждая бригада:

$3 \text{ км } 900 \text{ м } + 4 \text{ км } 980 \text{ м } = (3+4) \text{ км } + (900+980) \text{ м } = 7 \text{ км } 1880 \text{ м}$.

Поскольку в одном километре 1000 метров, преобразуем 1880 м в километры и метры: $1880 \text{ м } = 1 \text{ км } 880 \text{ м}$.

Тогда общее заасфальтированное расстояние равно: $7 \text{ км } + 1 \text{ км } 880 \text{ м } = 8 \text{ км } 880 \text{ м}$.

3. Нам известно, что осталось заасфальтировать еще 4 км 250 м. Чтобы найти общую длину дороги от города до деревни, сложим уже заасфальтированную часть и оставшуюся:

$8 \text{ км } 880 \text{ м } + 4 \text{ км } 250 \text{ м } = (8+4) \text{ км } + (880+250) \text{ м } = 12 \text{ км } 1130 \text{ м}$.

Снова преобразуем метры в километры: $1130 \text{ м } = 1 \text{ км } 130 \text{ м}$.

Итоговая длина дороги составляет: $12 \text{ км } + 1 \text{ км } 130 \text{ м } = 13 \text{ км } 130 \text{ м}$.

Ответ: 13 км 130 м.

10 Вычисли в квадратных сантиметрах площадь закрашенной фигуры.

Выполни задание разными способами.

Для решения задачи примем, что сторона одной клетки на сетке равна 1 см. Следовательно, площадь одной клетки составляет 1 см². Закрашенная фигура состоит из двух отдельных треугольников, поэтому ее общая площадь будет равна сумме площадей этих двух треугольников.

Способ 1: Использование формулы площади треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания треугольника, а $h$ – его высота.

Сначала найдем площадь верхнего, меньшего треугольника ($S_1$). Его основание $a_1$ равно 6 клеткам (6 см), а высота $h_1$ равна 3 клеткам (3 см).

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь нижнего, большего треугольника ($S_2$). Его основание $a_2$ равно 8 клеткам (8 см), а высота $h_2$ равна 4 клеткам (4 см).

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 16 \text{ см}^2$.

Общая площадь закрашенной фигуры ($S$) равна сумме площадей двух треугольников:

$S = S_1 + S_2 = 9 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2$.

Ответ: 25 см².

Способ 2: Подсчет клеток

Площадь фигуры можно найти, подсчитав количество полных и неполных клеток, которые она занимает.

Для верхнего треугольника:

• Количество полностью закрашенных клеток: 6.
• Вдоль наклонных сторон расположены 6 неполностью закрашенных клеток. Если сгруппировать их симметрично относительно высоты треугольника, они образуют еще 3 полные клетки.

Таким образом, площадь верхнего треугольника: $6 + 3 = 9$ клеток, или 9 см².

Для нижнего треугольника:

• Количество полностью закрашенных клеток: 12.
• Вдоль наклонных сторон находятся 8 неполностью закрашенных клеток. Группируя их симметрично, получаем еще 4 полные клетки.

Таким образом, площадь нижнего треугольника: $12 + 4 = 16$ клеток, или 16 см².

Общая площадь фигуры равна сумме площадей двух треугольников:

$S = 9 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2$.

Ответ: 25 см².

Способ 3: Метод дополнения до прямоугольника

Каждый треугольник можно мысленно вписать в прямоугольник, одна из сторон которого совпадает с основанием треугольника, а высота — с высотой треугольника. Площадь такого треугольника будет равна половине площади прямоугольника.

Для верхнего треугольника: Впишем его в прямоугольник со сторонами 6 см и 3 см. Площадь этого прямоугольника $S_{пр1} = 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 18 \text{ см}^2$. Площадь треугольника равна половине площади прямоугольника: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 18 \text{ см}^2 = 9 \text{ см}^2$.

Для нижнего треугольника: Впишем его в прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см. Площадь этого прямоугольника $S_{пр2} = 8 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 32 \text{ см}^2$. Площадь треугольника равна половине площади этого прямоугольника: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 32 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2$.

Общая площадь закрашенной фигуры: $S = S_1 + S_2 = 9 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2$.

Ответ: 25 см².

11 Расшифруй ребус. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.)

$ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ$

Запишем ребус в виде математического выражения: ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ, что эквивалентно умножению: $2 \times \text{ВАГОН} = \text{СОСТАВ}$.

1. Определяем букву С.
При умножении пятизначного числа (ВАГОН) на 2 получилось шестизначное число (СОСТАВ). Это означает, что первая цифра самого большого возможного пятизначного числа (99999) при умножении на 2 даст $2 \times 99999 = 199998$. В любом случае, первая цифра шестизначного результата будет 1.
Следовательно, С = 1.

2. Определяем возможные значения для В.
Рассмотрим старшие разряды: $2 \times \text{В}$ (возможно, с переносом 1 из предыдущего разряда) дает двузначное число СО, то есть 1О. Это значит, что $2 \times \text{В} \ge 10$ или $2 \times \text{В} + 1 \ge 10$. В любом случае, В должно быть не меньше 5.
Теперь посмотрим на последние цифры: $2 \times \text{Н}$ оканчивается на В. Это означает, что В — чётная цифра.
Объединяя два условия (В ≥ 5 и В — чётное), получаем, что В может быть либо 6, либо 8.

3. Проверяем вариант В = 6.
Если В = 6, то из $2 \times \text{В} + (\text{перенос от А}) = 1\text{О}$ следует $12 + (\text{перенос от А}) = 1\text{О}$, то есть $\text{О} = 2 + (\text{перенос от А})$. Значит, О может быть 2 или 3.Из $2 \times \text{Н}$ оканчивается на В=6 следует, что Н может быть 3 или 8.Проверка комбинаций показывает, что ни одна из них не приводит к решению. Например, если О=2 и Н=3, то $2 \times \text{О} + (\text{перенос от Н}) = 2 \times 2 + 0 = 4$, значит А=4. Тогда для разряда тысяч имеем $2 \times \text{А} + (\text{перенос от Г}) = 2 \times 4 + (\text{перенос от Г}) = 8 + (\text{перенос от Г})$. Результат должен оканчиваться на С=1, что невозможно. Таким образом, В не может быть равно 6.

4. Решаем для В = 8.
Принимаем В = 8.
Из $2 \times \text{В} + (\text{перенос от А}) = 1\text{О}$ следует $16 + (\text{перенос от А}) = 1\text{О}$, то есть $\text{О} = 6 + (\text{перенос от А})$. Значит, О может быть 6 или 7.Из $2 \times \text{Н}$ оканчивается на В=8 следует, что Н может быть 4 или 9.

Далее подбираем значения:

• Предположим, О = 7. Это означает, что был перенос 1 из разряда тысяч ($2 \times \text{А} + \dots \ge 10$).
• Из букв Н (4 или 9) и О (7) нужно выбрать разные. Пробуем Н = 9.
• Находим А. $2 \times \text{О} + (\text{перенос от Н}) = \dots \text{А}$. Поскольку Н=9, $2 \times 9 = 18$, перенос от Н равен 1. Тогда $2 \times 7 + 1 = 15$. Значит, А = 5, и в следующий разряд (сотни) идёт перенос 1.
• Проверим условие для О=7. Нам нужен был перенос 1 от А. $2 \times \text{А} + (\text{перенос от Г}) = 2 \times 5 + (\text{перенос от Г}) = 10 + (\text{перенос от Г})$. Эта сумма должна оканчиваться на С=1. Это возможно, если перенос от Г равен 1, тогда $10+1=11$. Это подтверждает, что С=1 и перенос в следующий разряд (десятки тысяч) тоже равен 1. Наше предположение О=7 было верным.
• Находим Г и Т. Из прошлого шага мы знаем, что должен быть перенос 1 от Г, то есть $2 \times \text{Г} + (\text{перенос от О}) \ge 10$. Перенос от О равен 1 (т.к. $2 \times 7 + 1 = 15$). Значит, $2 \times \text{Г} + 1 \ge 10$, откуда $2\text{Г} \ge 9$ и $\text{Г} \ge 4.5$.
• Использованные цифры: 1, 5, 7, 8, 9. Свободные цифры для Г: 0, 2, 3, 4, 6. Условию $\text{Г} \ge 4.5$ удовлетворяет только Г = 6.
• Теперь находим Т: $2 \times \text{Г} + (\text{перенос от О}) = 2 \times 6 + 1 = 13$. Значит, Т = 3.

Все буквы расшифрованы и все цифры разные:
В = 8, А = 5, Г = 6, О = 7, Н = 9, С = 1, Т = 3.

Проверим решение:$85679 + 85679 = 171358$
ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ
$85679 + 85679 = 171358$

Ответ: $85679 + 85679 = 171358$.