Страница 29, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

3 Пассажирский поезд составлен из 9 вагонов, по 56 мест в каждом. В поезде едут 387 пассажиров. Сколько свободных мест осталось в этом поезде?

Для того чтобы найти количество свободных мест в поезде, необходимо сначала вычислить общее количество мест во всех вагонах, а затем вычесть из этого числа количество пассажиров.

1. Найдём общее количество мест в поезде. Для этого умножим количество вагонов на количество мест в каждом вагоне.
$9 \times 56 = 504$ (места) – всего в поезде.

2. Теперь, зная общее количество мест и число пассажиров, найдём количество свободных мест. Для этого из общего числа мест вычтем число пассажиров.
$504 - 387 = 117$ (свободных мест).

Ответ: в поезде осталось 117 свободных мест.

4 Сравни числа, в которых некоторые цифры заменены звёздочками.

4** 6**

*** **

*8* *8

39* 38*

*7* 99*

5*0 50

Чтобы сравнить числа, в которых некоторые цифры заменены звёздочками, нужно следовать правилам сравнения натуральных чисел, начиная со старшего разряда.

4** ○ 6**

Оба числа являются трёхзначными. Сравниваем цифры в старшем разряде (сотни). В первом числе это 4, а во втором — 6. Так как 4 меньше 6, то первое число всегда будет меньше второго, независимо от того, какие цифры стоят на месте звёздочек. Например, даже самое большое возможное первое число (499) меньше самого маленького возможного второго числа (600).

Ответ: $4** < 6**$

*** ○ **

Первое число (***) — трёхзначное, так как состоит из трёх цифр. Самое маленькое возможное трёхзначное число — 100. Второе число (**) — двузначное. Самое большое возможное двузначное число — 99. Любое трёхзначное число всегда больше любого двузначного числа.

Ответ: $*** > **$

*8* ○ *8

Первое число (*8*) — трёхзначное, а второе число (*8) — двузначное. По аналогии с предыдущим примером, любое трёхзначное число (самое маленькое из которых 180) всегда больше любого двузначного числа (самое большое из которых 98).

Ответ: $*8* > *8$

39* ○ 38*

Оба числа трёхзначные. Сравниваем цифры в разряде сотен: они одинаковые (3). Переходим к следующему разряду — десяткам. В первом числе это 9, а во втором — 8. Так как 9 больше 8, то первое число будет больше второго, независимо от цифры в разряде единиц.

Ответ: $39* > 38*$

*7* ○ 99*

Оба числа трёхзначные. Сравниваем цифры в разряде сотен. В первом числе это неизвестная цифра (*), а во втором — 9. Самая большая цифра, которая может стоять на месте звёздочки в первом числе, — это 9.
1. Если на месте первой звёздочки стоит цифра меньше 9 (например, 8), то число *7* будет меньше, чем 99*.
2. Если на месте первой звёздочки стоит цифра 9, то мы сравниваем числа 97* и 99*. В этом случае сравниваем разряд десятков: 7 меньше 9. Значит, 97* всё равно меньше 99*.
В любом случае первое число оказывается меньше второго.

Ответ: $*7* < 99*$

5*0 ○ 50

Первое число (5*0) — трёхзначное (самое маленькое возможное значение — 500). Второе число (50) — двузначное. Любое трёхзначное число всегда больше любого двузначного.

Ответ: $5*0 > 50$

5 Возьми лист бумаги прямоугольной формы. Перегни его по диагонали, разверни и разрежь по линии сгиба на две части, как показано на рисунке. Какими получились эти части: равными или неравными? Объясни.

Диагональ прямоугольника делит его на 2 равных треугольника.

Какими получились эти части: равными или неравными?

В результате разрезания прямоугольного листа бумаги по диагонали получаются две равные части. Каждая из этих частей представляет собой прямоугольный треугольник.

Ответ: Части получились равными.

Объясни.

Диагональ делит прямоугольник на два треугольника. Чтобы понять, почему они равны, давайте рассмотрим свойства этих треугольников. Обозначим вершины прямоугольника как $A, B, C, D$. Диагональ $AC$ разделит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Эти треугольники будут равны по второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• Сторона $AB$ равна стороне $DC$, так как в прямоугольнике противоположные стороны равны.
• Сторона $BC$ равна стороне $AD$ по той же причине.
• Угол $\angle B$ равен углу $\angle D$, и оба они равны $90^\circ$, так как все углы прямоугольника прямые.

Поскольку две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle ADC$, эти треугольники равны. Это можно проверить и на практике: если сложить полученные части, они полностью совпадут.

Ответ: Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, так как у них равны две соответствующие стороны (как противоположные стороны прямоугольника) и угол между ними (прямой угол).

6 Две одинаковые бочки наполнены водой. Когда из них взяли 16 вёдер воды, по 9 л в каждом, в первой бочке осталось 34 ведра воды, а во второй — 20 вёдер. Сколько литров воды взяли из каждой бочки?

Для решения задачи нам нужно определить, сколько вёдер воды было взято из каждой бочки по отдельности, а затем перевести это количество в литры.

1. Узнаем, на сколько больше вёдер воды осталось в первой бочке по сравнению со второй:

$34 - 20 = 14$ (вёдер)

Поскольку бочки были одинаковые, эта разница означает, что из второй бочки взяли на 14 вёдер воды больше, чем из первой.

2. Пусть $x$ — это количество вёдер, которое взяли из первой бочки. Тогда из второй бочки взяли $x + 14$ вёдер.

3. Всего из обеих бочек взяли 16 вёдер. Составим и решим уравнение, чтобы найти $x$:

$x + (x + 14) = 16$

$2x + 14 = 16$

$2x = 16 - 14$

$2x = 2$

$x = 1$ (ведро) — столько воды взяли из первой бочки.

4. Теперь найдём, сколько вёдер воды взяли из второй бочки:

$1 + 14 = 15$ (вёдер)

Проверка: $1 + 15 = 16$ вёдер, что соответствует условию задачи.

5. Теперь, зная, что в каждом ведре 9 литров, рассчитаем объём воды в литрах, взятый из каждой бочки.

Из первой бочки:

Взяли 1 ведро воды. Найдём, сколько это литров:

$1 \times 9 = 9$ (литров)

Ответ: из первой бочки взяли 9 литров воды.

Из второй бочки:

Взяли 15 вёдер воды. Найдём, сколько это литров:

$15 \times 9 = 135$ (литров)

Ответ: из второй бочки взяли 135 литров воды.

7 Вычисли значения выражений. Сравни их. Что можно заметить?

$30 \cdot 3 + 450$

$20 \cdot 7 + 400$

$0 \cdot 90 + 540$

$120 : 4 + 510$

$160 : 2 + 460$

$70 : 7 + 530$

$870 - (160 + 170)$

$300 + 300 - 60$

$420 + 150 - 30$

Вычислим значения выражений

$30 \cdot 3 + 450 = 90 + 450 = 540$
Ответ: 540

$20 \cdot 7 + 400 = 140 + 400 = 540$
Ответ: 540

$0 \cdot 90 + 540 = 0 + 540 = 540$
Ответ: 540

$120 : 4 + 510 = 30 + 510 = 540$
Ответ: 540

$160 : 2 + 460 = 80 + 460 = 540$
Ответ: 540

$70 : 7 + 530 = 10 + 530 = 540$
Ответ: 540

$870 - (160 + 170) = 870 - 330 = 540$
Ответ: 540

$300 + 300 - 60 = 600 - 60 = 540$
Ответ: 540

$420 + 150 - 30 = 570 - 30 = 540$
Ответ: 540

Сравним их. Что можно заметить?

Сравнив полученные результаты, можно заметить, что значения всех выражений одинаковы.
Ответ: Значения всех выражений равны 540.

8 Сравни.

130 мин 2 ч

508 см 58 дм

720 дм 72 м

401 см 41 дм

989 м 1 км

976 г 1 кг

130 мин ◯ 2 ч. Чтобы сравнить эти величины, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем часы в минуты. Мы знаем, что в одном часе 60 минут: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$. Тогда в двух часах будет $2 \text{ ч} = 2 \times 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$. Теперь сравним 130 минут и 120 минут. Поскольку $130 > 120$, то 130 минут больше, чем 2 часа. Ответ: $130 \text{ мин} > 2 \text{ ч}$

720 дм ◯ 72 м. Для сравнения приведем обе величины к дециметрам. В одном метре 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Следовательно, в 72 метрах будет $72 \text{ м} = 72 \times 10 \text{ дм} = 720 \text{ дм}$. Сравниваем 720 дециметров и 720 дециметров. Поскольку $720 = 720$, эти величины равны. Ответ: $720 \text{ дм} = 72 \text{ м}$

989 м ◯ 1 км. Для сравнения приведем обе величины к метрам. В одном километре 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Теперь сравним 989 метров и 1000 метров. Поскольку $989 < 1000$, то 989 метров меньше 1 километра. Ответ: $989 \text{ м} < 1 \text{ км}$

508 см ◯ 58 дм. Для сравнения приведем обе величины к сантиметрам. В одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Значит, в 58 дециметрах будет $58 \text{ дм} = 58 \times 10 \text{ см} = 580 \text{ см}$. Сравниваем 508 сантиметров и 580 сантиметров. Поскольку $508 < 580$, то 508 сантиметров меньше 58 дециметров. Ответ: $508 \text{ см} < 58 \text{ дм}$

401 см ◯ 41 дм. Для сравнения приведем обе величины к сантиметрам. В одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Следовательно, в 41 дециметре будет $41 \text{ дм} = 41 \times 10 \text{ см} = 410 \text{ см}$. Сравниваем 401 сантиметр и 410 сантиметров. Поскольку $401 < 410$, то 401 сантиметр меньше 41 дециметра. Ответ: $401 \text{ см} < 41 \text{ дм}$

976 г ◯ 1 кг. Для сравнения приведем обе величины к граммам. В одном килограмме 1000 граммов: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Теперь сравним 976 граммов и 1000 граммов. Поскольку $976 < 1000$, то 976 граммов меньше 1 килограмма. Ответ: $976 \text{ г} < 1 \text{ кг}$

3 Начерти отрезок AB длиной 12 см. Под ним начерти отрезок, равный $\frac{1}{2}$ части отрезка AB; $\frac{1}{3}$ части отрезка AB; $\frac{1}{6}$ части отрезка AB; $\frac{2}{3}$ части отрезка AB.

По условию задачи дан отрезок AB длиной 12 см. Чтобы начертить отрезки, составляющие указанные части отрезка AB, необходимо сначала вычислить длину каждого из них.

$\frac{1}{2}$ части отрезка AB

Для нахождения длины этого отрезка нужно общую длину умножить на дробь. Чтобы найти $\frac{1}{2}$ от 12, нужно 12 умножить на $\frac{1}{2}$.
$12 \cdot \frac{1}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Нужно начертить отрезок длиной 6 см.
Ответ: 6 см.

$\frac{1}{3}$ части отрезка AB

Чтобы найти $\frac{1}{3}$ от 12, нужно 12 умножить на $\frac{1}{3}$.
$12 \cdot \frac{1}{3} = \frac{12}{3} = 4$ см.
Нужно начертить отрезок длиной 4 см.
Ответ: 4 см.

$\frac{1}{6}$ части отрезка AB

Чтобы найти $\frac{1}{6}$ от 12, нужно 12 умножить на $\frac{1}{6}$.
$12 \cdot \frac{1}{6} = \frac{12}{6} = 2$ см.
Нужно начертить отрезок длиной 2 см.
Ответ: 2 см.

$\frac{2}{3}$ части отрезка AB

Чтобы найти $\frac{2}{3}$ от 12, нужно 12 умножить на $\frac{2}{3}$.
$12 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12 \cdot 2}{3} = \frac{24}{3} = 8$ см.
Нужно начертить отрезок длиной 8 см.
Ответ: 8 см.

Вычисли:

а) $&frac{1}{16}$ от 640;

б) $&frac{1}{100}$ от 5 000;

в) $&frac{4}{7}$ от 315;

г) $&frac{9}{10}$ от 720.

а) Чтобы найти $\frac{1}{16}$ от $640$, нужно умножить число $640$ на дробь $\frac{1}{16}$. Это равносильно делению числа $640$ на $16$.
$640 \times \frac{1}{16} = \frac{640}{16}$
Разделим $640$ на $16$:
$640 \div 16 = 40$
Ответ: $40$.

б) Чтобы найти $\frac{1}{100}$ от $5000$, нужно умножить число $5000$ на дробь $\frac{1}{100}$, что равносильно делению $5000$ на $100$.
$5000 \times \frac{1}{100} = \frac{5000}{100}$
При делении на $100$ можно убрать два нуля в конце числа:
$5000 \div 100 = 50$
Ответ: $50$.

в) Чтобы найти $\frac{4}{7}$ от $315$, нужно умножить число $315$ на дробь $\frac{4}{7}$. Для этого можно сначала разделить $315$ на знаменатель $7$, а затем полученный результат умножить на числитель $4$.
$315 \times \frac{4}{7} = (315 \div 7) \times 4$
1. Найдем одну седьмую часть от $315$:
$315 \div 7 = 45$
2. Теперь умножим полученный результат на $4$:
$45 \times 4 = 180$
Ответ: $180$.

г) Чтобы найти $\frac{9}{10}$ от $720$, нужно умножить число $720$ на дробь $\frac{9}{10}$. Для этого разделим $720$ на знаменатель $10$ и умножим результат на числитель $9$.
$720 \times \frac{9}{10} = (720 \div 10) \times 9$
1. Найдем одну десятую часть от $720$:
$720 \div 10 = 72$
2. Теперь умножим полученный результат на $9$:
$72 \times 9 = 648$
Ответ: $648$.

5 Выполни действия.

$(69 + 85) \cdot 27 - 836 : 19$

$(3 \cdot 165 + 6405) : 100 : 23$

(69 + 85) · 27 − 836 : 19

Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь вычитание.

1. Выполним действие в скобках (сложение):
$69 + 85 = 154$

2. Теперь выражение выглядит так: $154 \cdot 27 - 836 : 19$. Выполним умножение и деление по порядку, слева направо.
Сначала умножение:
$154 \cdot 27 = 4158$

3. Затем деление:
$836 : 19 = 44$

4. Теперь выражение приняло вид: $4158 - 44$. Выполним вычитание:
$4158 - 44 = 4114$

Ответ: 4114

(3 · 165 + 6 405) : 100 : 23

Решаем пример, соблюдая порядок действий. Сначала вычисляем значение в скобках (сначала умножение, потом сложение), а затем выполняем деление по порядку, слева направо.

1. Выполним действия в скобках. Внутри скобок сначала выполняется умножение:
$3 \cdot 165 = 495$

2. Затем выполним сложение в скобках:
$495 + 6405 = 6900$

3. Теперь выражение выглядит так: $6900 : 100 : 23$. Выполняем деление слева направо.
Первое деление:
$6900 : 100 = 69$

4. Второе деление:
$69 : 23 = 3$

Ответ: 3

6 Мельница, работая по 16 ч в день, намолола за 8 дней 640 ц муки, во все дни поровну. Сколько часов должна работать эта мельница ежедневно, чтобы за 12 дней намолоть 1 020 ц муки?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность мельницы, то есть количество муки, которое она производит за один час. Предполагается, что производительность постоянна.

1. Вычислим общее количество часов, которое мельница отработала, чтобы намолоть 640 центнеров муки. Для этого умножим количество часов работы в день на количество дней:

$16 \text{ ч/день} \times 8 \text{ дней} = 128 \text{ часов}$

2. Теперь найдём производительность мельницы, разделив общий объём произведённой муки на общее количество отработанных часов:

$640 \text{ ц} \div 128 \text{ ч} = 5 \text{ ц/ч}$

Таким образом, производительность мельницы составляет 5 центнеров муки в час.

3. Далее определим, сколько всего часов потребуется мельнице, чтобы намолоть 1020 центнеров муки, работая с той же производительностью:

$1020 \text{ ц} \div 5 \text{ ц/ч} = 204 \text{ часа}$

4. Наконец, чтобы узнать, сколько часов в день должна работать мельница, разделим общее необходимое время на указанное количество дней (12 дней):

$204 \text{ часа} \div 12 \text{ дней} = 17 \text{ часов/день}$

Ответ: 17 часов.

7 (Устно.) Ответ на вопросы:

1) Как изменится разность, если к уменьшаемому прибавить 1 000, а из вычитаемого вычесть 1 000?

2) Как изменится разность, если из уменьшаемого вычесть 1 000, а к вычитаемому прибавить 1 000?

3) Как изменится разность, если из уменьшаемого вычесть 1 000, а из вычитаемого вычесть 999?

1) Обозначим исходное выражение как $a - b = c$, где $a$ – уменьшаемое, $b$ – вычитаемое, а $c$ – разность. Если к уменьшаемому прибавить 1 000, оно станет $(a + 1000)$. Если из вычитаемого вычесть 1 000, оно станет $(b - 1000)$. Новая разность будет равна: $(a + 1000) - (b - 1000)$ Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки внутри нее меняются на противоположные: $a + 1000 - b + 1000 = (a - b) + (1000 + 1000)$ Поскольку $a - b$ – это исходная разность $c$, то новое выражение равно: $c + 2000$ Это означает, что разность увеличилась на 2 000. Ответ: разность увеличится на 2 000.

2) Исходное выражение: $a - b = c$. Если из уменьшаемого вычесть 1 000, оно станет $(a - 1000)$. Если к вычитаемому прибавить 1 000, оно станет $(b + 1000)$. Найдем новую разность: $(a - 1000) - (b + 1000)$ Раскроем скобки: $a - 1000 - b - 1000 = (a - b) - (1000 + 1000)$ Подставим вместо $(a - b)$ исходную разность $c$: $c - 2000$ Это означает, что разность уменьшилась на 2 000. Ответ: разность уменьшится на 2 000.

3) Исходное выражение: $a - b = c$. Если из уменьшаемого вычесть 1 000, оно станет $(a - 1000)$. Если из вычитаемого вычесть 999, оно станет $(b - 999)$. Новая разность будет равна: $(a - 1000) - (b - 999)$ Раскроем скобки: $a - 1000 - b + 999 = (a - b) - 1000 + 999$ Подставим вместо $(a - b)$ исходную разность $c$ и выполним вычисления: $c - 1$ Это означает, что разность уменьшилась на 1. Ответ: разность уменьшится на 1.

8 Масса самой крупной в мире китовой акулы составляет около 21 т. Вырази эту массу в центнерах.

Чтобы перевести массу из тонн в центнеры, нужно знать, как соотносятся эти единицы измерения. В одной тонне содержится 10 центнеров.

Соотношение: $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$.

Масса китовой акулы составляет 21 тонну. Для того чтобы выразить эту массу в центнерах, необходимо умножить количество тонн на 10.

$21 \text{ т} = 21 \times 10 \text{ ц} = 210 \text{ ц}$

Следовательно, масса китовой акулы составляет 210 центнеров.

Ответ: 210 ц.

9 В четырёх закрытых коробках лежит по одному шарику разных цветов: белый, синий, красный и зелёный. На первой коробке надпись «Белый», на второй — «Зелёный или белый», на третьей — «Красный или зелёный», а на четвёртой — «Синий, или зелёный, или красный». Ни одна надпись не соответствует действительности. Какого цвета шарик лежит в каждой коробке?

Для решения этой логической задачи воспользуемся ключевым условием: все надписи на коробках являются ложными. Это означает, что истинное содержимое каждой коробки противоречит тому, что на ней написано. Проанализируем каждую надпись по очереди.

• Коробка 1 с надписью «Белый». Так как надпись ложная, в этой коробке находится шарик любого цвета, кроме белого.
• Коробка 2 с надписью «Зелёный или белый». Ложность этого утверждения (дизъюнкции) означает, что в коробке шарик не зелёный и не белый.
• Коробка 3 с надписью «Красный или зелёный». Ложность этого утверждения означает, что в коробке шарик не красный и не зелёный.
• Коробка 4 с надписью «Синий, или зелёный, или красный». Ложность этого утверждения означает, что в коробке шарик не синий, и не зелёный, и не красный.

Теперь начнём определять содержимое коробок, используя метод исключения.

Определение содержимого четвёртой коробки

Начнём с четвёртой коробки, так как надпись на ней даёт больше всего ограничений. Мы знаем, что в ней лежит шарик НЕ синего, НЕ зелёного и НЕ красного цвета. Из четырёх возможных цветов (белый, синий, красный, зелёный) остаётся только один вариант.

Ответ: В четвёртой коробке лежит белый шарик.

Определение содержимого третьей коробки

Мы установили, что в третьей коробке шарик НЕ красный и НЕ зелёный. Также мы теперь знаем, что белый шарик уже находится в четвёртой коробке. Таким образом, для третьей коробки исключены красный, зелёный и белый цвета. Остаётся единственный возможный цвет.

Ответ: В третьей коробке лежит синий шарик.

Определение содержимого второй коробки

Про вторую коробку нам известно, что в ней шарик НЕ зелёный и НЕ белый. Кроме того, мы уже определили, что синий шарик находится в третьей коробке. Исключив для второй коробки зелёный, белый и синий цвета, остаётся только один вариант.

Ответ: Во второй коробке лежит красный шарик.

Определение содержимого первой коробки

К этому моменту мы распределили белый (в 4-й), синий (в 3-й) и красный (во 2-й) шарики. Осталась только первая коробка и единственный неиспользованный цвет — зелёный. Это не противоречит нашему первоначальному выводу о том, что в первой коробке не белый шарик.

Ответ: В первой коробке лежит зелёный шарик.

Итоговое распределение шариков по коробкам:

• В первой коробке — зелёный шарик.
• Во второй коробке — красный шарик.
• В третьей коробке — синий шарик.
• В четвёртой коробке — белый шарик.