Страница 27, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

2 Начерти в тетради квадрат KLMN, длина стороны которого равна 4 см. Проведи все диагонали в этом квадрате. Обозначь точку их пересечения буквой О. Рассмотри углы KOL, LOM, MON, NOK. Есть ли среди них прямые углы?

Закончи вывод:

Диагонали квадрата при пересечении образуют ... углы.

Есть ли среди них прямые углы?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить свойства квадрата. Одно из ключевых свойств квадрата заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны. В квадрате KLMN проведены диагонали KM и LN, которые пересекаются в точке O.

Поскольку диагонали перпендикулярны, они образуют при пересечении прямые углы. Прямой угол равен $90^\circ$. Следовательно, все четыре угла, образованные в точке их пересечения, являются прямыми:

$∠KOL = 90^\circ$

$∠LOM = 90^\circ$

$∠MON = 90^\circ$

$∠NOK = 90^\circ$

Ответ: Да, все углы KOL, LOM, MON, NOK являются прямыми.

Закончи вывод:

Основываясь на вышеизложенном свойстве, можно сделать общее заключение для любого квадрата. Так как диагонали квадрата всегда пересекаются под прямым углом, то пропущенное слово в предложении — «прямые».

Полный вывод выглядит так:

Диагонали квадрата при пересечении образуют прямые углы.

Ответ: Диагонали квадрата при пересечении образуют прямые углы.

3 Запиши выражения и выполни действия.

1) Сумму чисел 503 и 248 уменьшить на 364.

$(503 + 248) - 364$

2) Разность чисел 960 и 725 увеличить на 209.

$(960 - 725) + 209$

3) К разности чисел 1 000 и 727 прибавить сумму чисел 420 и 180.

$(1000 - 727) + (420 + 180)$

4) Из суммы чисел 350, 270 и 105 вычесть число 623.

$(350 + 270 + 105) - 623$

1) Чтобы найти значение выражения, сначала найдем сумму чисел 503 и 248, а затем из полученного результата вычтем 364.
Запишем выражение: $(503 + 248) - 364$.
Выполним действия по порядку:
1) $503 + 248 = 751$
2) $751 - 364 = 387$
Ответ: 387

2) Сначала найдем разность чисел 960 и 725, а затем к полученному результату прибавим 209.
Запишем выражение: $(960 - 725) + 209$.
Выполним действия по порядку:
1) $960 - 725 = 235$
2) $235 + 209 = 444$
Ответ: 444

3) Найдем разность чисел 1000 и 727, затем найдем сумму чисел 420 и 180, и в конце сложим полученные результаты.
Запишем выражение: $(1000 - 727) + (420 + 180)$.
Выполним действия по порядку:
1) $1000 - 727 = 273$
2) $420 + 180 = 600$
3) $273 + 600 = 873$
Ответ: 873

4) Сначала найдем сумму трех чисел: 350, 270 и 105. Затем из полученной суммы вычтем 623.
Запишем выражение: $(350 + 270 + 105) - 623$.
Выполним действия по порядку:
1) $350 + 270 = 620$
2) $620 + 105 = 725$
3) $725 - 623 = 102$
Ответ: 102

4 В одной спортивной школе 6 секций, по 15 спортсменов в каждой секции, а в другой 8 секций, по 12 спортсменов в каждой. В какой школе спортсменов больше и на сколько?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо сначала вычислить общее количество спортсменов в каждой из двух спортивных школ, а затем сравнить полученные результаты.

1. Найдем количество спортсменов в первой школе.

В первой школе 6 секций, в каждой из которых занимается по 15 спортсменов. Чтобы найти общее количество, нужно умножить количество секций на количество спортсменов в каждой секции:

$6 \times 15 = 90$ (спортсменов).

2. Найдем количество спортсменов во второй школе.

Во второй школе 8 секций, и в каждой занимается по 12 спортсменов. Аналогично, умножим количество секций на количество спортсменов в каждой:

$8 \times 12 = 96$ (спортсменов).

3. Сравним количество спортсменов в школах и найдем разницу.

В первой школе 90 спортсменов, а во второй — 96. Сравним эти два числа:

$96 > 90$

Это означает, что во второй школе спортсменов больше. Чтобы определить, на сколько больше, вычтем из большего числа меньшее:

$96 - 90 = 6$ (спортсменов).

Ответ: во второй школе на 6 спортсменов больше, чем в первой.

5 Вычисли значения выражений.

$138 \cdot 4 - 522 : 2 : 3$

$754 - (196 + 472) : 4$

$801 : 9 \cdot 7 + 635 : 5$

$912 - (702 - 576) : 9$

$138 \cdot 4 - 522 : 2 : 3$

При решении данного выражения необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции умножения и деления слева направо, а затем вычитание.
1. Первое действие – умножение: $138 \cdot 4 = 552$.
2. Второе действие – деление: $522 : 2 = 261$.
3. Третье действие – деление: $261 : 3 = 87$.
4. Четвертое действие – вычитание: $552 - 87 = 465$.
Ответ: 465

$754 - (196 + 472) : 4$

Согласно порядку выполнения действий, сначала вычисляем значение в скобках, затем выполняем деление, и в последнюю очередь – вычитание.
1. Первое действие в скобках: $196 + 472 = 668$.
2. Второе действие – деление: $668 : 4 = 167$.
3. Третье действие – вычитание: $754 - 167 = 587$.
Ответ: 587

$801 : 9 \cdot 7 + 635 : 5$

В этом выражении сначала выполняются операции деления и умножения в порядке их следования (слева направо), а затем сложение.
1. Первое действие – деление: $801 : 9 = 89$.
2. Второе действие – умножение: $89 \cdot 7 = 623$.
3. Третье действие – деление: $635 : 5 = 127$.
4. Четвертое действие – сложение: $623 + 127 = 750$.
Ответ: 750

$912 - (702 - 576) : 9$

Порядок действий предписывает сначала выполнить вычитание в скобках, затем деление, и после этого – вычитание из первого числа.
1. Первое действие в скобках: $702 - 576 = 126$.
2. Второе действие – деление: $126 : 9 = 14$.
3. Третье действие – вычитание: $912 - 14 = 898$.
Ответ: 898

6 Бригада рабочих из 15 человек за 6 ч изготовила 630 деталей. Все рабочие изготавливали в час деталей поровну. Сколько деталей в час изготовил каждый рабочий?

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить два действия. Сначала найдем, сколько деталей изготавливала вся бригада за один час, а затем, зная это, вычислим производительность каждого отдельного рабочего.

1. Сначала рассчитаем общую производительность всей бригады в час. Бригада из 15 человек изготовила 630 деталей за 6 часов. Чтобы найти, сколько деталей они изготавливали за 1 час, нужно общее количество деталей разделить на количество часов:

$630 \div 6 = 105$ (деталей в час)

Следовательно, производительность всей бригады составляет 105 деталей в час.

2. Теперь, зная, что 15 рабочих вместе изготавливают 105 деталей в час и что все они работают с одинаковой производительностью, найдем, сколько деталей в час изготавливал каждый рабочий. Для этого разделим общую производительность на количество рабочих:

$105 \div 15 = 7$ (деталей в час)

Таким образом, каждый рабочий изготавливал 7 деталей в час.

Ответ: 7 деталей.

7 Не выполняя вычислений, расположи суммы в порядке возрастания.

$273 + 524$

$273 + 504$

$203 + 524$

$373 + 524$

$373 + 504$

$173 + 524$

Чтобы расположить данные суммы в порядке возрастания, не вычисляя их точные значения, необходимо сравнивать их слагаемые. Основной принцип: если у двух сумм одно слагаемое одинаковое, то больше та сумма, у которой второе слагаемое больше. Если же оба слагаемых отличаются, мы можем преобразовать одну из сумм для удобства сравнения.

Сначала сравним суммы, имеющие одинаковые слагаемые.Среди сумм с одинаковым вторым слагаемым $524$ ($173 + 524$, $203 + 524$, $273 + 524$, $373 + 524$) порядок определяется первыми слагаемыми: так как $173 < 203 < 273 < 373$, то и суммы располагаются в том же порядке: $173 + 524 < 203 + 524 < 273 + 524 < 373 + 524$.Аналогично для сумм со вторым слагаемым $504$ ($273 + 504$ и $373 + 504$): так как $273 < 373$, то $273 + 504 < 373 + 504$.Также очевидно, что $273 + 504 < 273 + 524$ и $373 + 504 < 373 + 524$, поскольку $504 < 524$.

Теперь необходимо сравнить суммы с разными слагаемыми, чтобы объединить их в один ряд.Сравним $203 + 524$ и $273 + 504$. Представим $524$ как $504 + 20$. Тогда сумма $203 + 524$ превращается в $203 + (504 + 20) = (203 + 20) + 504 = 223 + 504$. Сравнивая $223 + 504$ с $273 + 504$, видим, что первая сумма меньше, так как $223 < 273$. Следовательно, $203 + 524 < 273 + 504$.Аналогично сравним $273 + 524$ и $373 + 504$. Преобразуем первую сумму: $273 + 524 = 273 + (504 + 20) = (273 + 20) + 504 = 293 + 504$. Сравнивая $293 + 504$ с $373 + 504$, заключаем, что первая сумма меньше, так как $293 < 373$. Следовательно, $273 + 524 < 373 + 504$.

Основываясь на этих сравнениях, выстраиваем итоговую последовательность. Самой маленькой будет сумма $173 + 524$. За ней следует $203 + 524$. Мы показали, что следующая по величине сумма — это $273 + 504$, так как $203 + 524 < 273 + 504$. Далее идет $273 + 524$, поскольку $273 + 504 < 273 + 524$. Затем следует $373 + 504$, так как мы доказали, что $273 + 524 < 373 + 504$. И, наконец, самая большая сумма — $373 + 524$, потому что $373 + 504 < 373 + 524$.

Ответ: $173 + 524$, $203 + 524$, $273 + 504$, $273 + 524$, $373 + 504$, $373 + 524$.

8Найди площадь листа фанеры прямоугольной формы, если его длина 1 м 5 см, а ширина на 97 см меньше.

Для решения этой задачи необходимо выполнить три действия: перевести все единицы измерения в сантиметры, найти ширину листа фанеры и затем вычислить его площадь.

1. Преобразование единиц измерения

Сначала переведем длину листа фанеры в сантиметры. Известно, что в одном метре 100 сантиметров.

Длина = 1 м 5 см.

$1 \text{ м } 5 \text{ см} = 1 \cdot 100 \text{ см} + 5 \text{ см} = 100 \text{ см} + 5 \text{ см} = 105 \text{ см}$.

Таким образом, длина листа фанеры составляет 105 см.

2. Нахождение ширины

В условии сказано, что ширина на 97 см меньше длины. Чтобы найти ширину, вычтем 97 см из длины:

$105 \text{ см} - 97 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Ширина листа фанеры равна 8 см.

3. Вычисление площади

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

Подставим наши значения:

$S = 105 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 840 \text{ см}^2$.

Ответ: 840 см².

9 У Серёжи было 2 яблока. Он дал Алёше и Диме по яблоку и попросил друзей поделиться с ним, отдав всего лишь по $1/2$ яблока. Кто получил самую большую долю?

Для того чтобы определить, кто получил самую большую долю, необходимо посчитать, сколько яблок оказалось у каждого из друзей в конце.

1. Изначально у Серёжи было 2 яблока. Он отдал по одному яблоку Алёше и Диме. После этого у Серёжи не осталось яблок, а у Алёши и Димы стало по одному яблоку.

• Серёжа: $2 - 1 - 1 = 0$ яблок
• Алёша: 1 яблоко
• Дима: 1 яблоко

2. Затем Алёша и Дима отдали Серёже по половинке яблока. Посчитаем, сколько яблок стало у каждого.

• У Алёши было 1 целое яблоко, он отдал половину, значит, у него осталось: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ яблока.
• У Димы было 1 целое яблоко, он также отдал половину, и у него осталось: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ яблока.
• Серёжа получил две половинки — одну от Алёши и одну от Димы. У него стало: $0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ целое яблоко.

3. Теперь сравним итоговое количество яблок у каждого:

• Серёжа: 1 яблоко
• Алёша: $\frac{1}{2}$ яблока
• Дима: $\frac{1}{2}$ яблока

Сравнивая полученные доли, видим, что $1 > \frac{1}{2}$. Следовательно, у Серёжи оказалось больше всего яблок.

Ответ: Самую большую долю получил Серёжа.

10 1) Начерти в тетради фигуру 1, как показано на рисунке. Раздели её по линиям клеток на 2 части так, чтобы из них можно было сложить фигуру 2. Начерти фигуру 2 и проведи в ней контуры полученных частей.

1

2

3

2) Начерти в тетради фигуру 2. Раздели её по линиям клеток на 3 части так, чтобы из них можно было сложить фигуру 3. Начерти фигуру 3 и проведи в ней контуры полученных частей.

Задача содержит неточности в условии: площади фигур, которые нужно получить друг из друга, не совпадают. Преобразование одной фигуры в другую путем разрезания и перестановки частей (без наложений и зазоров) возможно только в том случае, если их площади равны.

Подсчитаем площади фигур в клетках:

• Площадь фигуры 1: $S_1 = 4 \times 4 - 2 \times 2 = 12$ клеток.
• Площадь фигуры 2: $S_2 = 4 \times 5 - 5 = 15$ клеток.
• Площадь фигуры 3: $S_3 = 4 \times 4 = 16$ клеток.

Поскольку $S_1 \neq S_2$ и $S_2 \neq S_3$, решить задачу в её исходном виде невозможно. Вероятнее всего, в условии допущены ошибки в изображениях фигур. Ниже приведено решение для наиболее вероятных исправленных версий задачи.

Предположим, что в задаче имелась в виду фигура 2 с той же площадью, что и фигура 1, то есть 12 клеток. Наиболее близкая по форме и логике к изображенной — это квадрат $4 \times 4$ с квадратным отверстием $2 \times 2$ в центре. Его площадь также равна $16 - 4 = 12$ клеткам.

Решение для исправленной задачи:

1. Начертим фигуру 1 и разделим её на 2 части, как показано на рисунке ниже. Первая часть — это прямоугольник $2 \times 3$. Вторая часть — L-образный шестиклеточный полиомино.

2. Сложим из этих двух частей новую фигуру (исправленная фигура 2). Для этого L-образную часть поворачиваем на 90 градусов против часовой стрелки и приставляем к ней прямоугольник $2 \times 3$.

3. Начертим полученную фигуру 2 и проведем в ней контуры частей.

Ответ: Разрез и полученная фигура показаны на рисунках выше.

Здесь также наблюдается несоответствие площадей ($S_2 = 15$, $S_3 = 16$). Предположим, что обе фигуры должны были иметь площадь 16 клеток. Это значит, что фигура 2 в исходном условии была изображена с ошибкой, и на самом деле это была фигура, из которой можно сложить квадрат $4 \times 4$. Простейший вариант такой фигуры — это прямоугольник $2 \times 8$ или $1 \times 16$. Однако, более вероятным в контексте головоломки является то, что фигура 2 должна была быть похожа на изображенную, но иметь площадь 16. Например, это мог быть прямоугольник $4 \times 5$ с отверстием $2 \times 2$ (площадь $20-4=16$).

Решение для исправленной задачи (прямоугольник $4 \times 5$ с отверстием $2 \times 2$ $\rightarrow$ квадрат $4 \times 4$):

1. Начертим исправленную фигуру 2. Она представляет собой рамку $4 \times 4$ с пристроенным сверху прямоугольником $4 \times 1$. Разделим её на 3 части, как показано на рисунке: отрежем верхний прямоугольник $4 \times 1$ (часть А) и разрежем оставшуюся рамку пополам по вертикали на две одинаковые C-образные части (Б и В).

2. Сложим из этих трёх частей квадрат $4 \times 4$. Части Б и В ставим рядом — они образуют прямоугольник $4 \times 4$ с пустым пространством $4 \times 2$ в центре. В это пространство идеально входит часть А, если её разрезать пополам на два прямоугольника $2 \times 1$ и вставить их. Но по условию нужно 3 части.
Другой способ сборки: Повернем части Б и В и составим из них "ступени", а между ними вставим часть A, разрезанную на две части $2 \times 1$. Это тоже требует больше 3 частей.

Из-за неоднозначности исправления условия, приведем более простой вариант решения, где фигура 2 — это прямоугольник $2 \times 8$, а фигура 3 — квадрат $4 \times 4$.

1. Делим прямоугольник $2 \times 8$ на 3 части: два квадрата $2 \times 2$ по краям и прямоугольник $2 \times 4$ в центре.

2. Складываем квадрат $4 \times 4$. Прямоугольник $2 \times 4$ ставим в центр, а два квадрата $2 \times 2$ размещаем сверху и снизу от него.

Ответ: Поскольку условие второй части задачи неоднозначно, точный ответ дать сложно. При одном из возможных исправлений условия решение показано на рисунках выше.