Страница 24, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 Укажи порядок выполнения действий и вычисли значения выражений.

$637 + 180 - 549 + 20$

$96 : 4 \cdot 3 : 18 \cdot 5$

$850 - 196 + 304 - 470$

$12 \cdot 5 \cdot 7 : 14 : 6$

637 + 180 – 549 + 20

В этом выражении нет скобок, а все действия (сложение и вычитание) имеют одинаковый приоритет. Поэтому выполняем их по порядку, слева направо.

1. Первое действие: сложение $637 + 180$.
$637 + 180 = 817$

2. Второе действие: вычитание. Из результата первого действия вычитаем следующее число.
$817 - 549 = 268$

3. Третье действие: сложение. К результату второго действия прибавляем последнее число.
$268 + 20 = 288$

Ответ: 288

850 – 196 + 304 – 470

Действия выполняются по порядку, слева направо, так как они имеют одинаковый приоритет.

1. Первое действие: вычитание.
$850 - 196 = 654$

2. Второе действие: сложение.
$654 + 304 = 958$

3. Третье действие: вычитание.
$958 - 470 = 488$

Ответ: 488

96 : 4 · 3 : 18 · 5

В этом выражении нет скобок, а все действия (умножение и деление) имеют одинаковый приоритет. Поэтому выполняем их по порядку, слева направо.

1. Первое действие: деление.
$96 : 4 = 24$

2. Второе действие: умножение.
$24 \cdot 3 = 72$

3. Третье действие: деление.
$72 : 18 = 4$

4. Четвертое действие: умножение.
$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20

12 · 5 · 7 : 14 : 6

Действия выполняются по порядку, слева направо, так как они имеют одинаковый приоритет.

1. Первое действие: умножение.
$12 \cdot 5 = 60$

2. Второе действие: умножение.
$60 \cdot 7 = 420$

3. Третье действие: деление.
$420 : 14 = 30$

4. Четвертое действие: деление.
$30 : 6 = 5$

Ответ: 5

2 Один рабочий за 3 дня изготовил 207 деталей, во все дни поровну, а другой за это же время — на 24 детали меньше, во все дни поровну. Объясни, что означают выражения.

$207 : 3$

$207 - 24$

$(207 - 24) : 3$

$207 + (207 - 24)$

207 : 3
По условию, первый рабочий изготовил 207 деталей за 3 дня, причем во все дни поровну. Чтобы узнать, сколько деталей он изготавливал за один день (его производительность), нужно общее количество деталей разделить на количество дней.
Вычисление: $207 : 3 = 69$ (деталей).
Ответ: это выражение означает, сколько деталей изготавливал первый рабочий за один день.

207 – 24
Первый рабочий изготовил 207 деталей. Второй рабочий, по условию, изготовил за это же время на 24 детали меньше. Чтобы найти, сколько всего деталей изготовил второй рабочий за 3 дня, нужно из количества деталей, сделанных первым рабочим, вычесть 24.
Вычисление: $207 - 24 = 183$ (детали).
Ответ: это выражение означает, сколько всего деталей изготовил второй рабочий за 3 дня.

(207 – 24) : 3
Выражение в скобках, $207 - 24$, показывает общее количество деталей, которое изготовил второй рабочий за 3 дня. Так как он тоже работал с одинаковой производительностью, то, разделив это количество на 3, мы узнаем, сколько деталей он изготавливал за один день.
Вычисление: $(207 - 24) : 3 = 183 : 3 = 61$ (деталь).
Ответ: это выражение означает, сколько деталей изготавливал второй рабочий за один день.

207 + (207 – 24)
Данное выражение представляет собой сумму деталей, изготовленных первым рабочим (207), и деталей, изготовленных вторым рабочим ($207 - 24$). Таким образом, оно показывает, сколько всего деталей изготовили оба рабочих вместе за 3 дня.
Вычисление: $207 + (207 - 24) = 207 + 183 = 390$ (деталей).
Ответ: это выражение означает, сколько всего деталей изготовили оба рабочих вместе за 3 дня.

3 Шарф стоит 180 р., шапка в 2 раза дороже шарфа, а варежки в 6 раз дешевле шапки. Сколько стоят шарф, шапка и варежки вместе?

$153 + 25 = 276$

$58 \cdot 7 = 400$

$419 \cdot 2 = 829$

180 р.

?

в 2 раза дороже

?

в 6 раз дешевле

Для того чтобы найти общую стоимость, необходимо последовательно вычислить цену каждого предмета, а затем сложить полученные значения.

1. Найдем стоимость шапки.

В условии сказано, что шапка в 2 раза дороже шарфа, который стоит 180 рублей. Чтобы найти стоимость шапки, умножим цену шарфа на 2:

$180 \cdot 2 = 360$ (рублей)

2. Найдем стоимость варежек.

Варежки в 6 раз дешевле шапки. Мы уже знаем, что шапка стоит 360 рублей. Чтобы найти стоимость варежек, разделим цену шапки на 6:

$360 : 6 = 60$ (рублей)

3. Найдем общую стоимость шарфа, шапки и варежек.

Теперь сложим стоимость всех трех предметов: шарфа (180 р.), шапки (360 р.) и варежек (60 р.):

$180 + 360 + 60 = 540 + 60 = 600$ (рублей)

Ответ: 600 рублей.

4 Мотоциклист проехал до места назначения $380 \text{ км}$, сделав одну остановку. До остановки он был в пути $3 \text{ ч}$ и ехал со скоростью $70 \text{ км/ч}$, а остальной путь проехал за $2 \text{ ч}$. С какой скоростью ехал мотоциклист после остановки?

Скорость:

До остановки: $70 \text{ км/ч}$

После остановки: ?

Время:

До остановки: $3 \text{ ч}$

После остановки: $2 \text{ ч}$

Расстояние:

До остановки: ?

После остановки: ?

Всего: $380 \text{ км}$

Для решения задачи необходимо выполнить три действия:

1. Найти расстояние, которое мотоциклист проехал до остановки.
Для этого умножим скорость мотоциклиста на время, которое он был в пути до остановки. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.
$70 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 210 \text{ км}.$

2. Найти расстояние, которое мотоциклист проехал после остановки.
Для этого из общего расстояния вычтем расстояние, которое он проехал до остановки.
$380 \text{ км} - 210 \text{ км} = 170 \text{ км}.$

3. Найти скорость мотоциклиста после остановки.
Для этого разделим расстояние, пройденное после остановки, на время, затраченное на этот путь. Скорость вычисляется по формуле $v = S / t$.
$170 \text{ км} \div 2 \text{ ч} = 85 \text{ км/ч}.$

Ответ: скорость мотоциклиста после остановки составила 85 км/ч.

5 Прочитай дроби:

$\frac{2}{7}$, $\frac{3}{16}$, $\frac{8}{25}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{7}{15}$, $\frac{1}{100}$.

$\frac{2}{7}$ - эта дробь читается как "две седьмых". Числитель (число над чертой) — это количественное числительное женского рода "две", а знаменатель (число под чертой) — это порядковое числительное "седьмая" в родительном падеже множественного числа "седьмых".
Ответ: две седьмых.

$\frac{3}{16}$ - эта дробь читается как "три шестнадцатых". Числитель — "три", знаменатель — "шестнадцатых".
Ответ: три шестнадцатых.

$\frac{8}{25}$ - эта дробь читается как "восемь двадцать пятых". Числитель — "восемь", знаменатель — "двадцать пятых".
Ответ: восемь двадцать пятых.

$\frac{5}{9}$ - эта дробь читается как "пять девятых". Числитель — "пять", знаменатель — "девятых".
Ответ: пять девятых.

$\frac{7}{15}$ - эта дробь читается как "семь пятнадцатых". Числитель — "семь", знаменатель — "пятнадцатых".
Ответ: семь пятнадцатых.

$\frac{1}{100}$ - эта дробь читается как "одна сотая". Поскольку числитель равен единице, он читается как количественное числительное женского рода "одна", а знаменатель — как порядковое числительное в именительном падеже "сотая".
Ответ: одна сотая.

6 Какой дробью можно обозначить: 1) закрашенную часть каждого прямоугольника; 2) незакрашенную часть каждого прямоугольника?

Закрашенная часть: $ \frac{4}{12} $

Незакрашенная часть: $ \frac{8}{12} $

Закрашенная часть: $ \frac{6}{12} $

Незакрашенная часть: $ \frac{6}{12} $

Закрашенная часть: $ \frac{7}{9} $

Незакрашенная часть: $ \frac{2}{9} $

Закрашенная часть: $ \frac{8}{12} $

Незакрашенная часть: $ \frac{4}{12} $

Чтобы выразить часть целого в виде дроби, нужно определить общее количество равных долей, на которые разделено целое. Это число будет знаменателем дроби. Затем нужно посчитать, сколько таких долей составляют интересующую нас часть. Это число будет числителем дроби.

В данной задаче каждый прямоугольник разделен на 12 одинаковых квадратов (3 ряда по 4 квадрата). Следовательно, общее количество долей для каждого прямоугольника равно 12, и это будет знаменатель для всех дробей.

1) закрашенную часть каждого прямоугольника

Для каждого прямоугольника посчитаем количество закрашенных квадратов и запишем соответствующую дробь.

Прямоугольник 1: Закрашено 6 квадратов из 12. Дробь, обозначающая закрашенную часть, — $ \frac{6}{12} $. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6: $ \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2} $.

Прямоугольник 2: Закрашено 8 квадратов из 12. Дробь — $ \frac{8}{12} $. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $ \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3} $.

Прямоугольник 3: Закрашено 7 квадратов из 12. Дробь — $ \frac{7}{12} $. Эта дробь является несократимой, так как у чисел 7 и 12 нет общих делителей, кроме 1.

Прямоугольник 4: Закрашено 5 квадратов из 12. Дробь — $ \frac{5}{12} $. Эта дробь также несократимая.

Ответ: закрашенные части прямоугольников 1, 2, 3 и 4 можно обозначить дробями $ \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{3} $, $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{5}{12} $ соответственно.

2) незакрашенную часть каждого прямоугольника

Аналогично, для каждого прямоугольника посчитаем количество незакрашенных (белых) квадратов.

Прямоугольник 1: Не закрашено 6 квадратов из 12. Дробь — $ \frac{6}{12} $. После сокращения на 6 получаем $ \frac{1}{2} $.

Прямоугольник 2: Не закрашено 4 квадрата из 12. Дробь — $ \frac{4}{12} $. После сокращения на 4 получаем $ \frac{1}{3} $.

Прямоугольник 3: Не закрашено 5 квадратов из 12. Дробь — $ \frac{5}{12} $. Дробь несократимая.

Прямоугольник 4: Не закрашено 7 квадратов из 12. Дробь — $ \frac{7}{12} $. Дробь несократимая.

Ответ: незакрашенные части прямоугольников 1, 2, 3 и 4 можно обозначить дробями $ \frac{1}{2} $, $ \frac{1}{3} $, $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{7}{12} $ соответственно.

7 В тарном цехе было 3 ящика с гвоздями. В первом ящике было 14 кг 200 г гвоздей, во втором — на 5 кг 700 г меньше, чем в первом, а в третьем — на 9 кг 800 г меньше, чем в первом и во втором ящиках вместе. Сколько килограммов гвоздей во всех трёх ящиках?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий. Для удобства вычислений будем использовать граммы, помня, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

1. Найдем массу гвоздей во втором ящике

Масса гвоздей в первом ящике составляет $14 \text{ кг } 200 \text{ г}$, что равно $14200 \text{ г}$.

Во втором ящике было на $5 \text{ кг } 700 \text{ г}$ ($5700 \text{ г}$) меньше, чем в первом. Чтобы найти массу гвоздей во втором ящике, нужно вычесть эту разницу из массы первого ящика:

$14200 \text{ г} - 5700 \text{ г} = 8500 \text{ г}$.

Ответ: масса гвоздей во втором ящике — $8500 \text{ г}$ или $8 \text{ кг } 500 \text{ г}$.

2. Найдем общую массу гвоздей в первом и во втором ящиках вместе

Для этого сложим массу гвоздей из первого и второго ящиков:

$14200 \text{ г} + 8500 \text{ г} = 22700 \text{ г}$.

Ответ: общая масса гвоздей в первом и втором ящиках — $22700 \text{ г}$ или $22 \text{ кг } 700 \text{ г}$.

3. Найдем массу гвоздей в третьем ящике

В третьем ящике было на $9 \text{ кг } 800 \text{ г}$ ($9800 \text{ г}$) меньше, чем в первом и втором ящиках вместе. Вычтем эту разницу из их общей массы:

$22700 \text{ г} - 9800 \text{ г} = 12900 \text{ г}$.

Ответ: масса гвоздей в третьем ящике — $12900 \text{ г}$ или $12 \text{ кг } 900 \text{ г}$.

4. Найдем, сколько килограммов гвоздей во всех трёх ящиках

Чтобы найти общую массу, сложим массу гвоздей во всех трех ящиках. Можно к общей массе первых двух ящиков прибавить массу третьего:

$22700 \text{ г} + 12900 \text{ г} = 35600 \text{ г}$.

Теперь переведем итоговый результат обратно в килограммы и граммы:

$35600 \text{ г} = 35 \text{ кг } 600 \text{ г}$.

Ответ: во всех трёх ящиках было 35 кг 600 г гвоздей.

8 Сравни.

$20\,030 \text{ м}$ ○ $2 \text{ км } 30 \text{ м}$

$20\,300 \text{ см}$ ○ $23 \text{ м}$

$203\,000 \text{ м}$ ○ $230 \text{ км}$

$200\,300 \text{ дм}$ ○ $2\,030 \text{ м}$

20 030 м ◯ 2 км 30 м
Для того чтобы сравнить эти две величины, необходимо привести их к одинаковой единице измерения. Удобнее всего перевести километры в метры.
В одном километре содержится 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Следовательно, 2 километра равны $2 \times 1000 \text{ м} = 2000 \text{ м}$.
Теперь прибавим оставшиеся 30 метров: $2 \text{ км} 30 \text{ м} = 2000 \text{ м} + 30 \text{ м} = 2030 \text{ м}$.
Теперь мы можем сравнить две величины в метрах: $20 030 \text{ м}$ и $2030 \text{ м}$.
Очевидно, что $20 030 > 2030$.
Таким образом, $20 030 \text{ м} > 2 \text{ км} 30 \text{ м}$.
Ответ: $20 030 \text{ м} > 2 \text{ км} 30 \text{ м}$.

20 300 см ◯ 23 м
Приведем обе величины к сантиметрам для сравнения.
В одном метре содержится 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Переведем 23 метра в сантиметры: $23 \text{ м} = 23 \times 100 \text{ см} = 2300 \text{ см}$.
Теперь сравним $20 300 \text{ см}$ и $2300 \text{ см}$.
Так как $20 300 > 2300$, то и $20 300 \text{ см} > 23 \text{ м}$.
Ответ: $20 300 \text{ см} > 23 \text{ м}$.

203 000 м ◯ 230 км
Для сравнения переведем километры в метры.
Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Переведем 230 километров в метры: $230 \text{ км} = 230 \times 1000 \text{ м} = 230 000 \text{ м}$.
Теперь сравним $203 000 \text{ м}$ и $230 000 \text{ м}$.
Поскольку $203 000 < 230 000$, то $203 000 \text{ м} < 230 \text{ км}$.
Ответ: $203 000 \text{ м} < 230 \text{ км}$.

200 300 дм ◯ 2 030 м
Приведем обе величины к дециметрам для выполнения сравнения.
В одном метре содержится 10 дециметров: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Переведем 2 030 метров в дециметры: $2 030 \text{ м} = 2 030 \times 10 \text{ дм} = 20 300 \text{ дм}$.
Теперь сравним $200 300 \text{ дм}$ и $20 300 \text{ дм}$.
Так как $200 300 > 20 300$, то $200 300 \text{ дм} > 2 030 \text{ м}$.
Ответ: $200 300 \text{ дм} > 2 030 \text{ м}$.

9 Расшифруй ребус. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.)

$ДРАМА + ДРАМА = ТЕАТР$

Данный ребус можно представить в виде математического выражения: ДРАМА + ДРАМА = ТЕАТР, или $2 \cdot ДРАМА = ТЕАТР$. Запишем его в виде сложения в столбик:

 Д Р А М А+ Д Р А М А----------- Т Е А Т Р

В ребусе каждая буква соответствует уникальной цифре от 0 до 9. Буквы Д и Т, как первые цифры чисел, не могут быть равны нулю. Для решения будем анализировать сложение по разрядам, двигаясь справа налево.

1. Анализ разряда сотен
В разряде сотен происходит сложение $А + А + c_2 = А + 10 \cdot c_3$, где $c_2$ — это перенос из разряда десятков, а $c_3$ — перенос в разряд тысяч. Упростив уравнение, получаем $А + c_2 = 10 \cdot c_3$. Поскольку А — это цифра (А ≠ 0, иначе Р=0, что противоречит условию о разных буквах), а $c_2$ — это перенос (0 или 1), то сумма $А + c_2$ может быть максимальной $9 + 1 = 10$. Так как $А+c_2 > 0$, то $c_3$ не может быть равно 0, следовательно $c_3 = 1$. Тогда $А + c_2 = 10$. Так как А — это цифра, то $c_2$ не может быть 0 (иначе А=10). Значит, $c_2 = 1$, и отсюда мы находим, что А = 9. Мы также установили, что из разряда десятков в сотни был перенос 1 ($c_2=1$), и из разряда сотен в тысячи также был перенос 1 ($c_3=1$).

2. Анализ разрядов единиц и тысяч
Теперь, зная значение А, проанализируем разряд единиц: $А + А = Р + 10 \cdot c_1$. Подставляем А = 9: $9 + 9 = 18$. Из этого следует, что Р = 8, а перенос в разряд десятков $c_1 = 1$. Далее смотрим на разряд тысяч: $Р + Р + c_3 = Е + 10 \cdot c_4$. Подставляем Р = 8 и $c_3 = 1$: $8 + 8 + 1 = 17$. Отсюда получаем, что Е = 7, а перенос в разряд десятков тысяч $c_4 = 1$.

3. Анализ старших разрядов и нахождение оставшихся цифр
На данный момент нам известны: А=9, Р=8, Е=7. Рассмотрим разряд десятков тысяч: $Д + Д + c_4 = Т$. Так как число ТЕАТР пятизначное, переноса в новый разряд нет. Подставляем $c_4=1$: $2 \cdot Д + 1 = Т$. Теперь разряд десятков: $М + М + c_1 = Т + 10 \cdot c_2$. Подставляем $c_1=1$ и $c_2=1$: $2 \cdot М + 1 = Т + 10$. Мы получили систему уравнений: $\begin{cases} 2Д + 1 = Т \\ 2М + 1 = Т + 10 \end{cases}$ Подставим выражение для Т из первого уравнения во второе: $2М + 1 = (2Д + 1) + 10$. Упрощая, получаем $2М = 2Д + 10$, или $М = Д + 5$.

Теперь найдем оставшиеся цифры Д, М, Т. Уже использованы цифры {9, 8, 7}. Свободными остались {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Будем перебирать возможные значения для Д:

• Если Д = 1 (1 - свободная цифра), то $М = 1 + 5 = 6$ (6 - свободная цифра). Тогда $Т = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ (3 - свободная цифра). Все найденные цифры (Д=1, М=6, Т=3) различны и не совпадают с уже использованными. Этот вариант является решением.
• Если Д = 2, то $М = 2 + 5 = 7$. Но цифра 7 уже занята (Е=7). Не подходит.
• Если Д = 3, то $М = 3 + 5 = 8$. Но цифра 8 уже занята (Р=8). Не подходит.
• Если Д = 4, то $М = 4 + 5 = 9$. Но цифра 9 уже занята (А=9). Не подходит.

Большие значения для Д рассматривать нет смысла, так как М станет двузначным числом.

Таким образом, мы нашли единственное решение: Д = 1, М = 6, Т = 3.

Проверка
Соберем все найденные значения: Д=1, Р=8, А=9, М=6, А=9 → 18969. Т=3, Е=7, А=9, Т=3, Р=8 → 37938. Проверим сложение: $18969 + 18969 = 37938$. Решение верно.

Ответ: Решение ребуса: $18969 + 18969 = 37938$. Соответствие букв и цифр: Д=1, Р=8, А=9, М=6, Т=3, Е=7.