Страница 18, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

8 Огород заняли под свёклу, морковь, лук и картофель. На диаграмме показаны площади всех посадок в огороде.

$(M^2)$

С помощью этой диаграммы узнай площадь участка, отведённого под каждую культуру, и площадь всего огорода.

Площадь участка, отведённого под каждую культуру

Чтобы определить площадь, выделенную под каждую культуру, нужно посмотреть на высоту соответствующего столбца на диаграмме и соотнести её со значениями на вертикальной оси (Площадь, м²).

- Свёкла (С): Верхняя граница столбца находится на уровне отметки 20. Значит, под свёклу отведено 20 м².

- Морковь (М): Верхняя граница столбца находится посередине между отметками 30 и 40. Значит, под морковь отведено 35 м².

- Лук (Л): Верхняя граница столбца находится посередине между отметками 10 и 20. Значит, под лук отведено 15 м².

- Картофель (К): Верхняя граница столбца находится на уровне отметки 110. Значит, под картофель отведено 110 м².

Ответ: площадь под свёклу — 20 м², под морковь — 35 м², под лук — 15 м², под картофель — 110 м².

Площадь всего огорода

Для нахождения общей площади всего огорода необходимо сложить площади участков, отведённых под каждую культуру.

$S_{общая} = S_{свёкла} + S_{морковь} + S_{лук} + S_{картофель}$

$S_{общая} = 20 + 35 + 15 + 110 = 180 \text{ м²}$

Ответ: 180 м².

9 Сколько всего существует трёхзначных чисел, сумма цифр в записи которых равна:

2 ?

3 ?

4 ?

Составь и запиши эти числа.

Для решения задачи будем искать все комбинации трёх цифр $a, b, c$, которые удовлетворяют условиям. Трёхзначное число имеет вид $\overline{abc}$, где $a$ – цифра сотен, $b$ – цифра десятков, $c$ – цифра единиц. Важным условием является то, что первая цифра $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, в то время как $b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$.

2?

Найдём все трёхзначные числа, сумма цифр которых равна 2. Это значит, что $a + b + c = 2$. Поскольку первая цифра $a$ не может быть нулём ($a \ge 1$), разберём возможные варианты:

1. Если первая цифра $a = 2$, то на сумму оставшихся двух цифр $b$ и $c$ остаётся $2 - 2 = 0$. Единственный способ получить 0 – это $b = 0$ и $c = 0$. Так мы получаем число 200.

2. Если первая цифра $a = 1$, то на сумму оставшихся двух цифр остаётся $2 - 1 = 1$. Эту сумму можно получить двумя способами: $b = 1, c = 0$ или $b = 0, c = 1$. Так мы получаем числа 110 и 101.

Других вариантов нет. Всего получается 3 числа.
Запишем эти числа в порядке возрастания: 101, 110, 200.
Ответ: существует 3 числа; это числа 101, 110, 200.

3?

Найдём все трёхзначные числа, сумма цифр которых равна 3, то есть $a + b + c = 3$. Для этого переберём все возможные наборы из трёх цифр, дающие в сумме 3 (порядок пока не важен):

- Набор цифр {3, 0, 0}. Из этих цифр можно составить только одно трёхзначное число, так как 0 не может стоять на первом месте: 300.

- Набор цифр {2, 1, 0}. Из этих цифр можно составить числа, начинающиеся на 2 (210, 201) и на 1 (120, 102). Всего 4 числа.

- Набор цифр {1, 1, 1}. Из этих цифр можно составить только одно число: 111.

Всего получается $1 + 4 + 1 = 6$ чисел.
Запишем эти числа в порядке возрастания: 102, 111, 120, 201, 210, 300.
Ответ: существует 6 чисел; это числа 102, 111, 120, 201, 210, 300.

4?

Найдём все трёхзначные числа, сумма цифр которых равна 4, то есть $a + b + c = 4$. Переберём все возможные наборы из трёх цифр, дающие в сумме 4:

- Набор цифр {4, 0, 0}. Можно составить одно число: 400.

- Набор цифр {3, 1, 0}. Можно составить числа: 310, 301, 130, 103. Всего 4 числа.

- Набор цифр {2, 2, 0}. Можно составить числа: 220, 202. Всего 2 числа.

- Набор цифр {2, 1, 1}. Можно составить числа: 211, 121, 112. Всего 3 числа.

Всего получается $1 + 4 + 2 + 3 = 10$ чисел.
Запишем эти числа в порядке возрастания: 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310, 400.
Ответ: существует 10 чисел; это числа 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310, 400.

1 Рассмотри, как вычислено частное 612 : 3. Объясни, как сделать проверку.

1 Делим сотни:

6 сот. : 3 = 2 сот.

Проверяем: $2 \cdot 3 = 6$. Остатка нет.

В частном на месте сотен пишем 2.

2 Делим десятки:

1 дес. на 3.

В частном будет 0 дес.

Проверяем, сколько десятков мы разделили: $0 \cdot 3 = 0$. Вычитаем: $1 - 0 = 1$. Осталось раз- делить 1 дес., или 10 ед.

В частном на месте десятков пишем 0.

3 Делим единицы:

12 ед. : 3 = 4 ед.

Проверяем: $4 \cdot 3 = 12$. Остатка нет.

В частном на месте единиц пишем 4.

Ответ. 204.

$ \begin{array}{r|l} \text{-}612 & 3 \\ \cline{2-2} \underline{\phantom{0}6\phantom{12}} & 204 \\ \text{-}\phantom{0}12 \\ \underline{\phantom{0}0\phantom{2}} \\ \text{-}\phantom{0}12 \\ \underline{\phantom{0}12} \\ \phantom{0}0 \end{array} $

Проверка

$ \begin{array}{r} 204 \\ \times \phantom{0}3 \\ \underline{\phantom{0}612} \end{array} $

Как вычислено частное 612 : 3

Вычисление выполнено методом деления в столбик, поразрядно, начиная со старшего разряда (сотен).

1. Делим сотни. Сначала делим сотни: $6$ сотен разделить на $3$ будет $2$ сотни. В частное на место сотен записываем $2$. Проверяем, сколько сотен разделили: $2 \cdot 3 = 6$. Вычитаем $6$ из $6$ и получаем $0$. Остатка нет.

2. Делим десятки. Сносим следующую цифру делимого — $1$ десяток. $1$ десяток нужно разделить на $3$. Так как $1$ меньше $3$, в частном на месте десятков пишем $0$. Проверяем: $0 \cdot 3 = 0$. Вычитаем $0$ из $1$, получаем остаток $1$ десяток.

3. Делим единицы. К остатку в $1$ десяток ($10$ единиц) сносим следующую цифру делимого — $2$ единицы. Получаем число $12$. Делим $12$ на $3$, получаем $4$. Записываем $4$ в частное на место единиц. Проверяем: $4 \cdot 3 = 12$. Вычитаем $12$ из $12$, получаем $0$. Деление окончено.

В результате деления $612$ на $3$ получилось частное $204$.

Ответ: $204$.

Как сделать проверку

Чтобы проверить, правильно ли выполнено деление, нужно выполнить обратное действие — умножение. Для этого необходимо частное умножить на делитель. Если в результате умножения получается число, равное делимому, значит, деление выполнено верно.

В данном примере:
Частное: $204$
Делитель: $3$
Делимое: $612$

Выполняем проверку умножением:
$204 \cdot 3 = 612$

Результат умножения ($612$) совпал с делимым ($612$), следовательно, вычисление верное.

Ответ: Для проверки нужно частное ($204$) умножить на делитель ($3$). Поскольку $204 \cdot 3 = 612$, что равно исходному делимому, деление выполнено верно.

7. Сравни.

$3 \text{ км } 800 \text{ м } \bigcirc 3080 \text{ м}$

$10 \text{ т } 40 \text{ кг } \bigcirc 1040 \text{ кг}$

$6 \text{ дм } 18 \text{ мм } \bigcirc 618 \text{ мм}$

$9 \text{ ч } 35 \text{ мин } \bigcirc 395 \text{ мин}$

$5 \text{ ц } 20 \text{ кг } \bigcirc 5200 \text{ кг}$

$7 \text{ мин } 4 \text{ с } \bigcirc 460 \text{ с}$

3 км 800 м ◯ 3 080 м

Чтобы сравнить эти два значения, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем километры в метры. В одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).

1. Вычислим, сколько метров в 3 километрах:

$3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$

2. Прибавим оставшиеся 800 метров:

$3000 \text{ м} + 800 \text{ м} = 3800 \text{ м}$

3. Теперь сравним полученное значение с 3 080 м:

$3800 \text{ м} > 3080 \text{ м}$

Следовательно, 3 км 800 м больше, чем 3 080 м.

Ответ: $3 \text{ км} \ 800 \text{ м} > 3 \ 080 \text{ м}$

10 т 40 кг ◯ 1 040 кг

Для сравнения переведем тонны в килограммы. В одной тонне содержится 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).

1. Вычислим, сколько килограммов в 10 тоннах:

$10 \text{ т} = 10 \times 1000 \text{ кг} = 10 \ 000 \text{ кг}$

2. Прибавим оставшиеся 40 килограммов:

$10 \ 000 \text{ кг} + 40 \text{ кг} = 10 \ 040 \text{ кг}$

3. Сравним полученное значение с 1 040 кг:

$10 \ 040 \text{ кг} > 1 \ 040 \text{ кг}$

Следовательно, 10 т 40 кг больше, чем 1 040 кг.

Ответ: $10 \text{ т} \ 40 \text{ кг} > 1 \ 040 \text{ кг}$

6 дм 18 мм ◯ 618 мм

Чтобы сравнить значения, переведем дециметры в миллиметры. В одном дециметре содержится 100 миллиметров ($1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$).

1. Вычислим, сколько миллиметров в 6 дециметрах:

$6 \text{ дм} = 6 \times 100 \text{ мм} = 600 \text{ мм}$

2. Прибавим оставшиеся 18 миллиметров:

$600 \text{ мм} + 18 \text{ мм} = 618 \text{ мм}$

3. Сравним полученное значение с 618 мм:

$618 \text{ мм} = 618 \text{ мм}$

Следовательно, значения равны.

Ответ: $6 \text{ дм} \ 18 \text{ мм} = 618 \text{ мм}$

9 ч 35 мин ◯ 395 мин

Для сравнения переведем часы в минуты. В одном часе содержится 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$).

1. Вычислим, сколько минут в 9 часах:

$9 \text{ ч} = 9 \times 60 \text{ мин} = 540 \text{ мин}$

2. Прибавим оставшиеся 35 минут:

$540 \text{ мин} + 35 \text{ мин} = 575 \text{ мин}$

3. Сравним полученное значение с 395 мин:

$575 \text{ мин} > 395 \text{ мин}$

Следовательно, 9 ч 35 мин больше, чем 395 мин.

Ответ: $9 \text{ ч} \ 35 \text{ мин} > 395 \text{ мин}$

5 ц 20 кг ◯ 5 200 кг

Чтобы сравнить эти значения, переведем центнеры в килограммы. В одном центнере содержится 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).

1. Вычислим, сколько килограммов в 5 центнерах:

$5 \text{ ц} = 5 \times 100 \text{ кг} = 500 \text{ кг}$

2. Прибавим оставшиеся 20 килограммов:

$500 \text{ кг} + 20 \text{ кг} = 520 \text{ кг}$

3. Сравним полученное значение с 5 200 кг:

$520 \text{ кг} < 5 \ 200 \text{ кг}$

Следовательно, 5 ц 20 кг меньше, чем 5 200 кг.

Ответ: $5 \text{ ц} \ 20 \text{ кг} < 5 \ 200 \text{ кг}$

7 мин 4 с ◯ 460 с

Для сравнения переведем минуты в секунды. В одной минуте содержится 60 секунд ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$).

1. Вычислим, сколько секунд в 7 минутах:

$7 \text{ мин} = 7 \times 60 \text{ с} = 420 \text{ с}$

2. Прибавим оставшиеся 4 секунды:

$420 \text{ с} + 4 \text{ с} = 424 \text{ с}$

3. Сравним полученное значение с 460 с:

$424 \text{ с} < 460 \text{ с}$

Следовательно, 7 мин 4 с меньше, чем 460 с.

Ответ: $7 \text{ мин} \ 4 \text{ с} < 460 \text{ с}$

8 Выполни действия.

$504 : 6$ $312 \cdot 3$ $816 : 4 \cdot 3$ $(1215 - 987) : 19$

$828 : 9$ $107 \cdot 7$ $735 : 5 \cdot 4$ $(2001 - 1805) : 28$

504 : 6
Чтобы разделить 504 на 6, выполним деление в столбик.
1. Делим 50 на 6. Ближайшее произведение, не превышающее 50, это $6 \cdot 8 = 48$. Записываем 8 в частное. Остаток $50 - 48 = 2$.
2. Сносим следующую цифру 4. Получаем число 24.
3. Делим 24 на 6. $24 : 6 = 4$. Записываем 4 в частное.
Результат: $504 : 6 = 84$.
Ответ: 84.

312 · 3
Чтобы умножить 312 на 3, умножим каждую цифру числа 312 на 3 справа налево.
1. Единицы: $2 \cdot 3 = 6$.
2. Десятки: $1 \cdot 3 = 3$.
3. Сотни: $3 \cdot 3 = 9$.
Результат: $312 \cdot 3 = 936$.
Ответ: 936.

816 : 4 · 3
Выполняем действия по порядку слева направо.
1. Первое действие – деление: $816 : 4$. Делим 8 на 4, получаем 2. Делим 1 на 4, получаем 0 и 1 в остатке. Сносим 6, получаем 16. Делим 16 на 4, получаем 4. Итог: $816 : 4 = 204$.
2. Второе действие – умножение: $204 \cdot 3$. Умножаем: $4 \cdot 3 = 12$ (2 пишем, 1 в уме), $0 \cdot 3 + 1 = 1$, $2 \cdot 3 = 6$. Итог: $204 \cdot 3 = 612$.
Результат: $816 : 4 \cdot 3 = 612$.
Ответ: 612.

(1 215 – 987) : 19
Сначала выполняем действие в скобках, затем деление.
1. Первое действие – вычитание: $1215 - 987 = 228$.
2. Второе действие – деление: $228 : 19$. Делим 22 на 19, получаем 1 и 3 в остатке. Сносим 8, получаем 38. Делим 38 на 19, получаем 2. Итог: $228 : 19 = 12$.
Результат: $(1215 - 987) : 19 = 12$.
Ответ: 12.

828 : 9
Чтобы разделить 828 на 9, выполним деление в столбик.
1. Делим 82 на 9. Ближайшее произведение, не превышающее 82, это $9 \cdot 9 = 81$. Записываем 9 в частное. Остаток $82 - 81 = 1$.
2. Сносим следующую цифру 8. Получаем число 18.
3. Делим 18 на 9. $18 : 9 = 2$. Записываем 2 в частное.
Результат: $828 : 9 = 92$.
Ответ: 92.

107 · 7
Чтобы умножить 107 на 7, умножим каждую цифру числа 107 на 7 справа налево.
1. Единицы: $7 \cdot 7 = 49$. 9 пишем, 4 запоминаем.
2. Десятки: $0 \cdot 7 = 0$. Прибавляем 4, которые запомнили: $0 + 4 = 4$.
3. Сотни: $1 \cdot 7 = 7$.
Результат: $107 \cdot 7 = 749$.
Ответ: 749.

735 : 5 · 4
Выполняем действия по порядку слева направо.
1. Первое действие – деление: $735 : 5$. Делим 7 на 5, получаем 1 и 2 в остатке. Сносим 3, получаем 23. Делим 23 на 5, получаем 4 и 3 в остатке. Сносим 5, получаем 35. Делим 35 на 5, получаем 7. Итог: $735 : 5 = 147$.
2. Второе действие – умножение: $147 \cdot 4$. Умножаем: $7 \cdot 4 = 28$ (8 пишем, 2 в уме), $4 \cdot 4 + 2 = 18$ (8 пишем, 1 в уме), $1 \cdot 4 + 1 = 5$. Итог: $147 \cdot 4 = 588$.
Результат: $735 : 5 \cdot 4 = 588$.
Ответ: 588.

(2 001 – 1 805) : 28
Сначала выполняем действие в скобках, затем деление.
1. Первое действие – вычитание: $2001 - 1805 = 196$.
2. Второе действие – деление: $196 : 28$. Можно подобрать множитель. $28 \cdot 7 = 196$. Итог: $196 : 28 = 7$.
Результат: $(2001 - 1805) : 28 = 7$.
Ответ: 7.

9 Мотоциклист проехал 188 км. Сколько времени затратил он на этот путь, если его скорость была равна 47 км/ч?

Чтобы найти время, которое мотоциклист затратил на путь, необходимо разделить пройденное расстояние на его скорость. Для этого используется формула: $t = \frac{S}{v}$, где $t$ – время, $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

В данной задаче известны следующие величины:
Расстояние (S) = 188 км.
Скорость (v) = 47 км/ч.

Подставим эти значения в формулу:

$t = \frac{188}{47}$

Выполним деление:

$t = 4$ (часа)

Следовательно, мотоциклист затратил на этот путь 4 часа.

Ответ: 4 часа.

10 Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см так, чтобы обрезков не осталось. Как это можно сделать? Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество частей проволоки длиной 15 см, а $y$ — количество частей длиной 12 см. Поскольку проволоку длиной 102 см нужно разрезать без остатка, то суммарная длина всех частей должна быть равна 102 см. Это можно выразить уравнением:

$15x + 12y = 102$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами.

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на их наибольший общий делитель. Для чисел 15 и 12 это 3. Проверим, делится ли 102 на 3: $1+0+2=3$, сумма цифр делится на 3, значит и число 102 делится на 3. $102 \div 3 = 34$.

Разделив уравнение на 3, получаем:

$5x + 4y = 34$

Теперь найдем все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, удовлетворяющие этому уравнению. Выразим $x$ через $y$:

$5x = 34 - 4y \implies x = \frac{34 - 4y}{5}$

Так как $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$), то и $34 - 4y \ge 0$. Отсюда следует, что $4y \le 34$, а значит $y \le 8.5$. Следовательно, $y$ может принимать целые значения от 0 до 8.

Кроме того, чтобы $x$ был целым числом, выражение $(34 - 4y)$ должно делиться на 5 без остатка. Проверим все возможные значения $y$ от 0 до 8:

• Если $y = 0$, то $34 - 4(0) = 34$, не делится на 5.
• Если $y = 1$, то $34 - 4(1) = 30$. $30$ делится на 5, тогда $x = \frac{30}{5} = 6$. Найдено первое решение: $(x, y) = (6, 1)$.
• Если $y = 2$, то $34 - 4(2) = 26$, не делится на 5.
• Если $y = 3$, то $34 - 4(3) = 22$, не делится на 5.
• Если $y = 4$, то $34 - 4(4) = 18$, не делится на 5.
• Если $y = 5$, то $34 - 4(5) = 14$, не делится на 5.
• Если $y = 6$, то $34 - 4(6) = 10$. $10$ делится на 5, тогда $x = \frac{10}{5} = 2$. Найдено второе решение: $(x, y) = (2, 6)$.
• Если $y = 7$, то $34 - 4(7) = 6$, не делится на 5.
• Если $y = 8$, то $34 - 4(8) = 2$, не делится на 5.

Мы нашли все возможные пары неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию.

На основе найденных решений, проволоку можно разрезать двумя способами:

1. Разрезать на 6 частей длиной 15 см и 1 часть длиной 12 см.
   Проверка: $6 \cdot 15 \text{ см} + 1 \cdot 12 \text{ см} = 90 \text{ см} + 12 \text{ см} = 102 \text{ см}$.
2. Разрезать на 2 части длиной 15 см и 6 частей длиной 12 см.
   Проверка: $2 \cdot 15 \text{ см} + 6 \cdot 12 \text{ см} = 30 \text{ см} + 72 \text{ см} = 102 \text{ см}$.

Ответ: Проволоку можно разрезать, взяв либо 6 кусков по 15 см и 1 кусок по 12 см, либо 2 куска по 15 см и 6 кусков по 12 см.

В ходе решения было установлено, что существуют только две пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $15x + 12y = 102$. Каждая такая пара соответствует одному способу разрезания проволоки. Следовательно, у задачи есть два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.