Номер 10, страница 18, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

10 Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см так, чтобы обрезков не осталось. Как это можно сделать? Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество частей проволоки длиной 15 см, а $y$ — количество частей длиной 12 см. Поскольку проволоку длиной 102 см нужно разрезать без остатка, то суммарная длина всех частей должна быть равна 102 см. Это можно выразить уравнением:

$15x + 12y = 102$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами.

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на их наибольший общий делитель. Для чисел 15 и 12 это 3. Проверим, делится ли 102 на 3: $1+0+2=3$, сумма цифр делится на 3, значит и число 102 делится на 3. $102 \div 3 = 34$.

Разделив уравнение на 3, получаем:

$5x + 4y = 34$

Теперь найдем все пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, удовлетворяющие этому уравнению. Выразим $x$ через $y$:

$5x = 34 - 4y \implies x = \frac{34 - 4y}{5}$

Так как $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$), то и $34 - 4y \ge 0$. Отсюда следует, что $4y \le 34$, а значит $y \le 8.5$. Следовательно, $y$ может принимать целые значения от 0 до 8.

Кроме того, чтобы $x$ был целым числом, выражение $(34 - 4y)$ должно делиться на 5 без остатка. Проверим все возможные значения $y$ от 0 до 8:

• Если $y = 0$, то $34 - 4(0) = 34$, не делится на 5.
• Если $y = 1$, то $34 - 4(1) = 30$. $30$ делится на 5, тогда $x = \frac{30}{5} = 6$. Найдено первое решение: $(x, y) = (6, 1)$.
• Если $y = 2$, то $34 - 4(2) = 26$, не делится на 5.
• Если $y = 3$, то $34 - 4(3) = 22$, не делится на 5.
• Если $y = 4$, то $34 - 4(4) = 18$, не делится на 5.
• Если $y = 5$, то $34 - 4(5) = 14$, не делится на 5.
• Если $y = 6$, то $34 - 4(6) = 10$. $10$ делится на 5, тогда $x = \frac{10}{5} = 2$. Найдено второе решение: $(x, y) = (2, 6)$.
• Если $y = 7$, то $34 - 4(7) = 6$, не делится на 5.
• Если $y = 8$, то $34 - 4(8) = 2$, не делится на 5.

Мы нашли все возможные пары неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию.

На основе найденных решений, проволоку можно разрезать двумя способами:

1. Разрезать на 6 частей длиной 15 см и 1 часть длиной 12 см.
   Проверка: $6 \cdot 15 \text{ см} + 1 \cdot 12 \text{ см} = 90 \text{ см} + 12 \text{ см} = 102 \text{ см}$.
2. Разрезать на 2 части длиной 15 см и 6 частей длиной 12 см.
   Проверка: $2 \cdot 15 \text{ см} + 6 \cdot 12 \text{ см} = 30 \text{ см} + 72 \text{ см} = 102 \text{ см}$.

Ответ: Проволоку можно разрезать, взяв либо 6 кусков по 15 см и 1 кусок по 12 см, либо 2 куска по 15 см и 6 кусков по 12 см.

В ходе решения было установлено, что существуют только две пары целых неотрицательных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $15x + 12y = 102$. Каждая такая пара соответствует одному способу разрезания проволоки. Следовательно, у задачи есть два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.