Номер 9, страница 24, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

9 Расшифруй ребус. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.)

$ДРАМА + ДРАМА = ТЕАТР$

Данный ребус можно представить в виде математического выражения: ДРАМА + ДРАМА = ТЕАТР, или $2 \cdot ДРАМА = ТЕАТР$. Запишем его в виде сложения в столбик:

 Д Р А М А+ Д Р А М А----------- Т Е А Т Р

В ребусе каждая буква соответствует уникальной цифре от 0 до 9. Буквы Д и Т, как первые цифры чисел, не могут быть равны нулю. Для решения будем анализировать сложение по разрядам, двигаясь справа налево.

1. Анализ разряда сотен
В разряде сотен происходит сложение $А + А + c_2 = А + 10 \cdot c_3$, где $c_2$ — это перенос из разряда десятков, а $c_3$ — перенос в разряд тысяч. Упростив уравнение, получаем $А + c_2 = 10 \cdot c_3$. Поскольку А — это цифра (А ≠ 0, иначе Р=0, что противоречит условию о разных буквах), а $c_2$ — это перенос (0 или 1), то сумма $А + c_2$ может быть максимальной $9 + 1 = 10$. Так как $А+c_2 > 0$, то $c_3$ не может быть равно 0, следовательно $c_3 = 1$. Тогда $А + c_2 = 10$. Так как А — это цифра, то $c_2$ не может быть 0 (иначе А=10). Значит, $c_2 = 1$, и отсюда мы находим, что А = 9. Мы также установили, что из разряда десятков в сотни был перенос 1 ($c_2=1$), и из разряда сотен в тысячи также был перенос 1 ($c_3=1$).

2. Анализ разрядов единиц и тысяч
Теперь, зная значение А, проанализируем разряд единиц: $А + А = Р + 10 \cdot c_1$. Подставляем А = 9: $9 + 9 = 18$. Из этого следует, что Р = 8, а перенос в разряд десятков $c_1 = 1$. Далее смотрим на разряд тысяч: $Р + Р + c_3 = Е + 10 \cdot c_4$. Подставляем Р = 8 и $c_3 = 1$: $8 + 8 + 1 = 17$. Отсюда получаем, что Е = 7, а перенос в разряд десятков тысяч $c_4 = 1$.

3. Анализ старших разрядов и нахождение оставшихся цифр
На данный момент нам известны: А=9, Р=8, Е=7. Рассмотрим разряд десятков тысяч: $Д + Д + c_4 = Т$. Так как число ТЕАТР пятизначное, переноса в новый разряд нет. Подставляем $c_4=1$: $2 \cdot Д + 1 = Т$. Теперь разряд десятков: $М + М + c_1 = Т + 10 \cdot c_2$. Подставляем $c_1=1$ и $c_2=1$: $2 \cdot М + 1 = Т + 10$. Мы получили систему уравнений: $\begin{cases} 2Д + 1 = Т \\ 2М + 1 = Т + 10 \end{cases}$ Подставим выражение для Т из первого уравнения во второе: $2М + 1 = (2Д + 1) + 10$. Упрощая, получаем $2М = 2Д + 10$, или $М = Д + 5$.

Теперь найдем оставшиеся цифры Д, М, Т. Уже использованы цифры {9, 8, 7}. Свободными остались {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Будем перебирать возможные значения для Д:

• Если Д = 1 (1 - свободная цифра), то $М = 1 + 5 = 6$ (6 - свободная цифра). Тогда $Т = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ (3 - свободная цифра). Все найденные цифры (Д=1, М=6, Т=3) различны и не совпадают с уже использованными. Этот вариант является решением.
• Если Д = 2, то $М = 2 + 5 = 7$. Но цифра 7 уже занята (Е=7). Не подходит.
• Если Д = 3, то $М = 3 + 5 = 8$. Но цифра 8 уже занята (Р=8). Не подходит.
• Если Д = 4, то $М = 4 + 5 = 9$. Но цифра 9 уже занята (А=9). Не подходит.

Большие значения для Д рассматривать нет смысла, так как М станет двузначным числом.

Таким образом, мы нашли единственное решение: Д = 1, М = 6, Т = 3.

Проверка
Соберем все найденные значения: Д=1, Р=8, А=9, М=6, А=9 → 18969. Т=3, Е=7, А=9, Т=3, Р=8 → 37938. Проверим сложение: $18969 + 18969 = 37938$. Решение верно.

Ответ: Решение ребуса: $18969 + 18969 = 37938$. Соответствие букв и цифр: Д=1, Р=8, А=9, М=6, Т=3, Е=7.