Номер 10, страница 45, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

10 Имеются две деревянные планки длиной 119 см и 35 см. Как разделить их на одинаковые части, не имея под рукой измерительных инструментов? Чему равна длина каждой такой части?

Для решения этой задачи нужно найти наибольшую возможную длину одинаковых частей, на которые можно разделить обе планки без остатка. Эта длина будет равна наибольшему общему делителю (НОД) длин планок. Сам процесс разделения без измерительных инструментов является практической демонстрацией алгоритма Евклида для нахождения НОД.

Чему равна длина каждой такой части?

Чтобы найти длину искомых частей, вычислим наибольший общий делитель (НОД) чисел 119 и 35, используя алгоритм Евклида.

1. Делим большее число на меньшее с остатком:
$119 \div 35 = 3$ (остаток $14$)
Это можно записать как: $119 = 3 \times 35 + 14$

2. Теперь делим предыдущий делитель (35) на полученный остаток (14):
$35 \div 14 = 2$ (остаток $7$)
Это можно записать как: $35 = 2 \times 14 + 7$

3. Повторяем действие: делим предыдущий делитель (14) на новый остаток (7):
$14 \div 7 = 2$ (остаток $0$)
Это можно записать как: $14 = 2 \times 7 + 0$

Процесс завершен, так как остаток равен нулю. Последний ненулевой остаток, который мы получили, — это 7. Следовательно, НОД(119, 35) = 7.

Таким образом, максимальная длина каждой одинаковой части составляет 7 см. Планку длиной 119 см можно будет разделить на $119 \div 7 = 17$ частей, а планку длиной 35 см — на $35 \div 7 = 5$ частей.

Ответ: Длина каждой такой части равна 7 см.

Как разделить их на одинаковые части, не имея под рукой измерительных инструментов?

Этот процесс является физическим воплощением алгоритма Евклида, описанного выше:

1. Возьмите короткую планку (35 см) и приложите её к длинной планке (119 см), начиная от края. Делайте отметки. Короткая планка уложится на длинной 3 раза. После этого на длинной планке останется неотмеченный отрезок. Этот отрезок и есть наш первый остаток (длиной $119 - 3 \times 35 = 14$ см).

2. Теперь возьмите этот отрезок длиной 14 см и используйте его как новую меру. Откладывайте его на короткой планке (35 см). Он уложится 2 раза. Снова останется небольшой отрезок — наш второй остаток (длиной $35 - 2 \times 14 = 7$ см).

3. Возьмите этот последний отрезок длиной 7 см и отложите его на предыдущем отрезке (14 см). Вы увидите, что он укладывается ровно 2 раза, без остатка.

Это означает, что отрезок длиной 7 см является общей мерой для обеих планок. Используя этот самый маленький полученный отрезок как эталон, можно разметить обе исходные планки на равные части по 7 см.

Ответ: Нужно последовательно откладывать меньшую планку (или полученный от неё остаток) на большей. Последний полученный остаток, который разделит предыдущий остаток нацело, и будет эталонной длиной для разметки обеих планок.