Номер 11, страница 68, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

11 Мальчик задумал трёхзначное число и записал его на доске три раза. В первом случае он стёр первую цифру, во втором — среднюю, а в третьем — последнюю. Сумма получившихся двузначных чисел оказалась равной 295. Узнай трёхзначное число, которое задумал мальчик, если известно, что нулей в его записи не было.

$20a + 11b + 2c = 295$

Решение

Пусть задуманное мальчиком трёхзначное число состоит из цифр $a$, $b$ и $c$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. Тогда это число можно записать в виде $\overline{abc}$. В виде суммы разрядных слагаемых оно выглядит так: $100a + 10b + c$.

По условию, в записи числа не было нулей, следовательно, цифры $a$, $b$ и $c$ могут быть любыми целыми числами от 1 до 9.

Рассмотрим, какие числа получались после стирания цифр:

1. Когда стёрли первую цифру ($a$), получилось двузначное число $\overline{bc}$, значение которого равно $10b + c$.
2. Когда стёрли среднюю цифру ($b$), получилось двузначное число $\overline{ac}$, значение которого равно $10a + c$.
3. Когда стёрли последнюю цифру ($c$), получилось двузначное число $\overline{ab}$, значение которого равно $10a + b$.

Сумма этих трёх двузначных чисел по условию равна 295. Составим уравнение:

$(10b + c) + (10a + c) + (10a + b) = 295$

Упростим уравнение, сгруппировав слагаемые с одинаковыми переменными:

$(10a + 10a) + (10b + b) + (c + c) = 295$

$20a + 11b + 2c = 295$

Теперь нам нужно найти натуральные числа $a, b, c$ в диапазоне от 1 до 9, которые удовлетворяют этому уравнению. Оценим возможное значение для переменной $a$. Сумма $11b + 2c$ будет максимальной, если $b=9$ и $c=9$:

$11 \cdot 9 + 2 \cdot 9 = 99 + 18 = 117$

Тогда для $20a$ минимальное значение будет:

$20a \ge 295 - 117$

$20a \ge 178$

$a \ge \frac{178}{20}$

$a \ge 8.9$

Поскольку $a$ — это целая цифра, а также первая цифра трёхзначного числа, она может быть только 9.

Подставим $a=9$ в наше уравнение:

$20 \cdot 9 + 11b + 2c = 295$

$180 + 11b + 2c = 295$

$11b + 2c = 295 - 180$

$11b + 2c = 115$

Теперь решим это уравнение методом подбора для $b$ и $c$ (от 1 до 9). Заметим, что $2c$ всегда является чётным числом. Так как сумма 115 — нечётное число, слагаемое $11b$ также должно быть нечётным. Это возможно, только если $b$ — нечётная цифра (1, 3, 5, 7, 9).

Проверим эти значения:

• Если $b=1$, то $11 \cdot 1 + 2c = 115 \implies 2c = 104 \implies c = 52$. Не является цифрой.
• Если $b=3$, то $11 \cdot 3 + 2c = 115 \implies 2c = 82 \implies c = 41$. Не является цифрой.
• Если $b=5$, то $11 \cdot 5 + 2c = 115 \implies 2c = 60 \implies c = 30$. Не является цифрой.
• Если $b=7$, то $11 \cdot 7 + 2c = 115 \implies 2c = 38 \implies c = 19$. Не является цифрой.
• Если $b=9$, то $11 \cdot 9 + 2c = 115 \implies 99 + 2c = 115 \implies 2c = 16 \implies c = 8$. Это значение подходит, так как $c$ является цифрой от 1 до 9.

Итак, мы нашли единственное решение: $a=9, b=9, c=8$.

Задуманное трёхзначное число — 998.

Проверим:
Стираем первую цифру: 98
Стираем среднюю цифру: 98
Стираем последнюю цифру: 99
Сумма: $98 + 98 + 99 = 196 + 99 = 295$. Условие выполняется.

Ответ: 998.