Номер 123, страница 51, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь Волкова

123 Раскрась фигуры так, чтобы следующие высказывания стали верными для данного рисунка.

1. Все фигуры зелёного цвета имеют одинаковую площадь.

2. Все фигуры жёлтого цвета имеют одинаковый периметр.

Для того чтобы правильно раскрасить фигуры, необходимо вычислить площадь и периметр каждой из них. Примем длину стороны одной клетки за 1 условную единицу.

Вычислим площадь и периметр для каждой фигуры:

1. Прямоугольник (сверху слева)
   Длина его сторон: $a = 6$ ед., $b = 2$ ед.
   Площадь: $S_1 = a \times b = 6 \times 2 = 12$ кв. ед.
   Периметр: $P_1 = 2(a + b) = 2(6 + 2) = 2 \times 8 = 16$ ед.

2. Треугольник (снизу слева)
   Основание треугольника $a = 4$ ед., высота $h = 3$ ед.
   Площадь: $S_2 = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ кв. ед.
   Периметр: Треугольник равнобедренный. Длину боковой стороны $c$ найдем по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник с катетами $\frac{a}{2} = 2$ ед. и $h = 3$ ед. $c = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ ед.
   $P_2 = a + 2c = 4 + 2\sqrt{13}$ ед.

3. Шестиугольник (в центре)
   Площадь: Фигуру можно разбить на центральный прямоугольник размером $2 \times 2$ ед. и два равных треугольника по бокам. Площадь прямоугольника равна $2 \times 2 = 4$ кв. ед. Каждый из боковых треугольников имеет основание 2 ед. и высоту 1 ед. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ кв. ед.
   Общая площадь: $S_3 = 4 + 1 + 1 = 6$ кв. ед.
   Периметр: У шестиугольника есть две горизонтальные стороны длиной 2 ед. каждая и четыре одинаковые наклонные стороны. Длину наклонной стороны $d$ найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 1 ед. и 1 ед.
   $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ ед.
   $P_3 = 2 \times 2 + 4 \times \sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2}$ ед.

4. Квадрат (справа)
   Длина стороны $a = 4$ ед.
   Площадь: $S_4 = a^2 = 4^2 = 16$ кв. ед.
   Периметр: $P_4 = 4a = 4 \times 4 = 16$ ед.

Теперь, имея все данные, применим условия задачи.

1. Все фигуры зелёного цвета имеют одинаковую площадь.

Сравним площади всех фигур:

• Площадь прямоугольника $S_1 = 12$ кв. ед.
• Площадь треугольника $S_2 = 6$ кв. ед.
• Площадь шестиугольника $S_3 = 6$ кв. ед.
• Площадь квадрата $S_4 = 16$ кв. ед.

Одинаковую площадь ($6$ кв. ед.) имеют треугольник и шестиугольник. Следовательно, их нужно раскрасить в зелёный цвет.
Ответ: В зелёный цвет нужно раскрасить треугольник и шестиугольник.

2. Все фигуры жёлтого цвета имеют одинаковый периметр.

Сравним периметры всех фигур:

• Периметр прямоугольника $P_1 = 16$ ед.
• Периметр треугольника $P_2 = 4 + 2\sqrt{13}$ ед. (приблизительно $11.21$ ед.)
• Периметр шестиугольника $P_3 = 4 + 4\sqrt{2}$ ед. (приблизительно $9.66$ ед.)
• Периметр квадрата $P_4 = 16$ ед.

Одинаковый периметр ($16$ ед.) имеют прямоугольник и квадрат. Следовательно, их нужно раскрасить в жёлтый цвет.
Ответ: В жёлтый цвет нужно раскрасить прямоугольник и квадрат.