Номер 45, страница 78, часть 1 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь Волкова

45 Как можно начертить многоугольник с такой же площадью как у многоугольника ABCDN, не проводя никаких измерений? Покажи это на чертеже.

Для того чтобы начертить многоугольник с такой же площадью, как у многоугольника ABCDN, не прибегая к измерениям, можно использовать метод преобразования фигуры в другую, равновеликую (имеющую ту же площадь). Этот метод основан на свойстве треугольников: если у двух треугольников общее основание и их вершины лежат на прямой, параллельной основанию, то их площади равны.

Мы последовательно упростим исходный пятиугольник до четырехугольника, а затем до треугольника, сохраняя на каждом шаге исходную площадь.

Сначала избавимся от вершины D, заменив треугольник CDN на другой треугольник с той же площадью.
1. Проведем диагональ CN.
2. Через вершину D проведем прямую, параллельную диагонали CN.
3. Продлим сторону BC до пересечения с этой параллельной прямой. Точку пересечения назовем E.
4. Соединим точки E и N. Мы получим новый четырехугольник ABEN.

Площадь четырехугольника ABEN равна площади пятиугольника ABCDN. Это верно, потому что мы заменили треугольник CDN на треугольник CEN. У этих треугольников общее основание CN, а их вершины D и E лежат на одной прямой DE, параллельной основанию CN. Следовательно, высоты, опущенные из вершин D и E на прямую CN, равны, а значит, и площади треугольников равны: $S_{\triangle CDN} = S_{\triangle CEN}$.
Таким образом: $S_{ABCDN} = S_{ABCN} + S_{\triangle CDN} = S_{ABCN} + S_{\triangle CEN} = S_{ABEN}$.

Теперь аналогичным образом упростим четырехугольник ABEN до треугольника. Избавимся от вершины A.
1. Проведем диагональ BN.
2. Через вершину A проведем прямую, параллельную диагонали BN.
3. Продлим сторону EB влево до пересечения с этой параллельной прямой. Точку пересечения назовем F.
4. Соединим точки F и N. Мы получим новый треугольник FBN.

Площадь треугольника FBN равна площади четырехугольника ABEN. Мы заменили треугольник ABN на треугольник FBN. У них общее основание BN, а вершины A и F лежат на прямой AF, параллельной основанию BN. Следовательно, их площади равны: $S_{\triangle ABN} = S_{\triangle FBN}$.
Таким образом: $S_{ABEN} = S_{\triangle EBN} + S_{\triangle ABN} = S_{\triangle EBN} + S_{\triangle FBN} = S_{\triangle FBN}$.

В результате мы построили треугольник FBN, площадь которого в точности равна площади исходного пятиугольника ABCDN.

Построение на чертеже:

На чертеже показан процесс:
1. Исходный пятиугольник ABCDN (закрашен красным).
2. Промежуточный четырехугольник ABEN (обведен синим), полученный после первого шага.
3. Итоговый треугольник FBN (закрашен зеленым), площадь которого равна площади исходного пятиугольника.

Ответ: Можно последовательно преобразовать исходный пятиугольник в равновеликий ему четырехугольник, а затем в равновеликий треугольник, используя построение параллельных прямых. На чертеже таким многоугольником является треугольник FBN.