Номер 5.241, страница 41, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

5.241 Два автобуса отошли от одного автовокзала одновременно в противоположных направлениях. Спустя 4 ч расстояние между автобусами стало 624 км. С какой скоростью двигался каждый автобус, если разность их скоростей равна 12 км/ч?

$V_1\text{км/ч}$$V_2\text{км/ч}$

A

624 км через 4ч

Пусть х км/ч - скорость первого автобуса, тогда (х+12) км/ч - скорость второго автобуса.

х + (х+12) км/ч - скорость удаления

Составим уравнение:

$\left(x + \left(x + 12\right)\right)·4 = 624$

$\left(x + x\right) + 12 = 624 : 4$

 624 | 4 4 | 156 --- 22 20 --- 24 24 ---- 0

$2x + 12 = 156$

$2x = 156 - 12$

 156- 12----- 144

$2x = 144$

$x = 144 : 2$

$x = 72$

72 км/ч - скорость первого автобуса.

$72 + 12 = 84\left(\text{км/ч}\right)$

второго автобуса. Ответ: 72 км/ч; 84 км/ч

Для решения этой задачи мы можем составить систему уравнений. Обозначим скорость первого автобуса как $v_1$ (в км/ч), а скорость второго — как $v_2$ (в км/ч).

1. Нахождение суммарной скорости (скорости удаления)

Автобусы движутся в противоположных направлениях. Это означает, что расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Эта суммарная скорость называется скоростью удаления ($v_{уд}$).
По условию, за время $t = 4$ ч расстояние между автобусами стало $S = 624$ км.
Скорость удаления можно найти по формуле $v = S / t$:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = \frac{624}{4} = 156$ км/ч.
Таким образом, мы получили первое уравнение: $v_1 + v_2 = 156$.

2. Использование разности скоростей

В условии сказано, что разность скоростей автобусов равна 12 км/ч. Предположим, что первый автобус движется быстрее. Тогда мы можем записать второе уравнение:
$v_1 - v_2 = 12$.

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 156 \\ v_1 - v_2 = 12 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы найти $v_1$:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 156 + 12$
$2v_1 = 168$
$v_1 = \frac{168}{2} = 84$ км/ч.

Теперь, зная скорость первого автобуса, найдем скорость второго, подставив значение $v_1$ в любое из уравнений. Например, в первое:
$84 + v_2 = 156$
$v_2 = 156 - 84$
$v_2 = 72$ км/ч.

Проверка:

- Разность скоростей: $84 \text{ км/ч} - 72 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$. (Верно)
- Расстояние через 4 часа: $(84 \text{ км/ч} + 72 \text{ км/ч}) \times 4 \text{ ч} = 156 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 624 \text{ км}$. (Верно)

Ответ: скорость одного автобуса равна 84 км/ч, а скорость второго — 72 км/ч.