Страница 5, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

4 Упрости выражение:

а) $2,8 - (a - 1,4)$;

б) $-(-b + 3,2) + 0,7$;

в) $c - (1,6 + c)$;

г) $(-5,9 + d) - d$;

д) $(6,4 - x) - (5,8 + x)$;

е) $y - (4,3 + y) + 3,9$;

ж) $(-0,7 - m) - (-m + 0,5)$;

з) $-(1,2 - n) + (n - 0,8)$.

а) Чтобы упростить выражение $2,8 - (a - 1,4)$, необходимо раскрыть скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$2,8 - (a - 1,4) = 2,8 - a + 1,4$

Далее, сгруппируем и сложим числовые значения, чтобы привести подобные слагаемые:

$(2,8 + 1,4) - a = 4,2 - a$

Ответ: $4,2 - a$

б) В выражении $-(-b + 3,2) + 0,7$ сначала раскроем скобки. Знак минус перед скобками меняет знаки слагаемых внутри на противоположные:

$-(-b + 3,2) + 0,7 = b - 3,2 + 0,7$

Теперь приведем подобные слагаемые, выполнив действие с числами:

$b + (-3,2 + 0,7) = b - 2,5$

Ответ: $b - 2,5$

в) Для упрощения выражения $c - (1,6 + c)$ раскроем скобки. Знак минус перед скобками означает, что знаки слагаемых внутри скобок изменятся:

$c - (1,6 + c) = c - 1,6 - c$

Сгруппируем слагаемые с переменной $c$ и выполним вычитание:

$(c - c) - 1,6 = 0 - 1,6 = -1,6$

Ответ: $-1,6$

г) Упростим выражение $(-5,9 + d) - d$. Так как перед скобками нет знака минус (подразумевается плюс), мы можем просто их убрать:

$(-5,9 + d) - d = -5,9 + d - d$

Приведем подобные слагаемые с переменной $d$:

$-5,9 + (d - d) = -5,9 + 0 = -5,9$

Ответ: $-5,9$

д) В выражении $(6,4 - x) - (5,8 + x)$ раскроем обе пары скобок. Перед первыми скобками знаки не меняются. Перед вторыми скобками стоит минус, поэтому знаки внутри меняются на противоположные:

$(6,4 - x) - (5,8 + x) = 6,4 - x - 5,8 - x$

Сгруппируем подобные слагаемые: числа с числами, переменные с переменными:

$(6,4 - 5,8) + (-x - x) = 0,6 - 2x$

Ответ: $0,6 - 2x$

е) Чтобы упростить выражение $y - (4,3 + y) + 3,9$, раскроем скобки. Знак минус перед скобками меняет знаки слагаемых внутри:

$y - (4,3 + y) + 3,9 = y - 4,3 - y + 3,9$

Сгруппируем подобные слагаемые и выполним действия:

$(y - y) + (-4,3 + 3,9) = 0 - 0,4 = -0,4$

Ответ: $-0,4$

ж) Упростим выражение $(-0,7 - m) - (-m + 0,5)$. Раскроем обе пары скобок. Перед первыми скобками нет знака, поэтому они просто убираются. Перед вторыми стоит минус, поэтому знаки внутри меняются:

$(-0,7 - m) - (-m + 0,5) = -0,7 - m + m - 0,5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-m + m) + (-0,7 - 0,5) = 0 - 1,2 = -1,2$

Ответ: $-1,2$

з) В выражении $-(1,2 - n) + (n - 0,8)$ раскроем скобки. Перед первыми скобками стоит минус, поэтому знаки меняются. Перед вторыми стоит плюс, поэтому знаки не меняются:

$-(1,2 - n) + (n - 0,8) = -1,2 + n + n - 0,8$

Сгруппируем подобные слагаемые и выполним вычисления:

$(n + n) + (-1,2 - 0,8) = 2n - 2$

Ответ: $2n - 2$

4 Упрости выражения:

а) $2,8 - (a - 1,4);$

б) $-(-b + 3,2) + 0,7;$

в) $c - (1,6 + c);$

г) $(-5,9 + d) - d;$

д) $(6,4 - x) - (5,8 + x);$

е) $y - (4,3 + y) + 3,9;$

ж) $(-0,7 - m) - (-m + 0,5);$

з) $-(1,2 - n) + (n - 0,8).$

Реши уравнение:

а) $-4,3 - (-1,8 - x) = 3;$

б) $(n + 1\frac{2}{9}) - 4\frac{2}{9} = -4,8;$

в) $(c - 6) - (4,5 - c) = -1,5;$

г) $1\frac{5}{6} - (k - \frac{7}{12}) + 2\frac{1}{12} = 0,9.$

a)

Исходное уравнение: $-4,3 - (-1,8 - x) = 3$.

1. Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак «минус», знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$-4,3 + 1,8 + x = 3$

2. Упростим левую часть уравнения, сложив числовые коэффициенты:

$-4,3 + 1,8 = -2,5$

Уравнение принимает вид:

$-2,5 + x = 3$

3. Изолируем переменную $x$. Для этого перенесем $-2,5$ в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$x = 3 + 2,5$

$x = 5,5$

Ответ: $5,5$.

б)

Исходное уравнение: $(n + 1\frac{2}{9}) - 4\frac{2}{9} = -4,8$.

1. Раскроем скобки. Поскольку перед ними нет знака, они просто убираются:

$n + 1\frac{2}{9} - 4\frac{2}{9} = -4,8$

2. Выполним вычитание смешанных чисел в левой части. У них одинаковая дробная часть, поэтому можно вычесть целые части:

$1\frac{2}{9} - 4\frac{2}{9} = (1 - 4) + (\frac{2}{9} - \frac{2}{9}) = -3 + 0 = -3$

Уравнение принимает вид:

$n - 3 = -4,8$

3. Изолируем переменную $n$. Перенесем $-3$ в правую часть с противоположным знаком:

$n = -4,8 + 3$

$n = -1,8$

Ответ: $-1,8$.

в)

Исходное уравнение: $(c - 6) - (4,5 - c) = -1,5$.

1. Раскроем скобки. Знак «минус» перед второй скобкой меняет знаки слагаемых внутри нее:

$c - 6 - 4,5 + c = -1,5$

2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:

$(c + c) + (-6 - 4,5) = 2c - 10,5$

Уравнение принимает вид:

$2c - 10,5 = -1,5$

3. Перенесем $-10,5$ в правую часть с противоположным знаком:

$2c = -1,5 + 10,5$

$2c = 9$

4. Найдем $c$, разделив обе части уравнения на 2:

$c = \frac{9}{2}$

$c = 4,5$

Ответ: $4,5$.

г)

Исходное уравнение: $1\frac{5}{6} - (k - \frac{7}{12}) + 2\frac{1}{12} = 0,9$.

1. Для удобства вычислений преобразуем все смешанные и десятичные числа в обыкновенные дроби:

$1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$

$2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}$

$0,9 = \frac{9}{10}$

Уравнение примет вид:

$\frac{11}{6} - (k - \frac{7}{12}) + \frac{25}{12} = \frac{9}{10}$

2. Раскроем скобки:

$\frac{11}{6} - k + \frac{7}{12} + \frac{25}{12} = \frac{9}{10}$

3. Сгруппируем дроби в левой части и приведем их к общему знаменателю 12:

$(\frac{11 \cdot 2}{12} + \frac{7}{12} + \frac{25}{12}) - k = \frac{9}{10}$

$(\frac{22 + 7 + 25}{12}) - k = \frac{9}{10}$

$\frac{54}{12} - k = \frac{9}{10}$

4. Сократим дробь $\frac{54}{12}$ на 6:

$\frac{9}{2} - k = \frac{9}{10}$

5. Выразим $k$:

$k = \frac{9}{2} - \frac{9}{10}$

6. Приведем дроби к общему знаменателю 10 и выполним вычитание:

$k = \frac{9 \cdot 5}{10} - \frac{9}{10} = \frac{45 - 9}{10} = \frac{36}{10}$

7. Представим результат в виде десятичной дроби:

$k = 3,6$

Ответ: $3,6$.

5 Реши уравнения:

a) $ -4.3 - (-1.8 - x) = 3; $

б) $ (n + 1\frac{2}{9}) - 4\frac{2}{9} = -4.8; $

в) $ (c - 6) - (4.5 - c) = -1.5; $

г) $ 1\frac{5}{6} - (k - \frac{7}{12}) + 2\frac{1}{12} = 0.9. $

6 Переведи на математический язык и реши задачи.

a) В трёх конкурсах приняли участие 80 человек. В первом конкурсе участвовало 28 человек, а во втором – на 6 человек меньше, чем в третьем. Сколько человек участвовало в третьем конкурсе?

б) Периметр треугольника равен 48,5 см. Одна его сторона равна 15,8 см, а вторая – на 1,9 см меньше, чем третья. Чему равна длина второй стороны?

а) Пусть в третьем конкурсе участвовало $x$ человек. По условию, во втором конкурсе участвовало на 6 человек меньше, чем в третьем, то есть $(x-6)$ человек. В первом конкурсе участвовало 28 человек. Всего в трёх конкурсах приняли участие 80 человек.
Составим уравнение, сложив количество участников в каждом конкурсе:
$28 + (x-6) + x = 80$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$28 - 6 + 2x = 80$
$22 + 2x = 80$
Перенесём 22 в правую часть уравнения:
$2x = 80 - 22$
$2x = 58$
Найдём $x$:
$x = 58 / 2$
$x = 29$
Значит, в третьем конкурсе участвовало 29 человек.
Ответ: 29 человек.

б) Пусть длина второй стороны треугольника равна $x$ см. По условию, вторая сторона на 1,9 см меньше, чем третья. Это означает, что третья сторона на 1,9 см больше второй, то есть её длина составляет $(x+1,9)$ см. Длина первой стороны равна 15,8 см. Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон, и он равен 48,5 см.
Составим уравнение:
$15,8 + x + (x+1,9) = 48,5$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$15,8 + 1,9 + 2x = 48,5$
$17,7 + 2x = 48,5$
Перенесём 17,7 в правую часть уравнения:
$2x = 48,5 - 17,7$
$2x = 30,8$
Найдём $x$:
$x = 30,8 / 2$
$x = 15,4$
Следовательно, длина второй стороны треугольника равна 15,4 см.
Ответ: 15,4 см.

6 Переведи на математический язык и реши задачи:

a) В трех конкурсах приняли участие 80 человек. В первом конкурсе участвовало 28 человек, а во втором – на 6 человек меньше, чем в третьем. Сколько человек участвовало в третьем конкурсе?

б) Периметр треугольника равен 48,5 см. Одна его сторона равна 15,8 см, а вторая – на 1,9 см меньше, чем третья. Чему равна длина второй стороны?

7 Упрости выражения, используя распределительное свойство умножения:

а) $5(a + 2) - 12;$

б) $9 - 2(-c + 4);$

в) $m - 3(2 - m) + 8;$

г) $2(m - n) - (m + n);$

д) $(x - y) - 2(x + y);$

е) $-2(a + b) + 2(a - b);$

ж) $3(b - 1) - 2(b - 2);$

з) $-2(d + 3) + 3(2 - d);$

и) $5y - 2(y - 1) + 3(-y - 4).$

а) $5(a + 2) - 12$
Раскроем скобки, умножив 5 на каждый член в скобках:
$5 \cdot a + 5 \cdot 2 - 12 = 5a + 10 - 12$
Теперь приведем подобные слагаемые (числа):
$5a + (10 - 12) = 5a - 2$
Ответ: $5a - 2$

б) $9 - 2(-c + 4)$
Раскроем скобки, умножив -2 на каждый член в скобках:
$9 + (-2) \cdot (-c) + (-2) \cdot 4 = 9 + 2c - 8$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$2c + (9 - 8) = 2c + 1$
Ответ: $2c + 1$

в) $m - 3(2 - m) + 8$
Раскроем скобки, умножив -3 на каждый член в скобках:
$m + (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-m) + 8 = m - 6 + 3m + 8$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(m + 3m) + (-6 + 8) = 4m + 2$
Ответ: $4m + 2$

г) $2(m - n) - (m + n)$
Раскроем первую скобку, умножив 2 на каждый член, и вторую, изменив знаки на противоположные:
$2 \cdot m - 2 \cdot n - m - n = 2m - 2n - m - n$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2m - m) + (-2n - n) = m - 3n$
Ответ: $m - 3n$

д) $(x - y) - 2(x + y)$
Раскроем вторую скобку, умножив -2 на каждый член в ней:
$x - y - 2 \cdot x - 2 \cdot y = x - y - 2x - 2y$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x - 2x) + (-y - 2y) = -x - 3y$
Ответ: $-x - 3y$

е) $-2(a + b) + 2(a - b)$
Раскроем обе скобки, используя распределительное свойство:
$(-2 \cdot a - 2 \cdot b) + (2 \cdot a - 2 \cdot b) = -2a - 2b + 2a - 2b$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-2a + 2a) + (-2b - 2b) = 0 - 4b = -4b$
Ответ: $-4b$

ж) $3(b - 1) - 2(b - 2)$
Раскроем обе скобки:
$(3 \cdot b - 3 \cdot 1) - (2 \cdot b - 2 \cdot 2) = 3b - 3 - (2b - 4)$
Раскроем вторую скобку, изменив знаки:
$3b - 3 - 2b + 4$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3b - 2b) + (-3 + 4) = b + 1$
Ответ: $b + 1$

з) $-2(d + 3) + 3(2 - d)$
Раскроем обе скобки:
$(-2 \cdot d - 2 \cdot 3) + (3 \cdot 2 - 3 \cdot d) = -2d - 6 + 6 - 3d$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-2d - 3d) + (-6 + 6) = -5d + 0 = -5d$
Ответ: $-5d$

и) $5y - 2(y - 1) + 3(-y - 4)$
Раскроем скобки:
$5y - (2 \cdot y - 2 \cdot 1) + (3 \cdot (-y) + 3 \cdot (-4)) = 5y - (2y - 2) + (-3y - 12)$
$5y - 2y + 2 - 3y - 12$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5y - 2y - 3y) + (2 - 12) = (3y - 3y) - 10 = 0 - 10 = -10$
Ответ: $-10$

7 Упрости выражения, используя распределительное свойство умножения:

а) $5(a+2)-12;$

б) $9-2(-c+4);$

в) $m-3(2-m)+8;$

г) $2(m-n)-(m+n);$

д) $(x-y)-2(x+y);$

е) $-2(a+b)+2(a-b);$

ж) $3(b-1)-2(b-2);$

з) $-2(d+3)+3(2-d);$

и) $5y-2(y-1)+3(-y-4).$

8 Найди значение выражения. Есть ли в задаче лишние данные?

а) $3(x - 4) + 2(-x + 6)$, если $x = -1,8$;

б) $3b - 2(a - b) + a - 5(a + b)$, если $a = -0,5$, $b = \frac{1}{7}$.

а) Сначала упростим выражение $3(x - 4) + 2(-x + 6)$. Для этого раскроем скобки:
$3 \cdot x - 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-x) + 2 \cdot 6 = 3x - 12 - 2x + 12$
Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с переменной $x$ и свободные члены:
$(3x - 2x) + (-12 + 12) = x + 0 = x$
Таким образом, исходное выражение равно $x$.
Подставим заданное значение $x = -1,8$:
Значение выражения равно $-1,8$.
В этой задаче лишних данных нет, поскольку для нахождения значения выражения необходимо использовать данное значение $x$.
Ответ: -1,8. Лишних данных нет.

б) Сначала упростим выражение $3b - 2(a - b) + a - 5(a + b)$. Раскроем скобки:
$3b - 2a - 2 \cdot (-b) + a - 5a - 5 \cdot b = 3b - 2a + 2b + a - 5a - 5b$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для переменных $a$ и $b$:
$(-2a + a - 5a) + (3b + 2b - 5b) = -6a + 0 \cdot b = -6a$
Выражение упрощается до $-6a$. Как мы видим, значение выражения зависит только от переменной $a$ и не зависит от переменной $b$.
Теперь подставим значение $a = -0,5$ в полученное выражение:
$-6a = -6 \cdot (-0,5) = 3$
Поскольку значение переменной $b$ не требуется для вычисления, данные $b = \frac{1}{7}$ являются лишними.
Ответ: 3. Лишние данные: $b = \frac{1}{7}$.

8 Найди значение выражения. Есть ли в задаче лишние данные?

а) $3(x - 4) + 2(-x + 6)$, если $x = -1,8$;

б) $3b - 2(a - b) + a - 5(a + b)$, если $a = -0,5$, $b = \frac{1}{7}$.

9 Составь и упрости выражения.

a) К утроенной разности чисел $m$ и $n$ прибавить их удвоенную сумму. ($3(m-n) + 2(m+n)$)

б) Из удвоенной суммы чисел $x$ и $y$ вычесть разность утроенного числа $x$ и числа $y$. ($2(x+y) - (3x-y)$)

а)

Сначала составим выражение по условию. "Утроенная разность чисел m и n" — это выражение $3(m - n)$. "Их удвоенная сумма" — это выражение $2(m + n)$. По условию, к первому выражению нужно прибавить второе.

Получаем выражение:

$3(m - n) + 2(m + n)$

Теперь упростим его. Для этого раскроем скобки, используя распределительный закон умножения:

$3 \cdot m - 3 \cdot n + 2 \cdot m + 2 \cdot n = 3m - 3n + 2m + 2n$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

$(3m + 2m) + (-3n + 2n) = 5m - n$

Ответ: $5m - n$

б)

Составим выражение по условию. "Удвоенная сумма чисел x и y" записывается как $2(x + y)$. "Разность утроенного числа x и числа y" записывается как $(3x - y)$. По условию, из первого выражения нужно вычесть второе.

Получаем выражение:

$2(x + y) - (3x - y)$

Теперь упростим его. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри неё меняются на противоположные:

$2 \cdot x + 2 \cdot y - 3x + y = 2x + 2y - 3x + y$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(2x - 3x) + (2y + y) = -x + 3y$

Ответ: $-x + 3y$

9 Составь и упрости выражения:

а) К утроенной разности чисел $m$ и $n$ прибавить их удвоенную сумму. $3(m-n) + 2(m+n)$

б) Из удвоенной суммы чисел $x$ и $y$ вычесть разность утроенного числа $x$ и числа $y$. $2(x+y) - (3x-y)$

10 Составь выражение и найди его значение при данных значениях переменных.

а) Сначала поезд ехал 2 ч со скоростью $v$ км/ч, потом он увеличил скорость на 10 км/ч и с этой скоростью проехал ещё 3 ч. Затем поезд проехал 1 ч со скоростью на 5 км/ч меньшей, чем вначале. Сколько километров ему ещё осталось проехать, если весь его путь составляет 625 км? ($v = 70, 80, 90$.)

б) Фермер отвёз в первый магазин $n$ мешков картофеля, а во второй – на 4 мешка больше, чем в первый. Сколько тонн картофеля у него ещё осталось, если весь его урожай составил $3,2$ т, а в каждом мешке по $50$ кг? ($n = 10, 15, 20$.)

а)

Сначала составим выражение, чтобы определить, сколько километров осталось проехать поезду.

1. На первом участке пути поезд ехал 2 часа со скоростью $v$ км/ч. Пройденное расстояние составляет $S_1 = 2 \cdot v$ км.

2. На втором участке пути скорость поезда увеличилась на 10 км/ч и стала $v + 10$ км/ч. Поезд ехал с этой скоростью 3 часа, проехав расстояние $S_2 = 3 \cdot (v + 10) = 3v + 30$ км.

3. На третьем участке пути скорость поезда была на 5 км/ч меньше, чем вначале, то есть $v - 5$ км/ч. Поезд ехал с этой скоростью 1 час, проехав расстояние $S_3 = 1 \cdot (v - 5) = v - 5$ км.

4. Найдем общее расстояние, которое проехал поезд, сложив расстояния всех трех участков: $S_{пройденный} = S_1 + S_2 + S_3 = 2v + (3v + 30) + (v - 5) = (2v + 3v + v) + (30 - 5) = 6v + 25$ км.

5. Весь путь составляет 625 км. Чтобы найти оставшееся расстояние, вычтем из всего пути пройденное расстояние. Выражение для оставшегося расстояния: $S_{оставшийся} = 625 - (6v + 25) = 625 - 6v - 25 = 600 - 6v$ км.

Теперь найдем значение этого выражения для данных значений переменной $v$.

• При $v = 70$: $600 - 6 \cdot 70 = 600 - 420 = 180$ км.
• При $v = 80$: $600 - 6 \cdot 80 = 600 - 480 = 120$ км.
• При $v = 90$: $600 - 6 \cdot 90 = 600 - 540 = 60$ км.

Ответ: Выражение: $600 - 6v$. При $v=70$ км/ч осталось проехать 180 км; при $v=80$ км/ч – 120 км; при $v=90$ км/ч – 60 км.

б)

Сначала составим выражение для нахождения массы картофеля, которая осталась у фермера.

1. В первый магазин фермер отвез $n$ мешков картофеля.

2. Во второй магазин он отвез на 4 мешка больше, то есть $n + 4$ мешков.

3. Общее количество мешков, которые фермер отвез в магазины: $n + (n + 4) = 2n + 4$ мешков.

4. Масса картофеля в одном мешке – 50 кг. Найдем общую массу отвезенного картофеля в килограммах: $50 \cdot (2n + 4) = 100n + 200$ кг.

5. Весь урожай составляет 3,2 тонны. Переведем эту массу в килограммы, зная, что 1 т = 1000 кг: $3,2 \text{ т} = 3,2 \cdot 1000 = 3200$ кг.

6. Чтобы найти массу оставшегося картофеля в килограммах, вычтем из общей массы урожая массу отвезенного картофеля: $3200 - (100n + 200) = 3200 - 100n - 200 = 3000 - 100n$ кг.

7. Вопрос задачи требует ответа в тоннах, поэтому переведем полученное выражение в тонны: $\frac{3000 - 100n}{1000} = \frac{3000}{1000} - \frac{100n}{1000} = 3 - 0,1n$ т.

Теперь найдем значение этого выражения для данных значений переменной $n$.

• При $n = 10$: $3 - 0,1 \cdot 10 = 3 - 1 = 2$ т.
• При $n = 15$: $3 - 0,1 \cdot 15 = 3 - 1,5 = 1,5$ т.
• При $n = 20$: $3 - 0,1 \cdot 20 = 3 - 2 = 1$ т.

Ответ: Выражение: $3 - 0,1n$. При $n=10$ осталось 2 т картофеля; при $n=15$ – 1,5 т; при $n=20$ – 1 т.

10 Составь выражение и найди его значение при данных значениях переменных:

а) Сначала поезд ехал 2 ч со скоростью $v$ км/ч, потом он увеличил скорость на 10 км/ч и с этой скоростью проехал еще 3 ч. Затем поезд проехал 1 ч со скоростью на 5 км/ч меньшей, чем вначале. Сколько километров ему еще осталось проехать, если весь его путь составляет 625 км? ($v = 70, 80, 90.$)

б) Фермер отвез в первый магазин $n$ мешков картофеля, а во второй – на 4 мешка больше, чем в первый. Сколько тонн картофеля у него еще осталось, если весь его урожай составил 3,2 т, а в каждом мешке по 50 кг? ($n = 10, 15, 20.$)