Страница 8, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

13 Найди значение выражения:

a) $ (12 - 8,4) : 0,09 \cdot 0,7 - 0,3 \cdot (0,6 + 3,12) : (14,18 - 7,98) : 0,01; $

б) $ 10 \cdot (0,056 : 0,8 \cdot 700 - 40,2832) : (16 \cdot 0,6 - 0 : 3,2) + 5,4 : 9 : 30. $

$(12 - 8,4) : 0,09 \cdot 0,7 - 0,3 \cdot (0,6 + 3,12) : (14,18 - 7,98) : 0,01$

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в последнюю очередь — сложение и вычитание слева направо. Решим по действиям:

1. Выполним вычитание в первых скобках: $12 - 8,4 = 3,6$.
2. Выполним сложение во вторых скобках: $0,6 + 3,12 = 3,72$.
3. Выполним вычитание в третьих скобках: $14,18 - 7,98 = 6,2$.
4. Теперь выражение выглядит так: $3,6 : 0,09 \cdot 0,7 - 0,3 \cdot 3,72 : 6,2 : 0,01$.
5. Выполним первое деление: $3,6 : 0,09 = 40$.
6. Выполним первое умножение: $40 \cdot 0,7 = 28$.
7. Выполним второе умножение: $0,3 \cdot 3,72 = 1,116$.
8. Выполним второе деление: $1,116 : 6,2 = 0,18$.
9. Выполним третье деление: $0,18 : 0,01 = 18$.
10. Выполним вычитание: $28 - 18 = 10$.

Ответ: 10.

$10 \cdot (0,056 : 0,8 \cdot 700 - 40,2832) : (16 \cdot 0,6 - 0 : 3,2) + 5,4 : 9 : 30$

Решим выражение по действиям, соблюдая правильный порядок операций:

1. Выполним деление в первых скобках: $0,056 : 0,8 = 0,07$.
2. Выполним умножение в первых скобках: $0,07 \cdot 700 = 7$.
3. Выполним вычитание в первых скобках: $7 - 40,2832 = -33,2832$.
4. Выполним умножение во вторых скобках: $16 \cdot 0,6 = 9,6$.
5. Выполним деление во вторых скобках: $0 : 3,2 = 0$.
6. Выполним вычитание во вторых скобках: $9,6 - 0 = 9,6$.
7. Теперь выражение выглядит так: $10 \cdot (-33,2832) : 9,6 + 5,4 : 9 : 30$.
8. Выполним первое умножение: $10 \cdot (-33,2832) = -332,832$.
9. Выполним первое деление: $-332,832 : 9,6 = -34,67$.
10. Выполним второе деление: $5,4 : 9 = 0,6$.
11. Выполним третье деление: $0,6 : 30 = 0,02$.
12. Выполним сложение: $-34,67 + 0,02 = -34,65$.

Ответ: -34,65.

13 Найди значение выражения:

a) $(12 - 8,4) \div 0,09 \cdot 0,7 - 0,3 \cdot (0,6 + 3,12) \div (14,18 - 7,98) \div 0,01;$

б) $10 \cdot (0,056 \div 0,8 \cdot 700 - 40,2832) \div (16 \cdot 0,6 - 0 \div 3,2) + 5,4 \div 9 \div 30.$

14 Выбери окончания предложений так, чтобы получились истинные высказывания. Выпиши подряд все буквы, соответствующие твоим ответам.

1) Предыдущим для числа 79 399 является число: а) 78 399; б) 79 400; в) 79 398.

2) В разряде десятков тысяч числа 12 705 320 записана цифра: а) 2; б) 0; в) 5.

3) В разряде сотен миллионов числа 9 876 543 210 записана цифра: а) 8; б) 9; в) 5.

4) В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра: а) 5; б) 6; в) 7.

5) В знаменателе дробной части числа $3\frac{2}{9}$ записана цифра: а) 3; б) 2; в) 9.

6) В записи смешанной дроби между целой и дробной частью подразумевается знак: а) умножения; б) сложения; в) вычитания.

7) Сумма $80\ 000\ 000 + 3\ 000\ 000 + 4000 + 20$ является разложением по разрядам числа: а) 834 020; б) 83 004 020; в) 8 304 020.

8) Сумма $3 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^2 + 7$ является разложением по разрядам числа: а) 35 087; б) 350 807; в) 3 508 007.

1) Чтобы найти число, которое является предыдущим для заданного числа, нужно вычесть из этого числа 1. В данном случае, из числа 79 399 вычитаем 1: $79 399 - 1 = 79 398$. Таким образом, правильным вариантом является 79 398.
Ответ: в) 79 398.

2) В числе 12 705 320 рассмотрим разряды справа налево: 0 - единицы, 2 - десятки, 3 - сотни, 5 - единицы тысяч, 0 - десятки тысяч. Цифра, записанная в разряде десятков тысяч, – это 0.
Ответ: б) 0.

3) В числе 9 876 543 210 разряды сгруппированы в классы (единицы, тысячи, миллионы, миллиарды). Класс миллионов представлен цифрами 876. В этом классе 6 - единицы миллионов, 7 - десятки миллионов, 8 - сотни миллионов. Таким образом, в разряде сотен миллионов записана цифра 8.
Ответ: а) 8.

4) В десятичной дроби 0,123456789 разряды после запятой именуются следующим образом: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные, стотысячные, миллионные. На шестой позиции после запятой стоит цифра 6, которая и находится в разряде миллионных.
Ответ: б) 6.

5) Смешанное число $3\frac{2}{9}$ состоит из целой части 3 и дробной части $\frac{2}{9}$. В любой дроби вида $\frac{a}{b}$, $a$ называется числителем, а $b$ - знаменателем. В дробной части $\frac{2}{9}$ знаменателем является число 9.
Ответ: в) 9.

6) Запись смешанной дроби, например $A\frac{b}{c}$, является сокращённой формой для суммы ее целой и дробной частей: $A + \frac{b}{c}$. Следовательно, между целой и дробной частью подразумевается знак сложения.
Ответ: б) сложения.

7) Чтобы найти число, соответствующее данной сумме, необходимо сложить все разрядные слагаемые: $80 000 000 + 3 000 000 + 4000 + 20 = 83 004 020$. Полученное число 83 004 020 соответствует варианту б).
Ответ: б) 83 004 020.

8) Данная сумма является разложением числа по степеням основания 10. Вычислим значение каждого слагаемого и сложим их: $3 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^2 + 7 = 3 \cdot 100000 + 5 \cdot 10000 + 8 \cdot 100 + 7 = 300000 + 50000 + 800 + 7 = 350807$.
Ответ: б) 350 807.

Согласно заданию, выписываем подряд все буквы, соответствующие выбранным ответам: вбабвббб.

14 Выбери окончания предложений так, чтобы получились истинные высказывания. Выпиши подряд все буквы, соответствующие твоим ответам.

1) Предыдущим для числа 79 399 является число: а) 78 399; б) 79 400; в) 79 398.

2) В разряде десятков тысяч числа 12 705 320 записана цифра: а) 2; б) 0; в) 5.

3) В разряде сотен миллионов числа 9 876 543 210 записана цифра: а) 8; б) 9; в) 5.

4) В разряде миллионных числа 0,123456789 записана цифра: а) 5; б) 6; в) 7.

5) В знаменателе дробной части числа $3\frac{2}{9}$ записана цифра: а) 3; б) 2; в) 9.

6) В записи смешанного числа между целой и дробной частью подразумевается знак: а) умножения; б) сложения; в) вычитания.

7) Сумма 80 000 000 + 3 000 000 + 4000 + 20 является разложением по разрядам числа: а) 834 020; б) 83 004 020; в) 8 304 020.

8) Сумма $3 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^2 + 7$ является разложением по разрядам числа: а) 35 087; б) 350 807; в) 3 508 007.

15 Сравни числа:

а) 7 508 996 и 758 999;

б) 2 371 405 и 2 371 054;

в) 3,275 и 3,6;

г) 0,956 и 1;

д) 123,4 и 5,6789;

е) 0,0009 и 0,008.

а) Для сравнения чисел $7\;508\;996$ и $758\;999$ сначала посчитаем количество цифр в каждом числе. Число $7\;508\;996$ состоит из 7 цифр (семизначное), а число $758\;999$ состоит из 6 цифр (шестизначное). Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше разрядов (цифр). Следовательно, $7\;508\;996$ больше, чем $758\;999$.
Ответ: $7\;508\;996 > 758\;999$.

б) Для сравнения чисел $2\;371\;405$ и $2\;371\;054$ заметим, что количество цифр в них одинаково. В этом случае нужно сравнивать числа поразрядно слева направо, до первого несовпадения.

• Разряд миллионов: $2 = 2$
• Разряд сотен тысяч: $3 = 3$
• Разряд десятков тысяч: $7 = 7$
• Разряд тысяч: $1 = 1$
• Разряд сотен: $4$ и $0$. Так как $4 > 0$, то первое число больше.

Дальнейшее сравнение не требуется.
Ответ: $2\;371\;405 > 2\;371\;054$.

в) Для сравнения десятичных дробей $3,275$ и $3,6$ сначала сравниваем их целые части. Целые части обоих чисел равны $3$. Далее сравниваем дробные части поразрядно, начиная с разряда десятых (первой цифры после запятой). В числе $3,275$ в разряде десятых стоит цифра $2$. В числе $3,6$ в разряде десятых стоит цифра $6$. Так как $2 < 6$, то и число $3,275$ меньше числа $3,6$.
Ответ: $3,275 < 3,6$.

г) Для сравнения чисел $0,956$ и $1$ сравним их целые части. Целая часть числа $0,956$ равна $0$. Целая часть числа $1$ равна $1$. Так как $0 < 1$, то число $0,956$ меньше, чем $1$.
Ответ: $0,956 < 1$.

д) Для сравнения чисел $123,4$ и $5,6789$ сравним их целые части. Целая часть числа $123,4$ равна $123$. Целая часть числа $5,6789$ равна $5$. Так как $123 > 5$, то число $123,4$ больше, чем $5,6789$.
Ответ: $123,4 > 5,6789$.

е) Для сравнения десятичных дробей $0,0009$ и $0,008$ сначала сравниваем их целые части. Они обе равны $0$. Далее сравниваем дробные части поразрядно слева направо.

• Разряд десятых: $0 = 0$
• Разряд сотых: $0 = 0$
• Разряд тысячных: $0$ и $8$. Так как $0 < 8$, то первое число меньше.

Другой способ: уравнять количество знаков после запятой, дописав нули. $0,008 = 0,0080$. Теперь сравниваем $0,0009$ и $0,0080$. Так как $9 < 80$, то $0,0009 < 0,008$.
Ответ: $0,0009 < 0,008$.

15 Сравни числа:

а) $7\,508\,996$ и $758\,999$;

б) $2\,371\,405$ и $2\,371\,054$;

в) $3.275$ и $3.6$;

г) $0.956$ и $1$;

д) $123.4$ и $5.6789$;

е) $0.0009$ и $0.008$.

16. Какие ты знаешь способы сравнений обыкновенных дробей? Сравни:

а) $\frac{9}{25}$ и $\frac{8}{25}$;

б) $\frac{5}{19}$ и $\frac{5}{12}$;

в) $\frac{111}{53}$ и $\frac{79}{84}$;

г) $\frac{4}{7}$ и $\frac{3}{5}$;

д) $\frac{44}{45}$ и $\frac{45}{46}$.

Существует несколько способов сравнения обыкновенных дробей. Выбор способа зависит от вида сравниваемых дробей.

• Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
• Сравнение дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
• Приведение к общему знаменателю: чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их можно привести к общему знаменателю и затем сравнить числители.
• Сравнение с единицей: правильная дробь (числитель меньше знаменателя) всегда меньше 1, а неправильная дробь (числитель больше или равен знаменателю) больше или равна 1.
• Сравнение "дополнений" до единицы: если обе дроби близки к 1, можно сравнить, какой из них не хватает до единицы. Та дробь будет больше, которой не хватает меньше.

Теперь сравним предложенные дроби, используя наиболее подходящие способы.

а) Сравним дроби $\frac{9}{25}$ и $\frac{8}{25}$.
У этих дробей одинаковые знаменатели (25). В этом случае больше та дробь, у которой больше числитель. Сравниваем числители: $9 > 8$. Следовательно, $\frac{9}{25} > \frac{8}{25}$.
Ответ: $\frac{9}{25} > \frac{8}{25}$.

б) Сравним дроби $\frac{5}{19}$ и $\frac{5}{12}$.
У этих дробей одинаковые числители (5). В этом случае больше та дробь, у которой меньше знаменатель. Сравниваем знаменатели: $19 > 12$. Следовательно, дробь со знаменателем 19 будет меньше. Таким образом, $\frac{5}{19} < \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{19} < \frac{5}{12}$.

в) Сравним дроби $\frac{111}{53}$ и $\frac{79}{84}$.
Используем метод сравнения с единицей. Дробь $\frac{111}{53}$ является неправильной, так как ее числитель (111) больше знаменателя (53), поэтому $\frac{111}{53} > 1$. Дробь $\frac{79}{84}$ является правильной, так как ее числитель (79) меньше знаменателя (84), поэтому $\frac{79}{84} < 1$. Так как первая дробь больше единицы, а вторая меньше единицы, то первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{111}{53} > \frac{79}{84}$.

г) Сравним дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{3}{5}$.
У этих дробей разные и числители, и знаменатели. Приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 5 это их произведение: $7 \times 5 = 35$.
Приводим первую дробь к знаменателю 35: $\frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 35: $\frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35}$.
Теперь сравниваем дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{20}{35}$ и $\frac{21}{35}$. Так как $20 < 21$, то $\frac{20}{35} < \frac{21}{35}$.
Ответ: $\frac{4}{7} < \frac{3}{5}$.

д) Сравним дроби $\frac{44}{45}$ и $\frac{45}{46}$.
Обе дроби очень близки к 1. Используем метод сравнения "дополнений" до единицы.
Найдем, сколько первой дроби не хватает до 1: $1 - \frac{44}{45} = \frac{45}{45} - \frac{44}{45} = \frac{1}{45}$.
Найдем, сколько второй дроби не хватает до 1: $1 - \frac{45}{46} = \frac{46}{46} - \frac{45}{46} = \frac{1}{46}$.
Теперь сравним эти "дополнения": $\frac{1}{45}$ и $\frac{1}{46}$. У них одинаковые числители, поэтому больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $45 < 46$, то $\frac{1}{45} > \frac{1}{46}$.
Это означает, что первой дроби ($\frac{44}{45}$) не хватает до единицы больше, чем второй ($\frac{45}{46}$). Следовательно, вторая дробь ближе к единице и больше первой.
Ответ: $\frac{44}{45} < \frac{45}{46}$.

16 Какие ты знаешь способы сравнений обыкновенных дробей? Сравни:

а) $&frac9;{25}$ и $&frac8;{25}$;

б) $&frac5;{19}$ и $&frac5;{12}$;

в) $&frac{111;}{53}$ и $&frac{79;}{84}$;

г) $&frac4;{7}$ и $&frac3;{5}$;

д) $&frac{44;}{45}$ и $&frac{45;}{46}$.

17 Реши задачи.

а) В летнем лагере 3 отряда. В первом отряде отдыхают 25 человек, во втором – в 1,2 раза больше, чем в первом, а в третьем – на 7 человек меньше, чем во втором. Для спортивной игры все отдыхающие разбились на две равные команды. Сколько человек было в каждой команде?

б) В летнем лагере за смену в 28 дней израсходовали 1 т картофеля. В первые 12 дней расход картофеля составил 38 кг в день. Каким будет расход картофеля в оставшиеся дни, если каждый день он будет одинаковым?

а)

1. Сначала найдем количество человек во втором отряде. По условию, их в 1,2 раза больше, чем в первом, где отдыхают 25 человек:

$25 \times 1,2 = 30$ (человек) – во втором отряде.

2. Далее определим количество человек в третьем отряде. Известно, что их на 7 человек меньше, чем во втором:

$30 - 7 = 23$ (человека) – в третьем отряде.

3. Теперь вычислим общее количество отдыхающих в лагере, сложив число людей в каждом из трех отрядов:

$25 + 30 + 23 = 78$ (человек) – всего в лагере.

4. Всех отдыхающих разбили на две равные команды. Чтобы найти, сколько человек было в каждой команде, разделим общее количество на 2:

$78 : 2 = 39$ (человек).

Ответ: в каждой команде было 39 человек.

б)

1. Сначала переведем общий вес картофеля из тонн в килограммы. В одной тонне 1000 килограммов:

$1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.

2. Вычислим, сколько килограммов картофеля было израсходовано за первые 12 дней смены, если ежедневный расход составлял 38 кг:

$12 \text{ дней} \times 38 \text{ кг/день} = 456 \text{ кг}$.

3. Найдем, сколько картофеля осталось на оставшиеся дни смены:

$1000 \text{ кг} - 456 \text{ кг} = 544 \text{ кг}$.

4. Определим количество оставшихся дней в смене. Вся смена длится 28 дней:

$28 \text{ дней} - 12 \text{ дней} = 16 \text{ дней}$.

5. Чтобы найти, каким будет расход картофеля в оставшиеся дни, разделим оставшееся количество картофеля на количество оставшихся дней:

$544 \text{ кг} : 16 \text{ дней} = 34 \text{ кг/день}$.

Ответ: расход картофеля в оставшиеся дни составит 34 кг в день.

17 Реши задачи:

а) В летнем лагере 3 отряда. В первом отряде отдыхают 25 человек, во втором – в 1,2 раза больше, чем в первом, а в третьем – на 7 человек меньше, чем во втором. Для спортивной игры все отдыхающие разбились на две равные команды. Сколько человек было в каждой команде?

б) В летнем лагере за смену в 28 дней израсходовали $1 \text{ т}$ картофеля. В первые 12 дней расход картофеля составил $38 \text{ кг}$ в день. Каким будет расход картофеля в оставшиеся дни, если каждый день он будет одинаковым?

18 Пусть $M$ – множество всех планет, названия которых начинаются с буквы М, $C$ – множество всех планет Солнечной системы, а $Г$ – множество всех планет Солнечной системы, входящих в группу планет-гигантов. Нарисуй диаграмму Эйлера – Венна множеств $M$, $C$ и $Г$. Обозначь на этой диаграмме планету Земля.

Для построения диаграммы Эйлера-Венна необходимо последовательно определить состав каждого множества, установить отношения между ними и определить положение планеты Земля.

Определение состава множеств

Исходя из условия задачи и общих знаний об астрономии, определим элементы заданных множеств в рамках Солнечной системы:
С — множество всех планет Солнечной системы. В него входят: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун.
М — множество всех планет, названия которых начинаются с буквы «М». Из планет Солнечной системы к этому множеству относятся Меркурий и Марс.
Г — множество планет-гигантов Солнечной системы. В него входят газовые и ледяные гиганты: Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун.

Установление отношений между множествами

Проанализируем взаимосвязи между множествами С, М и Г:
1. Все планеты-гиганты (множество Г) являются планетами Солнечной системы (множество С). Это означает, что множество Г является подмножеством множества С. В математической записи это выглядит так: $G \subset C$.
2. Множество М (планеты, названия которых начинаются на «М») и множество Г (планеты-гиганты) не имеют общих элементов. Следовательно, эти множества не пересекаются, и их пересечение является пустым множеством: $M \cap G = \emptyset$.
3. Множество М и множество С имеют общие элементы (Меркурий, Марс), значит, они пересекаются.

Определение положения планеты Земля

Рассмотрим, к каким множествам относится планета Земля:
- Земля — планета Солнечной системы, следовательно, она принадлежит множеству С.
- Название «Земля» не начинается на букву «М», значит, она не принадлежит множеству М.
- Земля является планетой земной группы, а не гигантом, поэтому она не принадлежит множеству Г.
Таким образом, на диаграмме Земля должна находиться внутри области множества С, но вне областей М и Г.

Построение диаграммы Эйлера-Венна

На основе установленных фактов строим диаграмму. Область С будет самой большой и будет содержать в себе область Г. Область М будет пересекаться с С, но не будет иметь общих точек с Г. Планета Земля будет отмечена точкой в соответствующей области.

Ответ: Диаграмма Эйлера-Венна, отражающая отношения между множествами М, С, Г и положение планеты Земля, представлена на рисунке выше. Множество Г (планеты-гиганты) является подмножеством множества С (планеты Солнечной системы). Множество М (планеты, названия которых начинаются на «М») пересекается с С, но не пересекается с Г. Планета Земля находится в множестве С, но за пределами множеств М и Г.

18 Пусть $M$ – множество всех планет, названия которых начинаются с буквы $M$, $C$ – множество всех планет Солнечной системы, а $\Gamma$ – множество всех планет Солнечной системы, входящих в группу планет-гигантов. Нарисуй диаграмму Эйлера-Венна множеств $M$, $C$ и $\Gamma$. Обозначь на этой диаграмме планету Земля.

15 1) Измерь стороны треугольника ABC и вычисли синус, косинус и тангенс угла A.

2) Вычисли сумму квадратов синуса и косинуса угла A.

3) Найди отношение синуса угла A к косинусу угла A и сравни его с тангенсом угла A.

4) Выполни три предыдущих задания для угла B треугольника ABC. Что ты замечаешь?

5) Повтори исследование для острого угла произвольного прямоугольного треугольника. Сформулируй гипотезу. Попробуй доказать её в общем виде, используя теорему Пифагора (см. № 18).

1) Измерь стороны треугольника ABC и вычисли синус, косинус и тангенс угла A.
Поскольку невозможно точно измерить стороны на изображении, примем их длины пропорциональными известному "египетскому" треугольнику для простоты вычислений. Пусть катет, противолежащий углу A, $BC = 3$ условных единицы, а катет, прилежащий к углу A, $AC = 4$ условных единицы.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ условных единиц.
Теперь вычислим тригонометрические функции для угла A:
Синус угла A — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$sin(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6$
Косинус угла A — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8$
Тангенс угла A — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: $sin(A) = \frac{3}{5}$, $cos(A) = \frac{4}{5}$, $tan(A) = \frac{3}{4}$.

2) Вычисли сумму квадратов синуса и косинуса угла A.
Используя значения, полученные в предыдущем пункте, вычислим $sin^2(A) + cos^2(A)$:
$sin^2(A) + cos^2(A) = (\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{9 + 16}{25} = \frac{25}{25} = 1$

Ответ: 1.

3) Найди отношение синуса угла A к косинусу угла A и сравни его с тангенсом угла A.
Найдем отношение $\frac{sin(A)}{cos(A)}$:
$\frac{sin(A)}{cos(A)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$
Сравним полученное значение с тангенсом угла A из пункта 1: $tan(A) = \frac{3}{4}$.
Значения равны.

Ответ: Отношение синуса угла A к косинусу угла A равно тангенсу угла A ($\frac{sin(A)}{cos(A)} = tan(A)$).

4) Выполни три предыдущих задания для угла B треугольника ABC. Что ты замечаешь?
Выполним задания для угла B. Для угла B катет AC является противолежащим ($AC=4$), а катет BC — прилежащим ($BC=3$). Гипотенуза $AB=5$.
1. Вычисление тригонометрических функций угла B:
$sin(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$
$cos(B) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$
$tan(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{3}$
2. Сумма квадратов синуса и косинуса угла B:
$sin^2(B) + cos^2(B) = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$
3. Отношение синуса угла B к косинусу угла B:
$\frac{sin(B)}{cos(B)} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$, что равно $tan(B)$.

Что можно заметить:
- Для угла B, как и для угла A, сумма квадратов синуса и косинуса равна 1.
- Для угла B, как и для угла A, отношение синуса к косинусу равно тангенсу.
- Сравнивая функции углов A и B (которые являются острыми углами прямоугольного треугольника, т.е. $A+B=90^\circ$), можно заметить, что:
$sin(A) = \frac{3}{5} = cos(B)$
$cos(A) = \frac{4}{5} = sin(B)$
$tan(A) = \frac{3}{4}$ и $tan(B) = \frac{4}{3}$, т.е. $tan(A) = \frac{1}{tan(B)}$.

Ответ: Для угла B получены аналогичные результаты: $sin^2(B) + cos^2(B) = 1$ и $\frac{sin(B)}{cos(B)} = tan(B)$. Также было замечено, что $sin(A) = cos(B)$ и $cos(A) = sin(B)$.

5) Повтори исследование для острого угла произвольного прямоугольного треугольника. Сформулируй гипотезу. Попробуй доказать её в общем виде, используя теорему Пифагора.
Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Пусть $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$ и прилежащий к катету $b$.
По определению:
$sin(\alpha) = \frac{a}{c}$
$cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
$tan(\alpha) = \frac{a}{b}$
По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Гипотеза: Для любого острого угла $\alpha$ справедливы следующие тождества:
1. $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$ (основное тригонометрическое тождество).
2. $\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = tan(\alpha)$.

Доказательство:
1. Докажем первое тождество. Подставим определения синуса и косинуса:
$sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$
Используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), заменим числитель:
$\frac{c^2}{c^2} = 1$
Таким образом, $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Тождество доказано.

2. Докажем второе тождество. Подставим определения синуса и косинуса в левую часть:
$\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b}$
По определению, $tan(\alpha) = \frac{a}{b}$. Следовательно, $\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = tan(\alpha)$. Тождество доказано.

Ответ: Гипотеза состоит в том, что для любого острого угла $\alpha$ выполняются тождества $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$ и $\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = tan(\alpha)$. Доказательство приведено выше и основывается на определениях тригонометрических функций и теореме Пифагора.

15 1) Измерь стороны треугольника ABC и вычисли синус, косинус и тангенс угла A.

2) Вычисли сумму квадратов синуса и косинуса угла A.

3) Найди отношение синуса угла A к косинусу угла A и сравни его с тангенсом угла A.

4) Выполни три предыдущих задания для угла B треугольника ABC. Что ты замечаешь?

5) Повтори исследование для острого угла произвольного прямоугольного треугольника. Сформулируй гипотезу. Попробуй доказать ее в общем виде, используя теорему Пифагора (см. № 18).

$ \Pi $ 16 1) Увеличь 2,75 на $ \frac{1}{4} $.

2) Уменьши $ 4\frac{2}{15} $ в 3,1 раза.

3) Уменьши $ 9\frac{3}{8} $ на 4,37.

4) Увеличь 5,4 в $ 1\frac{1}{27} $ раза.

1) Увеличь 2,75 на $\frac{1}{4}$

Чтобы увеличить число $2,75$ на $\frac{1}{4}$, необходимо выполнить сложение. Для удобства вычислений представим оба числа в виде десятичных дробей.
Переведем обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$ в десятичную:
$\frac{1}{4} = 1 \div 4 = 0,25$.
Теперь выполним сложение:
$2,75 + 0,25 = 3$.
Ответ: 3

2) Уменьши $4\frac{2}{15}$ в 3,1 раза

Чтобы уменьшить число $4\frac{2}{15}$ в $3,1$ раза, необходимо выполнить деление. Для этого преобразуем оба числа в неправильные дроби.
Преобразуем смешанное число $4\frac{2}{15}$:
$4\frac{2}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{60+2}{15} = \frac{62}{15}$.
Преобразуем десятичную дробь $3,1$:
$3,1 = 3\frac{1}{10} = \frac{3 \cdot 10 + 1}{10} = \frac{31}{10}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{62}{15} \div \frac{31}{10} = \frac{62}{15} \cdot \frac{10}{31}$.
Сократим дробь: $62$ и $31$ делятся на $31$; $10$ и $15$ делятся на $5$.
$\frac{62 \cdot 10}{15 \cdot 31} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}$.
Преобразуем неправильную дробь $\frac{4}{3}$ в смешанное число:
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{3}$

3) Уменьши $9\frac{3}{8}$ на 4,37

Чтобы уменьшить число $9\frac{3}{8}$ на $4,37$, необходимо выполнить вычитание. Для удобства вычислений преобразуем смешанное число в десятичную дробь.
Переведем дробную часть $\frac{3}{8}$ в десятичную дробь:
$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0,375$.
Следовательно, смешанное число $9\frac{3}{8}$ равно $9,375$.
Теперь выполним вычитание:
$9,375 - 4,37 = 9,375 - 4,370 = 5,005$.
Ответ: 5,005

4) Увеличь 5,4 в $1\frac{1}{27}$ раза

Чтобы увеличить число $5,4$ в $1\frac{1}{27}$ раза, необходимо выполнить умножение. Преобразуем оба числа в неправильные дроби.
Преобразуем десятичную дробь $5,4$:
$5,4 = 5\frac{4}{10} = 5\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}$.
Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{27}$:
$1\frac{1}{27} = \frac{1 \cdot 27 + 1}{27} = \frac{28}{27}$.
Теперь выполним умножение дробей и сократим:
$\frac{27}{5} \cdot \frac{28}{27} = \frac{\cancel{27} \cdot 28}{5 \cdot \cancel{27}} = \frac{28}{5}$.
Преобразуем полученную неправильную дробь в десятичную:
$\frac{28}{5} = 28 \div 5 = 5,6$.
Ответ: 5,6

16 1) Увеличь 2,75 на $ \frac{1}{4} $.

2) Уменьши $4 \frac{2}{15}$ в 3,1 раза.

3) Уменьши $9 \frac{3}{8}$ на 4,37.

4) Увеличь 5,4 в $1 \frac{1}{27}$ раза.

17 Запиши высказывания на математическом языке.

1) Число a в 7 раз меньше числа b. $a = \frac{b}{7}$

2) Число c на 3 больше числа d. $c = d + 3$

3) Число m составляет $\frac{2}{9}$ числа n. $m = \frac{2}{9}n$

4) Число k составляет 80 % числа t. $k = 0.8t$

5) Число x на 28 % больше числа y. $x = 1.28y$

6) Число p на 40 % меньше числа s. $p = 0.6s$

1) Высказывание "Число a в 7 раз меньше числа b" означает, что если число a умножить на 7, мы получим число b. Также это означает, что число a равно числу b, разделенному на 7. Оба варианта записи верны.
Ответ: $b = 7a$ или $a = \frac{b}{7}$

2) Высказывание "Число c на 3 больше числа d" означает, что разница между числами c и d равна 3, или что для получения числа c нужно к числу d прибавить 3.
Ответ: $c = d + 3$

3) Высказывание "Число m составляет $\frac{2}{9}$ числа n" означает, что число m равно произведению числа n на дробь $\frac{2}{9}$.
Ответ: $m = \frac{2}{9}n$

4) Высказывание "Число k составляет 80 % числа t" означает, что k равно 80 процентам от t. Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби (80 % = 0,8) и умножить на это число.
Ответ: $k = 0,8t$

5) Высказывание "Число x на 28 % больше числа y" означает, что x равен сумме числа y и 28 % от y. Если принять y за 100 %, то x будет равен 100 % + 28 % = 128 % от y. Переведем проценты в десятичную дробь: 128 % = 1,28.
Математически это выглядит так: $x = y + 0,28y = (1 + 0,28)y = 1,28y$.
Ответ: $x = 1,28y$

6) Высказывание "Число p на 40 % меньше числа s" означает, что p равно разности числа s и 40 % от s. Если принять s за 100 %, то p будет равен 100 % - 40 % = 60 % от s. Переведем проценты в десятичную дробь: 60 % = 0,6.
Математически это выглядит так: $p = s - 0,4s = (1 - 0,4)s = 0,6s$.
Ответ: $p = 0,6s$

17 Запиши высказывания на математическом языке:

1) Число a в 7 раз меньше числа b.

$a = \frac{b}{7}$

2) Число c на 3 больше числа d.

$c = d + 3$

3) Число m составляет $\frac{2}{9}$ числа n.

$m = \frac{2}{9}n$

4) Число k составляет 80% числа t.

$k = 0.8t$

5) Число x на 28% больше числа y.

$x = 1.28y$

6) Число p на 40% меньше числа s.

$p = 0.6s$

18 Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза - $c$. На сторонах этого треугольника построены квадраты. Используя рисунки, покажи, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство этого равенства, называемого теоремой Пифагора, было известно уже в V веке до н. э. Запиши это равенство на математическом языке.

$a^2 + b^2 = c^2$

Используя рисунки, покажи, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Рассмотрим второй (в центре) и третий (справа) рисунки. На обоих изображен большой квадрат, сторона которого равна сумме катетов исходного прямоугольного треугольника, то есть $a+b$. Следовательно, площади этих больших квадратов равны.

Площадь большого квадрата на втором рисунке можно представить как сумму площадей его составляющих: квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$), квадрата со стороной $b$ (площадь $b^2$) и четырех одинаковых прямоугольных треугольников (закрашены розовым), площадь каждого из которых равна $\frac{1}{2}ab$. Таким образом, общая площадь $S$ равна: $S = a^2 + b^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + 2ab$.

Площадь большого квадрата на третьем рисунке также можно представить как сумму площадей его составляющих: внутреннего квадрата со стороной $c$ (площадь $c^2$) и тех же самых четырех прямоугольных треугольников. Таким образом, общая площадь $S$ равна: $S = c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab$.

Поскольку площади больших квадратов равны, мы можем приравнять полученные выражения: $a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$.

Вычтем из обеих частей равенства $2ab$, получим: $a^2 + b^2 = c^2$.

Это равенство доказывает, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах ($a^2$ и $b^2$), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе ($c^2$).

Ответ: Сравнивая два способа вычисления площади большого квадрата со стороной $a+b$, мы получаем равенство $a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$, из которого следует, что $a^2 + b^2 = c^2$.

Запиши это равенство на математическом языке.

Равенство, доказывающее, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы, называется теоремой Пифагора и на математическом языке записывается в виде формулы.

Ответ: $a^2 + b^2 = c^2$.

18 Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. На сторонах этого треугольника построены квадраты. Используя рисунки, покажи, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе:

Доказательство этого равенства, называемого теоремой Пифагора, было известно уже в V веке до н. э. Запиши это равенство на математическом языке.

$a^2 + b^2 = c^2$

19 Реши уравнения, используя правило «весов»:

а) $0,9a + 4,96 = 3,6 + 1,4a$;

б) $4 \frac{1}{3} b + b = 6b - 10,4$;

в) $0,4(2x + 0,3) = \frac{1}{3}(6x - 7,2)$;

г) $5(y - 3,8) = 4,7(y - 4)$.

а) $0,9a + 4,96 = 3,6 + 1,4a$

Правило «весов» означает, что мы можем выполнять одинаковые операции с обеими частями уравнения, сохраняя равенство. Перенесем слагаемые с переменной $a$ в одну сторону, а числа — в другую. Для этого вычтем $0,9a$ и $3,6$ из обеих частей уравнения:

$0,9a + 4,96 - 0,9a - 3,6 = 3,6 + 1,4a - 0,9a - 3,6$

После упрощения получаем:

$1,36 = 0,5a$

Теперь, чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на $0,5$:

$a = \frac{1,36}{0,5}$

$a = 2,72$

Ответ: $a = 2,72$.

б) $4\frac{1}{3}b + b = 6b - 10,4$

Сначала упростим левую часть уравнения, сложив коэффициенты при $b$:

$4\frac{1}{3}b + 1b = (4\frac{1}{3} + 1)b = 5\frac{1}{3}b$

Теперь уравнение выглядит так:

$5\frac{1}{3}b = 6b - 10,4$

Перенесем слагаемые с переменной $b$ в правую часть, а число $-10,4$ — в левую (сменив знаки):

$10,4 = 6b - 5\frac{1}{3}b$

Выполним вычитание в правой части:

$6b - 5\frac{1}{3}b = (6 - 5\frac{1}{3})b = \frac{2}{3}b$

Получаем:

$10,4 = \frac{2}{3}b$

Чтобы найти $b$, умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$b = 10,4 \cdot \frac{3}{2}$

$b = 5,2 \cdot 3$

$b = 15,6$

Ответ: $b = 15,6$.

в) $0,4(2x + 0,3) = \frac{1}{3}(6x - 7,2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя распределительный закон:

$0,4 \cdot 2x + 0,4 \cdot 0,3 = \frac{1}{3} \cdot 6x - \frac{1}{3} \cdot 7,2$

$0,8x + 0,12 = 2x - 2,4$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую. Вычтем $0,8x$ из обеих частей и прибавим $2,4$ к обеим частям:

$0,12 + 2,4 = 2x - 0,8x$

Упростим обе части:

$2,52 = 1,2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на $1,2$:

$x = \frac{2,52}{1,2}$

$x = 2,1$

Ответ: $x = 2,1$.

г) $5(y - 3,8) = 4,7(y - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5 \cdot y - 5 \cdot 3,8 = 4,7 \cdot y - 4,7 \cdot 4$

$5y - 19 = 4,7y - 18,8$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую. Вычтем $4,7y$ из обеих частей и прибавим $19$ к обеим частям:

$5y - 4,7y = -18,8 + 19$

Упростим обе части:

$0,3y = 0,2$

Чтобы найти $y$, разделим обе части на $0,3$:

$y = \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $y = \frac{2}{3}$.

19 Реши уравнения, используя правило “весов”:

а) $0.9a + 4.96 = 3.6 + 1.4a;$

б) $4 \frac{1}{3} b + b = 6b - 10.4;$

в) $0.4(2x + 0.3) = \frac{1}{3}(6x - 7.2);$

г) $5(y - 3.8) = 4.7(y - 4).$

23 Найди значения выражений, сопоставь их соответствующим буквам и расположи полученные числа в порядке убывания. Расшифруй название математического термина. Что он означает?

Н: $-4(a + 1) - 5$, если $a = -0,7$;

Б: $4(n - 2) - 3(n + 2)$, если $n = 7,6$;

Е: $2b - 3(b - 4)$, если $b = 6,8$;

О: $-2(7 + d) + 3(-d + 5)$, если $d = -1,9$;

Р: $-m + 2(-m + 3)$, если $m = -0,8$;

К: $-x + (3 - 2x) - 2(x + 4)$, если $x = -3,4$.

Для решения задачи найдем значение каждого выражения.

Н. Вычислим значение выражения $-4(a + 1) - 5$, если $a = -0,7$.
Подставим значение $a$ в выражение:
$-4(-0,7 + 1) - 5 = -4(0,3) - 5 = -1,2 - 5 = -6,2$.
Ответ: -6,2

Б. Упростим и вычислим значение выражения $4(n - 2) - 3(n + 2)$, если $n = 7,6$.
Сначала раскроем скобки: $4 \cdot n + 4 \cdot (-2) - 3 \cdot n - 3 \cdot 2 = 4n - 8 - 3n - 6$.
Приведем подобные слагаемые: $(4n - 3n) + (-8 - 6) = n - 14$.
Теперь подставим значение $n = 7,6$: $7,6 - 14 = -6,4$.
Ответ: -6,4

Е. Упростим и вычислим значение выражения $2b - 3(b - 4)$, если $b = 6,8$.
Раскроем скобки: $2b - 3b - 3 \cdot (-4) = 2b - 3b + 12$.
Приведем подобные слагаемые: $(2b - 3b) + 12 = -b + 12$.
Подставим значение $b = 6,8$: $-6,8 + 12 = 5,2$.
Ответ: 5,2

О. Упростим и вычислим значение выражения $-2(7 + d) + 3(-d + 5)$, если $d = -1,9$.
Раскроем скобки: $-2 \cdot 7 - 2 \cdot d + 3 \cdot (-d) + 3 \cdot 5 = -14 - 2d - 3d + 15$.
Приведем подобные слагаемые: $(-2d - 3d) + (-14 + 15) = -5d + 1$.
Подставим значение $d = -1,9$: $-5(-1,9) + 1 = 9,5 + 1 = 10,5$.
Ответ: 10,5

Р. Упростим и вычислим значение выражения $-m + 2(-m + 3)$, если $m = -0,8$.
Раскроем скобки: $-m - 2m + 2 \cdot 3 = -m - 2m + 6$.
Приведем подобные слагаемые: $(-m - 2m) + 6 = -3m + 6$.
Подставим значение $m = -0,8$: $-3(-0,8) + 6 = 2,4 + 6 = 8,4$.
Ответ: 8,4

К. Упростим и вычислим значение выражения $-x + (3 - 2x) - 2(x + 4)$, если $x = -3,4$.
Раскроем скобки: $-x + 3 - 2x - 2x - 2 \cdot 4 = -x + 3 - 2x - 2x - 8$.
Приведем подобные слагаемые: $(-x - 2x - 2x) + (3 - 8) = -5x - 5$.
Подставим значение $x = -3,4$: $-5(-3,4) - 5 = 17 - 5 = 12$.
Ответ: 12

Теперь сопоставим буквы и полученные значения и расположим числа в порядке убывания:

• 12 (К)
• 10,5 (О)
• 8,4 (Р)
• 5,2 (Е)
• -6,2 (Н)
• -6,4 (Б)

Расшифрованный математический термин: КОРЕНЬ.

Что означает математический термин "корень"?
В математике у слова "корень" есть несколько основных значений:
1. Корень уравнения — это число, которое при подстановке вместо переменной обращает уравнение в верное числовое равенство. Например, для уравнения $x + 3 = 8$ корнем является число $5$.
2. Арифметический корень (например, квадратный $\sqrt{a}$ или кубический $\sqrt[3]{a}$) — это операция, обратная возведению в степень. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называют такое неотрицательное число $x$, что $x^n=a$. Например, $\sqrt{49} = 7$, потому что $7^2 = 49$.

23 Найди значения выражений, сопоставь их соответствующим буквам и расположи полученные числа в порядке убывания. Расшифруй название математического термина. Что он означает?

Н $-4(a + 1) - 5$, если $a = -0,7$;

Б $4(n - 2) - 3(n + 2)$, если $n = 7,6$;

Е $2b - 3(b - 4)$, если $b = 6,8$;

О $-2(7 + d) + 3(-d + 5)$, если $d = -1,9$;

Р $-m + 2(-m + 3)$, если $m = -0,8$;

К $-x + (3 - 2x) - 2(x + 4)$, если $x = -3,4$.

24 Составь выражение и найди его значение при данных значениях букв.

Пароход плыл 5 ч по течению реки и 3 ч против течения. С какой средней скоростью он плыл, если его собственная скорость равна $v$ км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч? ($v = 28; 29,7; 35,5.$)

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — общее расстояние, а $t_{общ}$ — общее время.

1. Сначала составим выражение для нахождения общего расстояния.
Скорость парохода по течению реки равна сумме его собственной скорости $v$ и скорости течения (2 км/ч): $v + 2$ км/ч.
Расстояние, пройденное по течению за 5 часов: $S_{по} = 5 \cdot (v + 2)$ км.
Скорость парохода против течения реки равна разности его собственной скорости $v$ и скорости течения: $v - 2$ км/ч.
Расстояние, пройденное против течения за 3 часа: $S_{против} = 3 \cdot (v - 2)$ км.
Общее расстояние: $S_{общ} = S_{по} + S_{против} = 5(v + 2) + 3(v - 2)$ км.

2. Найдем общее время движения.
$t_{общ} = 5 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 8$ ч.

3. Теперь составим выражение для средней скорости и упростим его.
$v_{ср} = \frac{5(v + 2) + 3(v - 2)}{8} = \frac{5v + 10 + 3v - 6}{8} = \frac{8v + 4}{8} = \frac{8v}{8} + \frac{4}{8} = v + 0,5$.

Итак, выражение для нахождения средней скорости: $v + 0,5$. Теперь подставим в него данные значения $v$.

v = 28;
$28 + 0,5 = 28,5$ (км/ч).
Ответ: 28,5 км/ч.

v = 29,7;
$29,7 + 0,5 = 30,2$ (км/ч).
Ответ: 30,2 км/ч.

v = 35,5.
$35,5 + 0,5 = 36$ (км/ч).
Ответ: 36 км/ч.

24 Составь выражение и найди его значение при данных значениях букв:

Пароход плыл 5 ч по течению реки и 3 ч против течения. С какой средней скоростью он плыл, если его собственная скорость равна $v$ км/ч, а ско-рость течения реки – 2 км/ч? ($v = 28; 29,7; 35,5.$)

C

25* Раздели 25 р. на 2 части так, чтобы одна часть была в 49 раз больше другой.

Для решения этой задачи обозначим одну из частей через переменную. Пусть меньшая часть равна $x$ рублей.

Согласно условию, вторая часть в 49 раз больше первой. Следовательно, большая часть будет равна $49x$ рублей.

Сумма этих двух частей составляет 25 рублей. На основе этого мы можем составить и решить уравнение:

$x + 49x = 25$

Сложим слагаемые в левой части уравнения:

$50x = 25$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 50:

$x = \frac{25}{50} = 0.5$

Таким образом, меньшая часть составляет 0,5 рубля (что равно 50 копейкам).

Теперь вычислим большую часть, умножив найденное значение $x$ на 49:

$49 \times 0.5 = 24.5$

Следовательно, большая часть составляет 24,5 рубля (что равно 24 рублям 50 копейкам).

Проверим полученные результаты:

1. Сумма двух частей: $0.5 + 24.5 = 25$ рублей. Это соответствует исходной сумме.

2. Отношение большей части к меньшей: $\frac{24.5}{0.5} = 49$. Это соответствует условию, что одна часть в 49 раз больше другой.

Ответ: 0,5 р. и 24,5 р.

C 25 Раздели 25 рублей на 2 части так, чтобы одна часть была в 49 раз больше другой.

26 Старинная задача

Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт.

В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Для решения этой задачи составим уравнение, которое описывает стоимость смеси чая. Пусть для приготовления смеси необходимо взять $x$ частей цейлонского чая и $y$ частей индийского чая.

Стоимость $x$ частей цейлонского чая, цена которого 5 гривен за фунт, составит $5x$ условных денежных единиц.

Стоимость $y$ частей индийского чая, цена которого 8 гривен за фунт, составит $8y$ условных денежных единиц.

Общее количество смеси составит $x + y$ частей, а её общая стоимость будет равна $5x + 8y$.

Согласно условию, стоимость одного фунта (одной части) смеси должна равняться 6 гривен. Это означает, что общая стоимость смеси, разделенная на общее количество частей, должна быть равна 6:

$\frac{5x + 8y}{x + y} = 6$

Теперь решим это уравнение относительно $x$ и $y$, чтобы найти их соотношение. Умножим обе части уравнения на $(x + y)$:

$5x + 8y = 6(x + y)$

Раскроем скобки в правой части:

$5x + 8y = 6x + 6y$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а с $y$ — в другой:

$8y - 6y = 6x - 5x$

$2y = x$

Из полученного равенства $x = 2y$ следует, что количество цейлонского чая ($x$) должно быть в два раза больше количества индийского чая ($y$). Таким образом, соотношение цейлонского чая к индийскому должно быть 2 к 1.

Ответ: Чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт, нужно смешать 2 части цейлонского чая и 1 часть индийского чая.

26 Старинная задача.

Имеет некто чай двух сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт и индийский по 8 гривен за фунт.

В каких долях надо смешать эти два сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?