Страница 14, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

34 Выполни действия и округли полученные ответы с точностью:

а) до десятков: $2987.4 + 7.85$; $100.1 - 47.907$; $39.5 \cdot 5.09$; $163.846 \div 0.79$;

б) до единиц: $82.435 + 7.0684$; $203 - 75.48$; $470.5 \cdot 0.804$; $0.43236 \div 0.045$;

в) до десятых: $205.038 + 9.47$; $4.2 - 1.517$; $320 \cdot 0.0564$; $0.06111 \div 0.063$;

г) до сотых: $1.514 + 0.4872$; $5.1002 - 0.005$; $5.7 \cdot 0.053$; $0.649636 \div 0.806$.

а) до десятков

1) $2987,4 + 7,85 = 2995,25$
Округляем до десятков. В разряде единиц стоит цифра 5, значит, округляем в большую сторону. $2995,25 \approx 3000$.
Ответ: 3000.

2) $100,1 - 47,907 = 52,193$
Округляем до десятков. В разряде единиц стоит цифра 2, значит, округляем в меньшую сторону. $52,193 \approx 50$.
Ответ: 50.

3) $39,5 \cdot 5,09 = 201,055$
Округляем до десятков. В разряде единиц стоит цифра 1, значит, округляем в меньшую сторону. $201,055 \approx 200$.
Ответ: 200.

4) $163,846 : 0,79 = 207,4$
Округляем до десятков. В разряде единиц стоит цифра 7, значит, округляем в большую сторону. $207,4 \approx 210$.
Ответ: 210.

б) до единиц

1) $82,435 + 7,0684 = 89,5034$
Округляем до единиц. В разряде десятых стоит цифра 5, значит, округляем в большую сторону. $89,5034 \approx 90$.
Ответ: 90.

2) $203 - 75,48 = 127,52$
Округляем до единиц. В разряде десятых стоит цифра 5, значит, округляем в большую сторону. $127,52 \approx 128$.
Ответ: 128.

3) $470,5 \cdot 0,804 = 378,302$
Округляем до единиц. В разряде десятых стоит цифра 3, значит, округляем в меньшую сторону. $378,302 \approx 378$.
Ответ: 378.

4) $0,43236 : 0,045 = 9,608$
Округляем до единиц. В разряде десятых стоит цифра 6, значит, округляем в большую сторону. $9,608 \approx 10$.
Ответ: 10.

в) до десятых

1) $205,038 + 9,47 = 214,508$
Округляем до десятых. В разряде сотых стоит цифра 0, значит, округляем в меньшую сторону. $214,508 \approx 214,5$.
Ответ: 214,5.

2) $4,2 - 1,517 = 2,683$
Округляем до десятых. В разряде сотых стоит цифра 8, значит, округляем в большую сторону. $2,683 \approx 2,7$.
Ответ: 2,7.

3) $320 \cdot 0,0564 = 18,048$
Округляем до десятых. В разряде сотых стоит цифра 4, значит, округляем в меньшую сторону. $18,048 \approx 18,0$.
Ответ: 18,0.

4) $0,06111 : 0,063 \approx 0,970...$
Округляем до десятых. В разряде сотых стоит цифра 7, значит, округляем в большую сторону. $0,970... \approx 1,0$.
Ответ: 1,0.

г) до сотых

1) $1,514 + 0,4872 = 2,0012$
Округляем до сотых. В разряде тысячных стоит цифра 1, значит, округляем в меньшую сторону. $2,0012 \approx 2,00$.
Ответ: 2,00.

2) $5,1002 - 0,005 = 5,0952$
Округляем до сотых. В разряде тысячных стоит цифра 5, значит, округляем в большую сторону. $5,0952 \approx 5,10$.
Ответ: 5,10.

3) $5,7 \cdot 0,053 = 0,3021$
Округляем до сотых. В разряде тысячных стоит цифра 2, значит, округляем в меньшую сторону. $0,3021 \approx 0,30$.
Ответ: 0,30.

4) $0,649636 : 0,806 \approx 0,8060...$
Округляем до сотых. В разряде тысячных стоит цифра 6, значит, округляем в большую сторону. $0,8060... \approx 0,81$.
Ответ: 0,81.

34 Выполни действия и округли полученные ответы с точностью:

а) до десятков: $2987,4 + 7,85$; $100,1 - 47,907$; $39,5 \cdot 5,09$; $163,846 : 0,79$;

б) до единиц: $82,435 + 7,0684$; $203 - 75,48$; $470,5 \cdot 0,804$; $0,43236 : 0,045$;

в) до десятых: $205,038 + 9,47$; $4,2 - 1,517$; $320 \cdot 0,0564$; $0,06111 : 0,063$;

г) до сотых: $1,514 + 0,4872$; $5,1002 - 0,005$; $5,7 \cdot 0,053$; $0,649636 : 0,806$.

35 Верно ли, что любую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную? Представь дроби в виде бесконечных периодических дробей и округли с точностью до тысячных:

a) $\frac{1}{3}$

б) $\frac{2}{11}$

в) $\frac{23}{90}$

г) $\frac{32}{33}$

Нет, неверно. Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если знаменатель ее несократимой формы не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5. В противном случае, при делении числителя на знаменатель получится бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, дробь $\frac{1}{3}$ нельзя перевести в конечную десятичную дробь, так как ее знаменатель равен 3.

а) Чтобы представить дробь $\frac{1}{3}$ в виде бесконечной периодической дроби, разделим числитель на знаменатель: $1 \div 3 = 0.333...$ . Периодически повторяющаяся цифра — это 3. Запишем в виде периодической дроби: $\frac{1}{3} = 0.(3)$. Для округления до тысячных посмотрим на четвертую цифру после запятой. В числе $0.3333...$ это 3. Так как $3 < 5$, то третью цифру после запятой оставляем без изменений: $0.(3) \approx 0.333$.
Ответ: $\frac{1}{3} = 0.(3) \approx 0.333$

б) Чтобы представить дробь $\frac{2}{11}$ в виде бесконечной периодической дроби, разделим числитель на знаменатель: $2 \div 11 = 0.181818...$ . Периодически повторяющаяся группа цифр — это 18. Запишем в виде периодической дроби: $\frac{2}{11} = 0.(18)$. Для округления до тысячных посмотрим на четвертую цифру после запятой. В числе $0.1818...$ это 8. Так как $8 \geq 5$, то третью цифру после запятой увеличиваем на единицу: $1+1=2$. Получаем: $0.(18) \approx 0.182$.
Ответ: $\frac{2}{11} = 0.(18) \approx 0.182$

в) Чтобы представить дробь $\frac{23}{90}$ в виде бесконечной периодической дроби, разделим числитель на знаменатель: $23 \div 90 = 0.2555...$ . Периодически повторяющаяся цифра — это 5. Запишем в виде периодической дроби: $\frac{23}{90} = 0.2(5)$. Для округления до тысячных посмотрим на четвертую цифру после запятой. В числе $0.2555...$ это 5. Так как $5 \geq 5$, то третью цифру после запятой увеличиваем на единицу: $5+1=6$. Получаем: $0.2(5) \approx 0.256$.
Ответ: $\frac{23}{90} = 0.2(5) \approx 0.256$

г) Чтобы представить дробь $\frac{32}{33}$ в виде бесконечной периодической дроби, разделим числитель на знаменатель: $32 \div 33 = 0.969696...$ . Периодически повторяющаяся группа цифр — это 96. Запишем в виде периодической дроби: $\frac{32}{33} = 0.(96)$. Для округления до тысячных посмотрим на четвертую цифру после запятой. В числе $0.9696...$ это 6. Так как $6 \geq 5$, то третью цифру после запятой увеличиваем на единицу: $9+1=10$. Это приводит к увеличению предыдущего разряда: $6+1=7$. Получаем: $0.(96) \approx 0.970$.
Ответ: $\frac{32}{33} = 0.(96) \approx 0.970$

35 Верно ли, что любую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную? Представь дроби в виде бесконечных периодических дробей и округли с точностью до тысячных:

а) $\frac{1}{3}$;

б) $\frac{2}{11}$;

в) $\frac{23}{90}$;

г) $\frac{32}{33}$.

36. Всегда ли можно записать в виде конечной десятичной дроби сумму, разность, произведение и частное двух десятичных дробей? Вычислили частное данных дробей с точностью до десятитысячных:

а) $0,5 : 0,006$

б) $0,04 : 1,5$

Сумма, разность и произведение двух конечных десятичных дробей всегда являются конечными десятичными дробями. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем, являющимся степенью числа 10 (например, $0,5 = \frac{5}{10}$, $1,23 = \frac{123}{100}$). При сложении, вычитании и умножении таких дробей знаменатель результата также будет являться степенью числа 10, что гарантирует конечность итоговой десятичной записи.

Частное двух конечных десятичных дробей не всегда можно записать в виде конечной десятичной дроби. Результат деления будет конечной десятичной дробью только в том случае, если после сокращения обыкновенной дроби, представляющей это частное, её знаменатель не будет содержать простых множителей, отличных от 2 и 5. Например, если разделить $0,1$ на $0,3$:
$0,1 : 0,3 = \frac{1}{10} : \frac{3}{10} = \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{1}{3} = 0,333...$
Результатом является бесконечная периодическая десятичная дробь.

Вычислим частное данных дробей с точностью до десятитысячных (то есть до 4-го знака после запятой). Для этого нужно найти 5-й знак после запятой и округлить результат по правилам округления.

а) $0,5 : 0,006$
Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим делимое и делитель на 1000:
$0,5 \cdot 1000 : 0,006 \cdot 1000 = 500 : 6$
Выполним деление:
$\frac{500}{6} = \frac{250}{3} = 83,33333...$
Для округления до десятитысячных смотрим на пятый знак после запятой. Он равен 3, что меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону (отбрасываем последующие знаки).
$83,33333... \approx 83,3333$
Ответ: $83,3333$

б) $0,04 : 1,5$
Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим делимое и делитель на 100:
$0,04 \cdot 100 : 1,5 \cdot 100 = 4 : 150$
Выполним деление:
$\frac{4}{150} = \frac{2}{75} = 0,02666...$
Для округления до десятитысячных смотрим на пятый знак после запятой. Он равен 6, что больше или равно 5, поэтому округляем в большую сторону (увеличиваем четвертый знак на единицу).
$0,02666... \approx 0,0267$
Ответ: $0,0267$

36 Всегда ли можно записать в виде конечной десятичной дроби сумму, разность, произведение и частное двух десятичных дробей? Вычисли частное данных дробей с точностью до десятитысячных:

a) $0,5 : 0,006$;

б) $0,04 : 1,5$.

37 1) Запиши формулы периметра и площади прямоугольника, обозначив его стороны буквами $a$ и $b$, периметр – буквой $P$, а площадь – $S$.

2) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади квадрата.

3) Из квадрата со стороной $10,6 \text{ см}$ вырезали два прямоугольника, как показано на чертеже. Известны длины отрезков $AB = 7,5 \text{ см}$, $DE = KF = 5,8 \text{ см}$, $EF = 8,6 \text{ см}$. Найди периметр и площадь получившейся фигуры. Округли значение площади с точностью до десятых.

1)

Периметр $P$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется как сумма длин всех его сторон. Формула периметра:
$P = a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a+b)$

Площадь $S$ прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Формула площади:
$S = a \cdot b$

Ответ: $P = 2(a+b)$, $S = a \cdot b$.

2)

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Обозначим сторону квадрата буквой $a$.

Формула периметра квадрата:
$P = 4a$

Формула площади квадрата:
$S = a^2$

Ответ: $P = 4a$, $S = a^2$ (где $a$ – сторона квадрата).

3)

Нахождение периметра:

Периметр получившейся фигуры равен периметру исходного квадрата. При вырезании прямоугольника из угла, два отрезка на сторонах квадрата заменяются двумя равными им по сумме длины внутренними отрезками. Таким образом, общая длина границы фигуры не изменяется.

Периметр исходного квадрата со стороной 10,6 см равен:
$P = 4 \cdot 10,6 = 42,4$ см.

Следовательно, периметр получившейся фигуры также равен 42,4 см.

Нахождение площади:

Площадь получившейся фигуры найдем как разность площади исходного квадрата и площадей двух вырезанных прямоугольников.

1. Площадь исходного квадрата:
$S_{квадрата} = 10,6^2 = 112,36$ см$^2$.

2. Найдем размеры и площади вырезанных прямоугольников. Для этого предположим, что фигура занимает всю ширину и высоту квадрата, то есть ее крайние левые точки лежат на левой стороне квадрата, а крайние правые — на правой.

Высота верхней части фигуры (отрезки MA и BC) равна разности стороны квадрата и высоты нижней части (DE или KF):
$h_{верх} = 10,6 - 5,8 = 4,8$ см.

Найдем размеры первого вырезанного прямоугольника (справа вверху):
- Его высота равна высоте верхней части фигуры: $h_1 = 4,8$ см.
- Его ширина равна разности стороны квадрата и длины отрезка AB: $w_1 = 10,6 - 7,5 = 3,1$ см.
- Площадь первого выреза: $S_1 = w_1 \cdot h_1 = 3,1 \cdot 4,8 = 14,88$ см$^2$.

Найдем размеры второго вырезанного прямоугольника (слева внизу):
- Его высота равна высоте нижней части фигуры: $h_2 = 5,8$ см.
- Его ширина равна разности стороны квадрата и длины отрезка EF: $w_2 = 10,6 - 8,6 = 2,0$ см.
- Площадь второго выреза: $S_2 = w_2 \cdot h_2 = 2,0 \cdot 5,8 = 11,6$ см$^2$.

3. Площадь получившейся фигуры:
$S_{фигуры} = S_{квадрата} - S_1 - S_2 = 112,36 - 14,88 - 11,6 = 85,88$ см$^2$.

4. Округлим значение площади до десятых:
$85,88 \approx 85,9$ см$^2$.

Ответ: периметр 42,4 см, площадь $\approx$ 85,9 см$^2$.

37 1) Запиши формулы периметра и площади прямоугольника, обозначив его стороны буквами $a$ и $b$, периметр – буквой $P$, а площадь – $S$.

2) Введи обозначения и запиши формулы периметра и площади квадрата.

3) Из квадрата со стороной $10,6$ см вырезали два прямоугольника, как показано на чертеже. Известны длины отрезков $AB = 7,5$ см, $DE = KF = 5,8$ см, $EF = 8,6$ см. Найди периметр и площадь получившейся фигуры. Округли значение площади с точностью до десятых.

38 Найди ложные высказывания и перепиши их в тетрадь, исправив ошибки. Ответы остальных примеров расположи в порядке убывания, сопоставь соответствующим буквам и расшифруй математический термин. Что он означает?

М $4,5 - 2 : 5 = 4,1$

О $8 - 4 \cdot 1,4 = 2,4$

Р $7 : 2 + 5 = 1$

Е $5,6 : 0,7 + 1,2 = 9,2$

С $14 \cdot 0,01 : 0,2 = 0,7$

Т $0,7 \cdot 0,06 \cdot 10 = 0,42$

Д $4,9 : 7 \cdot 30 = 21$

А $0,54 : 0,9 : 0,1 = 0,6$

К $28 : (0,4 \cdot 0,7) = 10$

И $(8 - 3,2) : 0,6 = 8$

Л $0,81 : (2,7 : 30) = 9$

Ь $0,24 : (0,5 + 0,3) = 0,3$

Задача состоит из двух частей. Сначала нужно найти ложные высказывания и исправить их, а затем расшифровать слово, используя верные высказывания.

1. Ложные высказывания

Проверим каждое равенство, чтобы найти неверные.

• Р: $7:2+5=1$.
  Выполним вычисления в правильном порядке (сначала деление, потом сложение):
  $7:2=3,5$
  $3,5+5=8,5$
  Результат $8,5$ не равен $1$. Высказывание ложное.
  Исправленное выражение: $7:2+5=8,5$.
  Ответ: 8,5.
• А: $0,54:0,9:0,1=0,6$.
  Выполним вычисления по порядку слева направо:
  $0,54:0,9=5,4:9=0,6$
  $0,6:0,1=6$
  Результат $6$ не равен $0,6$. Высказывание ложное.
  Исправленное выражение: $0,54:0,9:0,1=6$.
  Ответ: 6.
• К: $28:(0,4 \cdot 0,7)=10$.
  Выполним вычисления в скобках, а затем деление:
  $0,4 \cdot 0,7=0,28$
  $28:0,28=2800:28=100$
  Результат $100$ не равен $10$. Высказывание ложное.
  Исправленное выражение: $28:(0,4 \cdot 0,7)=100$.
  Ответ: 100.

2. Расшифровка математического термина

Теперь решим остальные (верные) примеры и запишем их ответы.

• М: $4,5-2:5 = 4,5-0,4 = 4,1$. Ответ: 4,1.
• О: $8-4 \cdot 1,4 = 8-5,6 = 2,4$. Ответ: 2,4.
• Е: $5,6:0,7+1,2 = 8+1,2 = 9,2$. Ответ: 9,2.
• С: $14 \cdot 0,01:0,2 = 0,14:0,2 = 0,7$. Ответ: 0,7.
• Т: $0,7 \cdot 0,06 \cdot 10 = 0,042 \cdot 10 = 0,42$. Ответ: 0,42.
• Д: $4,9:7 \cdot 30 = 0,7 \cdot 30 = 21$. Ответ: 21.
• И: $(8-3,2):0,6 = 4,8:0,6 = 8$. Ответ: 8.
• Л: $0,81:(2,7:30) = 0,81:0,09 = 9$. Ответ: 9.
• Ь: $0,24:(0,5+0,3) = 0,24:0,8 = 0,3$. Ответ: 0,3.

Расположим полученные ответы в порядке убывания и сопоставим им соответствующие буквы:

1. $21$ – Д
2. $9,2$ – Е
3. $9$ – Л
4. $8$ – И
5. $4,1$ – М
6. $2,4$ – О
7. $0,7$ – С
8. $0,42$ – Т
9. $0,3$ – Ь

Зашифрованный математический термин: ДЕЛИМОСТЬ.

Что он означает?

Делимость — это одно из ключевых понятий арифметики, которое описывает отношение между двумя целыми числами. Целое число $a$ делится нацело на целое число $b$ (где $b \ne 0$), если результат их деления также является целым числом, то есть деление происходит без остатка. Например, число 15 делится на 3, потому что $15 : 3 = 5$, а 5 — целое число.

38 Найди ложные высказывания и перепиши их в тетрадь, исправив ошибки. Ответы остальных примеров расположи в порядке убывания, сопоставив соответствующим буквам, и расшифруй математический термин. Что он означает?

М $4,5 - 2 : 5 = 4,1$

О $8 - 4 \cdot 1,4 = 2,4$

Р $7 : 2 + 5 = 1$

Е $5,6 : 0,7 + 1,2 = 9,2$

С $14 \cdot 0,01 : 0,2 = 0,7$

Т $0,7 \cdot 0,06 \cdot 10 = 0,42$

Д $4,9 : 7 \cdot 30 = 21$

А $0,54 : 0,9 : 0,1 = 0,6$

К $28 : (0,4 \cdot 0,7) = 10$

И $(8 - 3,2) : 0,6 = 8$

Л $0,81 : (2,7 : 30) = 9$

Ь $0,24 : (0,5 + 0,3) = 0,3$

39 1) Известно, что $a = 6n$, где $n \in N$. Какими свойствами обладает число $a$?

2) Известно, что $b = 4k + 2$, где $k \in N$. Какими свойствами обладает число $b$?

1)

Дано, что число $a$ задается формулой $a = 6n$, где $n \in N$ (N — множество натуральных чисел, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$). Проанализируем свойства числа $a$, исходя из этой формулы.

Во-первых, по определению кратности, запись $a = 6n$ означает, что число $a$ делится на 6 без остатка. Примерами таких чисел являются $6, 12, 18, 24$ и так далее.

Во-вторых, рассмотрим делители числа 6. Это числа 2 и 3. Поскольку $a$ делится на 6, оно обязательно делится и на все делители числа 6.

• Делимость на 2 (четность): Формулу можно представить в виде $a = 2 \cdot (3n)$. Так как $a$ является произведением числа 2 и натурального числа $(3n)$, то $a$ всегда является четным числом.
• Делимость на 3: Формулу также можно представить в виде $a = 3 \cdot (2n)$. Так как $a$ является произведением числа 3 и натурального числа $(2n)$, то $a$ всегда делится на 3.

В-третьих, поскольку $n \ge 1$, наименьшее значение для $a$ равно $6 \cdot 1 = 6$. Любое число $a$, получаемое по этой формуле, будет больше 1 и иметь делители, отличные от 1 и самого себя (например, 2 и 3). Следовательно, число $a$ всегда является составным.

Ответ: Число $a$ является натуральным, четным, делится на 3 и на 6, а также является составным.

2)

Дано, что число $b$ задается формулой $b = 4k + 2$, где $k \in N$ (N — множество натуральных чисел, т.е. $k = 1, 2, 3, \ldots$). Проанализируем свойства числа $b$.

Во-первых, вынесем общий множитель 2 за скобки: $b = 2(2k + 1)$. Эта запись показывает, что число $b$ всегда можно представить как произведение числа 2 и некоторого натурального числа $(2k + 1)$. Следовательно, число $b$ всегда является четным.

Во-вторых, проверим делимость числа $b$ на 4. Из вида формулы $b = 4k + 2$ следует, что при делении числа $b$ на 4 частное будет равно $k$, а остаток — 2. Поскольку остаток от деления не равен нулю, число $b$ никогда не делится на 4 нацело. Примерами таких чисел являются $6, 10, 14, 18$ и так далее.

В-третьих, проанализируем, является ли число $b$ простым или составным. Как мы уже показали, $b = 2(2k + 1)$. Поскольку $k$ — натуральное число ($k \ge 1$), то множитель $(2k + 1)$ будет не меньше, чем $2 \cdot 1 + 1 = 3$. Таким образом, число $b$ всегда представляется в виде произведения двух множителей (2 и $2k+1$), каждый из которых больше 1. Следовательно, число $b$ всегда является составным.

Ответ: Число $b$ является четным, при делении на 4 дает в остатке 2 (и, следовательно, не делится на 4), а также является составным.

39 1) Известно, что $a = 6n$, где $n \in \mathbb{N}$. Какими свойствами обладает число $a$?

2) Известно, что $b = 4k + 2$, где $k \in \mathbb{N}$. Какими свойствами обладает число $b$?

45 Найди ложные высказывания и построй их отрицания.

1) Любую обыкновенную дробь, знаменатель которой кратен 10, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

2) Число, произведение цифр которого кратно 9, делится на 9.

3) Существуют числа, кратные трём, сумма которых не делится на 3.

4) Есть такие нечётные числа, произведение которых – число чётное.

1) Любую обыкновенную дробь, знаменатель которой кратен 10, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Это высказывание ложно. Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если её знаменатель в несократимом виде содержит только простые множители 2 и 5. Знаменатель, кратный 10, имеет вид $10k = 2 \cdot 5 \cdot k$. Если число $k$ содержит простые множители, отличные от 2 и 5, дробь нельзя будет представить в виде конечной десятичной. Например, для дроби $\frac{1}{30}$ знаменатель 30 кратен 10. Однако $\frac{1}{30} = 0.0333... = 0.0(3)$ является бесконечной периодической дробью.

Отрицание: Существует обыкновенная дробь, знаменатель которой кратен 10, которую нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: высказывание ложно; отрицание: «Существует обыкновенная дробь, знаменатель которой кратен 10, которую нельзя записать в виде конечной десятичной дроби».

2) Число, произведение цифр которого кратно 9, делится на 9.

Это высказывание ложно. Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Кратность произведения цифр девяти этого не гарантирует. Например, рассмотрим число 33. Произведение его цифр $3 \cdot 3 = 9$ кратно 9. Однако само число 33 на 9 не делится, так как сумма его цифр $3+3=6$ не делится на 9.

Отрицание: Существует число, произведение цифр которого кратно 9, но само число не делится на 9.
Ответ: высказывание ложно; отрицание: «Существует число, произведение цифр которого кратно 9, но само число не делится на 9».

3) Существуют числа, кратные трём, сумма которых не делится на 3.

Это высказывание ложно. Любое число, кратное трём, можно представить в виде $3k$, где $k$ – целое число. Сумма любого количества таких чисел, например $3k_1, 3k_2, ..., 3k_n$, будет равна $3k_1 + 3k_2 + ... + 3k_n = 3(k_1 + k_2 + ... + k_n)$. Полученная сумма всегда будет кратна 3, так как является произведением 3 и целого числа.

Отрицание: Сумма любых чисел, кратных трём, делится на 3.
Ответ: высказывание ложно; отрицание: «Сумма любых чисел, кратных трём, делится на 3».

4) Есть такие нечётные числа, произведение которых – число чётное.

Это высказывание ложно. Нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1. Произведение двух нечётных чисел вида $(2k+1)$ и $(2m+1)$ всегда нечётно: $(2k+1)(2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1$. Так как произведение любого количества нечётных чисел всегда нечётно, оно не может быть чётным. Чётное произведение может получиться только если хотя бы один из множителей является чётным.

Отрицание: Произведение любых нечётных чисел является нечётным числом.
Ответ: высказывание ложно; отрицание: «Произведение любых нечётных чисел является нечётным числом».

45 Найди ложные высказывания и построй их отрицания:

1) Любую обыкновенную дробь, знаменатель которой кратен 10, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

2) Число, произведение цифр которого кратно 9, делится на 9.

3) Существуют числа, кратные трем, сумма которых не делится на 3.

4) Есть такие нечетные числа, произведение которых – число четное.

46 Представь выражение в виде дроби, если a, b, c, d, k $\neq 0$:

1) $\frac{7}{2a} + \frac{4}{a^2}$;

2) $1 - \frac{5}{b}$;

3) $3d : \frac{d^3}{4c}$;

4) $\frac{n}{5k^2} \cdot 10k$.

1) Чтобы сложить дроби $ \frac{7}{2a} $ и $ \frac{4}{a^2} $, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для $2a$ и $a^2$ является $2a^2$. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби это $a$ ($2a^2 : 2a = a$), для второй — $2$ ($2a^2 : a^2 = 2$).
$ \frac{7}{2a} + \frac{4}{a^2} = \frac{7 \cdot a}{2a \cdot a} + \frac{4 \cdot 2}{a^2 \cdot 2} = \frac{7a}{2a^2} + \frac{8}{2a^2} = \frac{7a + 8}{2a^2} $.
Ответ: $ \frac{7a + 8}{2a^2} $

2) Чтобы вычесть дробь из целого числа, представим это число в виде дроби с тем же знаменателем, что и у вычитаемой дроби. Представим 1 как дробь со знаменателем $b$: $ 1 = \frac{b}{b} $.
$ 1 - \frac{5}{b} = \frac{b}{b} - \frac{5}{b} = \frac{b - 5}{b} $.
Ответ: $ \frac{b - 5}{b} $

3) Деление на дробь — это то же самое, что и умножение на обратную (перевернутую) дробь. Представим $3d$ в виде дроби $ \frac{3d}{1} $.
$ 3d : \frac{d^3}{4c} = \frac{3d}{1} \cdot \frac{4c}{d^3} = \frac{3d \cdot 4c}{1 \cdot d^3} = \frac{12cd}{d^3} $.
Теперь сократим полученную дробь на $d$ (так как по условию $d \neq 0$):
$ \frac{12c \cdot d}{d^2 \cdot d} = \frac{12c}{d^2} $.
Ответ: $ \frac{12c}{d^2} $

4) Чтобы умножить дробь на выражение, можно представить это выражение в виде дроби со знаменателем 1 и выполнить умножение дробей.
$ \frac{n}{5k^2} \cdot 10k = \frac{n}{5k^2} \cdot \frac{10k}{1} = \frac{n \cdot 10k}{5k^2 \cdot 1} = \frac{10nk}{5k^2} $.
Сократим полученную дробь на $5k$ (так как по условию $k \neq 0$):
$ \frac{10nk}{5k^2} = \frac{2 \cdot 5 \cdot n \cdot k}{5 \cdot k \cdot k} = \frac{2n}{k} $.
Ответ: $ \frac{2n}{k} $

46 Представь выражение в виде дроби, если $a, b, c, d, k \neq 0$:

1) $\frac{7}{2a} + \frac{4}{a^2}$;

2) $1 - \frac{5}{b}$;

3) $3d : \frac{d^3}{4c}$;

4) $\frac{n}{5k^2} \cdot 10k$.

47 БЛИЦтурнир

Составь и, если возможно, упрости выражение.

1) После увеличения цены альбома на 25 % он стал стоить $a$ р. Сколько стоил альбом первоначально?

2) В книге $b$ страниц. В первый день Саша прочитал 20 % книги, а во второй – половину остатка. Сколько страниц прочитал Саша за эти два дня?

3) Цена телевизора снизилась с $x$ р. до $y$ р. На сколько процентов снизилась цена телевизора?

4) Длина комнаты прямоугольной формы $c$ м, а ширина составляет 70 % длины. Чему равны её периметр и площадь?

5) Клиент положил в банк $d$ р. Какая сумма будет на его счёте через 4 года, если банк начисляет доход в размере 5 % в год (простые проценты)?

6) Население города составляет сейчас $k$ тыс. жителей и увеличивается ежегодно на 3 %. Каким оно станет через 2 года?

1) Пусть первоначальная цена альбома была $x$ р. После увеличения на 25% цена стала $x + 0.25x = 1.25x$. По условию, эта новая цена равна $a$ р. Составим уравнение: $1.25x = a$. Чтобы найти первоначальную цену $x$, разделим обе части уравнения на 1.25: $x = \frac{a}{1.25}$. Преобразуем знаменатель: $1.25 = \frac{5}{4}$. Тогда $x = \frac{a}{5/4} = a \cdot \frac{4}{5} = \frac{4a}{5} = 0.8a$. Таким образом, первоначальная цена альбома составляла $0.8a$ р.
Ответ: $0.8a$ р.

2) В книге всего $b$ страниц. В первый день Саша прочитал 20% от общего числа страниц, то есть $0.2 \cdot b = 0.2b$ страниц. После первого дня осталось прочитать $b - 0.2b = 0.8b$ страниц. Во второй день он прочитал половину остатка, то есть $\frac{1}{2} \cdot 0.8b = 0.4b$ страниц. Всего за два дня Саша прочитал сумму страниц за первый и второй день: $0.2b + 0.4b = 0.6b$ страниц.
Ответ: $0.6b$ страниц.

3) Первоначальная цена телевизора была $x$ р., а новая цена стала $y$ р. Снижение цены в рублях составляет $x - y$. Чтобы найти, на сколько процентов снизилась цена, нужно разделить абсолютное снижение на первоначальную цену и умножить на 100. Процентное снижение вычисляется по формуле: $\frac{\text{первоначальная цена} - \text{новая цена}}{\text{первоначальная цена}} \cdot 100\%$. Подставим наши значения: $\frac{x-y}{x} \cdot 100$.
Ответ: на $\frac{x-y}{x} \cdot 100$ %.

4) Длина комнаты прямоугольной формы равна $c$ м. Ширина составляет 70% от длины, что равно $0.7 \cdot c = 0.7c$ м. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(L+W)$, где $L$ – длина, а $W$ – ширина. Периметр комнаты: $P = 2(c + 0.7c) = 2(1.7c) = 3.4c$ м. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = L \cdot W$. Площадь комнаты: $S = c \cdot 0.7c = 0.7c^2$ м².
Ответ: периметр равен $3.4c$ м, площадь равна $0.7c^2$ м².

5) Клиент положил в банк $d$ р. под 5% годовых по схеме простых процентов. Это означает, что проценты каждый год начисляются на первоначальную сумму вклада. Ежегодный доход составляет $5\%$ от $d$, то есть $0.05d$ р. За 4 года общий доход от процентов составит $4 \cdot 0.05d = 0.2d$ р. Итоговая сумма на счёте будет равна первоначальному вкладу плюс начисленные проценты: $d + 0.2d = 1.2d$ р.
Ответ: $1.2d$ р.

6) Текущее население города составляет $k$ тыс. жителей. Ежегодный прирост составляет 3%. Это задача на сложные проценты, так как каждый год проценты начисляются на новое, увеличенное значение населения. Формула для расчёта: $S = P(1 + \frac{i}{100})^n$, где $P$ - начальное значение, $i$ - процентная ставка, $n$ - количество периодов. Через 1 год население станет: $k \cdot (1 + 0.03) = 1.03k$ тыс. жителей. Через 2 года население станет: $1.03k \cdot (1 + 0.03) = k \cdot (1.03)^2$. Вычислим $(1.03)^2 = 1.0609$. Таким образом, через 2 года население города составит $1.0609k$ тыс. жителей.
Ответ: $1.0609k$ тыс. жителей.

47 БЛИЦтурнир.

Составь и, если возможно, упрости выражение:

1) После увеличения цены альбома на $25\%$ он стал стоить $a$ р. Сколько стоил альбом первоначально?

2) В книге $b$ страниц. В первый день Саша прочитал $20\%$ книги, а во второй – половину остатка. Сколько страниц прочитал Саша за эти два дня?

3) Цена телевизора снизилась с $x$ р. до $y$ р. На сколько процентов снизилась цена телевизора?

4) Длина комнаты прямоугольной формы $c$ метров, а ширина составляет $70\%$ длины. Чему равны ее периметр и площадь?

5) Клиент положил в банк $d$ р. Какая сумма будет на его счете через 4 года, если банк начисляет доход в размере $5\%$ в год (простые проценты)?

6) Население города составляет сейчас $k$ тыс. жителей и увеличивается ежегодно на $3\%$. Каким оно станет через 2 года?

48 Реши уравнения, пользуясь «перекрёстным» правилом:

1) $\frac{x}{7,2} = \frac{1 \frac{1}{9}}{0,25};$

2) $\frac{2 \frac{1}{3}}{0,6x} = \frac{2,5}{1 \frac{2}{7}};$

3) $\frac{7}{0,14} = \frac{50x}{4,8};$

4) $\frac{1 \frac{3}{17}}{13,75} = \frac{2 \frac{2}{11}}{3x}.$

1) $\frac{x}{7,2} = \frac{1\frac{1}{9}}{0,25}$
Для решения уравнения воспользуемся «перекрёстным» правилом (основным свойством пропорции), согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
$x \cdot 0,25 = 7,2 \cdot 1\frac{1}{9}$
Преобразуем смешанное число и десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений:
$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
$7,2 = \frac{72}{10}$
Подставим полученные значения в уравнение:
$x \cdot \frac{1}{4} = \frac{72}{10} \cdot \frac{10}{9}$
Выполним умножение в правой части уравнения:
$\frac{72}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{72 \cdot 10}{10 \cdot 9} = \frac{72}{9} = 8$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{1}{4}x = 8$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:
$x = 8 \cdot 4$
$x = 32$
Ответ: 32

2) $\frac{2\frac{1}{3}}{0,6x} = \frac{2,5}{1\frac{2}{7}}$
Применим «перекрёстное» правило:
$2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{2}{7} = 0,6x \cdot 2,5$
Преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
$1\frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
Подставим значения в уравнение:
$\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{3}{5}x \cdot \frac{5}{2}$
Упростим обе части уравнения:
Левая часть: $\frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 7} = \frac{9}{3} = 3$
Правая часть: $\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 2}x = \frac{3}{2}x$
Получаем уравнение:
$3 = \frac{3}{2}x$
Чтобы найти $x$, разделим 3 на $\frac{3}{2}$:
$x = 3 : \frac{3}{2} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$
Ответ: 2

3) $\frac{\frac{7}{12}}{0,14} = \frac{50x}{4,8}$
По «перекрёстному» правилу:
$\frac{7}{12} \cdot 4,8 = 0,14 \cdot 50x$
Вычислим произведения в обеих частях уравнения. Удобнее представить десятичные дроби в виде обыкновенных:
$4,8 = \frac{48}{10}$
$0,14 = \frac{14}{100}$
Левая часть: $\frac{7}{12} \cdot \frac{48}{10} = \frac{7 \cdot 48}{12 \cdot 10} = \frac{7 \cdot 4}{10} = \frac{28}{10} = 2,8$
Правая часть: $\frac{14}{100} \cdot 50x = \frac{14 \cdot 50}{100}x = \frac{14}{2}x = 7x$
Получаем уравнение:
$2,8 = 7x$
Найдём $x$:
$x = \frac{2,8}{7}$
$x = 0,4$
Ответ: 0,4

4) $\frac{1\frac{3}{17}}{13,75} = \frac{2\frac{2}{11}}{3x}$
Используем «перекрёстное» правило:
$1\frac{3}{17} \cdot 3x = 13,75 \cdot 2\frac{2}{11}$
Преобразуем все числа в обыкновенные дроби:
$1\frac{3}{17} = \frac{1 \cdot 17 + 3}{17} = \frac{20}{17}$
$13,75 = 13\frac{75}{100} = 13\frac{3}{4} = \frac{13 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{55}{4}$
$2\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{24}{11}$
Подставим значения в уравнение:
$\frac{20}{17} \cdot 3x = \frac{55}{4} \cdot \frac{24}{11}$
Упростим обе части уравнения:
Левая часть: $\frac{20 \cdot 3}{17}x = \frac{60}{17}x$
Правая часть: $\frac{55 \cdot 24}{4 \cdot 11} = \frac{55}{11} \cdot \frac{24}{4} = 5 \cdot 6 = 30$
Получаем уравнение:
$\frac{60}{17}x = 30$
Найдём $x$:
$x = 30 : \frac{60}{17} = 30 \cdot \frac{17}{60} = \frac{30 \cdot 17}{60} = \frac{17}{2} = 8,5$
Ответ: 8,5

48 Реши уравнения, пользуясь "перекрестным правилом":

1) $\frac{x}{7,2} = \frac{1\frac{1}{9}}{0,25}$;

2) $\frac{2\frac{1}{3}}{0,6x} = \frac{2,5}{1\frac{2}{7}}$;

3) $\frac{7}{0,14} = \frac{50x}{4,8}$;

4) $\frac{1\frac{3}{17}}{13,75} = \frac{2\frac{2}{11}}{3x}$.

Д 49 На туристской карте запись с указанием масштаба оказалась оторванной. Можно ли её восстановить, если известно, что расстояние от сельской почты до окраины села (по прямой дороге) равно 3,2 км, а на карте это расстояние изображено отрезком длиной 4 см? Если это возможно, определи масштаб данной карты.

Да, запись с указанием масштаба можно восстановить. Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на реальной местности. Поскольку нам известны оба этих значения (4 см на карте и 3,2 км на местности), мы можем вычислить масштаб.

Для нахождения масштаба необходимо, чтобы обе величины были выражены в одинаковых единицах измерения. Переведём реальное расстояние из километров в сантиметры.

1. Сначала переведём километры в метры. В одном километре 1000 метров:

$3,2 \text{ км} = 3,2 \times 1000 = 3200 \text{ м}$

2. Теперь переведём метры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров:

$3200 \text{ м} = 3200 \times 100 = 320 000 \text{ см}$

Таким образом, реальное расстояние от сельской почты до окраины села составляет 320 000 см.

3. Теперь найдём масштаб. Масштаб — это отношение расстояния на карте к расстоянию на местности:

Масштаб = $\frac{\text{Расстояние на карте}}{\text{Расстояние на местности}} = \frac{4 \text{ см}}{320 000 \text{ см}}$

4. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{4}{320 000} = \frac{4 \div 4}{320 000 \div 4} = \frac{1}{80 000}$

Это означает, что масштаб карты 1:80 000 (один к восьмидесяти тысячам), то есть 1 см на карте соответствует 80 000 см (или 800 м) на местности.

Ответ: да, восстановить масштаб возможно. Масштаб карты 1:80 000.

D 49

На туристской карте запись с указанием масштаба оказалась оторванной. Можно ли ее восстановить, если известно, что расстояние от сельской почты до окраины села (по прямой дороге) равно 3,2 км, а на карте это расстояние изображено отрезком длиной 4 см? Если это возможно, определи масштаб данной карты.

50 Практическая работа

Возьми три географические карты с разным масштабом. По каждой из них найди расстояние между двумя городами, взятыми по твоему выбору.

Для выполнения этого практического задания выберем два города, например, Москву и Санкт-Петербург, и найдем расстояние между ними, используя три гипотетические карты с разными масштабами. Реальное расстояние между этими городами по прямой составляет примерно 635 км. Мы будем использовать это значение как ориентир.

Карта 1 (мелкомасштабная, например, карта мира)

Допустим, у нас есть карта с численным масштабом $1:20 000 000$.
Это означает, что 1 см на карте соответствует $20 000 000$ см на местности.
Переведем именованный масштаб в более удобные единицы:
$20 000 000 \text{ см} = 200 000 \text{ м} = 200 \text{ км}$.
Таким образом, в 1 см на карте – 200 км на местности.
Измерим линейкой расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом на этой карте. Предположим, у нас получилось $3.2$ см.
Теперь найдем реальное расстояние ($S$). для этого умножим расстояние, измеренное на карте, на величину масштаба:
$S = 3.2 \text{ см} \times 200 \text{ км/см} = 640 \text{ км}$.

Ответ: 640 км.

Карта 2 (среднемасштабная, например, карта России)

Возьмем карту с численным масштабом $1:8 000 000$.
В 1 см на карте – $8 000 000$ см на местности.
Переведем масштаб:
$8 000 000 \text{ см} = 80 000 \text{ м} = 80 \text{ км}$.
То есть, в 1 см на карте – 80 км на местности.
Измеряем расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом. На карте с таким масштабом оно будет больше. Допустим, измерение показало $7.9$ см.
Вычислим реальное расстояние:
$S = 7.9 \text{ см} \times 80 \text{ км/см} = 632 \text{ км}$.

Ответ: 632 км.

Карта 3 (крупномасштабная, например, карта европейской части России)

Возьмем карту с численным масштабом $1:2 500 000$.
В 1 см на карте – $2 500 000$ см на местности.
Переведем масштаб:
$2 500 000 \text{ см} = 25 000 \text{ м} = 25 \text{ км}$.
Значит, в 1 см на карте – 25 км на местности.
Измеряем расстояние на карте. Оно будет еще больше. Допустим, мы намерили $25.4$ см.
Рассчитаем реальное расстояние:
$S = 25.4 \text{ см} \times 25 \text{ км/см} = 635 \text{ км}$.

Ответ: 635 км.

Вывод:

Результаты измерений по картам с разным масштабом получились близкими друг к другу ($640$ км, $632$ км, $635$ км) и к реальному расстоянию. Это показывает, что метод определения расстояний с помощью масштаба является достоверным. Небольшие расхождения в результатах могут быть связаны с погрешностями при измерении расстояния линейкой на карте, а также с тем, что чем крупнее масштаб карты (т.е. чем меньше число в знаменателе), тем точнее на ней отображены объекты и, следовательно, тем точнее можно произвести измерения.

50 Практическая работа.

Возьми три географические карты с разным масштабом. По каждой из них найди расстояние между двумя городами, взятыми по твоему выбору.

51 Практическая работа

Измерь размеры своей комнаты, задай масштаб и нарисуй план комнаты.

Укажи на нём расположение окон, дверей, мебели.

Это практическое задание, результат которого зависит от размеров вашей реальной комнаты. Ниже приведён пример выполнения этого задания для воображаемой комнаты, чтобы показать последовательность действий.

Измерь размеры своей комнаты

Первый шаг — это измерение всех необходимых объектов с помощью рулетки. Важно измерить не только общие габариты комнаты, но и размеры мебели, окон, дверей, а также их точное расположение (расстояние от углов).

Пример измерений:

• Размеры комнаты: длина — 5 метров, ширина — 4 метра.
• Оконный проём: ширина — 1,5 метра. Расположен на длинной стене на расстоянии 1 метр от угла.
• Дверной проём: ширина — 0,8 метра. Расположен на короткой стене на расстоянии 0,2 метра от угла.
• Кровать: $2 \times 1,6$ метра.
• Письменный стол: $1,2 \times 0,6$ метра.
• Шкаф: $1,8 \times 0,6$ метра.

Для удобства дальнейших расчетов переведем все размеры в сантиметры:

• Длина комнаты: $5 \text{ м} = 500 \text{ см}$
• Ширина комнаты: $4 \text{ м} = 400 \text{ см}$
• Ширина окна: $1,5 \text{ м} = 150 \text{ см}$, расстояние от угла: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
• Ширина двери: $0,8 \text{ м} = 80 \text{ см}$, расстояние от угла: $0,2 \text{ м} = 20 \text{ см}$
• Кровать: $200 \text{ см} \times 160 \text{ см}$
• Стол: $120 \text{ см} \times 60 \text{ см}$
• Шкаф: $180 \text{ см} \times 60 \text{ см}$

Ответ: Пример результатов измерения: длина комнаты — 500 см, ширина — 400 см; окно — ширина 150 см на расстоянии 100 см от угла; дверь — ширина 80 см на расстоянии 20 см от угла; кровать — 200×160 см; стол — 120×60 см; шкаф — 180×60 см.

Задай масштаб

Масштаб — это отношение размера на чертеже к реальному размеру. Его нужно выбрать так, чтобы план комнаты поместился на листе бумаги. Для стандартного листа А4 (размером примерно $21 \times 30$ см) и нашей комнаты ($500 \times 400$ см) хорошо подойдет масштаб 1:50. Это значит, что каждый сантиметр на плане будет соответствовать 50 сантиметрам в реальности.

Теперь рассчитаем размеры всех объектов на плане, разделив их реальные размеры в сантиметрах на 50:

• Длина комнаты на плане: $500 \text{ см} / 50 = 10 \text{ см}$
• Ширина комнаты на плане: $400 \text{ см} / 50 = 8 \text{ см}$
• Ширина окна на плане: $150 \text{ см} / 50 = 3 \text{ см}$
• Расстояние от угла до окна на плане: $100 \text{ см} / 50 = 2 \text{ см}$
• Ширина двери на плане: $80 \text{ см} / 50 = 1,6 \text{ см}$
• Расстояние от угла до двери на плане: $20 \text{ см} / 50 = 0,4 \text{ см}$
• Кровать на плане: $200/50 \times 160/50 = 4 \text{ см} \times 3,2 \text{ см}$
• Стол на плане: $120/50 \times 60/50 = 2,4 \text{ см} \times 1,2 \text{ см}$
• Шкаф на плане: $180/50 \times 60/50 = 3,6 \text{ см} \times 1,2 \text{ см}$

Ответ: Выбранный масштаб — 1:50. Размеры для построения на плане: комната — 10×8 см; окно — 3 см (начинается в 2 см от угла); дверь — 1,6 см (начинается в 0,4 см от угла); кровать — 4×3,2 см; стол — 2,4×1,2 см; шкаф — 3,6×1,2 см.

Нарисуй план комнаты и укажи на нём расположение окон, дверей, мебели

Используя линейку и карандаш на листе бумаги (лучше в клетку), выполните следующие действия:

1. Начертите прямоугольник — контур комнаты — с рассчитанными размерами (в нашем примере 10×8 см).
2. На стенах этого прямоугольника отметьте и нарисуйте окна и двери согласно их расположению и размерам на плане. Для окна можно использовать две тонкие параллельные линии в разрыве стены. Дверь обозначается проемом и дугой, показывающей, в какую сторону она открывается.
3. Внутри комнаты нарисуйте прямоугольники, изображающие мебель. Расположите их так, как они стоят в вашей комнате, соблюдая масштабные размеры.
4. Подпишите на плане основные объекты (стол, кровать, шкаф). В углу чертежа обязательно укажите использованный масштаб: «Масштаб 1:50».

В результате у вас получится точный чертеж вашей комнаты, на котором наглядно видно расположение всех предметов.

Ответ: Создан план комнаты на бумаге в масштабе 1:50, представляющий собой прямоугольник 10×8 см, на котором условными обозначениями показаны расположение и размеры окна, двери, кровати, стола и шкафа.

51 Практическая работа.

Измерь размеры своей комнаты, задай масштаб и нарисуй план комнаты.

Укажи на нем расположение окон, дверей, мебели.

54 Определи, истинно или ложно высказывание. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a, b \in Q: -(a - b) = b - a;$

б) $\forall a, b \in Q: -(a + b) = -a + b;$

в) $\exists a \in Q: a^2 > (a + 1)^2;$

г) $\exists b \in Q: b^3 < b^2.$

а) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: -(a - b) = b - a $

Проверим истинность данного высказывания. Раскроем скобки в левой части равенства, используя распределительный закон: $-(a - b) = -1 \cdot (a - b) = -a - (-b) = -a + b$.

Правая часть равенства равна $b - a$.

Так как сложение в множестве рациональных чисел коммутативно (переместительно), то $-a + b = b - a$.

Следовательно, равенство $-(a - b) = b - a$ верно для любых рациональных чисел $a$ и $b$. Высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

б) $ \forall a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) = -a + b $

Проверим истинность данного высказывания. Раскроем скобки в левой части: $-(a + b) = -a - b$.

Теперь сравним левую и правую части: $-a - b = -a + b$.

Это равенство выполняется только в том случае, если $-b = b$, что эквивалентно $2b = 0$, то есть $b = 0$.

Однако, в утверждении говорится, что равенство должно быть верным для всех рациональных $a$ и $b$, а не только для $b=0$. Следовательно, высказывание ложно. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 2, b = 3$.

Левая часть: $-(2 + 3) = -5$.

Правая часть: $-2 + 3 = 1$.

Поскольку $-5 \neq 1$, равенство не выполняется, и утверждение ложно.

Так как высказывание ложно, построим его отрицание. Отрицанием высказывания с квантором всеобщности ($\forall$) является высказывание с квантором существования ($\exists$) и отрицанием самого утверждения. Отрицанием равенства ($=$) является неравенство ($\neq$).

Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) \neq -a + b $.

Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{Q}: -(a + b) \neq -a + b $.

в) $ \exists a \in \mathbb{Q}: a^2 > (a + 1)^2 $

Проверим, существует ли хотя бы одно рациональное число $a$, для которого это неравенство верно. Решим неравенство:

$ a^2 > (a + 1)^2 $

Раскроем квадрат суммы в правой части:

$ a^2 > a^2 + 2a + 1 $

Вычтем $a^2$ из обеих частей:

$ 0 > 2a + 1 $

Вычтем 1 из обеих частей:

$ -1 > 2a $

Разделим обе части на 2:

$ -1/2 > a $, или $ a < -1/2 $.

Неравенство выполняется для любого рационального числа $a$, которое меньше $-1/2$. Множество таких чисел непусто. Например, можно взять $a = -1$. Проверим подстановкой:

$(-1)^2 > (-1 + 1)^2 \implies 1 > 0^2 \implies 1 > 0$.

Неравенство верное. Так как существует хотя бы одно такое число, исходное высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

г) $ \exists b \in \mathbb{Q}: b^3 < b^2 $

Проверим, существует ли хотя бы одно рациональное число $b$, удовлетворяющее этому неравенству. Решим неравенство:

$ b^3 < b^2 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ b^3 - b^2 < 0 $

Вынесем общий множитель $b^2$ за скобки:

$ b^2(b - 1) < 0 $

Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$) для любого рационального $b$.

1. Если $b = 0$, то $0^2(0-1) < 0 \implies 0 < 0$, что ложно.

2. Если $b \neq 0$, то $b^2 > 0$. В этом случае, чтобы произведение $b^2(b-1)$ было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным: $b - 1 < 0$, что означает $b < 1$.

Таким образом, неравенство выполняется для всех рациональных чисел $b$, таких что $b < 1$ и $b \neq 0$. Такие числа существуют. Например, возьмем $b = 1/2$.

Проверка: $(1/2)^3 < (1/2)^2 \implies 1/8 < 1/4$. Это верно, так как $0.125 < 0.25$.

Другой пример, $b=-3$: $(-3)^3 < (-3)^2 \implies -27 < 9$. Это также верно.

Поскольку существуют рациональные числа, удовлетворяющие неравенству, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

54 Определи, истинно или ложно высказывание. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a, b \in Q: -(a - b) = b - a;$

б) $\forall a, b \in Q: -(a + b) = -a + b;$

В) $\exists a \in Q: a^2 > (a + 1)^2;$

Г) $\exists b \in Q: b^3 < b^2.$

55 a) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

б) Найди отрезки, являющиеся высотами треугольников на рисунке.

BL, DK, RS, XT, XZ, ZY

в) Сколько высот в треугольнике?

г) Начерти треугольник и проведи все его высоты. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент ещё раз и сформулируй гипотезу. Можно ли считать твою гипотезу доказанной на основании выполненных построений?

а) В представленном определении описывается понятие «высота треугольника». Это перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на прямую, которая содержит противоположную этой вершине сторону.
Ответ: высота треугольника.

б) Проанализируем каждый рисунок на предмет наличия высот в соответствии с определением:

• В треугольнике $ABC$ отрезок $BL$ проведён из вершины $B$ и перпендикулярен стороне $AC$. Следовательно, $BL$ – высота.
• В треугольнике $DEF$ отрезок $DK$ проведён из вершины $D$ и перпендикулярен прямой, содержащей сторону $EF$. Следовательно, $DK$ – высота.
• В треугольнике $MNP$ отрезок $MS$ проведён из вершины $M$ и перпендикулярен стороне $NP$. Следовательно, $MS$ – высота.
• В треугольнике $XYZ$ угол $XZY$ прямой, значит, сторона $XZ$ перпендикулярна стороне $ZY$. Таким образом, катет $XZ$ является высотой, проведённой из вершины $X$ к прямой, содержащей сторону $ZY$. Также отрезок $ZT$ проведён из вершины $Z$ и перпендикулярен стороне $XY$, поэтому $ZT$ тоже является высотой.

Ответ: $BL, DK, MS, XZ, ZT$.

в) Треугольник имеет три вершины. Из каждой вершины можно провести одну высоту к прямой, содержащей противоположную сторону. Таким образом, в любом треугольнике можно провести ровно три высоты.
Ответ: три.

г) Если начертить треугольник и провести в нём все три высоты, можно заметить, что они (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Это справедливо для любого типа треугольника:

• В остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются внутри него.
• В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла (две высоты совпадают с катетами).
• В тупоугольном треугольнике продолжения высот пересекаются в одной точке вне треугольника.

На основе этих наблюдений можно сформулировать следующую гипотезу.
Гипотеза: Три прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке.
Считать эту гипотезу доказанной на основании нескольких построений нельзя. Построение является лишь иллюстрацией или экспериментом, который помогает выдвинуть предположение. Оно не может охватить все бесконечное множество возможных треугольников и может содержать погрешности. Для того чтобы утверждение считалось доказанным, необходимо строгое математическое доказательство, основанное на аксиомах и ранее доказанных теоремах, которое будет верным для любого треугольника.
Ответ: Замечание: три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Гипотеза: прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Считать гипотезу доказанной на основании построений нельзя, так как это не является строгим математическим доказательством.

55 a) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

б) Найди отрезки, являющиеся высотами треугольников на рисунке.

В треугольнике ABC: BL.

В треугольнике DEF: DK.

В треугольнике MNP: На рисунке не показано отрезков, являющихся высотами. Отрезок RS не является высотой, так как точка R не является вершиной треугольника.

В треугольнике XYZ: ZT. Также, так как угол $XZY$ является прямым углом, отрезки XZ (высота из вершины X к стороне ZY) и ZY (высота из вершины Y к стороне XZ) являются высотами этого треугольника.

в) Сколько высот в треугольнике?

г) Начерти треугольник и проведи все его высоты. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли считать твою гипотезу доказанной на основании выполненных построений?

56 Вырази в процентах указанную часть величины:

а) половина $\frac{1}{2}$

б) четверть $\frac{1}{4}$

в) пятая часть $\frac{1}{5}$

г) треть $\frac{1}{3}$

д) три четверти $\frac{3}{4}$

е) три пятых $\frac{3}{5}$

Чтобы выразить часть величины в процентах, необходимо эту часть, представленную в виде обыкновенной дроби, умножить на 100%.

а) половина

Половина соответствует дроби $\frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} \cdot 100\% = \frac{100}{2}\% = 50\%$

Ответ: 50%.

б) четверть

Четверть соответствует дроби $\frac{1}{4}$.

$\frac{1}{4} \cdot 100\% = \frac{100}{4}\% = 25\%$

Ответ: 25%.

в) пятая часть

Пятая часть соответствует дроби $\frac{1}{5}$.

$\frac{1}{5} \cdot 100\% = \frac{100}{5}\% = 20\%$

Ответ: 20%.

г) треть

Треть соответствует дроби $\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{3} \cdot 100\% = \frac{100}{3}\% = 33\frac{1}{3}\%$

Ответ: $33\frac{1}{3}\%$.

д) три четверти

Три четверти соответствует дроби $\frac{3}{4}$.

$\frac{3}{4} \cdot 100\% = 3 \cdot \frac{100}{4}\% = 3 \cdot 25\% = 75\%$

Ответ: 75%.

е) три пятых

Три пятых соответствует дроби $\frac{3}{5}$.

$\frac{3}{5} \cdot 100\% = 3 \cdot \frac{100}{5}\% = 3 \cdot 20\% = 60\%$

Ответ: 60%.

56 Вырази в процентах указанную часть величины:

а) половина;

б) четверть;

в) пятая часть;

г) треть;

д) три четверти;

е) три пятых.

57. На сколько процентов изменилась величина, если она:

а) удвоилась;

б) утроилась;

в) уменьшилась в 4 раза;

г) уменьшилась на четверть;

д) увеличилась на половину?

Чтобы найти, на сколько процентов изменилась величина, нужно найти отношение изменения величины к её первоначальному значению и выразить это отношение в процентах.

Обозначим начальное значение величины как $x$. Это 100%.

а) Величина удвоилась.

Новое значение стало $2x$.

Изменение составило $2x - x = x$.

Процентное изменение равно: $\frac{\text{изменение}}{\text{начальное значение}} \times 100\% = \frac{x}{x} \times 100\% = 1 \times 100\% = 100\%$.

Ответ: величина увеличилась на 100%.

б) Величина утроилась.

Новое значение стало $3x$.

Изменение составило $3x - x = 2x$.

Процентное изменение равно: $\frac{2x}{x} \times 100\% = 2 \times 100\% = 200\%$.

Ответ: величина увеличилась на 200%.

в) Величина уменьшилась в 4 раза.

Новое значение стало $\frac{x}{4}$.

Изменение составило $x - \frac{x}{4} = \frac{3x}{4}$.

Процентное изменение равно: $\frac{\frac{3x}{4}}{x} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$.

Ответ: величина уменьшилась на 75%.

г) Величина уменьшилась на четверть.

Уменьшение на четверть означает, что от величины отняли её четвертую часть, то есть $\frac{1}{4}x$.

Новое значение стало $x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$.

Процентное изменение равно: $\frac{\frac{1}{4}x}{x} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$.

Ответ: величина уменьшилась на 25%.

д) Величина увеличилась на половину.

Увеличение на половину означает, что к величине прибавили её половину, то есть $\frac{1}{2}x$.

Новое значение стало $x + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x$.

Процентное изменение равно: $\frac{\frac{1}{2}x}{x} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = 50\%$.

Ответ: величина увеличилась на 50%.

57 На сколько процентов изменилась величина, если она:

а) удвоилась;

б) утроилась;

в) уменьшилась в 4 раза;

г) уменьшилась на четверть;

д) увеличилась на половину?

58 БЛИЦтурнир

а) В одном классе $a$ человек, а в другом – на $20\%$ больше. Сколько человек в двух классах?

б) Товар продали за $b$ р. Прибыль составила $8\%$ от себестоимости. Чему равна себестоимость товара?

в) До снижения цены футболка стоила $x$ р., а после снижения – $y$ р. На сколько процентов снизилась цена?

г) Зарплату рабочего, равную $n$ р., повысили сначала на $10\%$, а потом ещё на $40\%$ от новой суммы. Какой стала зарплата после второго повышения?

д) Цену на компьютер снизили сначала на $20\%$, а потом ещё на $50\%$ от новой цены. После этого компьютер стал стоить $k$ р. Какой была его первоначальная цена?

а) В первом классе учится $a$ человек. Во втором классе количество учеников на 20% больше, чем в первом. Найдем количество учеников во втором классе: $a + a \cdot \frac{20}{100} = a + 0.2a = 1.2a$ человек. Чтобы найти общее количество человек в двух классах, сложим количество учеников в первом и втором классе: $a + 1.2a = 2.2a$ человек.
Ответ: $2.2a$ человек.

б) Пусть себестоимость товара равна $S$ р. Прибыль от продажи составила 8% от себестоимости, то есть $S \cdot \frac{8}{100} = 0.08S$. Цена продажи $b$ — это сумма себестоимости и прибыли: $b = S + 0.08S$. Упростим выражение: $b = S(1 + 0.08) = 1.08S$. Чтобы найти себестоимость $S$, выразим ее из формулы: $S = \frac{b}{1.08}$. Это можно записать в виде обыкновенной дроби: $S = \frac{b}{\frac{108}{100}} = \frac{100b}{108} = \frac{25b}{27}$ р.
Ответ: $\frac{25b}{27}$ р.

в) Первоначальная цена футболки была $x$ р., а новая цена — $y$ р. Абсолютное снижение цены составляет $x - y$ р. Чтобы найти, на сколько процентов снизилась цена, нужно разделить абсолютное снижение на первоначальную цену и умножить результат на 100%. Получаем формулу: $\frac{x-y}{x} \cdot 100 \%$.
Ответ: на $\frac{x-y}{x} \cdot 100 \%$.

г) Первоначальная зарплата рабочего составляла $n$ р. После первого повышения на 10% она стала равна $n \cdot (1 + \frac{10}{100}) = n \cdot 1.1 = 1.1n$ р. Затем эту новую сумму повысили еще на 40%. Итоговая зарплата составила $1.1n \cdot (1 + \frac{40}{100}) = 1.1n \cdot 1.4 = 1.54n$ р.
Ответ: $1.54n$ р.

д) Пусть первоначальная цена компьютера была $P$ р. После первого снижения на 20% цена стала $P \cdot (1 - \frac{20}{100}) = 0.8P$. Затем новую цену $0.8P$ снизили еще на 50%. Цена после второго снижения стала $0.8P \cdot (1 - \frac{50}{100}) = 0.8P \cdot 0.5 = 0.4P$. По условию задачи, эта конечная цена равна $k$ р., следовательно, $0.4P = k$. Отсюда выражаем первоначальную цену $P$: $P = \frac{k}{0.4} = 2.5k$ р.
Ответ: $2.5k$ р.

58 БЛИЦтурнир.

а) В одном классе $a$ человек, а в другом – на 20% больше. Сколько человек в двух классах?

б) Товар продали за $b$ р. Прибыль составила 8% от себестоимости. Чему равна себестоимость товара?

в) До снижения цены футболка стоила $x$ р., а после снижения – $y$ р. На сколько процентов снизилась цена?

г) Зарплату рабочего, равную $n$ р., повысили сначала на 10%, а потом еще на 40% от новой суммы. Какой стала зарплата после второго повышения?

д) Цену на компьютер снизили сначала на 20%, а потом еще на 50% от новой цены. После этого компьютер стал стоить $k$ р. Какой была его первоначальная цена?