Страница 13, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

29 Определи вид высказывания. Найди истинные высказывания и докажи их. Для ложных общих высказываний приведи контрпример и построй отрицание.

1) Каждое натуральное число делится на себя и на 1.

2) Некоторые числа имеют только один делитель.

3) Любое натуральное число имеет хотя бы два делителя.

4) Простое число всегда меньше составного.

5) Взаимно простые числа сами являются простыми.

6) Числа 12 и 15 – взаимно простые.

7) Делитель числа всегда меньше самого числа.

8) Кратное числа больше самого числа.

9) Число, кратное 9, может не оканчиваться на 9.

10) Число, кратное 9, может быть представлено в виде $9n$, где $n \in N$.

11) Любое простое число можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in N$.

12) Число, которое можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in N$, является простым.

1) Это общее высказывание, так как оно относится ко всем натуральным числам. Высказывание истинно.
Доказательство: По определению делимости, число $a$ делится на число $b$, если существует такое целое число $k$, что $a = b \cdot k$. Для любого натурального числа $n$ справедливо равенство $n = n \cdot 1$, что означает, что $n$ делится на $n$. Также справедливо равенство $n = 1 \cdot n$, что означает, что $n$ делится на 1. Таким образом, любое натуральное число делится на себя и на 1.
Ответ: Истинное общее высказывание.

2) Это высказывание о существовании, так как оно утверждает, что существует хотя бы одно такое число. Высказывание истинно.
Доказательство: Натуральное число 1 имеет только один натуральный делитель — само число 1. Следовательно, такое число существует.
Ответ: Истинное высказывание о существовании.

3) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Натуральное число 1. Оно имеет только один делитель (число 1), а не два.
Отрицание: "Существует натуральное число, которое имеет менее двух делителей".
Ответ: Ложное общее высказывание.

4) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Число 5 является простым, а число 4 — составным. Однако $5 > 4$, что противоречит утверждению.
Отрицание: "Существует простое число, которое больше или равно некоторому составному числу".
Ответ: Ложное общее высказывание.

5) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Числа 8 и 9 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1. Однако ни 8, ни 9 не являются простыми числами ($8 = 2^3$, $9 = 3^2$).
Отрицание: "Существуют взаимно простые числа, которые не являются простыми".
Ответ: Ложное общее высказывание.

6) Это частное высказывание, так как оно относится к конкретным числам. Высказывание ложно.
Доказательство: Числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Найдем НОД(12, 15). Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Их общий делитель, отличный от 1, это 3. НОД(12, 15) = 3. Так как $3 \ne 1$, числа не являются взаимно простыми.
Ответ: Ложное частное высказывание.

7) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Любое натуральное число является своим собственным делителем. Например, 5 является делителем числа 5, но 5 не меньше 5 ($5 = 5$).
Отрицание: "Существует число, имеющее делитель, который не меньше самого числа".
Ответ: Ложное общее высказывание.

8) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Любое натуральное число является кратным самому себе (например, $5 = 5 \cdot 1$). При этом 5 не больше 5 ($5=5$).
Отрицание: "Существует число, имеющее кратное, которое не больше самого числа".
Ответ: Ложное общее высказывание.

9) Это высказывание о существовании. Высказывание истинно.
Доказательство: Число 18 кратно 9 ($18 = 9 \cdot 2$), но оно оканчивается на цифру 8, а не 9.
Ответ: Истинное высказывание о существовании.

10) Это общее высказывание, являющееся определением. Высказывание истинно.
Доказательство: По определению, число $m$ кратно 9, если оно делится на 9 без остатка, то есть существует натуральное число $n$ такое, что $m = 9n$.
Ответ: Истинное общее высказывание.

11) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Число 2 является простым. Однако его нельзя представить в виде $2n + 1$ для натурального $n$ (где $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$). Решение уравнения $2 = 2n + 1$ есть $n = 0.5$, что не является натуральным числом.
Отрицание: "Существует простое число, которое нельзя представить в виде $2n + 1$, где $n \in \mathbb{N}$".
Ответ: Ложное общее высказывание.

12) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Возьмем $n = 4$. Тогда число, представленное в виде $2n + 1$, равно $2 \cdot 4 + 1 = 9$. Число 9 не является простым, так как оно делится на 3. Следовательно, 9 — составное число.
Отрицание: "Существует число, которое можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in \mathbb{N}$, и при этом оно не является простым (т.е. является составным)".
Ответ: Ложное общее высказывание.

29 Определи вид высказывания. Найди истинные высказывания и докажи их. Для ложных общих высказываний приведи контрпример и построй отрицание.

1) Каждое натуральное число делится на себя и на 1.

2) Некоторые числа имеют только один делитель.

3) Любое натуральное число имеет хотя бы два делителя.

4) Простое число всегда меньше составного.

5) Взаимно простые числа сами являются простыми.

6) Числа 12 и 15 – взаимно простые.

7) Делитель числа всегда меньше самого числа.

8) Кратное числа больше самого числа.

9) Число, кратное 9, может не оканчиваться на 9.

10) Число, кратное 9, может быть представлено в виде $9n$, где $n \in N$.

11) Любое простое число можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in N$.

12) Число, которое можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in N$, является простым.

П 30

Нарисуй в тетради таблицу для записи соответствующих значений $a$ и $x$ и заполни её для $a = 0.08$; $0.6$; $2.9$; $3$; $7.2$; $20.5$.

1) $a$
$\cdot 0.1$
$\geq 0.3?$
нет: $+0.05$
да: $-0.09$
Результат: $x$

2) $a$
$: 0.1$
$<30?$
нет: $-7.2$
да: $+5.4$
Результат: $x$

Проанализируем первую блок-схему. Сначала значение a умножается на 0,1. Затем полученный результат сравнивается с 0,3. Если результат больше или равен 0,3 (ветка «да»), то из него вычитается 0,09, чтобы найти x. Если результат меньше 0,3 (ветка «нет»), то к нему прибавляется 0,05, чтобы найти x.

Выполним вычисления для каждого значения a:

• При $a = 0,08$:
  $0,08 \cdot 0,1 = 0,008$.
  Так как $0,008 < 0,3$ (ветка «нет»), то $x = 0,008 + 0,05 = 0,058$.
• При $a = 0,6$:
  $0,6 \cdot 0,1 = 0,06$.
  Так как $0,06 < 0,3$ (ветка «нет»), то $x = 0,06 + 0,05 = 0,11$.
• При $a = 2,9$:
  $2,9 \cdot 0,1 = 0,29$.
  Так как $0,29 < 0,3$ (ветка «нет»), то $x = 0,29 + 0,05 = 0,34$.
• При $a = 3$:
  $3 \cdot 0,1 = 0,3$.
  Так как $0,3 \ge 0,3$ (ветка «да»), то $x = 0,3 - 0,09 = 0,21$.
• При $a = 7,2$:
  $7,2 \cdot 0,1 = 0,72$.
  Так как $0,72 \ge 0,3$ (ветка «да»), то $x = 0,72 - 0,09 = 0,63$.
• При $a = 20,5$:
  $20,5 \cdot 0,1 = 2,05$.
  Так как $2,05 \ge 0,3$ (ветка «да»), то $x = 2,05 - 0,09 = 1,96$.

Ответ:

Проанализируем вторую блок-схему. Сначала значение a делится на 0,1. Затем полученный результат сравнивается с 30. Если результат меньше 30 (ветка «да»), то к нему прибавляется 5,4, чтобы найти x. Если результат не меньше 30 (ветка «нет»), то из него вычитается 7,2, чтобы найти x.

Выполним вычисления для каждого значения a:

• При $a = 0,08$:
  $0,08 : 0,1 = 0,8$.
  Так как $0,8 < 30$ (ветка «да»), то $x = 0,8 + 5,4 = 6,2$.
• При $a = 0,6$:
  $0,6 : 0,1 = 6$.
  Так как $6 < 30$ (ветка «да»), то $x = 6 + 5,4 = 11,4$.
• При $a = 2,9$:
  $2,9 : 0,1 = 29$.
  Так как $29 < 30$ (ветка «да»), то $x = 29 + 5,4 = 34,4$.
• При $a = 3$:
  $3 : 0,1 = 30$.
  Так как $30$ не меньше $30$ (ветка «нет»), то $x = 30 - 7,2 = 22,8$.
• При $a = 7,2$:
  $7,2 : 0,1 = 72$.
  Так как $72$ не меньше $30$ (ветка «нет»), то $x = 72 - 7,2 = 64,8$.
• При $a = 20,5$:
  $20,5 : 0,1 = 205$.
  Так как $205$ не меньше $30$ (ветка «нет»), то $x = 205 - 7,2 = 197,8$.

Ответ:

П 30 Нарисуй в тетради таблицу для записи соответствующих значений $a$ и $x$ и заполни ее для $a = 0,08; 0,6; 2,9; 3; 7,2; 20,5.$

1) Начало с $a$.

Вычислить промежуточное значение: $temp = a \cdot 0,1$.

Проверить условие: $temp \ge 0,3?$

Если "нет": $x = temp + 0,05$.

Если "да": $x = temp - 0,09$.

2) Начало с $a$.

Вычислить промежуточное значение: $temp = a : 0,1$.

Проверить условие: $temp < 30?$

Если "нет": $x = temp - 7,2$.

Если "да": $x = temp + 5,4$.

31 Прочитай неравенство и запиши множество всех его натуральных решений:

а) $15 < x < 18$;

б) $3.2 < x \le 7.6$;

в) $1.7 \le x \le 2$;

г) $5 < x < 5.6$.

Для решения задачи необходимо найти все натуральные числа, которые удовлетворяют каждому из данных неравенств. Натуральные числа – это числа, используемые при счете предметов: 1, 2, 3, 4, ...

Неравенство $15 < x < 18$ читается как «икс больше пятнадцати, но меньше восемнадцати». Это строгое неравенство, то есть числа 15 и 18 не входят в множество решений. Нам нужно найти все натуральные числа, которые находятся между 15 и 18. Это числа 16 и 17. Таким образом, множество натуральных решений данного неравенства – это $\{16, 17\}$.

Ответ: $\{16, 17\}$.

Неравенство $3,2 < x \le 7,6$ читается как «икс больше трёх целых двух десятых, но меньше или равен семи целым шести десятым». Мы ищем натуральные числа $x$, удовлетворяющие этому условию. Первое натуральное число, которое больше 3,2, – это 4. Натуральные числа должны быть меньше или равны 7,6. Это означает, что наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, – это 7. Следовательно, нам подходят все натуральные числа от 4 до 7 включительно: 4, 5, 6, 7. Множество решений: $\{4, 5, 6, 7\}$.

Ответ: $\{4, 5, 6, 7\}$.

Неравенство $1,7 \le x \le 2$ читается как «икс больше или равен одной целой семи десятым и меньше или равен двум». Это нестрогое неравенство. Нам нужно найти натуральные числа $x$, которые находятся в этом промежутке. Первое натуральное число, которое больше или равно 1,7, – это 2. Так как $x$ также должен быть меньше или равен 2, то единственное натуральное число, которое удовлетворяет данному неравенству, – это 2. Множество решений состоит из одного элемента: $\{2\}$.

Ответ: $\{2\}$.

Неравенство $5 < x < 5,6$ читается как «икс больше пяти, но меньше пяти целых шести десятых». Мы ищем натуральные числа между 5 и 5,6. Первое натуральное число, которое больше 5, – это 6. Однако 6 не меньше 5,6. Таким образом, не существует натуральных чисел, которые удовлетворяли бы этому условию. В этом случае множество решений является пустым. Пустое множество обозначается символом $\emptyset$.

Ответ: $\emptyset$.

31 Прочитай неравенство и запиши множество всех его натуральных решений:

а) $15 < x < 18$;

б) $3,2 < x \le 7,6$;

в) $1,7 \le x \le 2$;

г) $5 < x < 5,6$.

32 Найди три решения неравенства $0,5 \le x \le 0,6$. Укажи алгоритм, по которому можно найти его 1000 решений. А можно ли найти 10 000 решений этого неравенства?

Найди три решения неравенства 0,5 ≤ x ≤ 0,6.

Данное двойное неравенство означает, что мы ищем числа $x$, которые находятся на числовой прямой между 0,5 и 0,6, включая сами эти числа. Чтобы найти три таких числа, достаточно выбрать любые дроби, удовлетворяющие этому условию.
Примеры решений:
1. $x = 0,51$. Проверка: $0,5 \le 0,51 \le 0,6$. Верно.
2. $x = 0,55$. Проверка: $0,5 \le 0,55 \le 0,6$. Верно.
3. $x = 0,599$. Проверка: $0,5 \le 0,599 \le 0,6$. Верно.

Ответ: Например, 0,51; 0,55; 0,599.

Укажи алгоритм, по которому можно найти его 1000 решений.

Чтобы найти большое количество решений, можно действовать по следующему алгоритму.
1. Представим границы интервала с большим количеством знаков после запятой, чтобы было "место" для новых чисел. Например, $0,5 = 0,50000$ и $0,6 = 0,60000$.
2. Возьмем левую границу $A = 0,5$ за отправную точку.
3. Выберем очень маленький "шаг" $\delta$, который будем прибавлять. Чтобы найти 1000 решений, шаг должен быть достаточно маленьким, чтобы, сделав 1000 шагов, мы не вышли за правую границу $B=0,6$. Длина всего интервала равна $0,6 - 0,5 = 0,1$. Значит, $1000 \cdot \delta$ должно быть меньше или равно $0,1$. Возьмем, например, $\delta = 0,00001$.
4. Генерируем решения по формуле $x_k = A + k \cdot \delta$, где $k$ — это порядковый номер решения от 1 до 1000.
Таким образом, решениями будут:
$x_1 = 0,5 + 1 \cdot 0,00001 = 0,50001$
$x_2 = 0,5 + 2 \cdot 0,00001 = 0,50002$
...
$x_{1000} = 0,5 + 1000 \cdot 0,00001 = 0,5 + 0,01 = 0,51$
Все полученные 1000 чисел (от 0,50001 до 0,51) гарантированно находятся внутри интервала $[0,5; 0,6]$.

Ответ: Можно взять левую границу $0,5$ и последовательно прибавлять к ней очень маленький шаг, например, $0,00001$. Первое решение будет $0,50001$, второе — $0,50002$, и так далее 1000 раз.

А можно ли найти 10 000 решений этого неравенства?

Да, можно. И 10 000, и любое другое конечное число решений. Это следует из свойства плотности множества действительных чисел: между любыми двумя различными числами всегда найдется бесконечное множество других чисел.
Для нахождения 10 000 решений можно применить тот же самый алгоритм, что и для 1000, просто выполнив его 10 000 раз.
Используем формулу $x_k = 0,5 + k \cdot \delta$. Нам нужно, чтобы последнее решение $x_{10000}$ не было больше 0,6.
$x_{10000} = 0,5 + 10000 \cdot \delta \le 0,6$
$10000 \cdot \delta \le 0,1$
$\delta \le \frac{0,1}{10000} = 0,00001$
Мы можем выбрать шаг $\delta = 0,00001$. Тогда наши 10 000 решений будут:
$x_1 = 0,50001$
$x_2 = 0,50002$
...
$x_{10000} = 0,5 + 10000 \cdot 0,00001 = 0,5 + 0,1 = 0,6$
Все эти числа от 0,50001 до 0,6 включительно являются решениями неравенства.

Ответ: Да, можно. Между 0,5 и 0,6 находится бесконечное множество чисел, поэтому можно найти не только 10 000, но и любое заданное количество решений.

32 Найди три решения неравенства $0.5 \le x \le 0.6$. Укажи алгоритм, по которому можно найти его 1000 решений. А можно ли найти 10000 решений этого неравенства?

33 1) $a = 149,5027$. Найди числа, являющиеся приближениями числа $a$ с недостатком и избытком с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных. Ответы запиши в виде двойных неравенств.

Образец записи решения: $149,50 < a < 149,51$ (с точностью до сотых).

2) В записанных неравенствах подчеркни те числа, которые являются результатами округления числа $a$ с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных.

33 1) $a = 149,5027$. Найди числа, являющиеся приближениями числа $a$ с недостатком и избытком с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных. Ответы запиши в виде двойных неравенств.

Образец записи решения: $149,50 < a < 149,51$ (с точностью до сотых)

2) В записанных неравенствах подчеркни те числа, которые являются результатами округления числа $a$ с точностью до сотен, десятков, единиц, десятых, сотых, тысячных.

37 Размеры дачного участка прямоугольной формы 40 м x 30 м. Начерти план этого участка в масштабе 1 : 500. Изобрази на этом плане дом, размеры которого 10 м x 10 м, расположенный в центре участка. На одной из больших сторон прямоугольника посередине отметь ворота шириной 4 м.

Для построения плана дачного участка необходимо сначала перевести все реальные размеры в размеры для плана, используя заданный масштаб 1:500. Масштаб 1:500 означает, что 1 см на плане соответствует 500 см (или 5 м) в действительности.

1. Расчет размеров для плана

Сначала переведем все размеры из метров в сантиметры, чтобы было удобнее работать с масштабом.

• Размеры участка: $40 \text{ м} = 4000 \text{ см}$ и $30 \text{ м} = 3000 \text{ см}$.
• Размеры дома: $10 \text{ м} = 1000 \text{ см}$.
• Ширина ворот: $4 \text{ м} = 400 \text{ см}$.

Теперь разделим реальные размеры в сантиметрах на 500, чтобы получить размеры на плане.

• Длина участка на плане: $4000 \text{ см} \div 500 = 8 \text{ см}$.
• Ширина участка на плане: $3000 \text{ см} \div 500 = 6 \text{ см}$.
• Сторона дома на плане: $1000 \text{ см} \div 500 = 2 \text{ см}$.
• Ширина ворот на плане: $400 \text{ см} \div 500 = 0.8 \text{ см}$ (или $8 \text{ мм}$).

2. Построение плана

Теперь, имея все размеры, можно приступить к чертежу.

1. Участок: Начертите прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см. Это будет граница дачного участка.
2. Дом: Дом представляет собой квадрат со стороной 2 см и расположен в центре участка. Чтобы найти его положение, нужно рассчитать отступы от границ участка:
   • Отступ от длинных сторон (8 см): $(8 \text{ см} - 2 \text{ см}) \div 2 = 3 \text{ см}$.
   • Отступ от коротких сторон (6 см): $(6 \text{ см} - 2 \text{ см}) \div 2 = 2 \text{ см}$.
   Таким образом, внутри прямоугольника участка начертите квадрат со стороной 2 см, расположив его на расстоянии 3 см от длинных сторон и 2 см от коротких сторон.
3. Ворота: Ворота шириной 0.8 см расположены посередине одной из больших сторон (длиной 8 см).
   • Найдите середину этой стороны. Это будет точка на расстоянии $8 \text{ см} \div 2 = 4 \text{ см}$ от одного из углов.
   • От этой центральной точки отложите в обе стороны по половине ширины ворот: $0.8 \text{ см} \div 2 = 0.4 \text{ см}$.
   • Отметьте этот отрезок длиной 0.8 см на границе участка.

Ниже представлен схематичный вид готового плана:

Ответ: План представляет собой прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см. Внутри этого прямоугольника в центре расположен квадрат со стороной 2 см (дом). На одной из сторон длиной 8 см по центру отмечены ворота в виде отрезка длиной 0.8 см.

37 Размеры дачного участка прямоугольной формы $40 \text{ м} \times 30 \text{ м}$. Начерти план этого участка в масштабе $1:500$. Изобрази на этом плане дом, размеры которого $10 \text{ м} \times 10 \text{ м}$, расположенный в центре участка. На одной из больших сторон прямоугольника посередине отметь ворота шириной $4 \text{ м}$.

38 Практическая работа

Начерти план кабинета математики в масштабе $1 : 100$.

Это практическая работа, которая требует выполнения реальных измерений. Так как у меня нет возможности измерить конкретный кабинет математики, я предоставлю пошаговую инструкцию и пример расчетов для гипотетического стандартного школьного класса. Вы можете следовать этой инструкции, подставляя в расчеты свои данные, полученные с помощью измерительной рулетки.

Шаг 1: Изучение и применение масштаба

Масштаб 1:100 означает, что 1 сантиметр на вашем плане (чертеже) соответствует 100 сантиметрам в реальной жизни. Это очень удобный масштаб, так как 100 см – это ровно 1 метр.

• $1 \text{ см (на плане)} = 100 \text{ см (в реальности)}$
• $1 \text{ см (на плане)} = 1 \text{ м (в реальности)}$

Следовательно, чтобы перевести реальный размер объекта в размер для плана, нужно его величину в сантиметрах разделить на 100. Формула для расчета:

$$L_{план} = \frac{L_{реальный}}{100}$$

где $L_{план}$ – это длина на плане в см, а $L_{реальный}$ – это реальная длина в см.

Ответ: Чтобы начертить план в масштабе 1:100, необходимо все реальные размеры, измеренные в сантиметрах, разделить на 100, чтобы получить размеры для чертежа в сантиметрах.

Шаг 2: Измерение кабинета и его объектов

С помощью рулетки измерьте следующие элементы вашего кабинета. Для примера я буду использовать типичные размеры:

• Размеры комнаты: длина и ширина. Пример: длина = 8 метров (800 см), ширина = 6 метров (600 см).
• Размеры мебели: длина и ширина стола учителя, парт, шкафов. Пример:
  • Стол учителя: 120 см × 60 см.
  • Парта (на 2 учеников): 120 см × 50 см.
  • Книжный шкаф: 200 см × 40 см.
• Расположение и размеры других объектов:
  • Ширина дверного проема. Пример: 90 см.
  • Ширина оконных проемов. Пример: 150 см.
  • Длина классной доски. Пример: 300 см.
• Расположение объектов: Измерьте расстояние от стен до мебели, расстояние между партами, чтобы точно расположить их на плане.

Ответ: Необходимо измерить длину и ширину кабинета, размеры всей мебели, а также оконных и дверных проемов. Также важно замерить расположение всех объектов относительно стен и друг друга.

Шаг 3: Расчет размеров для плана

Теперь применим формулу из Шага 1 к нашим примерным измерениям, чтобы найти размеры для чертежа.

• Размеры комнаты на плане:
  • Длина: $800 \text{ см} / 100 = 8 \text{ см}$
  • Ширина: $600 \text{ см} / 100 = 6 \text{ см}$
• Размеры мебели на плане:
  • Стол учителя: $120 \text{ см} / 100 = 1.2 \text{ см}$; $60 \text{ см} / 100 = 0.6 \text{ см}$. Размер на плане: 1.2 см × 0.6 см.
  • Парта: $120 \text{ см} / 100 = 1.2 \text{ см}$; $50 \text{ см} / 100 = 0.5 \text{ см}$. Размер на плане: 1.2 см × 0.5 см.
  • Шкаф: $200 \text{ см} / 100 = 2 \text{ см}$; $40 \text{ см} / 100 = 0.4 \text{ см}$. Размер на плане: 2 см × 0.4 см.
• Размеры других объектов на плане:
  • Дверь (ширина проема): $90 \text{ см} / 100 = 0.9 \text{ см}$.
  • Окно (ширина проема): $150 \text{ см} / 100 = 1.5 \text{ см}$.
  • Доска (длина): $300 \text{ см} / 100 = 3 \text{ см}$.

Ответ: На основе примерных реальных размеров были рассчитаны размеры всех элементов для плана: комната – 8 см × 6 см, стол учителя – 1.2 см × 0.6 см, парта – 1.2 см × 0.5 см, шкаф – 2 см × 0.4 см, дверь – 0.9 см, окно – 1.5 см, доска – 3 см.

Шаг 4: Построение плана кабинета

Вооружившись линейкой, карандашом и полученными расчетами, приступайте к чертежу на листе бумаги (удобно использовать миллиметровую или в клетку).

1. Начертите прямоугольник с размерами, рассчитанными для комнаты (в нашем примере 8 см × 6 см). Это будут стены.
2. На стенах обозначьте окна и дверь в соответствии с их реальным расположением и рассчитанными размерами. Для двери обычно рисуют дугу, показывающую направление ее открытия. Окна можно обозначить двойной линией.
3. На стене, где висит доска, начертите жирную линию ее расчетной длины (в нашем примере 3 см).
4. Внутри контура комнаты нарисуйте прямоугольники, изображающие мебель (стол учителя, парты, шкафы), соблюдая их размеры и расположение относительно стен и друг друга.
5. Подпишите на чертеже основные объекты и обязательно укажите масштаб. Например, в углу листа напишите: "Масштаб 1:100".

Ответ: План кабинета чертится на бумаге с помощью линейки. Сначала рисуется контур комнаты в рассчитанном масштабе, затем наносятся окна, двери, доска и мебель в соответствии с их размерами и расположением.

38 Практическая работа.

Начерти план кабинета математики в масштабе $1 : 100$.

39 Размеры комнаты равны 4,2 м x 6 м. На плане комнаты её длина изображена отрезком, равным 4 см. Чему равна длина отрезка, изображающего на этом плане ширину комнаты?

Для решения этой задачи воспользуемся пропорцией, поскольку отношение размеров на плане к реальным размерам (масштаб) одинаково для всех измерений комнаты.

Обозначим искомый размер — длину отрезка, изображающего ширину комнаты на плане, — через $x$ (в сантиметрах).

Нам известны следующие данные:
- Реальная длина комнаты: $6$ м
- Реальная ширина комнаты: $4,2$ м
- Длина комнаты на плане: $4$ см

Составим пропорцию, в которой отношение длины на плане к реальной длине равно отношению ширины на плане к реальной ширине:

$\frac{\text{Длина на плане}}{\text{Реальная длина}} = \frac{\text{Ширина на плане}}{\text{Реальная ширина}}$

Подставим известные значения:

$\frac{4 \text{ см}}{6 \text{ м}} = \frac{x \text{ см}}{4,2 \text{ м}}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Для этого выразим $x$ из пропорции:

$x = \frac{4 \text{ см} \times 4,2 \text{ м}}{6 \text{ м}}$

Выполним вычисления. Единицы измерения (метры) в числителе и знаменателе сокращаются, и результат получается в сантиметрах:

$x = \frac{16,8}{6} \text{ см}$

$x = 2,8 \text{ см}$

Таким образом, длина отрезка, изображающего на этом плане ширину комнаты, равна 2,8 см.

Ответ: 2,8 см.

39 Размеры комнаты равны $4,2 \text{ м} \times 6 \text{ м}$. На плане комнаты ее длина изображена отрезком, равным $4 \text{ см}$. Чему равна длина отрезка, изображающего на этом плане ширину комнаты?

40 На карте, масштаб которой $1 : 100 000$, расстояние между двумя городами равно 12 см. Каким будет это расстояние на карте, масштаб которой $1 : 300 000$?

Для решения данной задачи необходимо сначала определить реальное расстояние между городами, используя данные первой карты, а затем рассчитать, каким будет это расстояние на второй карте с другим масштабом.

1. Находим реальное расстояние между городами

Масштаб первой карты 1:100 000 означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности. Расстояние между городами на этой карте равно 12 см. Чтобы найти реальное расстояние, необходимо расстояние на карте умножить на знаменатель масштаба:

Реальное расстояние = $12 \text{ см} \times 100\,000 = 1\,200\,000 \text{ см}$.

2. Находим расстояние на второй карте

Масштаб второй карты — 1:300 000. Зная реальное расстояние (1 200 000 см), мы можем найти, какой длины отрезок будет соответствовать этому расстоянию на новой карте. Для этого нужно реальное расстояние разделить на знаменатель нового масштаба:

Расстояние на второй карте = $\frac{1\,200\,000 \text{ см}}{300\,000} = 4 \text{ см}$.

Задачу можно решить и другим способом. Масштаб второй карты ($1:300\,000$) в три раза крупнее (знаменатель больше), чем масштаб первой ($1:100\,000$), так как $300\,000 \div 100\,000 = 3$. Это означает, что изображение на второй карте будет в 3 раза меньше, чем на первой. Следовательно, искомое расстояние будет в 3 раза короче:

$12 \text{ см} \div 3 = 4 \text{ см}$.

Ответ: 4 см.

40 На карте, масштаб которой 1 : 100 000, расстояние между двумя городами равно 12 см. Каким будет это расстояние на карте, масштаб которой 1 : 300 000?

Найди число, которое в указанном ряду чисел нарушает закономерность:

1) 10; 2; 0,4; 0,08; 0,16; 0,032;

2) $\frac{1}{2}$; 1; $1\frac{1}{2}$; $2\frac{1}{2}$; 4; $6\frac{1}{2}$; 10; $16\frac{1}{2}$;

3) 3; 0,5; 6; 0,8; 12; 1; 18; 1,4;

4) $\frac{5}{8}$; $\frac{6}{13}$; $\frac{7}{19}$; $\frac{8}{26}$; $\frac{9}{32}$; $\frac{10}{41}$; $\frac{11}{51}$; $\frac{12}{62}$.

1)

Рассмотрим последовательность чисел: 10; 2; 0,4; 0,08; 0,16; 0,032. Закономерность в этом ряду — это геометрическая прогрессия, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на 0,2 (или делением на 5). Проверим последовательность:

• Первый член: $10$
• Второй член: $10 \cdot 0,2 = 2$
• Третий член: $2 \cdot 0,2 = 0,4$
• Четвертый член: $0,4 \cdot 0,2 = 0,08$
• Пятый член по правилу должен быть: $0,08 \cdot 0,2 = 0,016$. В последовательности указано число 0,16.
• Шестой член, посчитанный от указанного в ряду пятого: $0,16 \cdot 0,2 = 0,032$. Этот член соответствует последовательности.

Нарушение закономерности происходит при переходе от четвертого члена к пятому. Число 0,16 не соответствует правилу, так как оно в 10 раз больше, чем должно быть ($0,08 \cdot 2 = 0,16$ вместо $0,08 \cdot 0,2 = 0,016$).
Ответ: 0,16.

2)

Рассмотрим последовательность чисел: $\frac{1}{2}; 1; 1\frac{1}{2}; 2\frac{1}{2}; 4; 6\frac{1}{2}; 10; 16\frac{1}{2}$. Представим числа в виде десятичных дробей для удобства: 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4; 6,5; 10; 16,5. Закономерность в этом ряду заключается в том, что каждый член, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих (последовательность Фибоначчи). Проверим последовательность:

• Третий член: $0,5 + 1 = 1,5$ (соответствует $1\frac{1}{2}$)
• Четвертый член: $1 + 1,5 = 2,5$ (соответствует $2\frac{1}{2}$)
• Пятый член: $1,5 + 2,5 = 4$
• Шестой член: $2,5 + 4 = 6,5$ (соответствует $6\frac{1}{2}$)
• Седьмой член по правилу должен быть: $4 + 6,5 = 10,5$. В последовательности указано число 10.
• Восьмой член, посчитанный от указанного в ряду седьмого: $6,5 + 10 = 16,5$ (соответствует $16\frac{1}{2}$).

Нарушение закономерности происходит при вычислении седьмого члена. Число 10 не соответствует правилу.
Ответ: 10.

3)

Рассмотрим последовательность чисел: 3; 0,5; 6; 0,8; 12; 1,1; 18; 1,4. В данном ряду чередуются две независимые последовательности.

• Первая последовательность (на нечетных местах): 3; 6; 12; 18. Закономерность здесь — геометрическая прогрессия, где каждый следующий член умножается на 2. $3 \cdot 2 = 6$. $6 \cdot 2 = 12$. $12 \cdot 2 = 24$. В последовательности на этом месте стоит число 18. Таким образом, число 18 нарушает закономерность.
• Вторая последовательность (на четных местах): 0,5; 0,8; 1,1; 1,4. Закономерность здесь — арифметическая прогрессия, где к каждому следующему члену прибавляется 0,3. $0,5 + 0,3 = 0,8$. $0,8 + 0,3 = 1,1$. $1,1 + 0,3 = 1,4$. Эта последовательность полностью соответствует закономерности.

Следовательно, число, нарушающее закономерность в общем ряду, это 18.
Ответ: 18.

4)

Рассмотрим последовательность дробей: $\frac{5}{8}; \frac{6}{13}; \frac{7}{19}; \frac{8}{26}; \frac{9}{32}; \frac{10}{41}; \frac{11}{51}; \frac{12}{62}$. Проанализируем числители и знаменатели отдельно.

• Последовательность числителей: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Это арифметическая прогрессия с шагом 1. Закономерность не нарушена.
• Последовательность знаменателей: 8, 13, 19, 26, 32, 41, 51, 62. Найдем разность между соседними членами: $13 - 8 = 5$ $19 - 13 = 6$ $26 - 19 = 7$ $32 - 26 = 6$ $41 - 32 = 9$ $51 - 41 = 10$ $62 - 51 = 11$ Закономерность в разностях — это последовательные целые числа, начиная с 5. Последовательность разностей должна быть: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. На четвертом шаге разность равна 6, а должна быть 8. Это указывает на ошибку в пятом члене последовательности знаменателей. Проверим: четвертый знаменатель равен 26. Следующий должен быть $26 + 8 = 34$. В последовательности же указано 32.

Таким образом, знаменатель 32 в дроби $\frac{9}{32}$ нарушает закономерность.
Ответ: $\frac{9}{32}$.

$\pi$ 41 Найди число, которое в указанном ряду чисел нарушает закономерность:

1) 10; 2; 0,4; 0,08; 0,16; 0,032;

2) $\frac{1}{2}$; 1; $1\frac{1}{2}$; $2\frac{1}{2}$; 4; $6\frac{1}{2}$; 10; $16\frac{1}{2}$;

3) 3; 0,5; 6; 0,8; 12; 1,1; 18; 1,4;

4) $\frac{5}{8}$; $\frac{6}{13}$; $\frac{7}{19}$; $\frac{8}{26}$; $\frac{9}{32}$; $\frac{10}{41}$; $\frac{11}{51}$; $\frac{12}{62}$.

42 Имеется набор шестерёнок в 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120 зубцов. Подбери такие пары шестерёнок, чтобы отношение чисел их зубцов было равно:

1) $5$;

2) $\frac{1}{2}$;

3) $\frac{1}{4}$;

4) $\frac{1}{6}$;

5) $\frac{2}{3}$;

6) $\frac{2}{5}$;

7) $\frac{5}{6}$;

8) $\frac{3}{4}$.

Дан набор чисел, соответствующий количеству зубцов у шестерёнок: {15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120}.

Для каждого пункта подберем пары шестерёнок, обозначив число их зубцов как $a$ и $b$, чтобы отношение $a/b$ было равно заданному значению.

1) 5

Ищем пары шестерёнок, для которых отношение числа зубцов равно 5. Это означает, что $a/b = 5$, или $a = 5b$. Будем подставлять значения из набора для $b$ и проверять, есть ли в наборе соответствующее значение $a$.
- Если $b = 15$, то $a = 5 \times 15 = 75$. Оба числа (15 и 75) есть в наборе.
- Если $b = 20$, то $a = 5 \times 20 = 100$. Оба числа (20 и 100) есть в наборе.
- Если $b = 25$, то $a = 5 \times 25 = 125$. Числа 125 в наборе нет.
При больших значениях $b$ результат $a$ будет выходить за пределы набора.
Ответ: пары шестерёнок с числами зубцов (75 и 15), (100 и 20).

2) 1/2

Ищем пары, для которых $a/b = 1/2$, или $b = 2a$. Будем подставлять значения для $a$ и находить $b$.
- $a = 15 \implies b = 2 \times 15 = 30$. (15 и 30) - есть в наборе.
- $a = 20 \implies b = 2 \times 20 = 40$. (20 и 40) - есть в наборе.
- $a = 25 \implies b = 2 \times 25 = 50$. (25 и 50) - есть в наборе.
- $a = 30 \implies b = 2 \times 30 = 60$. (30 и 60) - есть в наборе.
- $a = 35 \implies b = 2 \times 35 = 70$. (35 и 70) - есть в наборе.
- $a = 40 \implies b = 2 \times 40 = 80$. (40 и 80) - есть в наборе.
- $a = 45 \implies b = 2 \times 45 = 90$. (45 и 90) - есть в наборе.
- $a = 50 \implies b = 2 \times 50 = 100$. (50 и 100) - есть в наборе.
- $a = 55 \implies b = 2 \times 55 = 110$. (55 и 110) - есть в наборе.
- $a = 60 \implies b = 2 \times 60 = 120$. (60 и 120) - есть в наборе.
Ответ: (15 и 30), (20 и 40), (25 и 50), (30 и 60), (35 и 70), (40 и 80), (45 и 90), (50 и 100), (55 и 110), (60 и 120).

3) 1/4

Ищем пары, для которых $a/b = 1/4$, или $b = 4a$.
- $a = 15 \implies b = 4 \times 15 = 60$. (15 и 60) - есть в наборе.
- $a = 20 \implies b = 4 \times 20 = 80$. (20 и 80) - есть в наборе.
- $a = 25 \implies b = 4 \times 25 = 100$. (25 и 100) - есть в наборе.
- $a = 30 \implies b = 4 \times 30 = 120$. (30 и 120) - есть в наборе.
- $a = 35 \implies b = 4 \times 35 = 140$. Числа 140 в наборе нет.
Ответ: (15 и 60), (20 и 80), (25 и 100), (30 и 120).

4) 1/6

Ищем пары, для которых $a/b = 1/6$, или $b = 6a$.
- $a = 15 \implies b = 6 \times 15 = 90$. (15 и 90) - есть в наборе.
- $a = 20 \implies b = 6 \times 20 = 120$. (20 и 120) - есть в наборе.
- $a = 25 \implies b = 6 \times 25 = 150$. Числа 150 в наборе нет.
Ответ: (15 и 90), (20 и 120).

5) 2/3

Ищем пары, для которых $a/b = 2/3$. Отсюда $a = (2/3)b$. Значит, $b$ должно быть кратно 3.
- $b = 30 \implies a = (2/3) \times 30 = 20$. (20 и 30) - есть в наборе.
- $b = 45 \implies a = (2/3) \times 45 = 30$. (30 и 45) - есть в наборе.
- $b = 60 \implies a = (2/3) \times 60 = 40$. (40 и 60) - есть в наборе.
- $b = 75 \implies a = (2/3) \times 75 = 50$. (50 и 75) - есть в наборе.
- $b = 90 \implies a = (2/3) \times 90 = 60$. (60 и 90) - есть в наборе.
- $b = 105 \implies a = (2/3) \times 105 = 70$. (70 и 105) - есть в наборе.
- $b = 120 \implies a = (2/3) \times 120 = 80$. (80 и 120) - есть в наборе.
Ответ: (20 и 30), (30 и 45), (40 и 60), (50 и 75), (60 и 90), (70 и 105), (80 и 120).

6) 2/5

Ищем пары, для которых $a/b = 2/5$. Отсюда $a = (2/5)b$. Значит, $b$ должно быть кратно 5. Все числа в наборе кратны 5.
- $b = 50 \implies a = (2/5) \times 50 = 20$. (20 и 50) - есть в наборе.
- $b = 75 \implies a = (2/5) \times 75 = 30$. (30 и 75) - есть в наборе.
- $b = 100 \implies a = (2/5) \times 100 = 40$. (40 и 100) - есть в наборе.
Ответ: (20 и 50), (30 и 75), (40 и 100).

7) 5/6

Ищем пары, для которых $a/b = 5/6$. Отсюда $a = (5/6)b$. Значит, $b$ должно быть кратно 6.
- $b = 30 \implies a = (5/6) \times 30 = 25$. (25 и 30) - есть в наборе.
- $b = 60 \implies a = (5/6) \times 60 = 50$. (50 и 60) - есть в наборе.
- $b = 90 \implies a = (5/6) \times 90 = 75$. (75 и 90) - есть в наборе.
- $b = 120 \implies a = (5/6) \times 120 = 100$. (100 и 120) - есть в наборе.
Ответ: (25 и 30), (50 и 60), (75 и 90), (100 и 120).

8) 3/4

Ищем пары, для которых $a/b = 3/4$. Отсюда $a = (3/4)b$. Значит, $b$ должно быть кратно 4.
- $b = 20 \implies a = (3/4) \times 20 = 15$. (15 и 20) - есть в наборе.
- $b = 40 \implies a = (3/4) \times 40 = 30$. (30 и 40) - есть в наборе.
- $b = 60 \implies a = (3/4) \times 60 = 45$. (45 и 60) - есть в наборе.
- $b = 80 \implies a = (3/4) \times 80 = 60$. (60 и 80) - есть в наборе.
- $b = 100 \implies a = (3/4) \times 100 = 75$. (75 и 100) - есть в наборе.
- $b = 120 \implies a = (3/4) \times 120 = 90$. (90 и 120) - есть в наборе.
Ответ: (15 и 20), (30 и 40), (45 и 60), (60 и 80), (75 и 100), (90 и 120).

42 Имеется набор шестеренок в 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120 зубов. Подбери такие пары шестеренок, чтобы отношение чисел их зубов было равно:

1) $5$;

2) $\frac{1}{2}$;

3) $\frac{1}{4}$;

4) $\frac{1}{6}$;

5) $\frac{2}{3}$;

6) $\frac{2}{5}$;

7) $\frac{5}{6}$;

8) $\frac{3}{4}$.

43 Комиссионные магазины, продав вещь, берут с её владельца комиссионный сбор, который составляет определённый процент от стоимости вещи. В одном магазине за вещь стоимостью 4000 р. взяли комиссионный сбор 240 р., а в другом за вещь стоимостью 18 000 р. взяли комиссионный сбор 900 р. В каком из этих магазинов комиссионный сбор больше?

Для того чтобы ответить на вопрос, в каком из магазинов комиссионный сбор больше, необходимо рассчитать, какой процент от стоимости вещи составляет комиссионный сбор в каждом случае, и затем сравнить эти проценты.

Вычисление процентной ставки в первом магазине

Стоимость вещи: 4000 р.
Комиссионный сбор: 240 р.

Чтобы найти процент, который сбор составляет от стоимости, составим пропорцию: 4000 р. — это 100%, а 240 р. — это $x$%. Отсюда:

$ x = \frac{240 \cdot 100}{4000} = \frac{24000}{4000} = 6\% $

Таким образом, в первом магазине комиссионный сбор составляет 6% от стоимости вещи.

Вычисление процентной ставки во втором магазине

Стоимость вещи: 18 000 р.
Комиссионный сбор: 900 р.

Аналогично найдем процент для второго магазина. 18 000 р. — это 100%, а 900 р. — это $y$%. Отсюда:

$ y = \frac{900 \cdot 100}{18000} = \frac{90000}{18000} = \frac{90}{18} = 5\% $

Во втором магазине комиссионный сбор составляет 5% от стоимости вещи.

Сравнение комиссионных сборов

Теперь сравним полученные процентные ставки:

$ 6\% > 5\% $

Следовательно, комиссионный сбор в первом магазине больше, чем во втором.

Ответ: комиссионный сбор больше в первом магазине.

43 Комиссионные магазины, продав вещь, берут с ее владельца комиссионный сбор, который составляет определенный процент от стоимости вещи. В одном магазине за вещь стоимостью 4000 р. взяли комиссионный сбор 240 р., а в другом за вещь стоимостью 18 000 р. взяли комиссионный сбор 900 р. В каком из этих магазинов комиссионный сбор больше?

44 Крутизна участка дороги выражается отношением высоты подъёма дороги $h$ к горизонтальной протяжённости этого участка $a$ (см. рисунок).

а) Какова высота спуска, если на дорожном знаке, предупреждающем о спуске, указано 20 %, а его горизонтальная протяжённость равна 400 м?

б) Чему равна крутизна участка дороги, если горизонтальная протяжённость составляет 1,2 км, а высота спуска 30 м?

Крутизна участка дороги определяется как отношение высоты подъема (или спуска) $h$ к горизонтальной протяженности $a$. В процентах это выражается формулой:
Крутизна ($\%$) = $\frac{h}{a} \cdot 100\%$

а)

По условию задачи, крутизна спуска составляет 20%, а горизонтальная протяженность $a$ равна 400 м. Нам нужно найти высоту спуска $h$.
Сначала переведем проценты в десятичную дробь:
$20\% = \frac{20}{100} = 0,2$.
Крутизна равна отношению $\frac{h}{a}$, следовательно:
$\frac{h}{a} = 0,2$.
Чтобы найти высоту $h$, умножим крутизну на горизонтальную протяженность $a$:
$h = 0,2 \cdot a = 0,2 \cdot 400 = 80$ м.
Ответ: 80 м.

б)

По условию, горизонтальная протяженность $a$ составляет 1,2 км, а высота спуска $h$ равна 30 м. Необходимо найти крутизну участка дороги.
Для корректного расчета необходимо, чтобы обе величины были в одинаковых единицах измерения. Переведем километры в метры:
$a = 1,2 \text{ км} = 1,2 \cdot 1000 \text{ м} = 1200 \text{ м}$.
Теперь найдем отношение высоты к горизонтальной протяженности:
$\frac{h}{a} = \frac{30 \text{ м}}{1200 \text{ м}} = \frac{30}{1200} = \frac{1}{40}$.
Чтобы выразить это отношение в процентах, умножим полученное значение на 100%:
Крутизна ($\%$) = $\frac{1}{40} \cdot 100\% = 0,025 \cdot 100\% = 2,5\%$.
Ответ: 2,5 %.

44 Крутизна участка дороги выражается отношением высоты подъема дороги $h$ к горизонтальной протяженности этого участка $a$ (см. рисунок):

а) Какова высота спуска, если на дорожном знаке, предупреждающем о спуске, указано 20%, а его горизонтальная протяженность равна 400 м?

б) Чему равна крутизна участка дороги, если горизонтальная протяженность составляет 1,2 км, а высота спуска 30 м?

48 Реши уравнение:

а) $8(x - 4) + 3(2 - x) = -21$;

б) $2(3y + 4) - (9y - 7) = 15$;

в) $3(2n - 5) - 2(3 - 4n) = 0$;

г) $-4(0,3k - 0,4) + 6(-0,8k + 0,2) = 0$.

а) $8(x - 4) + 3(2 - x) = -21$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки:

$8 \cdot x - 8 \cdot 4 + 3 \cdot 2 - 3 \cdot x = -21$

$8x - 32 + 6 - 3x = -21$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и свободные члены):

$(8x - 3x) + (-32 + 6) = -21$

$5x - 26 = -21$

Перенесем свободный член (-26) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$5x = -21 + 26$

$5x = 5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{5}{5}$

$x = 1$

Ответ: $1$

б) $2(3y + 4) - (9y - 7) = 15$

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$2 \cdot 3y + 2 \cdot 4 - 9y + 7 = 15$

$6y + 8 - 9y + 7 = 15$

Приведем подобные слагаемые:

$(6y - 9y) + (8 + 7) = 15$

$-3y + 15 = 15$

Перенесем число 15 из левой части в правую:

$-3y = 15 - 15$

$-3y = 0$

Найдем $y$, разделив обе части на -3:

$y = \frac{0}{-3}$

$y = 0$

Ответ: $0$

в) $3(2n - 5) - 2(3 - 4n) = 0$

Раскроем скобки:

$3 \cdot 2n - 3 \cdot 5 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-4n) = 0$

$6n - 15 - 6 + 8n = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6n + 8n) + (-15 - 6) = 0$

$14n - 21 = 0$

Перенесем -21 в правую часть уравнения:

$14n = 21$

Найдем $n$:

$n = \frac{21}{14}$

Сократим полученную дробь на 7:

$n = \frac{3}{2}$

$n = 1,5$

Ответ: $1,5$

г) $-4(0,3k - 0,4) + 6(-0,8k + 0,2) = 0$

Раскроем скобки:

$-4 \cdot 0,3k - 4 \cdot (-0,4) + 6 \cdot (-0,8k) + 6 \cdot 0,2 = 0$

$-1,2k + 1,6 - 4,8k + 1,2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-1,2k - 4,8k) + (1,6 + 1,2) = 0$

$-6k + 2,8 = 0$

Перенесем 2,8 в правую часть уравнения:

$-6k = -2,8$

Найдем $k$:

$k = \frac{-2,8}{-6}$

$k = \frac{2,8}{6}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим числитель и знаменатель на 10:

$k = \frac{28}{60}$

Сократим дробь на 4 (наибольший общий делитель):

$k = \frac{28 \div 4}{60 \div 4} = \frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$

48 Реши уравнения:

а) $8(x - 4) + 3(2 - x) = -21;$

б) $2(3y + 4) - (9y - 7) = 15;$

в) $3(2n - 5) - 2(3 - 4n) = 0;$

г) $-4(0,3k - 0,4) + 6(-0,8k + 0,2) = 0.$

49 Найди значение выражения:

а) $2(6a - 1) + 4(2 - a)$, если $a = -0,625$;

б) $15b - 3(2b + 5) + 2(-5b + 7)$, если $b = -0,8$;

в) $2n(n - 4) - n(n - 8)$, если $n = -1,5$;

г) $x(x + y) - y(x - y)$, если $x = -4$, $y = -5$.

а) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$2(6a - 1) + 4(2 - a) = 2 \cdot 6a - 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 4 \cdot a = 12a - 2 + 8 - 4a$
$(12a - 4a) + (-2 + 8) = 8a + 6$
Теперь подставим значение $a = -0,625$ в упрощенное выражение:
$8 \cdot (-0,625) + 6 = -5 + 6 = 1$
Ответ: 1

б) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$15b - 3(2b + 5) + 2(-5b + 7) = 15b - 3 \cdot 2b - 3 \cdot 5 + 2 \cdot (-5b) + 2 \cdot 7 = 15b - 6b - 15 - 10b + 14$
$(15b - 6b - 10b) + (-15 + 14) = -b - 1$
Теперь подставим значение $b = -0,8$ в упрощенное выражение:
$-(-0,8) - 1 = 0,8 - 1 = -0,2$
Ответ: -0,2

в) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$2n(n - 4) - n(n - 8) = 2n \cdot n - 2n \cdot 4 - (n \cdot n - n \cdot 8) = 2n^2 - 8n - n^2 + 8n$
$(2n^2 - n^2) + (-8n + 8n) = n^2$
Теперь подставим значение $n = -1,5$ в упрощенное выражение:
$(-1,5)^2 = 2,25$
Ответ: 2,25

г) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$x(x + y) - y(x - y) = x \cdot x + x \cdot y - (y \cdot x - y \cdot y) = x^2 + xy - yx + y^2$
Поскольку $xy = yx$, то $x^2 + xy - xy + y^2 = x^2 + y^2$
Теперь подставим значения $x = -4$ и $y = -5$ в упрощенное выражение:
$(-4)^2 + (-5)^2 = 16 + 25 = 41$
Ответ: 41

49 Найди значения выражений:

а) $2(6a - 1) + 4(2 - a)$, если $a = -0,625;$

б) $15b - 3(2b + 5) + 2(-5b + 7)$, если $b = -0,8;$

в) $2n(n - 4) - n(n - 8)$, если $n = -1,5;$

г) $x(x + y) - y(x - y)$, если $x = -4, y = -5.$

50 а) В магазин привезли 32 кг конфет. Их разложили в пакеты и коробки, причём пакетов было на 16 меньше, чем коробок. В каждый пакет положили по 1,5 кг конфет, а в каждую коробку – по 0,5 кг. Сколько всего пакетов и коробок для этого потребовалось?

б) Патрульный катер плывёт по реке, скорость течения которой 2 км/ч. За 6 ч по течению реки и 8 ч против течения катер проплыл 164 км. Сколько времени ему потребуется, чтобы проплыть 54 км по озеру, если он будет плыть с той же скоростью?

а) Пусть $x$ — количество пакетов, а $y$ — количество коробок.
Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Общий вес конфет: $1,5x + 0,5y = 32$
2. Соотношение количества пакетов и коробок: $x = y - 16$
Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$1,5(y - 16) + 0,5y = 32$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$1,5y - 24 + 0,5y = 32$
$2y - 24 = 32$
$2y = 32 + 24$
$2y = 56$
$y = 56 / 2 = 28$
Итак, было 28 коробок.
Теперь найдём количество пакетов, используя второе уравнение:
$x = 28 - 16 = 12$
Было 12 пакетов.
Чтобы найти, сколько всего пакетов и коробок потребовалось, сложим их количество:
$12 + 28 = 40$
Ответ: 40 пакетов и коробок.

б) Пусть $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), а $v_т$ — скорость течения реки.
Из условия известно, что $v_т = 2$ км/ч.
Скорость катера по течению реки равна $v_к + v_т = v_к + 2$ км/ч.
Скорость катера против течения реки равна $v_к - v_т = v_к - 2$ км/ч.
Катер проплыл 6 ч по течению и 8 ч против течения, преодолев общее расстояние 164 км. Составим уравнение, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:
$6 \cdot (v_к + 2) + 8 \cdot (v_к - 2) = 164$
Решим это уравнение, чтобы найти собственную скорость катера $v_к$:
$6v_к + 12 + 8v_к - 16 = 164$
$14v_к - 4 = 164$
$14v_к = 164 + 4$
$14v_к = 168$
$v_к = 168 / 14 = 12$ км/ч.
Скорость катера в озере равна его собственной скорости, так как в озере нет течения. Таким образом, скорость катера по озеру составляет 12 км/ч.
Теперь найдём время, которое потребуется катеру, чтобы проплыть 54 км по озеру:
$t = S / v = 54 / 12 = 4,5$ часа.
Ответ: 4,5 часа.

50 а) В магазин привезли 32 кг конфет. Их разложили в пакеты и коробки, причем пакетов было на 16 меньше, чем коробок. В каждый пакет положили по 1,5 кг конфет, а в каждую коробку – по 0,5 кг. Сколько всего пакетов и коробок для этого потребовалось?

б) Патрульный катер плывет по реке, скорость течения которой 2 км/ч. За 6 ч по течению реки и 8 ч против течения катер проплыл 164 км. Сколько времени ему потребуется, чтобы проплыть 54 км по озеру, если он будет плыть с той же скоростью?

Вычисли, используя рисунки.

a) $-6$

$+4$

$-3$

$\cdot \frac{2}{3}$

$:0,3$

$+0,4$

$:12$

$\cdot 0$

$+\frac{3}{7}$

б) $: \frac{2}{3}$

$-\frac{1}{3}$

$0,6$

$0$

$-\frac{2}{3}$

$1\frac{2}{5}$

$-4$

$1\frac{1}{3}$

$-1$

в) $-0,4$

$+1,2$

$-0,9$

$\cdot 0,1$

$:0,2$

$+3$

$-\frac{1}{5}$

$\cdot \frac{5}{8}$

$\cdot 2,5$

В этом задании нужно выполнить действия, указанные в белых кружках, с числом $-6$, которое находится в центре. Стрелки, идущие от центра, показывают, что $-6$ является исходным числом для каждой операции.

1. Вычисление для кружка "$+4$":
   $-6 + 4 = -2$
   Ответ: -2
2. Вычисление для кружка "$-3$":
   $-6 - 3 = -9$
   Ответ: -9
3. Вычисление для кружка "$\cdot \frac{2}{3}$":
   $-6 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{12}{3} = -4$
   Ответ: -4
4. Вычисление для кружка "$: 0,3$":
   $-6 : 0,3 = -6 : \frac{3}{10} = -6 \cdot \frac{10}{3} = -\frac{60}{3} = -20$
   Ответ: -20
5. Вычисление для кружка "$+0,4$":
   $-6 + 0,4 = -5,6$
   Ответ: -5,6
6. Вычисление для кружка "$: 12$":
   $-6 : 12 = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2} = -0,5$
   Ответ: -0,5
7. Вычисление для кружка "$\cdot 0$":
   $-6 \cdot 0 = 0$
   Ответ: 0
8. Вычисление для кружка "$+\frac{3}{7}$":
   $-6 + \frac{3}{7} = -\frac{42}{7} + \frac{3}{7} = -\frac{39}{7} = -5\frac{4}{7}$
   Ответ: $-5\frac{4}{7}$

В этом задании нужно применить операцию деления на $\frac{2}{3}$ (указана в центре) к каждому числу из белых кружков. Стрелки, идущие к центру, показывают, что числа в белых кружках являются исходными для центральной операции.

1. Для числа $-\frac{1}{3}$:
   $-\frac{1}{3} : \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
   Ответ: $-\frac{1}{2}$
2. Для числа $0,6$:
   $0,6 : \frac{2}{3} = \frac{6}{10} : \frac{2}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{10} = 0,9$
   Ответ: 0,9
3. Для числа $-1$:
   $-1 : \frac{2}{3} = -1 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} = -1,5$
   Ответ: -1,5
4. Для числа $1\frac{1}{3}$:
   $1\frac{1}{3} : \frac{2}{3} = \frac{4}{3} : \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
   Ответ: 2
5. Для числа $-4$:
   $-4 : \frac{2}{3} = -4 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{12}{2} = -6$
   Ответ: -6
6. Для числа $1\frac{2}{5}$:
   $1\frac{2}{5} : \frac{2}{3} = \frac{7}{5} : \frac{2}{3} = \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{10} = 2,1$
   Ответ: 2,1
7. Для числа $-\frac{2}{3}$:
   $-\frac{2}{3} : \frac{2}{3} = -1$
   Ответ: -1
8. Для числа $0$:
   $0 : \frac{2}{3} = 0$
   Ответ: 0

В этом задании вычисления зависят от направления стрелок.

1. Стрелки направлены от центра к белому кружку.

В этом случае мы выполняем действие, указанное в белом кружке, над центральным числом $-0,4$.

1. Для кружка "$\cdot 0,1$":
   $-0,4 \cdot 0,1 = -0,04$
   Ответ: $-0,04$
2. Для кружка "$: 0,2$":
   $-0,4 : 0,2 = -2$
   Ответ: -2
3. Для кружка "$+3$":
   $-0,4 + 3 = 2,6$
   Ответ: 2,6
4. Для кружка "$-\frac{1}{5}$":
   $-0,4 - \frac{1}{5} = -0,4 - 0,2 = -0,6$
   Ответ: -0,6
5. Для кружка "$\cdot \frac{5}{8}$":
   $-0,4 \cdot \frac{5}{8} = -\frac{4}{10} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{10}{40} = -\frac{1}{4} = -0,25$
   Ответ: -0,25
6. Для кружка "$\cdot 2,5$":
   $-0,4 \cdot 2,5 = -1$
   Ответ: -1

2. Стрелки направлены от белого кружка к центру.

В этом случае центральное число $-0,4$ является результатом операции. Нам нужно найти исходное число, для чего мы выполняем обратную операцию.

1. Для кружка "$+1,2$": искомое число $x$ удовлетворяет уравнению $x + 1,2 = -0,4$. Чтобы найти $x$, нужно из результата $(-0,4)$ вычесть $1,2$.
   $x = -0,4 - 1,2 = -1,6$
   Ответ: -1,6
2. Для кружка "$-0,9$": искомое число $x$ удовлетворяет уравнению $x - 0,9 = -0,4$. Чтобы найти $x$, нужно к результату $(-0,4)$ прибавить $0,9$.
   $x = -0,4 + 0,9 = 0,5$
   Ответ: 0,5

π 51 Вычисли, используя рисунки:

a) $-6 + 4$
$-6 - 3$
$-6 \cdot \frac{2}{3}$
$-6 : 0,3$
$-6 + 0,4$
$-6 : 12$
$-6 \cdot 0$
$-6 + \frac{3}{7}$

б) $-\frac{1}{3} : \frac{2}{3}$
$0,6 : \frac{2}{3}$
$-1 : \frac{2}{3}$
$1\frac{1}{3} : \frac{2}{3}$
$-4 : \frac{2}{3}$
$1\frac{2}{5} : \frac{2}{3}$
$-\frac{2}{3} : \frac{2}{3}$
$0 : \frac{2}{3}$

в) $-0,4 + 1,2$
$-0,4 - 0,9$
$-0,4 \cdot 0,1$
$-0,4 : 0,2$
$-0,4 + 3$
$-0,4 - \frac{1}{5}$
$-0,4 \cdot \frac{5}{8}$
$-0,4 \cdot 2,5$

52 Вычисли, применив распределительный закон умножения:

а) $0,8 \cdot 19 + 0,8 \cdot 21$;

б) $\frac{2}{9} \cdot 43 + \frac{2}{9} \cdot 32$;

в) $6 \cdot (-0,9) + 14 \cdot (-0,9)$;

г) $0,3 \cdot \frac{7}{11} - \frac{7}{11} \cdot 5,8$;

д) $0,9 \cdot 2,43 - 2,43$;

е) $1\frac{1}{3} \cdot 4,6 - 1\frac{1}{3} \cdot 4,35$.

а) $0,8 \cdot 19 + 0,8 \cdot 21$

Применим распределительный закон умножения, вынеся общий множитель $0,8$ за скобки:

$0,8 \cdot (19 + 21) = 0,8 \cdot 40 = 32$.

Ответ: $32$.

б) $\frac{2}{9} \cdot 43 + \frac{2}{9} \cdot 32$

Вынесем общий множитель $\frac{2}{9}$ за скобки:

$\frac{2}{9} \cdot (43 + 32) = \frac{2}{9} \cdot 75 = \frac{2 \cdot 75}{9} = \frac{150}{9} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}$.

Ответ: $16\frac{2}{3}$.

в) $6 \cdot (-0,9) + 14 \cdot (-0,9)$

Вынесем общий множитель $(-0,9)$ за скобки:

$(6 + 14) \cdot (-0,9) = 20 \cdot (-0,9) = -18$.

Ответ: $-18$.

г) $0,3 \cdot \frac{7}{11} - \frac{7}{11} \cdot 5,8$

Вынесем общий множитель $\frac{7}{11}$ за скобки:

$\frac{7}{11} \cdot (0,3 - 5,8) = \frac{7}{11} \cdot (-5,5)$.

Представим $-5,5$ в виде обыкновенной дроби $-\frac{11}{2}$ и выполним умножение:

$\frac{7}{11} \cdot (-\frac{11}{2}) = -\frac{7 \cdot 11}{11 \cdot 2} = -\frac{7}{2} = -3,5$.

Ответ: $-3,5$.

д) $0,9 \cdot 2,43 - 2,43$

Представим выражение в виде $0,9 \cdot 2,43 - 1 \cdot 2,43$ и вынесем общий множитель $2,43$ за скобки:

$(0,9 - 1) \cdot 2,43 = -0,1 \cdot 2,43 = -0,243$.

Ответ: $-0,243$.

е) $1\frac{1}{3} \cdot 4,6 - 1\frac{1}{3} \cdot 4,35$

Вынесем общий множитель $1\frac{1}{3}$ за скобки:

$1\frac{1}{3} \cdot (4,6 - 4,35) = 1\frac{1}{3} \cdot 0,25$.

Представим оба множителя в виде обыкновенных дробей: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ и $0,25 = \frac{1}{4}$.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

52 Вычисли, применив распределительный закон умножения:

а) $0.8 \cdot 19 + 0.8 \cdot 21;$

в) $6 \cdot (-0.9) + 14 \cdot (-0.9);$

д) $0.9 \cdot 2.43 - 2.43;$

б) $\frac{2}{9} \cdot 43 + \frac{2}{9} \cdot 32;$

г) $0.3 \cdot \frac{7}{11} - \frac{7}{11} \cdot 5.8;$

е) $1\frac{1}{3} \cdot 4.6 - 1\frac{1}{3} \cdot 4.35.$

53 Прочитай выражения:

$(a-b)^2$; $a^2-b^2$; $a^2-2ab+b^2$.

Найди значения этих выражений, если:

а) $a = 4, b = 1$;

б) $a = -3, b = 2$;

в) $a = -1, b = -5$.

Что ты замечаешь?

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений $a$ и $b$. Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

$a-b$

$b$

$(a-b)^2$

$a-b$

$b^2$

$b$

$a$

Сначала прочитаем выражения:

• $(a - b)^2$ — квадрат разности чисел a и b.

• $a^2 - b^2$ — разность квадратов чисел a и b.

• $a^2 - 2ab + b^2$ — квадрат разности чисел a и b (в развернутом виде).

Теперь найдем значения этих выражений для заданных значений переменных.

а) если $a = 4, b = 1$:

• $(a - b)^2 = (4 - 1)^2 = 3^2 = 9$.

• $a^2 - b^2 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15$.

• $a^2 - 2ab + b^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 + 1^2 = 16 - 8 + 1 = 9$.

Ответ: 9; 15; 9.

б) если $a = -3, b = 2$:

• $(a - b)^2 = (-3 - 2)^2 = (-5)^2 = 25$.

• $a^2 - b^2 = (-3)^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$.

• $a^2 - 2ab + b^2 = (-3)^2 - 2 \cdot (-3) \cdot 2 + 2^2 = 9 - (-12) + 4 = 9 + 12 + 4 = 25$.

Ответ: 25; 5; 25.

в) если $a = -1, b = -5$:

• $(a - b)^2 = (-1 - (-5))^2 = (-1 + 5)^2 = 4^2 = 16$.

• $a^2 - b^2 = (-1)^2 - (-5)^2 = 1 - 25 = -24$.

• $a^2 - 2ab + b^2 = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) \cdot (-5) + (-5)^2 = 1 - 10 + 25 = 16$.

Ответ: 16; -24; 16.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что во всех трех случаях значения выражений $(a - b)^2$ и $a^2 - 2ab + b^2$ равны между собой. Значение выражения $a^2 - b^2$ всегда отличается от них.

Ответ: Возникает гипотеза, что $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ является тождеством, то есть равенство верно при любых значениях $a$ и $b$.

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений a и b.

Возьмем произвольные значения, например, $a = 5$ и $b = 2$.

• $(a - b)^2 = (5 - 2)^2 = 3^2 = 9$.

• $a^2 - 2ab + b^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2 = 25 - 20 + 4 = 9$.

Значения снова совпали. Для сравнения, $a^2 - b^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$, что не равно 9.

Ответ: Гипотеза подтвердилась: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

Графическая модель помогает понять, почему это равенство верно. Рассмотрим квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $a^2$.

На рисунке этот большой квадрат разделен на четыре части:

1. Розовый квадрат в левом верхнем углу со стороной $(a - b)$. Его площадь равна $(a - b)^2$. Это та величина, которую мы хотим найти.

2. Прямоугольник справа со сторонами $(a - b)$ и $b$.

3. Прямоугольник снизу со сторонами $(a - b)$ и $b$.

4. Розовый квадрат в правом нижнем углу со стороной $b$. Его площадь равна $b^2$.

Площадь искомого розового квадрата $(a - b)^2$ можно найти, если из площади всего большого квадрата $a^2$ вычесть площади двух "полосок" - вертикальной и горизонтальной.

• Площадь вертикальной полосы справа равна $a \cdot b$.

• Площадь горизонтальной полосы снизу равна $a \cdot b$.

Когда мы вычитаем обе полосы из $a^2$, то есть вычисляем $a^2 - ab - ab$, мы дважды вычитаем площадь маленького квадрата со стороной $b$ в правом нижнем углу, так как он принадлежит обеим полосам. Его площадь равна $b^2$.

Чтобы исправить это, нужно один раз добавить площадь этого маленького квадрата обратно.

В результате получаем:

$(a - b)^2 = (\text{Площадь большого квадрата}) - (\text{Площадь верт. полосы}) - (\text{Площадь гор. полосы}) + (\text{Площадь малого квадрата})$

$(a - b)^2 = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: Геометрическая модель наглядно доказывает, что площадь квадрата со стороной $(a - b)$ равна $a^2 - 2ab + b^2$, что подтверждает тождество.

53 Прочитай выражения:

$(a - b)^2$; $a^2 - b^2$; $a^2 - 2ab + b^2$.

Найди значения этих выражений, если:

а) $a = 4, b = 1;$

б) $a = -3, b = 2;$

в) $a = -1, b = -5$.

Что ты замечаешь?

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений $a$ и $b$. Объясни полученный вывод, используя графическую модель.

$a - b$ $b$ $(a - b)^2$ $a - b$ $b^2$ $b$ $a$