Номер 29, страница 13, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Отрицания общих высказываний. Параграф 1. Отрицание высказываний. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 29, страница 13.

Условие 2023.

29 Определи вид высказывания. Найди истинные высказывания и докажи их. Для ложных общих высказываний приведи контрпример и построй отрицание.

1) Каждое натуральное число делится на себя и на 1.

2) Некоторые числа имеют только один делитель.

3) Любое натуральное число имеет хотя бы два делителя.

4) Простое число всегда меньше составного.

5) Взаимно простые числа сами являются простыми.

6) Числа 12 и 15 – взаимно простые.

7) Делитель числа всегда меньше самого числа.

8) Кратное числа больше самого числа.

9) Число, кратное 9, может не оканчиваться на 9.

10) Число, кратное 9, может быть представлено в виде $9n$, где $n \in N$.

11) Любое простое число можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in N$.

12) Число, которое можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in N$, является простым.

Решение 2 (2023).

1) Это общее высказывание, так как оно относится ко всем натуральным числам. Высказывание истинно.
Доказательство: По определению делимости, число $a$ делится на число $b$, если существует такое целое число $k$, что $a = b \cdot k$. Для любого натурального числа $n$ справедливо равенство $n = n \cdot 1$, что означает, что $n$ делится на $n$. Также справедливо равенство $n = 1 \cdot n$, что означает, что $n$ делится на 1. Таким образом, любое натуральное число делится на себя и на 1.
Ответ: Истинное общее высказывание.

2) Это высказывание о существовании, так как оно утверждает, что существует хотя бы одно такое число. Высказывание истинно.
Доказательство: Натуральное число 1 имеет только один натуральный делитель — само число 1. Следовательно, такое число существует.
Ответ: Истинное высказывание о существовании.

3) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Натуральное число 1. Оно имеет только один делитель (число 1), а не два.
Отрицание: "Существует натуральное число, которое имеет менее двух делителей".
Ответ: Ложное общее высказывание.

4) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Число 5 является простым, а число 4 — составным. Однако $5 > 4$, что противоречит утверждению.
Отрицание: "Существует простое число, которое больше или равно некоторому составному числу".
Ответ: Ложное общее высказывание.

5) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Числа 8 и 9 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1. Однако ни 8, ни 9 не являются простыми числами ($8 = 2^3$, $9 = 3^2$).
Отрицание: "Существуют взаимно простые числа, которые не являются простыми".
Ответ: Ложное общее высказывание.

6) Это частное высказывание, так как оно относится к конкретным числам. Высказывание ложно.
Доказательство: Числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Найдем НОД(12, 15). Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Делители числа 15: 1, 3, 5, 15. Их общий делитель, отличный от 1, это 3. НОД(12, 15) = 3. Так как $3 \ne 1$, числа не являются взаимно простыми.
Ответ: Ложное частное высказывание.

7) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Любое натуральное число является своим собственным делителем. Например, 5 является делителем числа 5, но 5 не меньше 5 ($5 = 5$).
Отрицание: "Существует число, имеющее делитель, который не меньше самого числа".
Ответ: Ложное общее высказывание.

8) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Любое натуральное число является кратным самому себе (например, $5 = 5 \cdot 1$). При этом 5 не больше 5 ($5=5$).
Отрицание: "Существует число, имеющее кратное, которое не больше самого числа".
Ответ: Ложное общее высказывание.

9) Это высказывание о существовании. Высказывание истинно.
Доказательство: Число 18 кратно 9 ($18 = 9 \cdot 2$), но оно оканчивается на цифру 8, а не 9.
Ответ: Истинное высказывание о существовании.

10) Это общее высказывание, являющееся определением. Высказывание истинно.
Доказательство: По определению, число $m$ кратно 9, если оно делится на 9 без остатка, то есть существует натуральное число $n$ такое, что $m = 9n$.
Ответ: Истинное общее высказывание.

11) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Число 2 является простым. Однако его нельзя представить в виде $2n + 1$ для натурального $n$ (где $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$). Решение уравнения $2 = 2n + 1$ есть $n = 0.5$, что не является натуральным числом.
Отрицание: "Существует простое число, которое нельзя представить в виде $2n + 1$, где $n \in \mathbb{N}$".
Ответ: Ложное общее высказывание.

12) Это общее высказывание. Высказывание ложно.
Контрпример: Возьмем $n = 4$. Тогда число, представленное в виде $2n + 1$, равно $2 \cdot 4 + 1 = 9$. Число 9 не является простым, так как оно делится на 3. Следовательно, 9 — составное число.
Отрицание: "Существует число, которое можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in \mathbb{N}$, и при этом оно не является простым (т.е. является составным)".
Ответ: Ложное общее высказывание.

Условие 2010-2022.

29 Определи вид высказывания. Найди истинные высказывания и докажи их. Для ложных общих высказываний приведи контрпример и построй отрицание.

1) Каждое натуральное число делится на себя и на 1.

2) Некоторые числа имеют только один делитель.

3) Любое натуральное число имеет хотя бы два делителя.

4) Простое число всегда меньше составного.

5) Взаимно простые числа сами являются простыми.

6) Числа 12 и 15 – взаимно простые.

7) Делитель числа всегда меньше самого числа.

8) Кратное числа больше самого числа.

9) Число, кратное 9, может не оканчиваться на 9.

10) Число, кратное 9, может быть представлено в виде $9n$, где $n \in N$.

11) Любое простое число можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in N$.

12) Число, которое можно представить в виде $2n + 1$, где $n \in N$, является простым.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).