Номер 28, страница 12, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Отрицания общих высказываний. Параграф 1. Отрицание высказываний. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 28, страница 12.

Условие 2023.

28 Какие высказывания являются общими, какие – высказываниями о существовании, а какие – ни теми, ни другими? Для ложных общих высказываний построй отрицания.

1) Все птицы умеют плавать.

2) У телеги всегда четыре колеса.

3) Петя сидит за одной партой с Сашей.

4) Брат всегда старше сестры.

5) Любая медаль имеет две стороны.

6) Некоторые полицейские – женщины.

7) В пятницу шёл сильный снег.

8) Иногда собаки дружат с кошками.

9) Нет попугаев, которые не умеют говорить.

10) Любые часы всегда спешат.

11) Арбуз бывает только полосатым.

12) Велосипед может иметь квадратные колёса.

Решение 2 (2023).

1) Все птицы умеют плавать.
Это общее высказывание, так как оно содержит утверждение обо всех объектах некоторого класса (обо всех птицах). Использование слова «все» указывает на квантор всеобщности ($\forall$).
Высказывание является ложным, поскольку существуют птицы, которые не умеют плавать (например, куры, страусы).
Отрицанием для ложного общего высказывания «Все A есть B» является высказывание «Некоторые A не есть B». В логической форме отрицание $\forall x (P(x) \rightarrow Q(x))$ выглядит как $\exists x (P(x) \land \neg Q(x))$.
Отрицание: «Некоторые птицы не умеют плавать» или «Существуют птицы, которые не умеют плавать».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Некоторые птицы не умеют плавать.

2) У телеги всегда четыре колеса.
Это общее высказывание, так как слово «всегда» распространяет утверждение на все телеги в любой ситуации. Это эквивалентно утверждению «Все телеги имеют четыре колеса».
Высказывание ложное, так как существуют телеги с другим количеством колёс (например, тачка с одним колесом).
Отрицание: «Не всегда у телеги четыре колеса» или «Существуют телеги, у которых не четыре колеса».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: У телеги не всегда четыре колеса.

3) Петя сидит за одной партой с Сашей.
Это высказывание о конкретных, единичных объектах (Пете и Саше). Оно не обобщает какое-либо свойство на целый класс объектов и не утверждает о существовании объекта. Поэтому оно ни общее, ни высказывание о существовании.
Ответ: Ни общее высказывание, ни высказывание о существовании.

4) Брат всегда старше сестры.
Это общее высказывание, так как слово «всегда» подразумевает, что утверждение верно для любой пары «брат-сестра».
Высказывание ложное, поскольку брат может быть младше своей сестры.
Отрицание: «Брат не всегда старше сестры» или «Бывают братья, которые младше своих сестёр».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Брат не всегда старше сестры.

5) Любая медаль имеет две стороны.
Это общее высказывание, так как слово «любая» указывает на то, что свойство присуще всем без исключения медалям. Высказывание является истинным.
Ответ: Общее высказывание.

6) Некоторые полицейские — женщины.
Это высказывание о существовании. Слово «некоторые» указывает на наличие хотя бы одного (или нескольких) полицейских, обладающих указанным свойством. Используется квантор существования ($\exists$).
Ответ: Высказывание о существовании.

7) В пятницу шёл сильный снег.
Это высказывание о конкретном событии, произошедшем в конкретное время. Оно не содержит обобщений или утверждений о существовании в рамках какого-либо класса явлений. Следовательно, оно ни общее, ни высказывание о существовании.
Ответ: Ни общее высказывание, ни высказывание о существовании.

8) Иногда собаки дружат с кошками.
Это высказывание о существовании. Слово «иногда» означает, что существуют случаи (хотя бы один), когда собаки дружат с кошками.
Ответ: Высказывание о существовании.

9) Нет попугаев, которые не умеют говорить.
Это общее высказывание. Оно утверждает отсутствие исключений, что равносильно утверждению «Все попугаи умеют говорить». В логической форме: $\neg \exists x (P(x) \land \neg Q(x)) \equiv \forall x (P(x) \rightarrow Q(x))$.
Высказывание ложное, так как не все попугаи могут говорить.
Отрицание: «Существуют попугаи, которые не умеют говорить».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Существуют попугаи, которые не умеют говорить.

10) Любые часы всегда спешат.
Это общее высказывание, так как слова «любые» и «всегда» распространяют свойство на все без исключения часы.
Высказывание ложное, так как часы могут идти точно или отставать.
Отрицание: «Некоторые часы не спешат» или «Неверно, что любые часы всегда спешат».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Некоторые часы не спешат.

11) Арбуз бывает только полосатым.
Это общее высказывание, так как оно эквивалентно утверждению «Все арбузы являются полосатыми».
Высказывание ложное, так как существуют сорта арбузов без полосок (например, с однотонной тёмно-зелёной коркой).
Отрицание: «Арбуз бывает не только полосатым» или «Существуют неполосатые арбузы».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Арбуз бывает не только полосатым.

12) Велосипед может иметь квадратные колёса.
Это высказывание о существовании. Слово «может» указывает на возможность существования (хотя бы одного, пусть даже в теории) велосипеда с таким свойством.
Ответ: Высказывание о существовании.

Условие 2010-2022.

28 Какие высказывания являются общими, какие – высказываниями о существовании, а какие – ни теми, ни другими? Для ложных общих высказываний построй отрицания.

1) Все птицы умеют плавать.

2) У телеги всегда четыре колеса.

3) Петя сидит за одной партой с Сашей.

4) Брат всегда старше сестры.

5) Любая медаль имеет две стороны.

6) Некоторые милиционеры – женщины.

7) В пятницу шел сильный снег.

8) Иногда собаки дружат с кошками.

9) Нет попугаев, которые не умеют говорить.

10) Любые часы всегда спешат.

11) Арбуз бывает только полосатым.

12) Велосипед может иметь квадратные колеса.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).