Номер 27, страница 12, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 1. Отрицание высказываний. 2. Отрицания общих высказываний - номер 27, страница 12.

Условие 2023.

27 Найди ложные высказывания, построй их отрицания и докажи, что отрицания истинны.

1) Все решения неравенства $1 < x \le 8$ являются натуральными числами.

2) Никакое решение неравенства $2 \le x < 3$ не является натуральным числом.

3) При делении натуральных чисел остаток всегда меньше делителя.

4) Любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.

5) Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной.

6) Числа при округлении уменьшаются.

7) При умножении числа на 1 всегда получается то же самое число.

8) Сумма любых двух натуральных чисел больше каждого из них.

9) Произведение чисел, отличных от нуля, больше каждого множителя.

10) Частное десятичных дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Решение 2 (2023).

Сначала определим, какие из высказываний являются истинными, а какие — ложными. Истинные высказывания: 3, 5, 7, 8. Ложные высказывания: 1, 2, 4, 6, 9, 10. Теперь найдем эти ложные высказывания, построим их отрицания и докажем, что отрицания истинны.

1) Все решения неравенства $1 < x \le 8$ являются натуральными числами.

Это высказывание является ложным. Решениями этого неравенства являются все числа на интервале $(1, 8]$, включая не только натуральные числа (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), но и дробные, такие как 1.5, 2.7, $\pi$ и другие.
Отрицание: Существует решение неравенства $1 < x \le 8$, которое не является натуральным числом.
Доказательство истинности отрицания: Возьмем число $x = 1.5$. Оно удовлетворяет неравенству, так как $1 < 1.5 \le 8$. Однако 1.5 не является натуральным числом. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

2) Никакое решение неравенства $2 \le x < 3$ не является натуральным числом.

Это высказывание является ложным. В множество решений этого неравенства, $[2, 3)$, входит число 2.
Отрицание: Существует решение неравенства $2 \le x < 3$, которое является натуральным числом.
Доказательство истинности отрицания: Число $x = 2$ удовлетворяет неравенству, так как $2 \le 2 < 3$. Число 2 является натуральным. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

4) Любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.

Это высказывание является ложным. Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной только в том случае, если знаменатель несократимой дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5.
Отрицание: Существует обыкновенная дробь, которую нельзя представить в виде конечной десятичной.
Доказательство истинности отрицания: Рассмотрим дробь $1/3$. При делении 1 на 3 получается бесконечная периодическая десятичная дробь $0.333...$. Она не является конечной. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

6) Числа при округлении уменьшаются.

Это высказывание является ложным. Числа могут как уменьшаться, так и увеличиваться.
Отрицание: Существует число, которое при округлении не уменьшается (то есть увеличивается или остается прежним).
Доказательство истинности отрицания: Округлим число 5.8 до целых. Получим 6. В данном случае число увеличилось ($6 > 5.8$). Округлим число 4.2 до целых. Получим 4. В данном случае число уменьшилось ($4 < 4.2$). Таким образом, неверно, что числа при округлении *всегда* уменьшаются. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

9) Произведение чисел, отличных от нуля, больше каждого множителя.

Это высказывание является ложным. Оно верно только для множителей, больших 1.
Отрицание: Существует произведение чисел, отличных от нуля, которое не больше (то есть меньше или равно) хотя бы одного из множителей.
Доказательство истинности отрицания:

• Пример 1 (дробные множители): $0.5 \times 0.2 = 0.1$. Результат $0.1$ меньше, чем $0.5$ и $0.2$.
• Пример 2 (отрицательный множитель): $5 \times (-2) = -10$. Результат $-10$ меньше, чем $5$.

Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

10) Частное десятичных дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Это высказывание является ложным. Результат деления может быть бесконечной десятичной дробью.
Отрицание: Существует частное десятичных дробей, которое нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
Доказательство истинности отрицания: Разделим одну десятичную дробь на другую: $1.0 / 3.0$. Результатом будет $1/3$, что равно бесконечной периодической дроби $0.333...$. Она не является конечной. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

Условие 2010-2022.

27 Найди ложные высказывания, построй их отрицания и докажи, что отрицания истинны.

1) Все решения неравенства $1 < x \leq 8$ являются натуральными числами.

2) Никакое решение неравенства $2 \leq x < 3$ не является натуральным числом.

3) При делении натуральных чисел остаток всегда меньше делителя.

4) Любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.

5) Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной.

6) Числа при округлении уменьшаются.

7) При умножении числа на 1 всегда получается то же самое число.

8) Сумма любых двух натуральных чисел больше каждого из них.

9) Произведение чисел, отличных от нуля, больше каждого множителя.

10) Частное десятичных дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).