Страница 12, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

K 26

Построй несколько вариантов отрицания общих высказываний. Убедись в выполнении для них закона исключённого третьего.

1) Все европейские страны входят в Евросоюз.

2) Каждое государство Европы является республикой.

3) В любом городе России есть памятники истории.

4) Все города России находятся в Европе.

5) Планеты имеют форму шара.

6) У каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник.

7) Ни одна планета Солнечной системы не имеет колец.

8) Жидкая вода есть на любой планете.

9) Высказывания всегда являются повествовательными предложениями.

10) Вопросительное предложение не может быть высказыванием.

11) Во всяком четырёхугольнике диагонали равны.

12) Любой угол является острым или тупым.

1) Исходное высказывание: «Все европейские страны входят в Евросоюз». Это общее высказывание вида «Все A есть B».
Варианты отрицания:
- Не все европейские страны входят в Евросоюз.
- Некоторые европейские страны не входят в Евросоюз.
- Существует европейская страна, которая не входит в Евросоюз.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно, так как существуют европейские страны, не входящие в Евросоюз (например, Швейцария, Норвегия, Великобритания). Следовательно, его отрицание «Некоторые европейские страны не входят в Евросоюз» истинно. Так как одно из утверждений (исходное или его отрицание) истинно, а другое ложно, закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существует европейская страна, которая не входит в Евросоюз.

2) Исходное высказывание: «Каждое государство Европы является республикой».
Варианты отрицания:
- Неверно, что каждое государство Европы является республикой.
- Не каждое государство Европы является республикой.
- Существует государство в Европе, которое не является республикой.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. В Европе есть государства с монархической формой правления (например, Великобритания, Испания, Швеция). Поэтому отрицание «Существует государство в Европе, которое не является республикой» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Не каждое государство Европы является республикой.

3) Исходное высказывание: «В любом городе России есть памятники истории».
Варианты отрицания:
- Не в любом городе России есть памятники истории.
- Существует город в России, в котором нет памятников истории.
- Неверно, что в любом городе России есть памятники истории.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание, вероятно, ложно. Существуют очень молодые города (например, Иннополис), в которых может не быть объектов, официально признанных памятниками истории. В этом случае его отрицание «Существует город в России, в котором нет памятников истории» будет истинным. Закон исключённого третьего выполняется, так как либо в абсолютно всех городах есть памятники, либо найдется хотя бы один, где их нет.
Ответ: Существует город в России, в котором нет памятников истории.

4) Исходное высказывание: «Все города России находятся в Европе».
Варианты отрицания:
- Не все города России находятся в Европе.
- Некоторые города России не находятся в Европе.
- Существует город в России, который находится в Азии.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно, так как Россия — трансконтинентальное государство, и многие её города (например, Новосибирск, Владивосток, Екатеринбург) расположены в Азии. Следовательно, отрицание «Некоторые города России не находятся в Европе» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Не все города России находятся в Европе.

5) Исходное высказывание: «Планеты имеют форму шара». (подразумевается «Все планеты»)
Варианты отрицания:
- Неверно, что все планеты имеют форму шара.
- Некоторые планеты не имеют формы шара.
- Найдётся планета, форма которой не является шаром.
Проверка закона исключённого третьего: Если понимать «форму шара» как идеальную геометрическую фигуру, то исходное высказывание ложно. Из-за вращения планеты сплюснуты у полюсов и являются эллипсоидами вращения (геоидами). В этом случае отрицание «Некоторые планеты не имеют формы шара» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Неверно, что все планеты имеют форму идеального шара.

6) Исходное высказывание: «У каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник».
Варианты отрицания:
- Не у каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник.
- Существуют планеты в Солнечной системе, у которых нет естественных спутников.
- Неверно, что у каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. У Меркурия и Венеры нет естественных спутников. Следовательно, отрицание «Существуют планеты в Солнечной системе, у которых нет естественных спутников» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существуют планеты в Солнечной системе, у которых нет естественных спутников.

7) Исходное высказывание: «Ни одна планета Солнечной системы не имеет колец». Это общее отрицательное высказывание.
Варианты отрицания:
- Некоторые планеты Солнечной системы имеют кольца.
- Существует планета в Солнечной системе, у которой есть кольца.
- Неверно, что ни одна планета Солнечной системы не имеет колец.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно, так как кольца есть у Сатурна, Юпитера, Урана и Нептуна. Следовательно, его отрицание «Некоторые планеты Солнечной системы имеют кольца» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Некоторые планеты Солнечной системы имеют кольца.

8) Исходное высказывание: «Жидкая вода есть на любой планете».
Варианты отрицания:
- Не на любой планете есть жидкая вода.
- Существуют планеты, на которых нет жидкой воды.
- Неверно, что на любой планете есть жидкая вода.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. Например, на Меркурии из-за экстремальных температур жидкая вода существовать не может. Следовательно, отрицание «Существуют планеты, на которых нет жидкой воды» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существуют планеты, на которых нет жидкой воды.

9) Исходное высказывание: «Высказывания всегда являются повествовательными предложениями».
Варианты отрицания:
- Неверно, что высказывания всегда являются повествовательными предложениями.
- Некоторые высказывания не являются повествовательными предложениями.
- Существует высказывание, которое не является повествовательным предложением.
Проверка закона исключённого третьего: По определению из логики, высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности. Таким образом, исходное высказывание истинно. Его отрицание, соответственно, ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Неверно, что высказывания всегда являются повествовательными предложениями.

10) Исходное высказывание: «Вопросительное предложение не может быть высказыванием».
Варианты отрицания:
- Неверно, что вопросительное предложение не может быть высказыванием.
- Некоторые вопросительные предложения могут быть высказываниями.
- Существует вопросительное предложение, являющееся высказыванием.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание истинно, так как вопросительное предложение не утверждает и не отрицает чего-либо и не может быть истинным или ложным. Следовательно, его отрицание «Некоторые вопросительные предложения могут быть высказываниями» ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Некоторые вопросительные предложения могут быть высказываниями.

11) Исходное высказывание: «Во всяком четырёхугольнике диагонали равны».
Варианты отрицания:
- Не во всяком четырёхугольнике диагонали равны.
- Существуют четырёхугольники, в которых диагонали не равны.
- Неверно, что во всяком четырёхугольнике диагонали равны.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. Например, в ромбе (не являющемся квадратом) или в произвольной трапеции диагонали не равны. Следовательно, отрицание «Существуют четырёхугольники, в которых диагонали не равны» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существует четырёхугольник, в котором диагонали не равны.

12) Исходное высказывание: «Любой угол является острым или тупым».
Варианты отрицания:
- Неверно, что любой угол является острым или тупым.
- Существует угол, который не является ни острым, ни тупым.
- Не все углы являются острыми или тупыми.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. Существуют прямые углы ($90^\circ$), развёрнутые углы ($180^\circ$) и полные углы ($360^\circ$), которые не являются ни острыми (меньше $90^\circ$), ни тупыми (больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$). Следовательно, отрицание «Существует угол, который не является ни острым, ни тупым» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существует угол, который не является ни острым, ни тупым.

26 Построй несколько вариантов отрицания общих высказываний. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего.

1) Все европейские страны входят в Евросоюз.

2) Каждое государство Европы является республикой.

3) В любом городе России есть памятники истории.

4) Все города России находятся в Европе.

5) Планеты имеют форму шара.

6) У каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник.

7) Ни одна планета Солнечной системы не имеет колец.

8) Вода есть на любой планете.

9) Высказывания всегда являются повествовательными предложениями.

10) Вопросительное предложение не может быть высказыванием.

11) Во всяком четырехугольнике диагонали равны.

12) Любой угол является острым или тупым.

27 Найди ложные высказывания, построй их отрицания и докажи, что отрицания истинны.

1) Все решения неравенства $1 < x \le 8$ являются натуральными числами.

2) Никакое решение неравенства $2 \le x < 3$ не является натуральным числом.

3) При делении натуральных чисел остаток всегда меньше делителя.

4) Любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.

5) Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной.

6) Числа при округлении уменьшаются.

7) При умножении числа на 1 всегда получается то же самое число.

8) Сумма любых двух натуральных чисел больше каждого из них.

9) Произведение чисел, отличных от нуля, больше каждого множителя.

10) Частное десятичных дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Сначала определим, какие из высказываний являются истинными, а какие — ложными. Истинные высказывания: 3, 5, 7, 8. Ложные высказывания: 1, 2, 4, 6, 9, 10. Теперь найдем эти ложные высказывания, построим их отрицания и докажем, что отрицания истинны.

Это высказывание является ложным. Решениями этого неравенства являются все числа на интервале $(1, 8]$, включая не только натуральные числа (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), но и дробные, такие как 1.5, 2.7, $\pi$ и другие.
Отрицание: Существует решение неравенства $1 < x \le 8$, которое не является натуральным числом.
Доказательство истинности отрицания: Возьмем число $x = 1.5$. Оно удовлетворяет неравенству, так как $1 < 1.5 \le 8$. Однако 1.5 не является натуральным числом. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

Это высказывание является ложным. В множество решений этого неравенства, $[2, 3)$, входит число 2.
Отрицание: Существует решение неравенства $2 \le x < 3$, которое является натуральным числом.
Доказательство истинности отрицания: Число $x = 2$ удовлетворяет неравенству, так как $2 \le 2 < 3$. Число 2 является натуральным. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

Это высказывание является ложным. Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной только в том случае, если знаменатель несократимой дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5.
Отрицание: Существует обыкновенная дробь, которую нельзя представить в виде конечной десятичной.
Доказательство истинности отрицания: Рассмотрим дробь $1/3$. При делении 1 на 3 получается бесконечная периодическая десятичная дробь $0.333...$. Она не является конечной. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

Это высказывание является ложным. Числа могут как уменьшаться, так и увеличиваться.
Отрицание: Существует число, которое при округлении не уменьшается (то есть увеличивается или остается прежним).
Доказательство истинности отрицания: Округлим число 5.8 до целых. Получим 6. В данном случае число увеличилось ($6 > 5.8$). Округлим число 4.2 до целых. Получим 4. В данном случае число уменьшилось ($4 < 4.2$). Таким образом, неверно, что числа при округлении *всегда* уменьшаются. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

Это высказывание является ложным. Оно верно только для множителей, больших 1.
Отрицание: Существует произведение чисел, отличных от нуля, которое не больше (то есть меньше или равно) хотя бы одного из множителей.
Доказательство истинности отрицания:

• Пример 1 (дробные множители): $0.5 \times 0.2 = 0.1$. Результат $0.1$ меньше, чем $0.5$ и $0.2$.
• Пример 2 (отрицательный множитель): $5 \times (-2) = -10$. Результат $-10$ меньше, чем $5$.

Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

Это высказывание является ложным. Результат деления может быть бесконечной десятичной дробью.
Отрицание: Существует частное десятичных дробей, которое нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
Доказательство истинности отрицания: Разделим одну десятичную дробь на другую: $1.0 / 3.0$. Результатом будет $1/3$, что равно бесконечной периодической дроби $0.333...$. Она не является конечной. Следовательно, отрицание истинно.
Ответ: Высказывание ложно.

27 Найди ложные высказывания, построй их отрицания и докажи, что отрицания истинны.

1) Все решения неравенства $1 < x \leq 8$ являются натуральными числами.

2) Никакое решение неравенства $2 \leq x < 3$ не является натуральным числом.

3) При делении натуральных чисел остаток всегда меньше делителя.

4) Любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной.

5) Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной.

6) Числа при округлении уменьшаются.

7) При умножении числа на 1 всегда получается то же самое число.

8) Сумма любых двух натуральных чисел больше каждого из них.

9) Произведение чисел, отличных от нуля, больше каждого множителя.

10) Частное десятичных дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби.

28 Какие высказывания являются общими, какие – высказываниями о существовании, а какие – ни теми, ни другими? Для ложных общих высказываний построй отрицания.

1) Все птицы умеют плавать.

2) У телеги всегда четыре колеса.

3) Петя сидит за одной партой с Сашей.

4) Брат всегда старше сестры.

5) Любая медаль имеет две стороны.

6) Некоторые полицейские – женщины.

7) В пятницу шёл сильный снег.

8) Иногда собаки дружат с кошками.

9) Нет попугаев, которые не умеют говорить.

10) Любые часы всегда спешат.

11) Арбуз бывает только полосатым.

12) Велосипед может иметь квадратные колёса.

1) Все птицы умеют плавать.
Это общее высказывание, так как оно содержит утверждение обо всех объектах некоторого класса (обо всех птицах). Использование слова «все» указывает на квантор всеобщности ($\forall$).
Высказывание является ложным, поскольку существуют птицы, которые не умеют плавать (например, куры, страусы).
Отрицанием для ложного общего высказывания «Все A есть B» является высказывание «Некоторые A не есть B». В логической форме отрицание $\forall x (P(x) \rightarrow Q(x))$ выглядит как $\exists x (P(x) \land \neg Q(x))$.
Отрицание: «Некоторые птицы не умеют плавать» или «Существуют птицы, которые не умеют плавать».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Некоторые птицы не умеют плавать.

2) У телеги всегда четыре колеса.
Это общее высказывание, так как слово «всегда» распространяет утверждение на все телеги в любой ситуации. Это эквивалентно утверждению «Все телеги имеют четыре колеса».
Высказывание ложное, так как существуют телеги с другим количеством колёс (например, тачка с одним колесом).
Отрицание: «Не всегда у телеги четыре колеса» или «Существуют телеги, у которых не четыре колеса».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: У телеги не всегда четыре колеса.

3) Петя сидит за одной партой с Сашей.
Это высказывание о конкретных, единичных объектах (Пете и Саше). Оно не обобщает какое-либо свойство на целый класс объектов и не утверждает о существовании объекта. Поэтому оно ни общее, ни высказывание о существовании.
Ответ: Ни общее высказывание, ни высказывание о существовании.

4) Брат всегда старше сестры.
Это общее высказывание, так как слово «всегда» подразумевает, что утверждение верно для любой пары «брат-сестра».
Высказывание ложное, поскольку брат может быть младше своей сестры.
Отрицание: «Брат не всегда старше сестры» или «Бывают братья, которые младше своих сестёр».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Брат не всегда старше сестры.

5) Любая медаль имеет две стороны.
Это общее высказывание, так как слово «любая» указывает на то, что свойство присуще всем без исключения медалям. Высказывание является истинным.
Ответ: Общее высказывание.

6) Некоторые полицейские — женщины.
Это высказывание о существовании. Слово «некоторые» указывает на наличие хотя бы одного (или нескольких) полицейских, обладающих указанным свойством. Используется квантор существования ($\exists$).
Ответ: Высказывание о существовании.

7) В пятницу шёл сильный снег.
Это высказывание о конкретном событии, произошедшем в конкретное время. Оно не содержит обобщений или утверждений о существовании в рамках какого-либо класса явлений. Следовательно, оно ни общее, ни высказывание о существовании.
Ответ: Ни общее высказывание, ни высказывание о существовании.

8) Иногда собаки дружат с кошками.
Это высказывание о существовании. Слово «иногда» означает, что существуют случаи (хотя бы один), когда собаки дружат с кошками.
Ответ: Высказывание о существовании.

9) Нет попугаев, которые не умеют говорить.
Это общее высказывание. Оно утверждает отсутствие исключений, что равносильно утверждению «Все попугаи умеют говорить». В логической форме: $\neg \exists x (P(x) \land \neg Q(x)) \equiv \forall x (P(x) \rightarrow Q(x))$.
Высказывание ложное, так как не все попугаи могут говорить.
Отрицание: «Существуют попугаи, которые не умеют говорить».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Существуют попугаи, которые не умеют говорить.

10) Любые часы всегда спешат.
Это общее высказывание, так как слова «любые» и «всегда» распространяют свойство на все без исключения часы.
Высказывание ложное, так как часы могут идти точно или отставать.
Отрицание: «Некоторые часы не спешат» или «Неверно, что любые часы всегда спешат».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Некоторые часы не спешат.

11) Арбуз бывает только полосатым.
Это общее высказывание, так как оно эквивалентно утверждению «Все арбузы являются полосатыми».
Высказывание ложное, так как существуют сорта арбузов без полосок (например, с однотонной тёмно-зелёной коркой).
Отрицание: «Арбуз бывает не только полосатым» или «Существуют неполосатые арбузы».
Ответ: Общее высказывание (ложное). Отрицание: Арбуз бывает не только полосатым.

12) Велосипед может иметь квадратные колёса.
Это высказывание о существовании. Слово «может» указывает на возможность существования (хотя бы одного, пусть даже в теории) велосипеда с таким свойством.
Ответ: Высказывание о существовании.

28 Какие высказывания являются общими, какие – высказываниями о существовании, а какие – ни теми, ни другими? Для ложных общих высказываний построй отрицания.

1) Все птицы умеют плавать.

2) У телеги всегда четыре колеса.

3) Петя сидит за одной партой с Сашей.

4) Брат всегда старше сестры.

5) Любая медаль имеет две стороны.

6) Некоторые милиционеры – женщины.

7) В пятницу шел сильный снег.

8) Иногда собаки дружат с кошками.

9) Нет попугаев, которые не умеют говорить.

10) Любые часы всегда спешат.

11) Арбуз бывает только полосатым.

12) Велосипед может иметь квадратные колеса.

1) Что называют масштабом? Чему равен масштаб чертежа, если на нём детали увеличены в 5 раз, уменьшены в 100 раз?

2) Что означают выражения: а) масштаб плана местности равен $1 : 400$; б) масштаб карты равен $1 : 500\,000$; в) масштаб чертежа равен $3 : 1$?

1)

Масштабом называют отношение длины отрезка на чертеже, плане или карте к длине соответствующего ему отрезка в действительности. Масштаб показывает, во сколько раз линейные размеры объекта на изображении отличаются от его реальных размеров.

Если детали на чертеже увеличены в 5 раз, это означает, что размеры изображения в 5 раз больше реальных размеров. Такое отношение записывается как $5:1$. Это называется масштабом увеличения.

Если детали на чертеже уменьшены в 100 раз, это означает, что размеры изображения в 100 раз меньше реальных. Такое отношение записывается как $1:100$. Это называется масштабом уменьшения.

Ответ: Масштаб — это отношение длины отрезка на изображении к его реальной длине. Если детали увеличены в 5 раз, масштаб равен $5:1$. Если детали уменьшены в 100 раз, масштаб равен $1:100$.

2)

а) Выражение «масштаб плана местности равен $1:400$» означает, что все расстояния на местности при изображении их на плане уменьшены в 400 раз. Это значит, что 1 единица длины на плане (например, 1 см) соответствует 400 таким же единицам длины на местности (400 см, что равно 4 м).

Ответ: 1 единица длины на плане соответствует 400 таким же единицам на местности.

б) Выражение «масштаб карты равен $1:500 000$» означает, что все расстояния на местности при изображении их на карте уменьшены в 500 000 раз. Это значит, что 1 единица длины на карте (например, 1 см) соответствует 500 000 таких же единиц длины на местности (500 000 см, что равно 5 км).

Ответ: 1 единица длины на карте соответствует 500 000 таким же единицам на местности.

в) Выражение «масштаб чертежа равен $3:1$» означает, что все размеры детали на чертеже увеличены в 3 раза по сравнению с их реальными размерами. Это значит, что 3 единицы длины на чертеже (например, 3 см) соответствуют 1 такой же единице длины на реальной детали (1 см).

Ответ: Изображение детали увеличено в 3 раза; 3 единицы длины на чертеже соответствуют 1 такой же единице в действительности.

28 1) Что называют масштабом? Чему равен масштаб чертежа, если на нем детали увеличены в 5 раз, уменьшены в 100 раз?

2) Что означают выражения: а) масштаб плана местности равен $1 : 400$; б) масштаб карты равен $1 : 500\,000$; в) масштаб чертежа равен $3 : 1$?

29 Определи масштаб карты, если:

1) 1 см на карте соответствует 100 км на местности;

2) 3 см на карте соответствует 1 км 200 м на местности;

3) 50 км на местности соответствует 2 дм на карте.

1)

Масштаб карты показывает отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности. Чтобы определить численный масштаб, необходимо выразить оба расстояния в одинаковых единицах измерения. Удобнее всего использовать сантиметры.

По условию, $1 \text{ см}$ на карте соответствует $100 \text{ км}$ на местности. Переведем $100 \text{ км}$ в сантиметры.

Сначала переведем километры в метры, а затем метры в сантиметры:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Следовательно, $1 \text{ км} = 1000 \times 100 = 100\,000 \text{ см}$.

Тогда расстояние на местности составляет:

$100 \text{ км} = 100 \times 100\,000 \text{ см} = 10\,000\,000 \text{ см}$.

Таким образом, $1 \text{ см}$ на карте соответствует $10\,000\,000 \text{ см}$ на местности. Масштаб карты записывается как отношение этих величин:

$1:10\,000\,000$

Ответ: 1:10 000 000

2)

По условию, $3 \text{ см}$ на карте соответствуют $1 \text{ км} \ 200 \text{ м}$ на местности. Приведем оба расстояния к сантиметрам.

Расстояние на местности составляет $1 \text{ км} \ 200 \text{ м}$. Переведем это значение в метры:

$1 \text{ км} \ 200 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 200 \text{ м} = 1200 \text{ м}$.

Теперь переведем метры в сантиметры:

$1200 \text{ м} = 1200 \times 100 \text{ см} = 120\,000 \text{ см}$.

Мы получили, что $3 \text{ см}$ на карте соответствуют $120\,000 \text{ см}$ на местности. Чтобы найти масштаб, нужно узнать, какому расстоянию на местности соответствует $1 \text{ см}$ на карте. Для этого разделим обе части отношения на $3$:

$(3 \text{ см}) : 3 \rightarrow 1 \text{ см}$

$(120\,000 \text{ см}) : 3 \rightarrow 40\,000 \text{ см}$

Значит, $1 \text{ см}$ на карте соответствует $40\,000 \text{ см}$ на местности. Масштаб карты:

$1:40\,000$

Ответ: 1:40 000

3)

По условию, $50 \text{ км}$ на местности соответствуют $2 \text{ дм}$ на карте. Снова приведем оба расстояния к сантиметрам.

Переведем расстояние на карте ($2 \text{ дм}$) в сантиметры. В одном дециметре $10$ сантиметров:

$2 \text{ дм} = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Переведем расстояние на местности ($50 \text{ км}$) в сантиметры:

$50 \text{ км} = 50 \times 100\,000 \text{ см} = 5\,000\,000 \text{ см}$.

Получаем, что $20 \text{ см}$ на карте соответствуют $5\,000\,000 \text{ см}$ на местности. Чтобы найти масштаб (отношение для $1 \text{ см}$), разделим обе части на $20$:

$(20 \text{ см}) : 20 \rightarrow 1 \text{ см}$

$(5\,000\,000 \text{ см}) : 20 \rightarrow 250\,000 \text{ см}$

Следовательно, $1 \text{ см}$ на карте соответствует $250\,000 \text{ см}$ на местности. Масштаб карты:

$1:250\,000$

Ответ: 1:250 000

29 Определи масштаб карты, если:

1) 1 см на карте соответствует 100 км на местности;

2) 3 см на карте соответствует 1 км 200 м на местности;

3) 50 км на местности соответствует 2 дм на карте.

30 Расстояние от Москвы до Бреста равно примерно 1100 км. Изобрази шоссе от Москвы до Бреста на тетрадном листе в виде отрезка, подобрав удобный масштаб.

Для того чтобы изобразить на тетрадном листе шоссе от Москвы до Бреста, протяженностью 1100 км, в виде отрезка, необходимо сначала выбрать удобный масштаб.

1. Выбор удобного масштаба

Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на чертеже меньше, чем реальное расстояние. Выберем длину отрезка на листе так, чтобы она была удобна для измерения линейкой и для расчетов. Например, пусть длина отрезка будет 11 см. Такая длина легко поместится на тетрадном листе, и на нее удобно делить реальное расстояние 1100 км.

2. Расчет масштаба

Если отрезок длиной 11 см на листе соответствует 1100 км на местности, то можно определить, какое расстояние на местности соответствует 1 см на листе. Для этого разделим реальное расстояние на длину отрезка:

$ \frac{1100 \text{ км}}{11 \text{ см}} = 100 \text{ км/см} $

Таким образом, мы получаем именованный масштаб: в 1 сантиметре 100 километров.

Чтобы получить численный масштаб (в виде отношения 1:M), необходимо перевести обе величины в одинаковые единицы измерения, например, в сантиметры. Вспомним, что $1 \text{ км} = 100 000 \text{ см}$.

Тогда 100 км в сантиметрах будет:

$100 \text{ км} = 100 \times 100 000 \text{ см} = 10 000 000 \text{ см}$

Следовательно, 1 см на листе соответствует 10 000 000 см на местности. Численный масштаб записывается как отношение 1:10 000 000.

3. Построение отрезка

Теперь можно выполнить построение. На тетрадном листе с помощью линейки чертим отрезок длиной 11 см. Один конец отрезка подписываем «Москва», а другой — «Брест». Рядом с отрезком или под ним указываем выбранный масштаб, например: «Масштаб 1:10 000 000» или «В 1 см 100 км».

Ответ: Для изображения шоссе можно выбрать масштаб 1:10 000 000 (в 1 см — 100 км). В этом масштабе реальное расстояние в 1100 км будет представлено на тетрадном листе отрезком длиной 11 см.

30 Расстояние от Москвы до Бреста равно примерно 1100 км. Изобрази шоссе от Москвы до Бреста на тетрадном листе в виде отрезка, подобрав удобный масштаб.

31 Масштаб карты равен 1 : 1 000 000. Известно, что расстояние между двумя точками на этой карте равно:

1) 1 см;

2) 0,6 см;

3) 1, 8 дм;

4) 35 мм. Вычисли соответствующие расстояния на местности.

Масштаб карты 1 : 1 000 000 означает, что 1 единица длины на карте соответствует 1 000 000 таким же единицам на местности. Для удобства расчетов найдем, скольким километрам на местности соответствует 1 сантиметр на карте.

1. Расстояние на местности в сантиметрах: $1 \text{ см} \cdot 1 000 000 = 1 000 000 \text{ см}$.

2. Переведем сантиметры в метры (в 1 метре 100 сантиметров): $1 000 000 \text{ см} : 100 = 10 000 \text{ м}$.

3. Переведем метры в километры (в 1 километре 1000 метров): $10 000 \text{ м} : 1000 = 10 \text{ км}$.

Таким образом, 1 см на карте соответствует 10 км на местности. Используем это соотношение для решения задачи.

1)

Расстояние на карте равно 1 см. Чтобы найти соответствующее расстояние на местности, умножим расстояние на карте на масштабный коэффициент в километрах.

$1 \text{ см} \cdot 10 \frac{\text{км}}{\text{см}} = 10 \text{ км}$

Ответ: 10 км.

2)

Расстояние на карте равно 0,6 см. Вычислим расстояние на местности.

$0,6 \text{ см} \cdot 10 \frac{\text{км}}{\text{см}} = 6 \text{ км}$

Ответ: 6 км.

3)

Расстояние на карте равно 1,8 дм. Сначала переведем дециметры в сантиметры (в 1 дм содержится 10 см).

$1,8 \text{ дм} = 1,8 \cdot 10 \text{ см} = 18 \text{ см}$

Теперь вычислим расстояние на местности.

$18 \text{ см} \cdot 10 \frac{\text{км}}{\text{см}} = 180 \text{ км}$

Ответ: 180 км.

4)

Расстояние на карте равно 35 мм. Сначала переведем миллиметры в сантиметры (в 1 см содержится 10 мм).

$35 \text{ мм} = 35 : 10 \text{ см} = 3,5 \text{ см}$

Теперь вычислим расстояние на местности.

$3,5 \text{ см} \cdot 10 \frac{\text{км}}{\text{см}} = 35 \text{ км}$

Ответ: 35 км.

31 Масштаб карты равен 1 : 1 000 000. Известно, что расстояние между двумя точками на этой карте равно:

1) 1 см;

2) 0,6 см;

3) 1, 8 дм;

4) 35 мм.

Вычисли соответствующие расстояния на местности.

32 Длина крыла насекомого, нарисованного в масштабе 20 : 1, равна 4 см. Чему равна его длина в действительности?

Масштаб 20 : 1 означает, что изображение на рисунке в 20 раз больше, чем действительный объект. Это так называемый масштаб увеличения. Соотношение между размером на рисунке и реальным размером можно выразить как 20 к 1.

Чтобы найти действительную длину крыла, необходимо его длину на рисунке разделить на коэффициент увеличения, то есть на 20.

Пусть $x$ – действительная длина крыла в сантиметрах. Составим и решим пропорцию:

$ \frac{\text{длина на рисунке}}{\text{действительная длина}} = \frac{20}{1} $

Подставим известные нам значения в пропорцию:

$ \frac{4 \text{ см}}{x} = \frac{20}{1} $

Из этой пропорции найдем $x$:

$ 20 \cdot x = 4 \cdot 1 $

$ x = \frac{4}{20} $

$ x = 0,2 \text{ см} $

Часто размеры таких маленьких объектов, как крылья насекомых, удобнее выражать в миллиметрах. Переведем сантиметры в миллиметры (в 1 см – 10 мм):

$ 0,2 \text{ см} = 0,2 \times 10 \text{ мм} = 2 \text{ мм} $

Ответ: действительная длина крыла насекомого равна 0,2 см (или 2 мм).

32 Длина крыла насекомого, нарисованного в масштабе $20:1$, равна 4 см. Чему равна его длина в действительности?

33 Практическая работа

По карте определи приближённые расстояния между Москвой и городами:

1) Санкт-Петербург; 2) Казань; 3) Ижевск; 4) Киев; 5) Прага; 6) Берлин; 7) Париж; 8) Лондон.

Для решения данной задачи необходимо определить приближенные расстояния между Москвой и указанными городами. Поскольку карта не приложена к заданию, мы будем использовать общедоступные географические данные о расстояниях. В таких случаях обычно имеется в виду расстояние по прямой (по воздуху), которое на карте измеряется линейкой и пересчитывается с помощью масштаба. Это расстояние также известно как ортодромия — кратчайший путь между двумя точками на поверхности земного шара. Ниже приведены именно такие расстояния.

1) Санкт-Петербург
Приблизительное расстояние по прямой между центрами Москвы и Санкт-Петербурга составляет 635 км.
Ответ: ~635 км.

2) Казань
Расстояние по прямой от Москвы до Казани, расположенной на востоке, составляет около 720 км.
Ответ: ~720 км.

3) Ижевск
Ижевск находится восточнее Казани. Расстояние по прямой между Москвой и Ижевском составляет примерно 970 км.
Ответ: ~970 км.

4) Киев
Расстояние по прямой от Москвы до Киева, который находится в юго-западном направлении, составляет около 760 км.
Ответ: ~760 км.

5) Прага
Столица Чехии, Прага, расположена к западу от Москвы на расстоянии примерно 1670 км по прямой.
Ответ: ~1670 км.

6) Берлин
Расстояние по прямой между Москвой и столицей Германии, Берлином, составляет около 1610 км.
Ответ: ~1610 км.

7) Париж
Париж находится значительно дальше на запад. Расстояние по прямой от Москвы до столицы Франции составляет около 2490 км.
Ответ: ~2490 км.

8) Лондон
Расстояние по прямой от Москвы до столицы Великобритании, Лондона, примерно равно расстоянию до Парижа и составляет около 2500 км.
Ответ: ~2500 км.

33 Практическая работа.

По карте определи приближенные расстояния между Москвой и городами:

1) Санкт-Петербург; 2) Казань; 3) Ижевск; 4) Киев; 5) Прага; 6) Берлин;

7) Париж; 8) Лондон.

7) Париж; 8) Лондон.

34 План земельного участка выполнен в масштабе $1 : 4000$. Сделай необходимые измерения и вычисли его периметр и площадь.

Для решения задачи необходимо измерить стороны фигуры на плане. Поскольку точное измерение по предоставленному изображению невозможно, примем следующие условные значения, которые пропорционально соответствуют стандартным задачам такого типа:
- Левая (длинная) вертикальная сторона: 4 см.
- Нижняя (длинная) горизонтальная сторона: 6 см.
- Правая (короткая) вертикальная сторона: 2 см.
- Верхняя (короткая) горизонтальная сторона: 3 см.
Масштаб плана 1:4000 означает, что 1 см на плане соответствует 4000 см (или 40 метрам) в реальности.

Периметр
Периметр данной фигуры равен периметру большого прямоугольника, который бы ее полностью охватывал. Стороны этого большого прямоугольника равны длинным сторонам фигуры.
1. Найдем периметр фигуры на плане ($P_{плана}$):
$P_{плана} = 2 \cdot (4 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2 \cdot 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$
2. Переведем периметр плана в реальный периметр ($P_{реальный}$), используя масштаб:
$P_{реальный} = 20 \text{ см} \cdot 4000 = 80000 \text{ см}$
3. Переведем сантиметры в метры ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$):
$80000 \text{ см} = 800 \text{ м}$
Ответ: периметр земельного участка равен 800 м.

Площадь
Площадь фигуры можно найти как разность площадей большого внешнего прямоугольника и маленького "вырезанного" прямоугольника в правом верхнем углу. Сначала переведем все размеры в реальные единицы (метры).
1. Реальные размеры большого прямоугольника:
Длина: $6 \text{ см} \cdot 4000 = 24000 \text{ см} = 240 \text{ м}$
Высота: $4 \text{ см} \cdot 4000 = 16000 \text{ см} = 160 \text{ м}$
2. Найдем реальные размеры "вырезанного" прямоугольника:
Его ширина равна разности длинной и короткой горизонтальных сторон: $(6 \text{ см} - 3 \text{ см}) \cdot 4000 = 3 \text{ см} \cdot 4000 = 12000 \text{ см} = 120 \text{ м}$.
Его высота равна разности длинной и короткой вертикальных сторон: $(4 \text{ см} - 2 \text{ см}) \cdot 4000 = 2 \text{ см} \cdot 4000 = 8000 \text{ см} = 80 \text{ м}$.
3. Вычислим итоговую площадь ($S$):
$S = S_{большого\_прямоугольника} - S_{вырезанного\_прямоугольника}$
$S = (240 \text{ м} \cdot 160 \text{ м}) - (120 \text{ м} \cdot 80 \text{ м})$
$S = 38400 \text{ м}^2 - 9600 \text{ м}^2 = 28800 \text{ м}^2$
Ответ: площадь земельного участка равна 28800 м².

34 План земельного участка выполнен в масштабе 1 : 4000. Сделай необходимые измерения и вычисли его периметр и площадь.

35 На рисунке изображён план квартиры в масштабе 1 : 200. Определи по плану, какие размеры имеют гостиная, спальня, кухня, прихожая, кладовая и ванная комната. Вычисли площадь этих помещений и общую площадь квартиры.

Для решения задачи необходимо определить реальные размеры помещений, используя план и указанный масштаб, а затем вычислить их площади.

1. Определение реальных размеров по плану

Масштаб плана 1:200 означает, что 1 см на чертеже соответствует 200 см (или 2 м) в реальности.

На плане вдоль стен нанесены деления (риски), которые делят квартиру на условные прямоугольные блоки. Будем использовать эти деления для определения пропорций комнат.

По горизонтали (вдоль ширины) квартира разделена на 3 части (2 слева и 1 справа). Обозначим ширину одной такой части на плане как $u$.

По вертикали (вдоль длины) квартира также разделена на 3 части (2 сверху и 1 снизу на левой стороне; 1+1+1 на правой стороне). Обозначим длину одной такой части на плане как $v$.

Чтобы получить реалистичные и целочисленные размеры для квартиры, предположим, что на оригинальном плане в учебнике один единичный отрезок по горизонтали $u$ равен 1.5 см, а по вертикали $v$ равен 1 см.

Теперь переведем эти размеры в метры, используя масштаб:
Реальная ширина единицы $u = 1.5 \text{ см} \times 200 = 300 \text{ см} = 3 \text{ м}$.
Реальная длина единицы $v = 1 \text{ см} \times 200 = 200 \text{ см} = 2 \text{ м}$.

Основываясь на этих данных, рассчитаем размеры и площади каждого помещения.

Гостиная
Размеры гостиной на плане составляют 2 единицы в ширину ($2u$) и 2 единицы в длину ($2v$).
Реальная ширина: $2 \times 3 \text{ м} = 6 \text{ м}$.
Реальная длина: $2 \times 2 \text{ м} = 4 \text{ м}$.
Площадь гостиной: $S = 6 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 24 \text{ м}^2$.
Ответ: размеры 6 м × 4 м, площадь 24 м².

Спальня
Размеры спальни на плане составляют 2 единицы в ширину ($2u$) и 1 единицу в длину ($1v$).
Реальная ширина: $2 \times 3 \text{ м} = 6 \text{ м}$.
Реальная длина: $1 \times 2 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
Площадь спальни: $S = 6 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 12 \text{ м}^2$.
Ответ: размеры 6 м × 2 м, площадь 12 м².

Кухня
Размеры кухни на плане составляют 1 единицу в ширину ($1u$) и 1 единицу в длину ($1v$).
Реальная ширина: $1 \times 3 \text{ м} = 3 \text{ м}$.
Реальная длина: $1 \times 2 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
Площадь кухни: $S = 3 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 6 \text{ м}^2$.
Ответ: размеры 3 м × 2 м, площадь 6 м².

Прихожая
Прихожая и ванная комната вместе занимают блок размером $1u \times 1v$, разделенный пополам по ширине.
Размеры прихожей на плане: $0.5u$ в ширину и $1v$ в длину.
Реальная ширина: $0.5 \times 3 \text{ м} = 1.5 \text{ м}$.
Реальная длина: $1 \times 2 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
Площадь прихожей: $S = 1.5 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 3 \text{ м}^2$.
Ответ: размеры 1.5 м × 2 м, площадь 3 м².

Кладовая
Размеры кладовой на плане составляют 1 единицу в ширину ($1u$) и 1 единицу в длину ($1v$).
Реальная ширина: $1 \times 3 \text{ м} = 3 \text{ м}$.
Реальная длина: $1 \times 2 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
Площадь кладовой: $S = 3 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 6 \text{ м}^2$.
Ответ: размеры 3 м × 2 м, площадь 6 м².

Ванная комната
Размеры ванной комнаты на плане: $0.5u$ в ширину и $1v$ в длину.
Реальная ширина: $0.5 \times 3 \text{ м} = 1.5 \text{ м}$.
Реальная длина: $1 \times 2 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
Площадь ванной комнаты: $S = 1.5 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 3 \text{ м}^2$.
Ответ: размеры 1.5 м × 2 м, площадь 3 м².

Общая площадь квартиры
Чтобы найти общую площадь, сложим площади всех помещений:
$S_{общая} = S_{гостиная} + S_{спальня} + S_{кухня} + S_{прихожая} + S_{кладовая} + S_{ванная}$
$S_{общая} = 24 + 12 + 6 + 3 + 6 + 3 = 54 \text{ м}^2$.
Проверим, вычислив площадь по общим размерам квартиры:
Общая ширина: $3u = 3 \times 3 \text{ м} = 9 \text{ м}$.
Общая длина: $3v = 3 \times 2 \text{ м} = 6 \text{ м}$.
$S_{общая} = 9 \text{ м} \times 6 \text{ м} = 54 \text{ м}^2$.
Ответ: общая площадь квартиры составляет 54 м².

35На рисунке изображен план квартиры в масштабе 1 : 200. Определи по плану, какие размеры имеют гостиная, спальня, кухня, прихожая, кладовая и ванная комната. Вычисли площадь этих помещений и общую площадь квартиры.

36 Длина Москвы-реки примерно 470 км. Чему равна её длина на карте, масштаб которой 1 : 5 000 000?

Масштаб карты 1 : 5 000 000 означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 5 000 000 сантиметров (или 50 километров) в действительности.

Чтобы найти длину реки на карте, необходимо ее реальную длину перевести в сантиметры и разделить на масштабный коэффициент.

1. Переведем реальную длину Москвы-реки из километров в сантиметры. Учитывая, что 1 км = 1000 м и 1 м = 100 см, получаем 1 км = 100 000 см.

$470 \text{ км} = 470 \times 100 \ 000 \text{ см} = 47 \ 000 \ 000 \text{ см}$

2. Теперь разделим полученное значение на знаменатель масштаба (5 000 000), чтобы найти длину на карте:

$\frac{47 \ 000 \ 000 \text{ см}}{5 \ 000 \ 000} = \frac{47}{5} \text{ см} = 9,4 \text{ см}$

Ответ: 9,4 см.

36 Длина Москвы-реки примерно 470 км. Чему равна ее длина на карте, масштаб которой 1 : 5 000 000?

Что общего у слагаемых в каждом выражении? Упрости их, используя распределительное свойство умножения.

а) $-4n + n + 2n;$

б) $3x - 7x - x;$

в) $-0,3a - a + 2,1a;$

г) $c - 1,6c - 0,9c;$

д) $1,8y - 2y + y - 0,4y - 1,3y;$

е) $-\frac{4}{5}b + 0,2b - \frac{5}{6}b + b + \frac{1}{3}b.$

Общим у слагаемых в каждом выражении является одинаковая буквенная часть (общий буквенный множитель). Упростим выражения, используя распределительное свойство умножения ($ac + bc = (a+b)c$), то есть вынесем общий буквенный множитель за скобки и сложим числовые коэффициенты. Этот процесс называется приведением подобных слагаемых.

а) $-4n + n + 2n$

Все слагаемые имеют общий множитель $n$. Вынесем его за скобки:

$-4n + n + 2n = (-4 + 1 + 2) \cdot n = (-1) \cdot n = -n$

Ответ: $-n$

б) $3x - 7x - x$

Общий множитель у всех слагаемых — $x$. Выносим его за скобки (учитывая, что $-x$ это $-1x$):

$3x - 7x - x = (3 - 7 - 1) \cdot x = (-5) \cdot x = -5x$

Ответ: $-5x$

в) $-0,3a - a + 2,1a$

Общий множитель — $a$. Применяем распределительное свойство:

$-0,3a - a + 2,1a = (-0,3 - 1 + 2,1) \cdot a = (0,8) \cdot a = 0,8a$

Ответ: $0,8a$

г) $c - 1,6c - 0,9c$

Общий множитель — $c$. Выносим его за скобки:

$c - 1,6c - 0,9c = (1 - 1,6 - 0,9) \cdot c = (-1,5) \cdot c = -1,5c$

Ответ: $-1,5c$

д) $1,8y - 2y + y - 0,4y - 1,3y$

Общий множитель — $y$. Сгруппируем и сложим коэффициенты:

$1,8y - 2y + y - 0,4y - 1,3y = (1,8 - 2 + 1 - 0,4 - 1,3) \cdot y$

$(1,8 + 1) - (2 + 0,4 + 1,3) = 2,8 - 3,7 = -0,9$

Таким образом, выражение равно $(-0,9) \cdot y = -0,9y$

Ответ: $-0,9y$

е) $-\frac{4}{5}b + 0,2b - \frac{5}{6}b + b + \frac{1}{3}b$

Общий множитель — $b$. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Теперь вынесем $b$ за скобки:

$(-\frac{4}{5} + \frac{1}{5} - \frac{5}{6} + 1 + \frac{1}{3}) \cdot b$

Сначала сложим дроби с одинаковым знаменателем: $-\frac{4}{5} + \frac{1}{5} = -\frac{3}{5}$.

Теперь приведем оставшиеся слагаемые к общему знаменателю 30:

$(-\frac{3}{5} - \frac{5}{6} + \frac{1}{1} + \frac{1}{3}) \cdot b = (-\frac{3 \cdot 6}{30} - \frac{5 \cdot 5}{30} + \frac{1 \cdot 30}{30} + \frac{1 \cdot 10}{30}) \cdot b$

$(\frac{-18 - 25 + 30 + 10}{30}) \cdot b = (\frac{-43 + 40}{30}) \cdot b = -\frac{3}{30}b$

Сократим дробь: $-\frac{3}{30}b = -\frac{1}{10}b$

Ответ: $-\frac{1}{10}b$

42 Что общего у слагаемых в каждом выражении? Упрости их, используя распределительное свойство умножения.

а) $-4n + n + 2n;$

б) $3x - 7x - x;$

в) $-0.3a - a + 2.1a;$

г) $c - 1.6c - 0.9c;$

д) $1.8y - 2y + y - 0.4y - 1.3y;$

е) $-\frac{4}{5}b + 0.2b - \frac{5}{6}b + b + \frac{1}{3}b.$

43 Найди подобные слагаемые и назови их коэффициенты:

a) $4a - \frac{1}{7}b + 2,3b - \frac{3}{7}a;$

в) $-5a^2 + 9a - 4 + a^2 + 7 - 18a;$

б) $-0,3x^2y + xy^2 + 5x^2y - 2,1xy^2;$

г) $2n^3m + 4,3nm^3 - 0,5n^2m^2 + 3,6nm^3.$

а) В данном выражении $4a - \frac{1}{7}b + 2,3b - \frac{3}{7}a$ подобными слагаемыми являются те, у которых одинаковая буквенная часть. Здесь есть две группы подобных слагаемых.

Первая группа — слагаемые с переменной $a$: $4a$ и $-\frac{3}{7}a$.
Коэффициент слагаемого $4a$ равен $4$.
Коэффициент слагаемого $-\frac{3}{7}a$ равен $-\frac{3}{7}$.

Вторая группа — слагаемые с переменной $b$: $-\frac{1}{7}b$ и $2,3b$.
Коэффициент слагаемого $-\frac{1}{7}b$ равен $-\frac{1}{7}$.
Коэффициент слагаемого $2,3b$ равен $2,3$.

Ответ: Подобные слагаемые: $4a$ и $-\frac{3}{7}a$ (коэффициенты $4$ и $-\frac{3}{7}$); $-\frac{1}{7}b$ и $2,3b$ (коэффициенты $-\frac{1}{7}$ и $2,3$).

б) В выражении $-0,3x^2y + xy^2 + 5x^2y - 2,1xy^2$ есть две группы подобных слагаемых.

Первая группа — слагаемые с одинаковой буквенной частью $x^2y$: $-0,3x^2y$ и $5x^2y$.
Их коэффициенты: $-0,3$ и $5$.

Вторая группа — слагаемые с одинаковой буквенной частью $xy^2$: $xy^2$ и $-2,1xy^2$.
Коэффициент слагаемого $xy^2$ равен $1$ (так как $xy^2 = 1 \cdot xy^2$).
Коэффициент слагаемого $-2,1xy^2$ равен $-2,1$.

Ответ: Подобные слагаемые: $-0,3x^2y$ и $5x^2y$ (коэффициенты $-0,3$ и $5$); $xy^2$ и $-2,1xy^2$ (коэффициенты $1$ и $-2,1$).

в) В выражении $-5a^2 + 9a - 4 + a^2 + 7 - 18a$ есть три группы подобных слагаемых.

Первая группа — слагаемые с буквенной частью $a^2$: $-5a^2$ и $a^2$.
Их коэффициенты: $-5$ и $1$.

Вторая группа — слагаемые с буквенной частью $a$: $9a$ и $-18a$.
Их коэффициенты: $9$ и $-18$.

Третья группа — это слагаемые, не имеющие буквенной части (свободные члены): $-4$ и $7$.

Ответ: Подобные слагаемые: $-5a^2$ и $a^2$ (коэффициенты $-5$ и $1$); $9a$ и $-18a$ (коэффициенты $9$ и $-18$); $-4$ и $7$.

г) В выражении $2n^3m + 4,3nm^3 - 0,5n^2m^2 + 3,6nm^3$ есть только одна группа подобных слагаемых.

Слагаемые $2n^3m$ и $-0,5n^2m^2$ не имеют подобных, так как их буквенные части ($n^3m$ и $n^2m^2$) различны и не повторяются в выражении.

Подобными являются слагаемые с буквенной частью $nm^3$: $4,3nm^3$ и $3,6nm^3$.
Их коэффициенты: $4,3$ и $3,6$.

Ответ: Подобные слагаемые: $4,3nm^3$ и $3,6nm^3$ (коэффициенты $4,3$ и $3,6$).

43 Найди подобные слагаемые и назови их коэффициенты:

а) $4a - \frac{1}{7}b + 2,3b - \frac{3}{7}a;$

в) $-5a^2 + 9a - 4 + a^2 + 7 - 18a;$

б) $-0,3x^2y + xy^2 + 5x^2y - 2,1xy^2;$

г) $2n^3m + 4,3nm^3 - 0,5n^2m^2 + 3,6nm^3.$

44 Приведи подобные слагаемые (устно):

а) $-3y + 12 - y - 5;$

б) $2k - k^2 - 3k + 4;$

в) $0,6x - x + 1,6y + 0,4x.$

а) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $-3y + 12 - y - 5$, необходимо сгруппировать и сложить слагаемые с одинаковой буквенной частью (в данном случае с $y$) и отдельно сгруппировать и сложить числовые слагаемые (константы).

1. Группируем слагаемые с переменной $y$: $-3y$ и $-y$.

2. Группируем числовые слагаемые: $12$ и $-5$.

Выражение можно переписать так: $(-3y - y) + (12 - 5)$.

3. Выполняем сложение в каждой группе:

Для слагаемых с $y$: $-3y - y = (-3 - 1)y = -4y$.

Для числовых слагаемых: $12 - 5 = 7$.

4. Записываем итоговое упрощенное выражение:

$-4y + 7$

Ответ: $-4y + 7$.

б) В выражении $2k - k^2 - 3k + 4$ подобные слагаемые — это те, у которых одинаковая буквенная часть и одинаковая степень. В данном случае это слагаемые, содержащие $k$ в первой степени.

1. Находим подобные слагаемые: $2k$ и $-3k$.

2. Слагаемые $-k^2$ и $4$ не имеют подобных в этом выражении, поэтому они остаются без изменений.

3. Группируем и складываем подобные слагаемые:

$2k - 3k = (2 - 3)k = -1k = -k$.

4. Собираем все слагаемые вместе, обычно располагая их в порядке убывания степеней переменной:

$-k^2 - k + 4$

Ответ: $-k^2 - k + 4$.

в) Чтобы привести подобные слагаемые в выражении $0,6x - x + 1,6y + 0,4x$, нужно найти и сложить слагаемые с одинаковой буквенной частью.

1. Находим подобные слагаемые. В этом выражении есть две группы: слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$.

Слагаемые с $x$: $0,6x$, $-x$ и $0,4x$.

Слагаемое с $y$: $1,6y$ (оно одно, поэтому остается без изменений).

2. Группируем и складываем слагаемые с $x$:

$0,6x - x + 0,4x = (0,6 - 1 + 0,4)x$.

3. Вычисляем сумму коэффициентов:

$0,6 + 0,4 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, сумма слагаемых с $x$ равна $0 \cdot x = 0$.

4. Записываем итоговое выражение. Так как сумма слагаемых с $x$ равна нулю, в выражении остается только слагаемое с $y$:

$0 + 1,6y = 1,6y$

Ответ: $1,6y$.

44 Приведи подобные слагаемые (устно);

а) $-3y + 12 - y - 5;$

б) $2k - k^2 - 3k + 4;$

в) $0,6x - x + 1,6y + 0,4x.$

45 Приведите подобные слагаемые:

а) $-7c + 3d + 8c - 5d;$

б) $-9 + 2m - 4 - m + 8;$

в) $\frac{3}{5}k - \frac{2}{7}n - 3k - \frac{5}{7}n + 0,4k;$

г) $-1 + p^2 - 3p + 0,2 - 0,5p^2 + 0,8 + 2,4p.$

а) $-7c + 3d + 8c - 5d$

Для приведения подобных слагаемых необходимо сгруппировать члены с одинаковой буквенной частью и сложить их коэффициенты.

Сгруппируем слагаемые с переменной $c$ и с переменной $d$:

$(-7c + 8c) + (3d - 5d)$

Теперь сложим коэффициенты в каждой группе:

Для слагаемых с $c$: $(-7 + 8)c = 1c = c$

Для слагаемых с $d$: $(3 - 5)d = -2d$

Объединим полученные результаты:

$c - 2d$

Ответ: $c - 2d$.

б) $-9 + 2m - 4 - m + 8$

Сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $m$ и числовые члены (константы).

$(2m - m) + (-9 - 4 + 8)$

Сложим коэффициенты при $m$ и сложим константы:

Для слагаемых с $m$: $(2 - 1)m = 1m = m$

Для констант: $-9 - 4 + 8 = -13 + 8 = -5$

Объединим результаты:

$m - 5$

Ответ: $m - 5$.

в) $\frac{3}{5}k - \frac{2}{7}n - 3k - \frac{5}{7}n + 0,4k$

Сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $k$ и члены с переменной $n$.

$(\frac{3}{5}k - 3k + 0,4k) + (-\frac{2}{7}n - \frac{5}{7}n)$

Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь $0,4$ в обыкновенную: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Теперь посчитаем сумму коэффициентов для каждой группы:

Для слагаемых с $k$: $(\frac{3}{5} - 3 + \frac{2}{5})k = (\frac{3}{5} + \frac{2}{5} - 3)k = (\frac{5}{5} - 3)k = (1 - 3)k = -2k$

Для слагаемых с $n$: $(-\frac{2}{7} - \frac{5}{7})n = (-\frac{2+5}{7})n = (-\frac{7}{7})n = -1n = -n$

Объединим полученные результаты:

$-2k - n$

Ответ: $-2k - n$.

г) $-1 + p^2 - 3p + 0,2 - 0,5p^2 + 0,8 + 2,4p$

Сгруппируем подобные слагаемые: члены с $p^2$, члены с $p$ и константы.

$(p^2 - 0,5p^2) + (-3p + 2,4p) + (-1 + 0,2 + 0,8)$

Сложим коэффициенты в каждой группе:

Для слагаемых с $p^2$: $(1 - 0,5)p^2 = 0,5p^2$

Для слагаемых с $p$: $(-3 + 2,4)p = -0,6p$

Для констант: $-1 + 0,2 + 0,8 = -1 + 1 = 0$

Объединим результаты:

$0,5p^2 - 0,6p + 0 = 0,5p^2 - 0,6p$

Ответ: $0,5p^2 - 0,6p$.

45. Приведи подобные слагаемые:

а) $-7c + 3d + 8c - 5d;$

б) $-9 + 2m - 4 - m + 8;$

в) $\frac{3}{5}k - \frac{2}{7}n - 3k - \frac{5}{7}n + 0.4k;$

г) $-1 + p^2 - 3p + 0.2 - 0.5p^2 + 0.8 + 2.4p.$

46 Найди значение выражения:

а) $-\frac{2}{3}m + 4c + \frac{1}{2}m - 2,5c + \frac{1}{6}m$, если $c = -4$, $m = 5,6$;

б) $1,8x^2 + 0,6y^2 - 5,1y^2 + 3,2x^2 + 4,5y^2$, если $x = -0,8$, $y = 2,7$.

а) Сначала упростим выражение, сгруппировав слагаемые с одинаковыми переменными:

$-\frac{2}{3}m + 4c + \frac{1}{2}m - 2,5c + \frac{1}{6}m = (-\frac{2}{3}m + \frac{1}{2}m + \frac{1}{6}m) + (4c - 2,5c)$

Найдем сумму коэффициентов при переменной $m$, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$-\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{-4+3+1}{6} = \frac{0}{6} = 0$

Таким образом, все слагаемые с переменной $m$ в сумме дают 0.

Теперь вычислим разность коэффициентов при переменной $c$:

$4c - 2,5c = 1,5c$

Упрощенное выражение имеет вид $1,5c$.

Подставим в него значение $c = -4$:

$1,5 \cdot (-4) = -6$

Ответ: -6

б) Сначала упростим выражение, сгруппировав подобные слагаемые:

$1,8x^2 + 0,6y^2 - 5,1y^2 + 3,2x^2 + 4,5y^2 = (1,8x^2 + 3,2x^2) + (0,6y^2 - 5,1y^2 + 4,5y^2)$

Сложим коэффициенты при $x^2$:

$1,8 + 3,2 = 5$

Сложим коэффициенты при $y^2$:

$0,6 - 5,1 + 4,5 = -4,5 + 4,5 = 0$

Таким образом, все слагаемые с переменной $y^2$ в сумме дают 0.

Упрощенное выражение имеет вид $5x^2$.

Подставим в него значение $x = -0,8$:

$5 \cdot (-0,8)^2 = 5 \cdot (0,64) = 3,2$

Ответ: 3,2

46 Найди значения выражений:

а) $ - \frac{2}{3}m + 4c + \frac{1}{2}m - 2.5c + \frac{1}{6}m $, если $c = -4$, $m = 5.6$;

б) $1.8x^2 + 0.6y^2 - 5.1y^2 + 3.2x^2 + 4.5y^2$, если $x = -0.8$, $y = 2.7$.

47 Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:

а) $-(y - 16) + 4(2y - 3)$;

б) $5(a - 2b) + 3(-a + 3b)$;

в) $4(m + 5n) - 5(m - 3n)$;

г) $-b(1 + x) + b(1 - x)$;

д) $1,6(2p - k) - 0,8(4p - 5k)$;

е) $-0,2(5c + 3d) - 0,5(-4c + 0,8d).$

а) $-(y - 16) + 4(2y - 3)$
Сначала раскроем скобки. Перед первой скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные. Вторую скобку умножаем на 4, используя распределительный закон умножения.
$-(y - 16) + 4(2y - 3) = -y + 16 + 4 \cdot 2y - 4 \cdot 3 = -y + 16 + 8y - 12$
Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ и числовые слагаемые (свободные члены).
$(-y + 8y) + (16 - 12) = 7y + 4$
Ответ: $7y + 4$

б) $5(a - 2b) + 3(-a + 3b)$
Раскроем скобки, используя распределительный закон: умножим каждое слагаемое в первой скобке на 5, а во второй — на 3.
$5(a - 2b) + 3(-a + 3b) = 5 \cdot a + 5 \cdot (-2b) + 3 \cdot (-a) + 3 \cdot 3b = 5a - 10b - 3a + 9b$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с переменной $a$ и члены с переменной $b$.
$(5a - 3a) + (-10b + 9b) = 2a - b$
Ответ: $2a - b$

в) $4(m + 5n) - 5(m - 3n)$
Раскроем скобки. Первую скобку умножаем на 4, а вторую — на -5. Обратите внимание на знак минус перед вторым множителем.
$4(m + 5n) - 5(m - 3n) = 4 \cdot m + 4 \cdot 5n - 5 \cdot m - 5 \cdot (-3n) = 4m + 20n - 5m + 15n$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для переменных $m$ и $n$.
$(4m - 5m) + (20n + 15n) = -m + 35n$
Ответ: $35n - m$

г) $-b(1 + x) + b(1 - x)$
Раскроем скобки, умножая содержимое на множители $-b$ и $b$ соответственно.
$-b(1 + x) + b(1 - x) = -b \cdot 1 - b \cdot x + b \cdot 1 - b \cdot x = -b - bx + b - bx$
Приведем подобные слагаемые.
$(-b + b) + (-bx - bx) = 0 - 2bx = -2bx$
Ответ: $-2bx$

д) $1,6(2p - k) - 0,8(4p - 5k)$
Раскроем скобки, выполняя умножение десятичных дробей.
$1,6(2p - k) - 0,8(4p - 5k) = 1,6 \cdot 2p - 1,6 \cdot k - 0,8 \cdot 4p - 0,8 \cdot (-5k) = 3,2p - 1,6k - 3,2p + 4k$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $p$ и слагаемые с переменной $k$.
$(3,2p - 3,2p) + (-1,6k + 4k) = 0 + 2,4k = 2,4k$
Ответ: $2,4k$

е) $-0,2(5c + 3d) - 0,5(-4c + 0,8d)$
Раскроем скобки, умножая на множители перед ними. Будьте внимательны со знаками и десятичными дробями.
$-0,2(5c + 3d) - 0,5(-4c + 0,8d) = -0,2 \cdot 5c - 0,2 \cdot 3d - 0,5 \cdot (-4c) - 0,5 \cdot 0,8d = -c - 0,6d + 2c - 0,4d$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: слагаемые с переменной $c$ и слагаемые с переменной $d$.
$(-c + 2c) + (-0,6d - 0,4d) = c - 1d = c - d$
Ответ: $c - d$

47 Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:

а) $-(y - 16) + 4(2y - 3)$;

б) $5(a - 2b) + 3(-a + 3b)$;

в) $4(m + 5n) - 5(m - 3n)$;

г) $-b(1 + x) + b(1 - x)$;

д) $1.6(2p - k) - 0.8(4p - 5k)$;

е) $-0.2(5c + 3d) - 0.5(-4c + 0.8d)$.