Страница 7, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

5 Используя закон исключённого третьего, докажи, что отрицания построены неверно.

Закон исключённого третьего гласит, что для любого высказывания А истинно либо само высказывание А, либо его отрицание не А ($A \lor \neg A$), и третьего не дано. Это означает, что высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными. Если мы можем показать, что для пары утверждений существует ситуация, в которой они оба ложны или оба истинны, то второе утверждение не является отрицанием первого.

1. Высказывание: Все кошки серые.
Отрицание: Все кошки несерые.

Допустим, в мире существуют кошки разных цветов: есть серые, а есть и чёрные.В этом случае высказывание "Все кошки серые" будет ложным, так как существуют чёрные кошки.Одновременно высказывание "Все кошки несерые" также будет ложным, так как существуют серые кошки.Поскольку оба высказывания могут быть одновременно ложными, они не являются отрицаниями друг друга, что нарушает закон исключённого третьего. Правильным отрицанием было бы: "Существует хотя бы одна кошка не серого цвета" или "Некоторые кошки не серые".

Ответ: Отрицание построено неверно, так как исходное высказывание и его "отрицание" могут быть одновременно ложными.

2. Высказывание: Некоторые ягоды сладкие.
Отрицание: Некоторые ягоды несладкие.

Рассмотрим ситуацию, когда у нас есть и сладкая клубника, и кислая клюква.В этом случае высказывание "Некоторые ягоды сладкие" будет истинным (из-за клубники).Высказывание "Некоторые ягоды несладкие" также будет истинным (из-за клюквы).Поскольку оба высказывания могут быть одновременно истинными, они не являются отрицаниями друг друга. Если высказывание истинно, его отрицание должно быть ложным. Правильным отрицанием для исходного высказывания будет: "Все ягоды несладкие" или "Нет ни одной сладкой ягоды".

Ответ: Отрицание построено неверно, так как исходное высказывание и его "отрицание" могут быть одновременно истинными.

3. Высказывание: Есть месяцы, в которых 30 дней.
Отрицание: Есть месяцы, в которых не 30 дней.

Данный случай аналогичен предыдущему.Высказывание "Есть месяцы, в которых 30 дней" истинно (например, апрель, июнь).Высказывание "Есть месяцы, в которых не 30 дней" также истинно (например, январь - 31 день, февраль - 28 или 29 дней).Так как оба высказывания одновременно истинны, второе не является отрицанием первого. Правильное отрицание: "Ни в одном месяце нет 30 дней" или "Во всех месяцах количество дней не равно 30".

Ответ: Отрицание построено неверно, так как исходное высказывание и его "отрицание" могут быть одновременно истинными.

4. Высказывание: Каждый день утром идёт дождь.
Отрицание: Утром никогда не идёт дождь.

Этот случай аналогичен первому. Представим, что на этой неделе дождь шёл в понедельник утром, а во вторник утром было солнечно.Высказывание "Каждый день утром идёт дождь" будет ложным, так как во вторник дождя не было.Высказывание "Утром никогда не идёт дождь" тоже будет ложным, так как в понедельник дождь был.Поскольку оба высказывания могут быть одновременно ложными, они не являются отрицаниями друг друга в соответствии с законом исключённого третьего. Правильное отрицание: "Существует хотя бы один день, когда утром не идёт дождь" или "Не каждый день утром идёт дождь".

Ответ: Отрицание построено неверно, так как исходное высказывание и его "отрицание" могут быть одновременно ложными.

5 Используя закон исключенного третьего, докажи, что отрицания построены неверно.

6 Проверь по диаграмме Эйлера – Венна истинность высказываний. Для ложных высказываний построй отрицания и запиши их на математическом языке:

а) $8,2 \in A$;

б) $8,2 \in B$;

в) $3 \notin C$;

г) $3 \notin B$;

д) $A \not\subset B$;

е) $C \subset B$;

ж) $A \cap B = \emptyset$;

з) $A \cup B = B$.

а) Высказывание $8,2 \in A$ (число 8,2 принадлежит множеству A) является ложным. На диаграмме Эйлера – Венна видно, что точка, соответствующая числу 8,2, находится вне множества A.
Отрицанием данного высказывания будет: "число 8,2 не принадлежит множеству A".
На математическом языке это записывается как $8,2 \notin A$.
Ответ: ложь, отрицание: $8,2 \notin A$.

б) Высказывание $8,2 \in B$ (число 8,2 принадлежит множеству B) является истинным. На диаграмме видно, что точка, соответствующая числу 8,2, находится внутри области, обозначающей множество B.
Ответ: истина.

в) Высказывание $3 \notin C$ (число 3 не принадлежит множеству C) является истинным. На диаграмме точка, соответствующая числу 3, находится внутри множества A, которое не имеет пересечения с множеством C. Следовательно, 3 не является элементом C.
Ответ: истина.

г) Высказывание $3 \notin B$ (число 3 не принадлежит множеству B) является ложным. На диаграмме точка, соответствующая числу 3, находится в множестве A, а множество A полностью содержится в множестве B ($A \subset B$). Это означает, что все элементы множества A, включая число 3, также являются элементами множества B.
Отрицанием данного высказывания будет: "число 3 принадлежит множеству B".
На математическом языке это записывается как $3 \in B$.
Ответ: ложь, отрицание: $3 \in B$.

д) Высказывание $A \not\subset B$ (множество A не является подмножеством множества B) является ложным. На диаграмме область, представляющая множество A, полностью находится внутри области множества B. Это по определению означает, что A является подмножеством B.
Отрицанием данного высказывания будет: "множество A является подмножеством множества B".
На математическом языке это записывается как $A \subset B$.
Ответ: ложь, отрицание: $A \subset B$.

е) Высказывание $C \subset B$ (множество C является подмножеством множества B) является ложным. Для того чтобы C было подмножеством B, вся область C должна была бы находиться внутри области B. На диаграмме видно, что множества B и C только пересекаются, но C не содержится в B полностью, так как есть часть множества C, находящаяся вне B.
Отрицанием данного высказывания будет: "множество C не является подмножеством множества B".
На математическом языке это записывается как $C \not\subset B$.
Ответ: ложь, отрицание: $C \not\subset B$.

ж) Высказывание $A \cap B = \emptyset$ (пересечение множеств A и B является пустым множеством) является ложным. Пересечение множеств – это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам. Так как множество A полностью содержится в B, их пересечением является само множество A ($A \cap B = A$). Множество A не пусто, оно содержит элемент 3.
Отрицанием данного высказывания будет: "пересечение множеств A и B не является пустым множеством".
На математическом языке это записывается как $A \cap B \neq \emptyset$.
Ответ: ложь, отрицание: $A \cap B \neq \emptyset$.

з) Высказывание $A \cup B = B$ (объединение множеств A и B равно множеству B) является истинным. Объединение двух множеств включает в себя все элементы из обоих множеств. Поскольку множество A является подмножеством B ($A \subset B$), все элементы A уже содержатся в B. Поэтому при их объединении не добавляется никаких новых элементов, и результат совпадает с множеством B.
Ответ: истина.

6 Проверь по диаграмме Эйлера–Венна истинность высказываний. Для ложных высказываний построй отрицания и запиши их на математическом языке:

a) $8,2 \in A$;

б) $8,2 \in B$;

в) $3 \notin C$;

г) $3 \notin B$;

д) $A \not\subset B$;

е) $C \subset B$;

ж) $A \cap B = \emptyset$;

з) $A \cup B = B$.

7 Запиши следующие два члена ряда так, чтобы сохранялась закономерность.

a) 2; 5; 11; 23; 47 ...

б) $ \frac{1}{2} $; $ \frac{2}{9} $; $ \frac{4}{16} $; $ \frac{8}{23} $ ...

в) 8,01; 8,002; 8,0003 ...

г) $1 \frac{2}{3}$; $12 \frac{3}{4}$; $123 \frac{4}{5}$ ...

а) 2; 5; 11; 23; 47 ...

Чтобы найти закономерность в данном ряду, рассмотрим, как каждый следующий член получается из предыдущего. Можно заметить, что каждый следующий член ряда равен предыдущему, умноженному на 2, и к результату прибавляется 1. Запишем это в виде формулы: $a_{n+1} = 2a_n + 1$.

Проверим эту закономерность на известных членах ряда:

• $2 \cdot 2 + 1 = 5$
• $2 \cdot 5 + 1 = 11$
• $2 \cdot 11 + 1 = 23$
• $2 \cdot 23 + 1 = 47$

Закономерность подтверждается. Теперь найдем следующие два члена ряда:

Пятый член: $2 \cdot 47 + 1 = 94 + 1 = 95$.

Шестой член: $2 \cdot 95 + 1 = 190 + 1 = 191$.

Ответ: 95; 191.

б) $\frac{1}{2}; \frac{2}{9}; \frac{4}{16}; \frac{8}{23}$ ...

Проанализируем последовательности числителей и знаменателей дробей по отдельности.

Последовательность числителей: 1, 2, 4, 8, ... Это геометрическая прогрессия, каждый следующий член которой в 2 раза больше предыдущего. Следующие два числителя будут: $8 \cdot 2 = 16$ и $16 \cdot 2 = 32$.

Последовательность знаменателей: 2, 9, 16, 23, ... Это арифметическая прогрессия. Найдем разность между соседними членами: $9 - 2 = 7$; $16 - 9 = 7$; $23 - 16 = 7$. Каждый следующий знаменатель на 7 больше предыдущего. Следующие два знаменателя будут: $23 + 7 = 30$ и $30 + 7 = 37$.

Таким образом, следующие два члена ряда — это дроби, составленные из найденных числителей и знаменателей.

Ответ: $\frac{16}{30}; \frac{32}{37}$.

в) 8,01; 8,002; 8,0003 ...

Рассмотрим закономерность в этом ряду чисел. Целая часть у всех членов ряда одинакова и равна 8.

Рассмотрим дробные части:

• У первого члена (8,01) после запятой стоит один ноль и цифра 1.
• У второго члена (8,002) после запятой стоят два ноля и цифра 2.
• У третьего члена (8,0003) после запятой стоят три ноля и цифра 3.

Можно сделать вывод, что у n-го члена ряда после запятой будет n нулей и цифра n.

Следовательно, четвертый член ряда будет иметь 4 нуля после запятой и цифру 4: 8,00004.

Пятый член ряда будет иметь 5 нулей после запятой и цифру 5: 8,000005.

Ответ: 8,00004; 8,000005.

г) $1\frac{2}{3}; 12\frac{3}{4}; 123\frac{4}{5}$ ...

Рассмотрим отдельно целые и дробные части смешанных чисел.

Последовательность целых частей: 1, 12, 123, ... Каждое следующее число образуется дописыванием в конец предыдущего числа следующей по порядку цифры (1, 12, 123, ...). Следующими двумя целыми частями будут 1234 и 12345.

Последовательность дробных частей: $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}$, ... В этих дробях числитель и знаменатель последовательно увеличиваются на 1. Следующими двумя дробями будут $\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{7}$.

Совместив целые и дробные части, получим следующие два члена ряда.

Ответ: $1234\frac{5}{6}; 12345\frac{6}{7}$.

7 Запиши следующие два члена ряда так, чтобы сохранялась закономерность:

а) 2; 5; 11; 23; 47 ...

б) $ \frac{1}{2} $; $ \frac{2}{9} $; $ \frac{4}{16} $; $ \frac{8}{23} $ ...

в) 8,01; 8,002; 8,0003 ...

г) $ 1\frac{2}{3} $; $ 12\frac{3}{4} $; $ 123\frac{4}{5} $ ...

8 Назови элементы множества A = ${ \left\{ \frac{5}{16}; 0; \frac{3}{1000}; 4,8; 25\ 004; 5\frac{7}{9}; 1; 0,0095 \right\} }$.

1) Какие из чисел, принадлежащих этому множеству, являются:
а) натуральными числами;
б) дробями?

2) Какие из дробей записаны в виде:
а) обыкновенной дроби;
б) смешанной дроби;
в) десятичной дроби?

Рассмотрим элементы множества $A = \{ \frac{5}{16}; 0; \frac{3}{1000}; 4,8; 25\;004; 5\frac{7}{9}; 1; 0,0095 \}$.

1) а) Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов. Это целые положительные числа. Из данного множества к натуральным числам относятся 25 004 и 1.
Ответ: 25 004; 1.

1) б) Дробями (или дробными числами) являются все числа, которые не являются целыми. Из данного множества к дробям относятся: $\frac{5}{16}$, $\frac{3}{1000}$, $4,8$, $5\frac{7}{9}$ и $0,0095$.
Ответ: $\frac{5}{16}$; $\frac{3}{1000}$; $4,8$; $5\frac{7}{9}$; $0,0095$.

2) а) Обыкновенная дробь — это число, записанное в виде $\frac{m}{n}$, где $m$ — числитель, а $n$ — знаменатель. Из найденных дробей в таком виде записаны $\frac{5}{16}$ и $\frac{3}{1000}$.
Ответ: $\frac{5}{16}$; $\frac{3}{1000}$.

2) б) Смешанная дробь (или смешанное число) — это число, состоящее из целой и дробной части. В данном множестве такое число одно: $5\frac{7}{9}$.
Ответ: $5\frac{7}{9}$.

2) в) Десятичная дробь — это дробь, записанная с помощью запятой, которая отделяет целую часть от дробной. В данном множестве в виде десятичной дроби записаны числа $4,8$ и $0,0095$.
Ответ: $4,8$; $0,0095$.

8 Назови элементы множества A = {$\frac{5}{16}$; 0; $\frac{3}{1000}$; 4,8; 25 004; $5\frac{7}{9}$; 1; 0,0095}.

1) Какие из чисел, принадлежащих этому множеству, являются: а) натуральными числами; б) дробями?

2) Какие из дробей записаны в виде: а) обыкновенной дроби; б) смешанного числа; в) десятичной дроби?

9 Запиши в порядке возрастания элементов множество натуральных чисел, составленных из двух пятёрок и пяти нулей. Прочитай эти числа.

Для составления множества натуральных чисел из двух пятерок и пяти нулей, необходимо определить все возможные комбинации этих цифр, которые образуют натуральные числа, а затем расположить их в порядке возрастания.

Каждое число будет состоять из $2 + 5 = 7$ цифр. Поскольку числа должны быть натуральными, они не могут начинаться с нуля. Это означает, что первая цифра каждого числа обязательно должна быть 5.

Итак, первое место в числе занято цифрой 5. Вторую цифру 5 мы можем поставить на любую из шести оставшихся позиций. Остальные пять позиций будут заняты нулями. Чтобы получить числа в порядке возрастания, нужно размещать вторую пятерку, начиная с самого младшего разряда (справа) и двигаясь к старшим (влево).

Получим следующие числа:

1. 5 000 005 — читается как «пять миллионов пять».
2. 5 000 050 — читается как «пять миллионов пятьдесят».
3. 5 000 500 — читается как «пять миллионов пятьсот».
4. 5 005 000 — читается как «пять миллионов пять тысяч».
5. 5 050 000 — читается как «пять миллионов пятьдесят тысяч».
6. 5 500 000 — читается как «пять миллионов пятьсот тысяч».

Это все возможные натуральные числа, составленные из данных цифр, в порядке возрастания.

Ответ: 5 000 005, 5 000 050, 5 000 500, 5 005 000, 5 050 000, 5 500 000.

9 Запиши в порядке возрастания элементов множество натуральных чисел, составленных из двух пятерок и пяти нулей. Прочитай эти числа.

10 Запиши на математическом языке числа:

а) $6702058$;

б) $7\frac{4}{5}$;

в) $3\frac{12}{100000}$.

а) Чтобы записать число "шесть миллионов семьсот две тысячи пятьдесят восемь" в математическом виде, разобьем его по классам. Класс миллионов — это 6. Класс тысяч — "семьсот две тысячи" — это 702. Класс единиц — "пятьдесят восемь" — это 058. Соединив эти части, получаем число 6 702 058.

Ответ: 6 702 058

б) Выражение "семь целых четыре пятых" представляет собой смешанное число. "Семь целых" — это целая часть числа, равная 7. "Четыре пятых" — это дробная часть, которая записывается как обыкновенная дробь, где 4 — числитель, а 5 — знаменатель.

Ответ: $7\frac{4}{5}$

в) Выражение "три целых двенадцать стотысячных" представляет собой число, которое удобно записать в виде десятичной дроби. "Три целых" — это целая часть, равная 3. Дробная часть "двенадцать стотысячных" означает, что число 12 является числителем, а 100 000 — знаменателем ($ \frac{12}{100000} $). В десятичной записи это означает, что после запятой должно быть пять цифр (по количеству нулей в числе 100 000). Таким образом, число 12 нужно дополнить нулями спереди до пяти знаков: 0,00012. Соединив целую и дробную части, получаем 3,00012.

Ответ: 3,00012

10 Запиши на математическом языке числа:

а) шесть миллионов семьсот две тысячи пятьдесят восемь;

б) семь целых четыре пятых;

в) три целых двенадцать стотысячных.

11 Вычисли устно:

a) $1,2 + 0,3;$

$2,6 + 4;$

$0,9 + 0,6;$

$3,2 + 0,08;$

б) $5,4 - 4;$

$2 - 0,07;$

$8,3 - 0,5;$

$20,4 - 1,02;$

в) $0,9 \cdot 3;$

$100 \cdot 0,6;$

$0,1 \cdot 0,87;$

$5,4 \cdot 0,2;$

г) $4,8 : 8;$

$7,2 : 0,01;$

$6,3 : 0,9;$

$0,24 : 0,8.$

а)

$1,2 + 0,3$. Складываем десятые доли: $0,2 + 0,3 = 0,5$. Складываем целые части: $1+0=1$. Итоговый результат: $1,5$.
Ответ: $1,5$

$2,6 + 4$. Складываем целые части 2 и 4, получаем 6. Дробная часть 0,6 остается без изменений. Итого: $6,6$.
Ответ: $6,6$

$0,9 + 0,6$. Сумма 9 и 6 равна 15. Так как мы складывали десятые доли, получаем 15 десятых, что равно $1,5$.
Ответ: $1,5$

$3,2 + 0,08$. Чтобы сложить числа с разным количеством знаков после запятой, представляем $3,2$ в виде $3,20$. Тогда $3,20 + 0,08 = 3,28$.
Ответ: $3,28$

б)

$5,4 - 4$. Вычитаем целые части: $5 - 4 = 1$. Дробная часть 0,4 остается без изменений. Итого: $1,4$.
Ответ: $1,4$

$2 - 0,07$. Представляем целое число 2 как десятичную дробь $2,00$. Выполняем вычитание: $2,00 - 0,07 = 1,93$.
Ответ: $1,93$

$8,3 - 0,5$. Удобнее вычитать по частям: сначала вычитаем $0,3$ из $8,3$, получаем $8$. Затем вычитаем оставшиеся $0,2$ из $8$, получаем $7,8$.
Ответ: $7,8$

$20,4 - 1,02$. Представляем $20,4$ как $20,40$. Выполняем вычитание: $20,40 - 1,02 = 19,38$.
Ответ: $19,38$

в)

$0,9 \cdot 3$. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую: $9 \cdot 3 = 27$. В множителе $0,9$ один знак после запятой, поэтому в произведении также отделяем один знак справа: $2,7$.
Ответ: $2,7$

$100 \cdot 0,6$. При умножении десятичной дроби на 100 запятая сдвигается на два знака вправо: $0,6 \rightarrow 6, \rightarrow 60$.
Ответ: $60$

$0,1 \cdot 0,87$. При умножении на $0,1$ запятая сдвигается на один знак влево: $0,87 \rightarrow 0,087$.
Ответ: $0,087$

$5,4 \cdot 0,2$. Умножаем $54$ на $2$, получаем $108$. В множителях $5,4$ (один знак) и $0,2$ (один знак) суммарно два знака после запятой, поэтому в ответе отделяем два знака справа: $1,08$.
Ответ: $1,08$

г)

$4,8 : 8$. Делим $48$ на $8$, получаем $6$. Так как делимое $4,8$ имеет один знак после запятой, а его целая часть (4) меньше делителя (8), то целая часть частного будет 0. Итого: $0,6$.
Ответ: $0,6$

$7,2 : 0,01$. Деление на $0,01$ равносильно умножению на $100$. Сдвигаем запятую в числе $7,2$ на два знака вправо, получая $720$.
Ответ: $720$

$6,3 : 0,9$. Чтобы поделить на десятичную дробь, можно умножить и делимое, и делитель на такое число, чтобы делитель стал целым. Умножаем на 10: $(6,3 \cdot 10) : (0,9 \cdot 10) = 63 : 9 = 7$.
Ответ: $7$

$0,24 : 0,8$. Умножаем делимое и делитель на 10, чтобы делитель стал целым: $(0,24 \cdot 10) : (0,8 \cdot 10) = 2,4 : 8$. Делим $2,4$ на $8$, получаем $0,3$.
Ответ: $0,3$

11 Вычисли устно:

а) $1,2 + 0,3;$

$2,6 + 4;$

$0,9 + 0,6;$

$3,2 + 0,08;$

б) $5,4 - 4;$

$2 - 0,07;$

$8,3 - 0,5;$

$20,4 - 1,02;$

в) $0,9 \cdot 3;$

$100 \cdot 0,6;$

$0,1 \cdot 0,87;$

$5,4 \cdot 0,2;$

г) $4,8 : 8;$

$7,2 : 0,01;$

$6,3 : 0,9;$

$0,24 : 0,8.$

12 Вычисли:

a) $30.75 + 5.6136$;

$5.52 + 994.48$;

б) $21.6 - 13.823$;

$406.01 - 75.997$;

в) $7.05 \cdot 0.0308$;

$507.8 \cdot 3.005$;

г) $156672 : 384$;

$7458 : 678$.

а)

Выполним сложение десятичных дробей. Для этого запишем числа столбиком так, чтобы запятая находилась под запятой, и при необходимости уравняем количество знаков после запятой, добавив нули.

$30,75 + 5,6136$
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 30,7500 \\ & + & \phantom{0}5,6136 \\ \hline & & 36,3636 \end{array} $

$5,52 + 994,48$
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & \phantom{00}5,52 \\ & + & 994,48 \\ \hline & & 1000,00 \end{array} $

Ответ: $36,3636$; $1000$.

б)

Выполним вычитание десятичных дробей. Так же, как и при сложении, запишем числа столбиком, запятая под запятой, и уравняем количество знаков после запятой.

$21,6 - 13,823$
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 21,600 \\ & - & 13,823 \\ \hline & & \phantom{0}7,777 \end{array} $

$406,01 - 75,997$
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 406,010 \\ & - & \phantom{0}75,997 \\ \hline & & 330,013 \end{array} $

Ответ: $7,777$; $330,013$.

в)

Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно сначала перемножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

$7,05 \cdot 0,0308$
Умножаем $705$ на $308$, получаем $217140$. В первом множителе ($7,05$) 2 знака после запятой, во втором ($0,0308$) — 4 знака. Всего $2 + 4 = 6$ знаков. Отделяем 6 знаков справа: $0,217140$ или $0,21714$.

$507,8 \cdot 3,005$
Умножаем $5078$ на $3005$, получаем $15259390$. В первом множителе ($507,8$) 1 знак после запятой, во втором ($3,005$) — 3 знака. Всего $1 + 3 = 4$ знака. Отделяем 4 знака справа: $1525,9390$ или $1525,939$.

Ответ: $0,21714$; $1525,939$.

г)

Выполним деление столбиком (в столбик).

$156672 : 384$
1. Делим $1566$ на $384$. Берём по $4$. $384 \cdot 4 = 1536$. Остаток: $1566 - 1536 = 30$.
2. Сносим $7$. Получаем $307$. Так как $307 < 384$, в частное пишем $0$.
3. Сносим $2$. Получаем $3072$. Делим $3072$ на $384$. Берём по $8$. $384 \cdot 8 = 3072$. Остаток: $3072 - 3072 = 0$.
Получаем частное $408$.

$7458 : 678$
1. Делим $745$ на $678$. Берём по $1$. $678 \cdot 1 = 678$. Остаток: $745 - 678 = 67$.
2. Сносим $8$. Получаем $678$. Делим $678$ на $678$. Берём по $1$. $678 \cdot 1 = 678$. Остаток: $678 - 678 = 0$.
Получаем частное $11$.

Ответ: $408$; $11$.

12 Вычисли:

а) $30,75 + 5,6136$;
$5,52 + 994,48$;

б) $21,6 - 13,823$;
$406,01 - 75,997$;

в) $7,05 \cdot 0,0308$;
$507,8 \cdot 3,005$;

г) $15,6672 : 3,84$;
$0,03729 : 6,78$.

9 1) Для определения процента всхожести семян посадили 300 семян. Из них проросло 273. Сколько процентов посаженных семян проросло?

2) Отношение каких величин характеризует всхожесть семян?

1) Для определения процента всхожести семян необходимо найти отношение количества проросших семян к общему количеству посаженных семян и выразить это отношение в процентах, умножив на 100.
Общее количество посаженных семян: 300.
Количество проросших семян: 273.
Процент всхожести вычисляется по формуле:
$ \frac{\text{Количество проросших семян}}{\text{Общее количество посаженных семян}} \times 100\% $
Подставим наши значения в формулу:
$ \frac{273}{300} \times 100\% = 0.91 \times 100\% = 91\% $
Ответ: 91%.

2) Всхожесть семян характеризует отношение количества проросших (взошедших) семян к общему количеству посаженных (посеянных) семян. Этот показатель является важной агрономической характеристикой и обычно выражается в процентах.
Ответ: отношение количества проросших семян к общему количеству посаженных семян.

9 1) Для определения процента всхожести семян посадили 300 семян. Из них проросло 273. Сколько процентов посаженных семян проросло?

2) Отношение каких величин характеризует всхожесть семян?

10 1) Отношение каких величин характеризует концентрацию раствора?

2) В 5,6 л воды растворили 140 г соли. Чему равна концентрация соли в полученном растворе? (Масса 1 л воды равна 1 кг.)

3) Смешали три раствора соли одинаковой массы. Концентрация первого раствора равна 18 %, концентрация второго – 7 %. Чему равна концентрация третьего раствора, если концентрация полученной смеси составляет 10 %?

1) Концентрация раствора (в данном контексте — массовая доля) характеризуется отношением массы растворенного вещества к общей массе раствора. Эту величину обычно выражают в процентах.
Формула для расчета концентрации $C$:
$C = \frac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{раствора}}} \times 100\%$
где $m_{\text{вещества}}$ — масса растворенного вещества, а $m_{\text{раствора}}$ — общая масса раствора (сумма масс растворенного вещества и растворителя).
Ответ: Отношение массы растворенного вещества к массе всего раствора.

2) Для нахождения концентрации соли в растворе необходимо найти отношение массы соли к общей массе раствора и выразить его в процентах.
1. Найдем массу воды (растворителя). По условию, масса 1 л воды равна 1 кг.
$m_{\text{воды}} = 5,6 \text{ л} \times 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}} = 5,6 \text{ кг} = 5600 \text{ г}$.
2. Масса соли (растворенного вещества) дана по условию:
$m_{\text{соли}} = 140 \text{ г}$.
3. Найдем общую массу полученного раствора, сложив массу воды и массу соли:
$m_{\text{раствора}} = m_{\text{воды}} + m_{\text{соли}} = 5600 \text{ г} + 140 \text{ г} = 5740 \text{ г}$.
4. Рассчитаем концентрацию соли (C):
$C = \frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{раствора}}} \times 100\% = \frac{140 \text{ г}}{5740 \text{ г}} \times 100\% = \frac{14}{574} \times 100\% = \frac{1}{41} \times 100\% = \frac{100}{41}\%$.
Выделим целую часть: $\frac{100}{41}\% = 2 \frac{18}{41}\%$.
Ответ: $2 \frac{18}{41}\%$.

3) По условию, массы трех смешиваемых растворов одинаковы. В этом случае концентрация полученной смеси является средним арифметическим концентраций исходных растворов.
Обозначим концентрации первого, второго и третьего растворов как $C_1$, $C_2$ и $C_3$, а концентрацию смеси — $C_{\text{смеси}}$.
$C_{\text{смеси}} = \frac{C_1 + C_2 + C_3}{3}$.
Известно, что $C_1 = 18\%$, $C_2 = 7\%$, $C_{\text{смеси}} = 10\%$. Подставим эти значения в формулу:
$10\% = \frac{18\% + 7\% + C_3}{3}$.
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы найти сумму концентраций:
$3 \times 10\% = 18\% + 7\% + C_3$.
$30\% = 25\% + C_3$.
Теперь найдем неизвестную концентрацию $C_3$:
$C_3 = 30\% - 25\% = 5\%$.
Ответ: 5%.

10 1) Отношение каких величин характеризует концентрацию раствора?

2) В 5,6 л воды растворили 140 г соли. Чему равна концентрация соли в полученном растворе? (Масса 1 л воды равна 1 кг.)

3) Смешали три раствора соли одинаковой массы. Концентрация первого раствора равна 18%, концентрация второго – 7%. Чему равна концентрация третьего раствора, если концентрация полученной смеси составляет 10%?

11 Найди отношение величин и назови, значение какой новой величины при этом образуется:

а) 4 мк к 2 мин; $ \frac{4 \text{ мк}}{2 \text{ мин}} $

б) 25 км к 4 ч; $ \frac{25 \text{ км}}{4 \text{ ч}} $

в) 280 р. к 7 м; $ \frac{280 \text{ р.}}{7 \text{ м}} $

г) 120 р. к 5 кг; $ \frac{120 \text{ р.}}{5 \text{ кг}} $

д) 6 деталей к 3 мин; $ \frac{6 \text{ деталей}}{3 \text{ мин}} $

е) 50 страниц к 2 ч. $ \frac{50 \text{ страниц}}{2 \text{ ч}} $

а) Отношение 4 метров к 2 минутам находится делением расстояния на время. В результате образуется новая величина — скорость.
$ \frac{4 \text{ м}}{2 \text{ мин}} = 2 \text{ м/мин} $
Ответ: 2 м/мин, скорость.

б) Отношение 25 километров к 4 часам находится делением расстояния на время. В результате образуется новая величина — скорость.
$ \frac{25 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 6,25 \text{ км/ч} $
Ответ: 6,25 км/ч, скорость.

в) Отношение 280 рублей к 7 метрам находится делением общей стоимости на длину. В результате образуется новая величина — цена за единицу длины.
$ \frac{280 \text{ р.}}{7 \text{ м}} = 40 \text{ р./м} $
Ответ: 40 р./м, цена.

г) Отношение 120 рублей к 5 килограммам находится делением общей стоимости на массу. В результате образуется новая величина — цена за единицу массы.
$ \frac{120 \text{ р.}}{5 \text{ кг}} = 24 \text{ р./кг} $
Ответ: 24 р./кг, цена.

д) Отношение 6 деталей к 3 минутам находится делением количества выполненной работы на затраченное время. В результате образуется новая величина — производительность.
$ \frac{6 \text{ деталей}}{3 \text{ мин}} = 2 \text{ детали/мин} $
Ответ: 2 детали/мин, производительность.

е) Отношение 50 страниц к 2 часам находится делением объема выполненной работы на затраченное время. В результате образуется новая величина — производительность (или скорость работы, например, скорость чтения).
$ \frac{50 \text{ страниц}}{2 \text{ ч}} = 25 \text{ страниц/ч} $
Ответ: 25 страниц/ч, производительность.

11 Найди отношение величин и назови, значение какой новой величины при этом образуется:

а) 4 м к 2 мин;

б) 25 км к 4 ч;

в) 280 р. к 7 м;

г) 120 р. к 5 кг;

д) 6 деталей к 3 мин;

е) 50 страниц к 2 ч.

12 Начерти отрезок AB и отметить на нём точку C так, чтобы выполнялось условие:

1) $\frac{AC}{BC} = 1;$

2) $\frac{AC}{BC} > 1;$

3) $\frac{AC}{BC} < 1;$

4) $\frac{AC}{BC} = 2.$

Для решения задачи начертим произвольный отрезок AB и будем располагать на нём точку C в соответствии с каждым из четырёх условий.

1) $\frac{AC}{BC} = 1$

Данное равенство означает, что отношение длин отрезков AC и BC равно единице. Это возможно только в том случае, если их длины равны: $AC = BC$. Точка C, которая делит отрезок AB на два равных отрезка, является его серединой.
Таким образом, чтобы выполнить это условие, нужно отметить точку C ровно посередине отрезка AB.

Ответ: Точка C должна быть серединой отрезка AB.

2) $\frac{AC}{BC} > 1$

Это неравенство означает, что числитель дроби больше знаменателя, то есть длина отрезка AC больше длины отрезка BC: $AC > BC$. Поскольку точка C находится на отрезке AB, то сумма длин отрезков $AC + BC = AB$. Если отрезок AC длиннее отрезка BC, значит, точка C расположена ближе к концу B, чем к концу A.
Любая точка C, расположенная между серединой отрезка AB и точкой B (не включая середину), будет удовлетворять этому условию.

Ответ: Точка C должна быть расположена на отрезке AB между его серединой и точкой B.

3) $\frac{AC}{BC} < 1$

Это неравенство означает, что числитель дроби меньше знаменателя, то есть длина отрезка AC меньше длины отрезка BC: $AC < BC$. Так как $AC + BC = AB$, то если отрезок AC короче отрезка BC, точка C расположена ближе к концу A, чем к концу B.
Любая точка C, расположенная между точкой A и серединой отрезка AB (не включая середину), будет удовлетворять этому условию.

Ответ: Точка C должна быть расположена на отрезке AB между точкой A и его серединой.

4) $\frac{AC}{BC} = 2$

Из этого равенства следует, что длина отрезка AC в два раза больше длины отрезка BC: $AC = 2 \cdot BC$. Точка C лежит на отрезке AB, поэтому выполняется равенство $AC + BC = AB$. Подставим в это равенство выражение для AC из условия:
$(2 \cdot BC) + BC = AB$
$3 \cdot BC = AB$
Отсюда находим, что $BC = \frac{1}{3} AB$.
Тогда длина отрезка AC будет $AC = 2 \cdot BC = 2 \cdot (\frac{1}{3} AB) = \frac{2}{3} AB$.
Таким образом, точка C должна делить отрезок AB в отношении $2:1$, считая от точки A. Чтобы найти такое положение, нужно разделить отрезок AB на три равные части. Точка C будет той точкой деления, которая находится дальше от A и ближе к B.

Ответ: Точка C должна делить отрезок AB в отношении $2:1$, считая от точки A. То есть она должна быть расположена на расстоянии $\frac{2}{3}$ длины отрезка AB от точки A.

12 Начерти отрезок AB и отметь на нем точку C так, чтобы выполнялось условие:

1) $\frac{AC}{BC} = 1$;

2) $\frac{AC}{BC} > 1$;

3) $\frac{AC}{BC} < 1$;

4) $\frac{AC}{BC} = 2$.

13 1) Начерти два отрезка, длины которых относятся как 2 к 3.

2) Начерти прямоугольник, отношение длин сторон которого равно $5 : 3$.

3) Начерти прямоугольный треугольник, длины катетов которого относятся как 3 к 4. Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы.

4) Начерти угол, равный $60^{\circ}$, и раздели его на 2 части, отношение которых равно $1 : 2$.

1) Начерти два отрезка, длины которых относятся как 2 к 3.

Чтобы начертить два отрезка, длины которых находятся в отношении 2 к 3, необходимо выбрать единичный отрезок, то есть длину, которая будет соответствовать одной части. Пусть длина одной части равна $x$.
Тогда длина первого отрезка будет равна $2x$, а длина второго — $3x$.
Для примера выберем длину одной части равной 1.5 см. Тогда:
Длина первого отрезка: $2 \cdot 1.5 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
Длина второго отрезка: $3 \cdot 1.5 \text{ см} = 4.5 \text{ см}$.
С помощью линейки чертим два отрезка: один длиной 3 см, другой — 4.5 см. Отношение их длин будет $3:4.5$, что равно $30:45$. Сократив на 15, получим искомое отношение $2:3$.
Ответ: Нужно выбрать единицу длины $x$ и начертить отрезки длиной $2x$ и $3x$, например, 3 см и 4.5 см.

2) Начерти прямоугольник, отношение длин сторон которого равно 5 : 3.

Отношение сторон прямоугольника $5:3$ означает, что его длина и ширина пропорциональны числам 5 и 3. Пусть одна часть составляет $x$. Тогда длина прямоугольника будет $5x$, а ширина — $3x$.
Выберем удобное значение, например, $x = 1$ см.
Длина: $5 \cdot 1 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Ширина: $3 \cdot 1 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
Для построения такого прямоугольника необходимо:
1. Начертить отрезок длиной 5 см.
2. Из его концов под прямым углом (с помощью угольника или транспортира) построить два отрезка длиной 3 см в одну сторону.
3. Соединить концы этих двух отрезков.
Ответ: Нужно начертить прямоугольник, стороны которого пропорциональны 5 и 3, например, со сторонами 5 см и 3 см.

3) Начерти прямоугольный треугольник, длины катетов которого относятся как 3 к 4. Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы.

1. Построение. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Их отношение $a:b = 3:4$. Это значит, что $a = 3x$ и $b = 4x$ для некоторой длины $x$. Выберем $x = 1.5$ см. Тогда катеты будут равны $a = 3 \cdot 1.5 = 4.5$ см и $b = 4 \cdot 1.5 = 6$ см. Чтобы начертить треугольник, строим прямой угол, откладываем на одной его стороне 4.5 см, а на другой — 6 см. Соединяем концы полученных отрезков — это будет гипотенуза $c$.
2. Нахождение гипотенузы. Длину гипотенузы можно измерить линейкой, а можно вычислить по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
Подставим общие выражения для катетов: $c^2 = (3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$.
Отсюда $c = \sqrt{25x^2} = 5x$.
Для нашего примера ($x = 1.5$ см): $c = 5 \cdot 1.5 = 7.5$ см. Измерение гипотенузы на чертеже даст тот же результат.
3. Нахождение отношений. Теперь найдем отношение длины каждого катета к длине гипотенузы. Эти отношения не зависят от выбора $x$.
Отношение катета $a$ к гипотенузе $c$: $\frac{a}{c} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$. Отношение записывается как $3:5$.
Отношение катета $b$ к гипотенузе $c$: $\frac{b}{c} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$. Отношение записывается как $4:5$.
Ответ: Отношение длины первого катета к длине гипотенузы равно $3:5$, а отношение длины второго катета к длине гипотенузы — $4:5$.

4) Начерти угол, равный 60°, и раздели его на 2 части, отношение которых равно 1 : 2.

1. Построение. С помощью транспортира чертим угол, равный $60^\circ$.
2. Расчет. Этот угол нужно разделить на два меньших угла, так, чтобы их отношение было $1:2$. Это значит, что на один угол приходится 1 часть, а на другой — 2 части. Всего частей:
$1 + 2 = 3$ (части).
Найдем, сколько градусов составляет одна часть:
$60^\circ \div 3 = 20^\circ$.
Теперь найдем величину каждого из двух углов:
Первый угол (1 часть): $1 \cdot 20^\circ = 20^\circ$.
Второй угол (2 части): $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.
Проверим: $20^\circ + 40^\circ = 60^\circ$ и $20:40 = 1:2$. Все верно.
3. Разделение угла. Чтобы разделить исходный угол, нужно от одной из его сторон отложить с помощью транспортира угол в $20^\circ$ и провести луч из вершины. Этот луч разделит угол $60^\circ$ на два искомых угла.
Ответ: Угол в $60^\circ$ нужно разделить на два угла: $20^\circ$ и $40^\circ$.

13 1) Начерти два отрезка, длины которых относятся как 2 к 3.

2) Начерти прямоугольник, отношение длин сторон которого равно 5 : 3.

3) Начерти прямоугольный треугольник, длины катетов которого относятся как 3 к 4. Измерь гипотенузу и найди отношение длины каждого из катетов этого треугольника к длине гипотенузы.

4) Начерти угол, равный $60^\circ$, и раздели его на 2 части, отношение которых равно 1 : 2.

14 1) Прочитай определения и назови определяемые понятия.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего.

2) Синус, косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно sin X, cos X и tg X.

Запиши отношения длин сторон треугольника ABC, выражающие значения синусов, косинусов и тангенсов углов A и B.

Образец: $sin A = \frac{BC}{AB}$, $tg B = \frac{AC}{BC}$

1) В задании приведены определения трех основных тригонометрических функций для острого угла в прямоугольном треугольнике. Определяемые понятия:

• Первое определение для понятия "Синус".
• Второе определение для понятия "Косинус".
• Третье определение для понятия "Тангенс".

Ответ: Синус, косинус, тангенс.

2) Для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C ($ \angle C = 90^\circ $), сторонами являются катеты $AC$ и $BC$ и гипотенуза $AB$. Запишем тригонометрические отношения для острых углов A и B.

Для угла A:

• Противолежащий катет (сторона напротив угла A) – это $BC$.
• Прилежащий катет (сторона, образующая угол A с гипотенузой) – это $AC$.
• Гипотенуза (сторона напротив прямого угла) – это $AB$.

Используя определения:

• Синус угла A: $ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} $
• Косинус угла A: $ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} $
• Тангенс угла A: $ \text{tg } A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} $

Для угла B:

• Противолежащий катет (сторона напротив угла B) – это $AC$.
• Прилежащий катет (сторона, образующая угол B с гипотенузой) – это $BC$.
• Гипотенуза – это $AB$.

Используя определения:

• Синус угла B: $ \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} $
• Косинус угла B: $ \cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} $
• Тангенс угла B: $ \text{tg } B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC} $

Ответ: $ \sin A = \frac{BC}{AB} $, $ \cos A = \frac{AC}{AB} $, $ \text{tg } A = \frac{BC}{AC} $; $ \sin B = \frac{AC}{AB} $, $ \cos B = \frac{BC}{AB} $, $ \text{tg } B = \frac{AC}{BC} $.

1) Прочитай определения и назови определяемые понятия.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего.

2) Синус, косинус и тангенс угла X обозначаются соответственно $sin X$, $cos X$ и $tg X$. Запиши отношения длин сторон треугольника ABC, выражающие значения синусов, косинусов и тангенсов углов А и В.

Образец: $sin A = \frac{BC}{AB}$, $tg B = \frac{AC}{BC}$

17. Реши уравнение и отметь его корни на координатной прямой. Найди координаты середины отрезка, соединяющего отмеченные точки. Что ты замечаешь?

а) $|a-4|=1$; б) $|b-2|=3$; в) $|c+1|=2$; г) $|d+3|=4$.

а) Решим уравнение $|a - 4| = 1$. Уравнение с модулем распадается на два случая:
1) $a - 4 = 1 \implies a_1 = 5$.
2) $a - 4 = -1 \implies a_2 = 3$.
Корни уравнения: 3 и 5. Отметим эти точки на координатной прямой.
Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки 3 и 5:
$ \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 $.
Ответ: корни 3 и 5; координата середины отрезка 4.

б) Решим уравнение $|b - 2| = 3$. Уравнение с модулем распадается на два случая:
1) $b - 2 = 3 \implies b_1 = 5$.
2) $b - 2 = -3 \implies b_2 = -1$.
Корни уравнения: -1 и 5. Отметим эти точки на координатной прямой.
Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки -1 и 5:
$ \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.
Ответ: корни -1 и 5; координата середины отрезка 2.

в) Решим уравнение $|c + 1| = 2$. Уравнение с модулем распадается на два случая:
1) $c + 1 = 2 \implies c_1 = 1$.
2) $c + 1 = -2 \implies c_2 = -3$.
Корни уравнения: -3 и 1. Отметим эти точки на координатной прямой.
Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки -3 и 1:
$ \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $.
Ответ: корни -3 и 1; координата середины отрезка -1.

г) Решим уравнение $|d + 3| = 4$. Уравнение с модулем распадается на два случая:
1) $d + 3 = 4 \implies d_1 = 1$.
2) $d + 3 = -4 \implies d_2 = -7$.
Корни уравнения: -7 и 1. Отметим эти точки на координатной прямой.
Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки -7 и 1:
$ \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $.
Ответ: корни -7 и 1; координата середины отрезка -3.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что во всех случаях координата середины отрезка, соединяющего корни уравнения, совпадает с числом, которое делает выражение под знаком модуля равным нулю.
Геометрически уравнение вида $|x - k| = p$ (где $p > 0$) означает, что мы ищем точки $x$, расстояние от которых до точки $k$ равно $p$. Таких точек две, и они расположены симметрично относительно точки $k$. Поэтому точка $k$ всегда будет серединой отрезка, соединяющего эти два корня.
Например:
- для $|a - 4| = 1$ середина отрезка находится в точке $a=4$.
- для $|c + 1| = 2$, что можно записать как $|c - (-1)| = 2$, середина находится в точке $c=-1$.

17 Реши уравнение и отметь его корни на координатной прямой. Найди координаты середины отрезка, соединяющего отмеченные точки. Что ты замечаешь?

а) $|a - 4| = 1$;

б) $|b - 2| = 3$;

в) $|c + 1| = 2;$

г) $|d + 3| = 4.$

18 Найди на чертеже и перечисли все пары:

а) пересекающихся прямых;

б) непересекающихся прямых;

в) параллельных прямых;

г) перпендикулярных прямых.

В каких из заданий (а) – (г) оказались одни и те же пары прямых? Как ты думаешь почему?

а) пересекающихся прямых;

Пересекающиеся прямые — это прямые, которые имеют одну общую точку. На чертеже видно, что прямые a и b пересекаются, а также прямые c и d. Поскольку прямые бесконечны, при их мысленном продолжении мы увидим, что большинство пар прямых пересекутся. Единственная пара, которая не пересекается, — это c и l. Таким образом, все остальные пары прямых являются пересекающимися.

Ответ: (a, b), (c, d), (a, c), (a, d), (a, l), (b, c), (b, d), (b, l), (d, l).

б) непересекающихся прямых;

Непересекающиеся прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, сколько бы их ни продолжали. На чертеже видно, что прямые c и l не пересекаются и сохраняют одинаковое расстояние друг от друга.

Ответ: (c, l).

в) параллельных прямых;

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. По определению, это то же самое, что и непересекающиеся прямые на плоскости. Следовательно, это та же пара прямых, что и в предыдущем пункте.

Ответ: (c, l), что можно записать как $c \parallel l$.

г) перпендикулярных прямых.

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Визуально оценивая углы пересечения, можно заключить, что прямые c и d пересекаются под прямым углом.

Ответ: (c, d), что можно записать как $c \perp d$.

В каких из заданий (а) – (г) оказались одни и те же пары прямых? Как ты думаешь почему?

Одни и те же пары прямых оказались в заданиях б) (непересекающиеся прямые) и в) (параллельные прямые).
Это произошло потому, что в евклидовой геометрии (которую изучают в школе) определения «непересекающихся прямых на плоскости» и «параллельных прямых» идентичны. Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Также можно заметить, что пара перпендикулярных прямых (c, d) из задания г) также присутствует в списке пересекающихся прямых в задании а). Это объясняется тем, что перпендикулярность является частным случаем пересечения прямых (пересечение под прямым углом).

Ответ: Одни и те же пары прямых оказались в заданиях б) и в), потому что параллельные прямые на плоскости по определению являются непересекающимися.

18 Найди на чертеже и перечисли все пары:

а) пересекающихся прямых;

б) непересекающихся прямых;

в) параллельных прямых;

г) перпендикулярных прямых.

В каких из заданий (а) – (г) оказались одни и те же пары прямых? Как ты думаешь, почему?

$a$, $b$, $c$, $d$, $l$

D 19 Найди значения выражений, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй название геометрической фигуры. По справочнику найди определение этой фигуры и начерти её в тетради.

P
$-4,5 + (-a + 5,6)$, если $a = -2,9$;

П
$(1,1 + m) - (3,1 - m)$, если $m = 0,9$;

О
$-(2b - 3) + b$, если $b = 1,4$;

Л
$-(n - 4,6) + (2,9 - n)$, если $n = 4,5$;

Г
$c - (1,8 - c)$, если $c = 0,7$;

Е
$0,5 - (2x + 1,2) - x$, если $x = -0,3$;

М
$-d - (0,7 - 3d)$, если $d = -0,8$;

А
$(y - 5,4) - (-2,6 + y)$, если $y = 3$.

Для того чтобы расшифровать название геометрической фигуры, необходимо найти значения выражений для каждой буквы.

Р

Найдем значение выражения $-4,5 + (-a + 5,6)$ при $a = -2,9$.

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $-4,5 - a + 5,6 = 1,1 - a$.

Подставим значение $a = -2,9$ в упрощенное выражение:

$1,1 - (-2,9) = 1,1 + 2,9 = 4$.

Ответ: 4

О

Найдем значение выражения $-(2b - 3) + b$ при $b = 1,4$.

Упростим выражение: $-2b + 3 + b = -b + 3$.

Подставим значение $b = 1,4$:

$-1,4 + 3 = 1,6$.

Ответ: 1,6

Г

Найдем значение выражения $c - (1,8 - c)$ при $c = 0,7$.

Упростим выражение: $c - 1,8 + c = 2c - 1,8$.

Подставим значение $c = 0,7$:

$2 \cdot 0,7 - 1,8 = 1,4 - 1,8 = -0,4$.

Ответ: -0,4

М

Найдем значение выражения $-d - (0,7 - 3d)$ при $d = -0,8$.

Упростим выражение: $-d - 0,7 + 3d = 2d - 0,7$.

Подставим значение $d = -0,8$:

$2 \cdot (-0,8) - 0,7 = -1,6 - 0,7 = -2,3$.

Ответ: -2,3

П

Найдем значение выражения $(-1,1 + m) - (3,1 - m)$ при $m = 0,9$.

Упростим выражение: $-1,1 + m - 3,1 + m = 2m - 4,2$.

Подставим значение $m = 0,9$:

$2 \cdot 0,9 - 4,2 = 1,8 - 4,2 = -2,4$.

Ответ: -2,4

Л

Найдем значение выражения $-(n - 4,6) + (2,9 - n)$ при $n = 4,5$.

Упростим выражение: $-n + 4,6 + 2,9 - n = -2n + 7,5$.

Подставим значение $n = 4,5$:

$-2 \cdot 4,5 + 7,5 = -9 + 7,5 = -1,5$.

Ответ: -1,5

Е

Найдем значение выражения $0,5 - (2x + 1,2) - x$ при $x = -0,3$.

Упростим выражение: $0,5 - 2x - 1,2 - x = -3x - 0,7$.

Подставим значение $x = -0,3$:

$-3 \cdot (-0,3) - 0,7 = 0,9 - 0,7 = 0,2$.

Ответ: 0,2

А

Найдем значение выражения $(y - 5,4) - (-2,6 + y)$ при $y = 3$.

Упростим выражение: $y - 5,4 + 2,6 - y = -2,8$.

Значение выражения не зависит от переменной $y$.

Ответ: -2,8

Теперь сопоставим полученные значения буквам и заполним таблицу, чтобы расшифровать слово.

• П: -2,4
• А: -2,8
• Р: 4
• Л: -1,5
• Е: 0,2
• О: 1,6
• Г: -0,4
• М: -2,3

Таблица с числами из задания: -2,4 | -2,8 | 4 | -2,8 | -1,5 | -1,5 | 0,2 | -1,5 | 1,6 | -0,4 | 4 | -2,8 | -2,3 | -2,3

Подставляем соответствующие буквы:

П | А | Р | А | Л | Л | Е | Л | О | Г | Р | А | М | М

Получилось слово: ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.

Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, так как в таблице трижды встречается число -1,5, соответствующее букве Л, что приводит к неправильному написанию слова. Искомое слово – ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.

Определение параллелограмма

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны (то есть лежат на параллельных прямых).

Как начертить параллелограмм в тетради

1. Начертите отрезок AB. Это будет одна из сторон параллелограмма.

2. Из точки B проведите еще один отрезок BC под любым углом, который не равен $0^\circ$ или $180^\circ$. Это будет вторая, смежная сторона.

3. Из точки C проведите прямую, параллельную отрезку AB.

4. Из точки A проведите прямую, параллельную отрезку BC.

5. Точка пересечения этих двух прямых будет четвертой вершиной D. Фигура ABCD является параллелограммом.

Пример, как может выглядеть чертеж:

19 Найди значения выражений, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй название геометрической фигуры. По справочнику найди определение этой фигуры и начерти ее в тетради.

Р $-4.5 + (-a + 5.6)$, если $a = -2.9;$ П $(-1.1 + m) - (3.1 - m)$, если $m = 0.9;$

О $-(2b - 3) + b$, если $b = 1.4;$ Л $-(n - 4.6) + (2.9 - n)$, если $n = 4.5;$

Г $c - (1.8 - c)$, если $c = 0.7;$ Е $0.5 - (2x + 1.2) - x$, если $x = -0.3;$

М $-d - (0.7 - 3d)$, если $d = -0.8;$ А $(y - 5.4) - (-2.6 + y)$, если $y = 3.$

-2.4 -2.8 4 -2.8 -1.5 -1.5 0.2 -1.5 1.6 -0.4 4 -2.8 -2.3 -2.3

20. Реши уравнение и сделай проверку:

a) $-(a + 4) - 19 = 7;$

б) $2\frac{1}{3} - (y - \frac{5}{12}) = 1,75.$

а) $-(a + 4) - 19 = 7$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:
$-a - 4 - 19 = 7$

Теперь приведем подобные слагаемые (числа) в левой части:
$-a - 23 = 7$

Чтобы найти $-a$, перенесем $-23$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$-a = 7 + 23$
$-a = 30$

Чтобы найти $a$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$a = -30$

Проверка:
Подставим найденное значение $a = -30$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения:
$-(-30 + 4) - 19 = 7$
Выполним действие в скобках:
$-(-26) - 19 = 7$
Раскроем скобки:
$26 - 19 = 7$
$7 = 7$
Получено верное равенство, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $a = -30$

б) $2\frac{1}{3} - (y - \frac{5}{12}) = 1,75$

Для решения уравнения представим все числа в виде обыкновенных дробей. Переведем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Переведем десятичную дробь $1,75$ в обыкновенную дробь:
$1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{7}{3} - (y - \frac{5}{12}) = \frac{7}{4}$

Выразим скобку $(y - \frac{5}{12})$. Она является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$y - \frac{5}{12} = \frac{7}{3} - \frac{7}{4}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $12$:
$y - \frac{5}{12} = \frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3}$
$y - \frac{5}{12} = \frac{28}{12} - \frac{21}{12}$
$y - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$

Теперь найдем $y$. Оно является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$y = \frac{7}{12} + \frac{5}{12}$
$y = \frac{12}{12}$
$y = 1$

Проверка:
Подставим найденное значение $y = 1$ в исходное уравнение:
$2\frac{1}{3} - (1 - \frac{5}{12}) = 1,75$
Вычислим значение в скобках:
$1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$
Теперь левая часть уравнения выглядит так:
$2\frac{1}{3} - \frac{7}{12}$
Приведем дроби к общему знаменателю $12$:
$\frac{7}{3} - \frac{7}{12} = \frac{28}{12} - \frac{7}{12} = \frac{21}{12}$
Сократим полученную дробь на $3$:
$\frac{21}{12} = \frac{7}{4}$
Переведем дробь $\frac{7}{4}$ в десятичную, чтобы сравнить с правой частью исходного уравнения:
$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1,75$
Получаем верное равенство:
$1,75 = 1,75$
Следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $y = 1$

20 Реши уравнения и сделай проверку:

a) $-(a + 4) - 19 = 7;$

б) $2\frac{1}{3} - (y - \frac{5}{12}) = 1,75.$

21 Переведи на математический язык и реши задачу.

В цирковом представлении участвовало 8 жонглёров, акробатов было на 6 больше, чем клоунов, а дрессировщиков – на 7 меньше, чем акробатов. Сколько было клоунов, если всего в этом представлении участвовало 28 артистов?

Перевод на математический язык

Для решения задачи введём переменную.
Пусть $x$ — это количество клоунов.
Тогда, исходя из условий задачи, выразим количество артистов других жанров:
- Количество жонглёров равно 8.
- Количество акробатов на 6 больше, чем клоунов, то есть $x + 6$.
- Количество дрессировщиков на 7 меньше, чем акробатов, то есть $(x + 6) - 7 = x - 1$.

Общее количество артистов равно 28. Мы можем составить уравнение, сложив количество всех участников представления:
$8 + x + (x + 6) + (x - 1) = 28$

Решение

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.
$8 + x + x + 6 + x - 1 = 28$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:
$(x + x + x) + (8 + 6 - 1) = 28$
$3x + 13 = 28$
Чтобы найти $3x$, вычтем 13 из 28:
$3x = 28 - 13$
$3x = 15$
Теперь найдём $x$, разделив 15 на 3:
$x = 15 / 3$
$x = 5$
Следовательно, в цирковом представлении участвовало 5 клоунов.

Проверка:
Клоуны: 5.
Акробаты: $5 + 6 = 11$.
Дрессировщики: $11 - 7 = 4$.
Жонглёры: 8.
Всего артистов: $5 + 11 + 4 + 8 = 28$.
Результат совпадает с условием задачи.
Ответ: 5 клоунов.

21 Переведи на математический язык и реши задачу:

В цирковом представлении участвовало 8 жонглеров, акробатов было на 6 больше, чем клоунов, а дрессировщиков – на 7 меньше, чем акробатов. Сколько было клоунов, если всего в этом представлении участвовало 28 артистов?

22 Докажи, что для любого натурального числа $n$ среднее арифметическое его предыдущего и последующего чисел равно этому числу.

Пусть $n$ — любое натуральное число.

Число, которое предшествует числу $n$, равно $(n - 1)$.

Число, которое следует за числом $n$, равно $(n + 1)$.

Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, деленная на 2. Найдем среднее арифметическое предыдущего и последующего чисел для $n$:

$ \frac{(n - 1) + (n + 1)}{2} $

Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{n - 1 + n + 1}{2} = \frac{(n + n) + (-1 + 1)}{2} = \frac{2n}{2} $

Сократив дробь, получаем:

$ \frac{2n}{2} = n $

Результат вычислений равен исходному числу $n$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Для любого натурального числа $n$ среднее арифметическое его предыдущего числа $(n-1)$ и последующего числа $(n+1)$ вычисляется как $\frac{(n-1) + (n+1)}{2} = \frac{2n}{2} = n$, что и доказывает утверждение.

22 Докажи, что для любого натурального числа $n$ среднее арифметическое его предыдущего и последующего чисел равно этому числу.