Номер 17, страница 7, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 3. Уравнения. 1. Раскрытие скобок - номер 17, страница 7.

Условие 2023.

17. Реши уравнение и отметь его корни на координатной прямой. Найди координаты середины отрезка, соединяющего отмеченные точки. Что ты замечаешь?

а) $|a-4|=1$; б) $|b-2|=3$; в) $|c+1|=2$; г) $|d+3|=4$.

Решение 2 (2023).

а) Решим уравнение $|a - 4| = 1$. Уравнение с модулем распадается на два случая:
1) $a - 4 = 1 \implies a_1 = 5$.
2) $a - 4 = -1 \implies a_2 = 3$.
Корни уравнения: 3 и 5. Отметим эти точки на координатной прямой.
Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки 3 и 5:
$ \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 $.
Ответ: корни 3 и 5; координата середины отрезка 4.

б) Решим уравнение $|b - 2| = 3$. Уравнение с модулем распадается на два случая:
1) $b - 2 = 3 \implies b_1 = 5$.
2) $b - 2 = -3 \implies b_2 = -1$.
Корни уравнения: -1 и 5. Отметим эти точки на координатной прямой.
Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки -1 и 5:
$ \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.
Ответ: корни -1 и 5; координата середины отрезка 2.

в) Решим уравнение $|c + 1| = 2$. Уравнение с модулем распадается на два случая:
1) $c + 1 = 2 \implies c_1 = 1$.
2) $c + 1 = -2 \implies c_2 = -3$.
Корни уравнения: -3 и 1. Отметим эти точки на координатной прямой.
Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки -3 и 1:
$ \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $.
Ответ: корни -3 и 1; координата середины отрезка -1.

г) Решим уравнение $|d + 3| = 4$. Уравнение с модулем распадается на два случая:
1) $d + 3 = 4 \implies d_1 = 1$.
2) $d + 3 = -4 \implies d_2 = -7$.
Корни уравнения: -7 и 1. Отметим эти точки на координатной прямой.
Найдем координату середины отрезка, соединяющего точки -7 и 1:
$ \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $.
Ответ: корни -7 и 1; координата середины отрезка -3.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что во всех случаях координата середины отрезка, соединяющего корни уравнения, совпадает с числом, которое делает выражение под знаком модуля равным нулю.
Геометрически уравнение вида $|x - k| = p$ (где $p > 0$) означает, что мы ищем точки $x$, расстояние от которых до точки $k$ равно $p$. Таких точек две, и они расположены симметрично относительно точки $k$. Поэтому точка $k$ всегда будет серединой отрезка, соединяющего эти два корня.
Например:
- для $|a - 4| = 1$ середина отрезка находится в точке $a=4$.
- для $|c + 1| = 2$, что можно записать как $|c - (-1)| = 2$, середина находится в точке $c=-1$.

Условие 2010-2022.

17 Реши уравнение и отметь его корни на координатной прямой. Найди координаты середины отрезка, соединяющего отмеченные точки. Что ты замечаешь?

а) $|a - 4| = 1$;

б) $|b - 2| = 3$;

в) $|c + 1| = 2;$

г) $|d + 3| = 4.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).