Номер 12, страница 6, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 3. Уравнения. 1. Раскрытие скобок - номер 12, страница 6.

Условие 2023.

12 a) Докажи, что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 даёт остаток, равный 1.

б) Докажи, что сумма четырёх последовательных натуральных чисел, кратных 3, при делении на 12 даёт остаток, равный 6.

Решение 2 (2023).

а)

Пусть $n$ – любое натуральное число. Число, предшествующее $n$, равно $n-1$. Число, следующее за $n$, равно $n+1$.

Составим выражение для суммы удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа. Обозначим эту сумму как $S$.

$S = 2(n-1) + 3(n+1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S = 2n - 2 + 3n + 3 = (2n + 3n) + (3 - 2) = 5n + 1$

Полученное выражение $5n + 1$ представляет собой стандартную форму записи числа, которое при делении на 5 даёт остаток 1. Слагаемое $5n$ по определению делится на 5 без остатка, так как $n$ является натуральным числом. Таким образом, остаток от деления всей суммы на 5 определяется вторым слагаемым и равен 1. Это справедливо для любого натурального числа $n$.

Ответ: утверждение доказано, остаток при делении на 5 всегда равен 1.

б)

Натуральные числа, кратные 3, можно представить в виде $3k$, где $k$ – натуральное число ($k \ge 1$).

Возьмём четыре последовательных натуральных числа, кратных 3. Если первое из них равно $3k$, то следующие три будут $3(k+1)$, $3(k+2)$ и $3(k+3)$. То есть, числами будут:

$3k$, $3k+3$, $3k+6$, $3k+9$.

Найдём их сумму, обозначив её как $S$:

$S = 3k + (3k+3) + (3k+6) + (3k+9)$

Сгруппируем и сложим слагаемые:

$S = (3k + 3k + 3k + 3k) + (3 + 6 + 9) = 12k + 18$

Чтобы определить остаток от деления суммы $S$ на 12, представим слагаемое 18 в виде суммы $12 + 6$:

$S = 12k + 12 + 6$

Вынесем общий множитель 12 за скобки:

$S = 12(k+1) + 6$

В полученном выражении слагаемое $12(k+1)$ делится на 12 без остатка. Следовательно, остаток от деления всей суммы на 12 равен 6, что и требовалось доказать.

Ответ: сумма четырёх последовательных натуральных чисел, кратных 3, при делении на 12 даёт остаток, равный 6.

Условие 2010-2022.

12 a) Докажи, что для любого натурального числа $n$ сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа ($2(n-1) + 3(n+1)$) при делении на 5 дает остаток, равный 1.

б) Докажи, что сумма четырех последовательных натуральных чисел, кратных 3 ($3k + 3(k+1) + 3(k+2) + 3(k+3)$), при делении на 12 дает остаток, равный 6.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).