Номер 12, страница 6, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Авторы: Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 3
Цвет обложки: голубой в клеточку
ISBN: 978-5-09-107332-4
Популярные ГДЗ в 6 классе
1. Раскрытие скобок. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 12, страница 6.
№12 (с. 6)
Условие 2023. №12 (с. 6)
скриншот условия

12 a) Докажи, что для любого натурального числа n сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа при делении на 5 даёт остаток, равный 1.
б) Докажи, что сумма четырёх последовательных натуральных чисел, кратных 3, при делении на 12 даёт остаток, равный 6.
Решение 2 (2023). №12 (с. 6)
а)
Пусть $n$ – любое натуральное число. Число, предшествующее $n$, равно $n-1$. Число, следующее за $n$, равно $n+1$.
Составим выражение для суммы удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа. Обозначим эту сумму как $S$.
$S = 2(n-1) + 3(n+1)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$S = 2n - 2 + 3n + 3 = (2n + 3n) + (3 - 2) = 5n + 1$
Полученное выражение $5n + 1$ представляет собой стандартную форму записи числа, которое при делении на 5 даёт остаток 1. Слагаемое $5n$ по определению делится на 5 без остатка, так как $n$ является натуральным числом. Таким образом, остаток от деления всей суммы на 5 определяется вторым слагаемым и равен 1. Это справедливо для любого натурального числа $n$.
Ответ: утверждение доказано, остаток при делении на 5 всегда равен 1.
б)
Натуральные числа, кратные 3, можно представить в виде $3k$, где $k$ – натуральное число ($k \ge 1$).
Возьмём четыре последовательных натуральных числа, кратных 3. Если первое из них равно $3k$, то следующие три будут $3(k+1)$, $3(k+2)$ и $3(k+3)$. То есть, числами будут:
$3k$, $3k+3$, $3k+6$, $3k+9$.
Найдём их сумму, обозначив её как $S$:
$S = 3k + (3k+3) + (3k+6) + (3k+9)$
Сгруппируем и сложим слагаемые:
$S = (3k + 3k + 3k + 3k) + (3 + 6 + 9) = 12k + 18$
Чтобы определить остаток от деления суммы $S$ на 12, представим слагаемое 18 в виде суммы $12 + 6$:
$S = 12k + 12 + 6$
Вынесем общий множитель 12 за скобки:
$S = 12(k+1) + 6$
В полученном выражении слагаемое $12(k+1)$ делится на 12 без остатка. Следовательно, остаток от деления всей суммы на 12 равен 6, что и требовалось доказать.
Ответ: сумма четырёх последовательных натуральных чисел, кратных 3, при делении на 12 даёт остаток, равный 6.
Условие 2010-2022. №12 (с. 6)
скриншот условия

12 a) Докажи, что для любого натурального числа $n$ сумма удвоенного предыдущего и утроенного последующего числа ($2(n-1) + 3(n+1)$) при делении на 5 дает остаток, равный 1.
б) Докажи, что сумма четырех последовательных натуральных чисел, кратных 3 ($3k + 3(k+1) + 3(k+2) + 3(k+3)$), при делении на 12 дает остаток, равный 6.
Решение 1 (2010-2022). №12 (с. 6)


Решение 2 (2010-2022). №12 (с. 6)

Решение 3 (2010-2022). №12 (с. 6)

Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 12 расположенного на странице 6 для 3-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №12 (с. 6), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Петерсон (Людмила Георгиевна), 3-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.