Номер 26, страница 12, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Отрицания общих высказываний. Параграф 1. Отрицание высказываний. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 26, страница 12.

Условие 2023.

K 26

Построй несколько вариантов отрицания общих высказываний. Убедись в выполнении для них закона исключённого третьего.

1) Все европейские страны входят в Евросоюз.

2) Каждое государство Европы является республикой.

3) В любом городе России есть памятники истории.

4) Все города России находятся в Европе.

5) Планеты имеют форму шара.

6) У каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник.

7) Ни одна планета Солнечной системы не имеет колец.

8) Жидкая вода есть на любой планете.

9) Высказывания всегда являются повествовательными предложениями.

10) Вопросительное предложение не может быть высказыванием.

11) Во всяком четырёхугольнике диагонали равны.

12) Любой угол является острым или тупым.

Решение 2 (2023).

1) Исходное высказывание: «Все европейские страны входят в Евросоюз». Это общее высказывание вида «Все A есть B».
Варианты отрицания:
- Не все европейские страны входят в Евросоюз.
- Некоторые европейские страны не входят в Евросоюз.
- Существует европейская страна, которая не входит в Евросоюз.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно, так как существуют европейские страны, не входящие в Евросоюз (например, Швейцария, Норвегия, Великобритания). Следовательно, его отрицание «Некоторые европейские страны не входят в Евросоюз» истинно. Так как одно из утверждений (исходное или его отрицание) истинно, а другое ложно, закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существует европейская страна, которая не входит в Евросоюз.

2) Исходное высказывание: «Каждое государство Европы является республикой».
Варианты отрицания:
- Неверно, что каждое государство Европы является республикой.
- Не каждое государство Европы является республикой.
- Существует государство в Европе, которое не является республикой.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. В Европе есть государства с монархической формой правления (например, Великобритания, Испания, Швеция). Поэтому отрицание «Существует государство в Европе, которое не является республикой» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Не каждое государство Европы является республикой.

3) Исходное высказывание: «В любом городе России есть памятники истории».
Варианты отрицания:
- Не в любом городе России есть памятники истории.
- Существует город в России, в котором нет памятников истории.
- Неверно, что в любом городе России есть памятники истории.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание, вероятно, ложно. Существуют очень молодые города (например, Иннополис), в которых может не быть объектов, официально признанных памятниками истории. В этом случае его отрицание «Существует город в России, в котором нет памятников истории» будет истинным. Закон исключённого третьего выполняется, так как либо в абсолютно всех городах есть памятники, либо найдется хотя бы один, где их нет.
Ответ: Существует город в России, в котором нет памятников истории.

4) Исходное высказывание: «Все города России находятся в Европе».
Варианты отрицания:
- Не все города России находятся в Европе.
- Некоторые города России не находятся в Европе.
- Существует город в России, который находится в Азии.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно, так как Россия — трансконтинентальное государство, и многие её города (например, Новосибирск, Владивосток, Екатеринбург) расположены в Азии. Следовательно, отрицание «Некоторые города России не находятся в Европе» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Не все города России находятся в Европе.

5) Исходное высказывание: «Планеты имеют форму шара». (подразумевается «Все планеты»)
Варианты отрицания:
- Неверно, что все планеты имеют форму шара.
- Некоторые планеты не имеют формы шара.
- Найдётся планета, форма которой не является шаром.
Проверка закона исключённого третьего: Если понимать «форму шара» как идеальную геометрическую фигуру, то исходное высказывание ложно. Из-за вращения планеты сплюснуты у полюсов и являются эллипсоидами вращения (геоидами). В этом случае отрицание «Некоторые планеты не имеют формы шара» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Неверно, что все планеты имеют форму идеального шара.

6) Исходное высказывание: «У каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник».
Варианты отрицания:
- Не у каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник.
- Существуют планеты в Солнечной системе, у которых нет естественных спутников.
- Неверно, что у каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. У Меркурия и Венеры нет естественных спутников. Следовательно, отрицание «Существуют планеты в Солнечной системе, у которых нет естественных спутников» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существуют планеты в Солнечной системе, у которых нет естественных спутников.

7) Исходное высказывание: «Ни одна планета Солнечной системы не имеет колец». Это общее отрицательное высказывание.
Варианты отрицания:
- Некоторые планеты Солнечной системы имеют кольца.
- Существует планета в Солнечной системе, у которой есть кольца.
- Неверно, что ни одна планета Солнечной системы не имеет колец.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно, так как кольца есть у Сатурна, Юпитера, Урана и Нептуна. Следовательно, его отрицание «Некоторые планеты Солнечной системы имеют кольца» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Некоторые планеты Солнечной системы имеют кольца.

8) Исходное высказывание: «Жидкая вода есть на любой планете».
Варианты отрицания:
- Не на любой планете есть жидкая вода.
- Существуют планеты, на которых нет жидкой воды.
- Неверно, что на любой планете есть жидкая вода.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. Например, на Меркурии из-за экстремальных температур жидкая вода существовать не может. Следовательно, отрицание «Существуют планеты, на которых нет жидкой воды» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существуют планеты, на которых нет жидкой воды.

9) Исходное высказывание: «Высказывания всегда являются повествовательными предложениями».
Варианты отрицания:
- Неверно, что высказывания всегда являются повествовательными предложениями.
- Некоторые высказывания не являются повествовательными предложениями.
- Существует высказывание, которое не является повествовательным предложением.
Проверка закона исключённого третьего: По определению из логики, высказывание (суждение) — это повествовательное предложение, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности. Таким образом, исходное высказывание истинно. Его отрицание, соответственно, ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Неверно, что высказывания всегда являются повествовательными предложениями.

10) Исходное высказывание: «Вопросительное предложение не может быть высказыванием».
Варианты отрицания:
- Неверно, что вопросительное предложение не может быть высказыванием.
- Некоторые вопросительные предложения могут быть высказываниями.
- Существует вопросительное предложение, являющееся высказыванием.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание истинно, так как вопросительное предложение не утверждает и не отрицает чего-либо и не может быть истинным или ложным. Следовательно, его отрицание «Некоторые вопросительные предложения могут быть высказываниями» ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Некоторые вопросительные предложения могут быть высказываниями.

11) Исходное высказывание: «Во всяком четырёхугольнике диагонали равны».
Варианты отрицания:
- Не во всяком четырёхугольнике диагонали равны.
- Существуют четырёхугольники, в которых диагонали не равны.
- Неверно, что во всяком четырёхугольнике диагонали равны.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. Например, в ромбе (не являющемся квадратом) или в произвольной трапеции диагонали не равны. Следовательно, отрицание «Существуют четырёхугольники, в которых диагонали не равны» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существует четырёхугольник, в котором диагонали не равны.

12) Исходное высказывание: «Любой угол является острым или тупым».
Варианты отрицания:
- Неверно, что любой угол является острым или тупым.
- Существует угол, который не является ни острым, ни тупым.
- Не все углы являются острыми или тупыми.
Проверка закона исключённого третьего: Исходное высказывание ложно. Существуют прямые углы ($90^\circ$), развёрнутые углы ($180^\circ$) и полные углы ($360^\circ$), которые не являются ни острыми (меньше $90^\circ$), ни тупыми (больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$). Следовательно, отрицание «Существует угол, который не является ни острым, ни тупым» истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: Существует угол, который не является ни острым, ни тупым.

Условие 2010-2022.

26 Построй несколько вариантов отрицания общих высказываний. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего.

1) Все европейские страны входят в Евросоюз.

2) Каждое государство Европы является республикой.

3) В любом городе России есть памятники истории.

4) Все города России находятся в Европе.

5) Планеты имеют форму шара.

6) У каждой планеты Солнечной системы есть естественный спутник.

7) Ни одна планета Солнечной системы не имеет колец.

8) Вода есть на любой планете.

9) Высказывания всегда являются повествовательными предложениями.

10) Вопросительное предложение не может быть высказыванием.

11) Во всяком четырехугольнике диагонали равны.

12) Любой угол является острым или тупым.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).