Номер 21, страница 9, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 1. Отрицание высказываний. 1. Понятие отрицания - номер 21, страница 9.

Условие 2023.

21 Построй отрицание высказывания «Все реки впадают в Каспийское море». Убедись в выполнении для него закона исключённого третьего.

Решение 2 (2023).

Построение отрицания высказывания

Исходное высказывание: «Все реки впадают в Каспийское море». Это высказывание является общим, так как в нём используется квантор всеобщности (слово «все»). В логике предикатов его можно записать в виде формулы $(\forall x) P(x)$, где $x$ — это произвольный объект из множества всех рек, а $P(x)$ — это утверждение «река $x$ впадает в Каспийское море».

Отрицание высказывания с квантором всеобщности строится по правилу: $\neg ((\forall x) P(x)) \equiv (\exists x) \neg P(x)$. Это означает, что отрицанием утверждения «для всех $x$ верно $P(x)$» является утверждение «существует такой $x$, для которого $P(x)$ неверно».

Применяя это правило к нашему высказыванию, мы заменяем квантор «все» на квантор существования «существует» ($\exists$) и отрицаем сам предикат. Предикат «впадает в Каспийское море» превращается в «не впадает в Каспийское море». Таким образом, отрицанием исходного высказывания будет: «Существует река, которая не впадает в Каспийское море».

Ответ: Отрицание высказывания: «Существует река, которая не впадает в Каспийское море».

Проверка выполнения закона исключённого третьего

Закон исключённого третьего — один из основных законов классической логики, который гласит, что для любого высказывания $A$ составное высказывание $A \lor \neg A$ (читается как «$A$ или не $A$») всегда является истинным. Это означает, что любое высказывание либо истинно, либо ложно, и третьего варианта быть не может.

Для проверки нам нужно определить истинность исходного высказывания ($A$) и его отрицания ($\neg A$).

• $A$: «Все реки впадают в Каспийское море». Это утверждение является ложным. Для его опровержения достаточно одного контрпримера. Например, река Нил впадает в Средиземное море, а не в Каспийское.
• $\neg A$: «Существует река, которая не впадает в Каспийское море». Это утверждение является истинным, так как мы можем привести пример такой реки (тот же Нил, Амазонка, Янцзы и многие другие).

Теперь построим дизъюнкцию (логическое «ИЛИ») этих двух высказываний: «(Все реки впадают в Каспийское море) ИЛИ (Существует река, которая не впадает в Каспийское море)».

Подставим значения истинности в формулу закона исключённого третьего $A \lor \neg A$: $Ложь \lor Истина$. Согласно правилам логики, дизъюнкция истинна, если хотя бы один из её членов истинен. В нашем случае второй член («Существует река...») истинен, поэтому всё высказывание целиком также истинно. $Ложь \lor Истина = Истина$.

Так как в результате мы получили «Истину», закон исключённого третьего для данного высказывания выполняется.

Ответ: Закон исключённого третьего выполняется, так как исходное высказывание ложно, его отрицание истинно, а их дизъюнкция ($A \lor \neg A$) даёт истинное утверждение.

Условие 2010-2022.

21 Построй отрицание высказывания “Все реки впадают в Каспийское море”. Убедись в выполнении для него закона исключенного третьего.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).