Страница 18, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

59 Сформулируй данные высказывания с помощью слова «существует». Построй их отрицания и убедись в выполнении закона исключённого третьего.

1) Черепахи могут жить до 300 лет.

2) Есть млекопитающие, которые живут в воде.

3) Некоторые животные внесены в Красную книгу.

4) Не все птицы в России улетают зимой на юг.

5) Предложение может не иметь подлежащего.

6) Бывают словари, которые содержат все слова русского языка.

7) В некоторых книгах меньше 112 страниц.

8) Высказывание может быть вопросительным предложением.

9) Иногда высказывания бывают восклицательными предложениями.

10) Некоторые художники эпохи Возрождения жили в Италии.

11) Есть европейские страны, которые являются островными государствами.

12) Не все страны согласны с существующими границами.

Закон исключённого третьего — это один из основных законов классической логики, который утверждает, что для любого высказывания $A$ оно либо истинно, либо истинно его отрицание $\neg A$. Иными словами, дизъюнкция $A \lor \neg A$ всегда истинна. Для каждого пункта ниже мы убедимся в выполнении этого закона: одно из высказываний (исходное или его отрицание) будет истинным, а другое — ложным.

1) Черепахи могут жить до 300 лет.

Переформулированное высказывание: Существует черепаха, которая может прожить до 300 лет.
Отрицание: Ни одна черепаха не может прожить до 300 лет (или: все черепахи живут меньше 300 лет).
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание истинно (например, галапагосские черепахи), следовательно, его отрицание ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существует черепаха, которая может прожить до 300 лет. Отрицание: Ни одна черепаха не может прожить до 300 лет.

2) Есть млекопитающие, которые живут в воде.

Переформулированное высказывание: Существуют млекопитающие, которые живут в воде.
Отрицание: Ни одно млекопитающее не живёт в воде.
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание истинно (киты, дельфины), значит, его отрицание ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют млекопитающие, которые живут в воде. Отрицание: Ни одно млекопитающее не живёт в воде.

3) Некоторые животные внесены в Красную книгу.

Переформулированное высказывание: Существуют животные, которые внесены в Красную книгу.
Отрицание: Ни одно животное не внесено в Красную книгу.
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание истинно, следовательно, его отрицание ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют животные, которые внесены в Красную книгу. Отрицание: Ни одно животное не внесено в Красную книгу.

4) Не все птицы в России улетают зимой на юг.

Переформулированное высказывание: Существуют птицы в России, которые не улетают зимой на юг.
Отрицание: Все птицы в России улетают зимой на юг.
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание истинно (воробьи, голуби, вороны остаются зимовать), значит, его отрицание ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют птицы в России, которые не улетают зимой на юг. Отрицание: Все птицы в России улетают зимой на юг.

5) Предложение может не иметь подлежащего.

Переформулированное высказывание: Существуют предложения, которые не имеют подлежащего.
Отрицание: Все предложения имеют подлежащее.
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание истинно (например, безличные предложения в русском языке: «Светает.»), следовательно, его отрицание ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют предложения, которые не имеют подлежащего. Отрицание: Все предложения имеют подлежащее.

6) Бывают словари, которые содержат все слова русского языка.

Переформулированное высказывание: Существуют словари, которые содержат все слова русского языка.
Отрицание: Ни один словарь не содержит все слова русского языка.
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание ложно, так как язык постоянно меняется и зафиксировать абсолютно все слова невозможно. Следовательно, его отрицание истинно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют словари, которые содержат все слова русского языка. Отрицание: Ни один словарь не содержит все слова русского языка.

7) В некоторых книгах меньше 112 страниц.

Переформулированное высказывание: Существуют книги, в которых меньше 112 страниц.
Отрицание: Во всех книгах 112 страниц или больше.
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание истинно (например, детские книги, брошюры), значит, его отрицание ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют книги, в которых меньше 112 страниц. Отрицание: Во всех книгах 112 страниц или больше.

8) Высказывание может быть вопросительным предложением.

Переформулированное высказывание: Существуют высказывания, которые являются вопросительными предложениями.
Отрицание: Ни одно высказывание не является вопросительным предложением.
Проверка закона исключённого третьего: В логике высказывание — это повествовательное предложение, которое может быть истинным или ложным. Вопросительное предложение не обладает этим свойством. Поэтому первое высказывание ложно, а его отрицание истинно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют высказывания, которые являются вопросительными предложениями. Отрицание: Ни одно высказывание не является вопросительным предложением.

9) Иногда высказывания бывают восклицательными предложениями.

Переформулированное высказывание: Существуют высказывания, которые являются восклицательными предложениями.
Отрицание: Ни одно высказывание не является восклицательным предложением.
Проверка закона исключённого третьего: Повествовательное предложение, являющееся высказыванием, может быть оформлено как восклицательное (например, «Это невероятно!»). Значит, первое высказывание истинно, а его отрицание — ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют высказывания, которые являются восклицательными предложениями. Отрицание: Ни одно высказывание не является восклицательным предложением.

10) Некоторые художники эпохи Возрождения жили в Италии.

Переформулированное высказывание: Существуют художники эпохи Возрождения, которые жили в Италии.
Отрицание: Ни один художник эпохи Возрождения не жил в Италии.
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание истинно (эпоха Возрождения зародилась и расцвела в Италии), следовательно, его отрицание ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют художники эпохи Возрождения, которые жили в Италии. Отрицание: Ни один художник эпохи Возрождения не жил в Италии.

11) Есть европейские страны, которые являются островными государствами.

Переформулированное высказывание: Существуют европейские страны, которые являются островными государствами.
Отрицание: Ни одна европейская страна не является островным государством.
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание истинно (Великобритания, Ирландия, Исландия, Мальта, Кипр), значит, его отрицание ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют европейские страны, которые являются островными государствами. Отрицание: Ни одна европейская страна не является островным государством.

12) Не все страны согласны с существующими границами.

Переформулированное высказывание: Существуют страны, которые не согласны с существующими границами.
Отрицание: Все страны согласны с существующими границами.
Проверка закона исключённого третьего: Первое высказывание истинно (в мире существует множество территориальных споров), следовательно, его отрицание ложно. Закон выполняется.
Ответ: Существуют страны, которые не согласны с существующими границами. Отрицание: Все страны согласны с существующими границами.

K 59 Сформулируй данные высказывания с помощью слова “существует”. Построй их отрицания и убедись в выполнении закона исключенного третьего.

1) Черепахи могут жить до 300 лет.

2) Есть млекопитающие, которые живут в воде.

3) Некоторые животные внесены в Красную книгу.

4) Не все птицы в России улетают зимой на юг.

5) Предложение может не иметь подлежащего.

6) Бывают словари, которые содержат все слова русского языка.

7) В некоторых книгах меньше 112 страниц.

8) Высказывание может быть вопросительным предложением.

9) Иногда высказывания бывают восклицательными предложениями.

10) Некоторые художники эпохи Возрождения жили в Италии.

11) Есть европейские страны, которые являются островными государствами.

12) Не все страны согласны с существующими границами.

60 Сформулируй разными способами высказывание «Некоторые дроби при сокращении уменьшаются». Построй его отрицание и приведи различные формулировки. Определи истинность данного высказывания и его отрицания.

Сформулируй разными способами высказывание «Некоторые дроби при сокращении уменьшаются»

Исходное высказывание является экзистенциальным (утверждает существование) и может быть переформулировано следующими способами:

• Существуют дроби, которые при сокращении становятся меньше.
• Найдётся хотя бы одна дробь, которая при сокращении уменьшится.
• Неверно, что любая дробь при сокращении не уменьшается (т.е. остается равной себе или увеличивается).

Ответ: Варианты формулировок: «Существуют дроби, которые при сокращении становятся меньше»; «Найдётся хотя бы одна дробь, которая при сокращении уменьшится».

Построй его отрицание и приведи различные формулировки

Отрицанием для высказывания с квантором существования («некоторые», «существует») является высказывание с квантором всеобщности («все», «любая», «каждая»), в котором утверждается противоположное свойство.

Отрицание исходного высказывания: «Все дроби при сокращении не уменьшаются».

Различные формулировки отрицания:

• Ни одна дробь при сокращении не уменьшается.
• Каждая дробь при сокращении не уменьшается.
• Не существует дроби, которая при сокращении уменьшается.
• Поскольку при сокращении значение дроби не может увеличиться, можно сформулировать точнее: «Все дроби при сокращении сохраняют свое значение».

Ответ: Отрицание: «Все дроби при сокращении не уменьшаются». Другие формулировки: «Ни одна дробь при сокращении не уменьшается», «Все дроби при сокращении сохраняют свое значение».

Определи истинность данного высказывания и его отрицания

Сокращение дроби — это деление её числителя и знаменателя на их общий положительный делитель $k$, больший единицы. По основному свойству дроби, её значение при этом не изменяется:

$\frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b}$

Например, сократим дробь $\frac{8}{12}$ на 4. Получим $\frac{2}{3}$. Значения дробей равны: $8 \div 12 = 2 \div 3 \approx 0.667$. Значение дроби не изменилось, следовательно, оно не уменьшилось.

Анализ истинности исходного высказывания:

Высказывание «Некоторые дроби при сокращении уменьшаются» утверждает, что найдется хотя бы одна дробь, которая станет меньше после сокращения. Так как значение любой дроби при сокращении не меняется, это утверждение ложно.

Анализ истинности отрицания:

Отрицание «Все дроби при сокращении не уменьшаются» утверждает, что любая дробь либо сохранит свое значение, либо увеличится. Так как значение любой дроби при сокращении сохраняется, оно не уменьшается. Следовательно, это утверждение истинно.

Ответ: Исходное высказывание «Некоторые дроби при сокращении уменьшаются» — ложно. Его отрицание «Все дроби при сокращении не уменьшаются» — истинно.

60 Сформулируй разными способами высказывание “Некоторые дроби при сокращении уменьшаются”. Построй его отрицание и приведи различные формулировки. Определи истинность данного высказывания и его отрицания.

61 Определи вид высказываний и установи их истинность или ложность. Для ложных высказываний построй отрицания.

1) Каждая неправильная дробь больше единицы.

2) Сумма двух неправильных дробей может оказаться правильной дробью.

3) Существует дробь с числителем 2, большая двух седьмых.

4) Некоторые дроби нельзя привести к одинаковому знаменателю.

5) Не из всякой неправильной дроби можно выделить целую часть.

6) Частное двух дробей может быть натуральным числом.

7) Дробь $ \frac{7}{16} $ можно перевести в десятичную дробь.

8) Дробь, знаменатель которой представим в виде $ 2^n \cdot 5^m $, где $ n, m $ – натуральные числа, можно перевести в десятичную.

1) Каждая неправильная дробь больше единицы.

Это общее высказывание. Оно является ложным, так как неправильная дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице, а не больше неё. Например, $ \frac{8}{8} = 1 $. Отрицание для этого ложного высказывания: Существует неправильная дробь, которая не больше единицы.
Ответ: Ложное. Отрицание: Существует неправильная дробь, которая не больше единицы.

2) Сумма двух неправильных дробей может оказаться правильной дробью.

Это высказывание о существовании. Оно является ложным. Неправильная дробь по определению больше или равна 1. Сумма двух чисел, каждое из которых не меньше 1, будет не меньше 2 ($1+1=2$). Правильная дробь всегда меньше 1. Следовательно, сумма двух неправильных дробей не может быть правильной дробью. Отрицание: Сумма двух неправильных дробей не может быть правильной дробью.
Ответ: Ложное. Отрицание: Сумма двух неправильных дробей не может быть правильной дробью.

3) Существует дробь с числителем 2, большая двух седьмых.

Это высказывание о существовании. Оно является истинным. Чтобы дробь $ \frac{2}{x} $ была больше дроби $ \frac{2}{7} $, её знаменатель $x$ должен быть меньше 7 (при условии, что $x$ - натуральное число). Например, дробь $ \frac{2}{5} $ больше, чем $ \frac{2}{7} $.
Ответ: Истинное.

4) Некоторые дроби нельзя привести к одинаковому знаменателю.

Это высказывание о существовании. Оно является ложным. Любые две (и более) обыкновенные дроби можно привести к общему знаменателю. Одним из таких знаменателей всегда будет произведение их исходных знаменателей. Отрицание: Любые дроби можно привести к одинаковому знаменателю.
Ответ: Ложное. Отрицание: Любые дроби можно привести к одинаковому знаменателю.

5) Не из всякой неправильной дроби можно выделить целую часть.

Это высказывание, равносильное высказыванию о существовании ("существует неправильная дробь, из которой нельзя..."). Оно является ложным. Выделение целой части из дроби $ \frac{a}{b} $ равносильно операции деления с остатком числителя $a$ на знаменатель $b$, что всегда возможно для натуральных $a$ и $b$. Отрицание: Из всякой неправильной дроби можно выделить целую часть.
Ответ: Ложное. Отрицание: Из всякой неправильной дроби можно выделить целую часть.

6) Частное двух дробей может быть натуральным числом.

Это высказывание о существовании. Оно является истинным. Например, частное от деления дроби $ \frac{1}{2} $ на дробь $ \frac{1}{4} $ равно 2, что является натуральным числом: $ \frac{1}{2} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2 $.
Ответ: Истинное.

7) Дробь $ \frac{7}{16} $ можно перевести в десятичную дробь.

Это единичное высказывание. Оно является истинным. Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби, если в разложении её знаменателя на простые множители содержатся только числа 2 и 5. Знаменатель 16 равен $ 2^4 $. Дробь $ \frac{7}{16} $ равна $0.4375$.
Ответ: Истинное.

8) Дробь, знаменатель которой представим в виде $2^n \cdot 5^m$, где n, m – натуральные числа, можно перевести в десятичную.

Это общее высказывание. Оно является истинным. Дробь, знаменатель которой имеет вид $ 2^n \cdot 5^m $, всегда можно привести к знаменателю, равному степени числа 10. Для этого достаточно домножить числитель и знаменатель на недостающую степень 2 или 5, чтобы степени у множителей 2 и 5 в знаменателе сравнялись. Это и означает возможность перевода в конечную десятичную дробь.
Ответ: Истинное.

61 Определи вид высказываний и установи их истинность или ложность. Для ложных высказываний построй отрицания.

1) Каждая неправильная дробь больше единицы.

2) Сумма двух неправильных дробей может оказаться правильной дробью.

3) Существует дробь с числителем 2, большая двух седьмых.

4) Некоторые дроби нельзя привести к одинаковому знаменателю.

5) Не из всякой неправильной дроби можно выделить целую часть.

6) Частное двух дробей может быть натуральным числом.

7) Дробь $\frac{7}{16}$ можно перевести в десятичную дробь.

8) Дробь, знаменатель которой представим в виде $2^n \cdot 5^m$, где $n, m$ – натуральные числа, можно перевести в десятичную.

62 Пусть $A$ – некоторое высказывание. Есть четыре задачи:

1) доказать $A$; 3) опровергнуть $A$;

2) доказать $\lnot A$; 4) опровергнуть $\lnot A$.

Какие из этих формулировок представляют одну и ту же задачу?

Для решения этой задачи необходимо разобраться в значении логических операций «доказать» и «опровергнуть». Доказать высказывание $X$ — значит установить его истинность. Опровергнуть высказывание $X$ — значит установить его ложность, что эквивалентно доказательству истинности его отрицания, то есть доказательству $¬X$. Исходя из этого, проанализируем пары задач.

Рассмотрим задачи 1) доказать А; и 4) опровергнуть ¬А.Задача «опровергнуть ¬А» означает доказать ложность высказывания $¬A$. Ложность высказывания $¬A$ эквивалентна истинности высказывания $A$. Это следует из закона двойного отрицания в классической логике: $¬(¬A) \equiv A$. Таким образом, задача «опровергнуть $¬A$» полностью совпадает с задачей «доказать $A$».
Ответ: задачи 1 и 4 представляют одну и ту же задачу.

Рассмотрим задачи 2) доказать ¬А; и 3) опровергнуть А.Задача «опровергнуть А» означает доказать ложность высказывания $A$. Ложность высказывания $A$ по определению эквивалентна истинности его отрицания, то есть $¬A$. Таким образом, задача «опровергнуть $A$» полностью совпадает с задачей «доказать $¬A$».
Ответ: задачи 2 и 3 представляют одну и ту же задачу.

62 Пусть $A$ – некоторое высказывание. Есть четыре задачи:

1) Доказать $A$.

2) Доказать $\neg A$.

3) Опровергнуть $A$.

4) Опровергнуть $\neg A$.

Какие из этих формулировок представляют одну и ту же задачу?

63. 1) Представь данные дроби в виде несократимых и продолжи ряд на два числа, сохраняя закономерность:

$\frac{27}{54}$, $\frac{270}{360}$, $\frac{405}{486}$, $\frac{210}{240}$, $\frac{225}{250}$ ...

2) Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю и продолжи ряд на два числа, сохраняя закономерность:

$\frac{13}{280}$, $\frac{1}{21}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{3}{56}$, $\frac{7}{120}$ ...

1)

Сначала представим данные дроби в виде несократимых, то есть разделим числитель и знаменатель каждой дроби на их наибольший общий делитель (НОД).

$ \frac{27}{54} = \frac{27 \div 27}{54 \div 27} = \frac{1}{2} $
$ \frac{270}{360} = \frac{270 \div 90}{360 \div 90} = \frac{3}{4} $
$ \frac{405}{486} = \frac{405 \div 81}{486 \div 81} = \frac{5}{6} $
$ \frac{210}{240} = \frac{210 \div 30}{240 \div 30} = \frac{7}{8} $
$ \frac{225}{250} = \frac{225 \div 25}{250 \div 25} = \frac{9}{10} $

Получился следующий ряд несократимых дробей: $ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \frac{9}{10}, ... $

Закономерность в этом ряду такова: числители дробей — это последовательные нечетные числа ($1, 3, 5, 7, 9, ...$), а знаменатели — последовательные четные числа ($2, 4, 6, 8, 10, ...$), причем каждый знаменатель на единицу больше своего числителя.

Чтобы продолжить ряд, возьмем следующие два нечетных числа для числителей: 11 и 13. Соответствующие знаменатели будут 12 и 14.

Таким образом, следующие два члена ряда:

$ \frac{11}{12} $ и $ \frac{13}{14} $.

Ответ: Ряд несократимых дробей: $ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{7}{8}, \frac{9}{10}, \frac{11}{12}, \frac{13}{14} $.

2)

Чтобы найти закономерность, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Сначала разложим знаменатели на простые множители:

$ 280 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 $
$ 21 = 3 \cdot 7 $
$ 20 = 2^2 \cdot 5 $
$ 56 = 2^3 \cdot 7 $
$ 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 $

НОЗ равен произведению всех простых множителей в их наибольшей степени:
$ НОЗ = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840 $.

Теперь приведем все дроби к знаменателю 840, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

$ \frac{13}{280} = \frac{13 \cdot 3}{280 \cdot 3} = \frac{39}{840} $
$ \frac{1}{21} = \frac{1 \cdot 40}{21 \cdot 40} = \frac{40}{840} $
$ \frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 42}{20 \cdot 42} = \frac{42}{840} $
$ \frac{3}{56} = \frac{3 \cdot 15}{56 \cdot 15} = \frac{45}{840} $
$ \frac{7}{120} = \frac{7 \cdot 7}{120 \cdot 7} = \frac{49}{840} $

Рассмотрим последовательность числителей: $39, 40, 42, 45, 49$.
Найдем разность между соседними членами:

$ 40 - 39 = 1 $
$ 42 - 40 = 2 $
$ 45 - 42 = 3 $
$ 49 - 45 = 4 $

Разность между числителями каждый раз увеличивается на 1. Следовательно, следующие разности будут 5 и 6.

Найдем следующие числители:
$ 49 + 5 = 54 $
$ 54 + 6 = 60 $

Таким образом, следующие две дроби в ряду со знаменателем 840 — это $ \frac{54}{840} $ и $ \frac{60}{840} $. Продолжая исходный ряд, мы должны представить эти дроби в несократимом виде:

$ \frac{54}{840} = \frac{54 \div 6}{840 \div 6} = \frac{9}{140} $
$ \frac{60}{840} = \frac{60 \div 60}{840 \div 60} = \frac{1}{14} $

Ответ: Следующие два числа в ряду: $ \frac{9}{140} $ и $ \frac{1}{14} $.

63 1) Представь данные дроби в виде несократимых и продолжи ряд на два числа, сохраняя закономерность:

$\frac{27}{54}, \frac{270}{360}, \frac{405}{486}, \frac{210}{240}, \frac{225}{250} \dots$

2) Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю и продолжи ряд на два числа, сохраняя закономерность:

$\frac{13}{280}, \frac{1}{21}, \frac{1}{20}, \frac{3}{56}, \frac{7}{120} \dots$

К 57 Запиши равенство двух отношений двумя способами. Проверь, является ли оно пропорцией. Если да, то назови крайние и средние члены пропорции.

а) 7 так относится к 14, как 3 относится к 6;

б) отношение 8 к 3 равно отношению 40 к 15;

в) 36 во столько раз больше 20, во сколько раз 9 больше 5;

г) 2 составляет такую же часть от 10, какую 3 составляет от 15.

а) 7 так относится к 14, как 3 относится к 6;

Данное утверждение можно записать в виде равенства двух отношений двумя способами:

1. В строчку: $7 : 14 = 3 : 6$

2. В виде дробей: $\frac{7}{14} = \frac{3}{6}$

Проверим, является ли это равенство пропорцией. Для этого можно вычислить значения отношений или проверить основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних).

Способ 1: Вычислим значения отношений.

$7 \div 14 = 0,5$

$3 \div 6 = 0,5$

Поскольку значения отношений равны ($0,5 = 0,5$), это равенство является пропорцией.

Способ 2: Проверим основное свойство пропорции для $7 : 14 = 3 : 6$.

Крайние члены — это 7 и 6. Их произведение: $7 \cdot 6 = 42$.

Средние члены — это 14 и 3. Их произведение: $14 \cdot 3 = 42$.

Поскольку произведения равны ($42 = 42$), это равенство является пропорцией.

В данной пропорции крайними членами являются 7 и 6, а средними членами — 14 и 3.

Ответ: Равенство $7 : 14 = 3 : 6$ (или $\frac{7}{14} = \frac{3}{6}$) является пропорцией. Крайние члены: 7 и 6; средние члены: 14 и 3.

б) отношение 8 к 3 равно отношению 40 к 15;

Запишем равенство отношений двумя способами:

1. $8 : 3 = 40 : 15$

2. $\frac{8}{3} = \frac{40}{15}$

Проверим, является ли это равенство пропорцией, используя основное свойство пропорции. В записи $a : b = c : d$ крайними членами являются $a$ и $d$, а средними — $b$ и $c$.

Произведение крайних членов: $8 \cdot 15 = 120$.

Произведение средних членов: $3 \cdot 40 = 120$.

Так как $120 = 120$, равенство является пропорцией.

Крайние члены пропорции: 8 и 15.

Средние члены пропорции: 3 и 40.

Ответ: Равенство $8 : 3 = 40 : 15$ (или $\frac{8}{3} = \frac{40}{15}$) является пропорцией. Крайние члены: 8 и 15; средние члены: 3 и 40.

в) 36 во столько раз больше 20, во сколько раз 9 больше 5;

Это утверждение означает, что отношение 36 к 20 равно отношению 9 к 5. Запишем это равенство двумя способами:

1. $36 : 20 = 9 : 5$

2. $\frac{36}{20} = \frac{9}{5}$

Проверим, является ли это равенство пропорцией, по основному свойству.

Произведение крайних членов: $36 \cdot 5 = 180$.

Произведение средних членов: $20 \cdot 9 = 180$.

Так как $180 = 180$, равенство является пропорцией.

Крайние члены пропорции: 36 и 5.

Средние члены пропорции: 20 и 9.

Ответ: Равенство $36 : 20 = 9 : 5$ (или $\frac{36}{20} = \frac{9}{5}$) является пропорцией. Крайние члены: 36 и 5; средние члены: 20 и 9.

г) 2 составляет такую же часть от 10, какую 3 составляет от 15.

Это утверждение означает, что отношение 2 к 10 равно отношению 3 к 15. Запишем это равенство двумя способами:

1. $2 : 10 = 3 : 15$

2. $\frac{2}{10} = \frac{3}{15}$

Проверим, является ли это равенство пропорцией, по основному свойству.

Произведение крайних членов: $2 \cdot 15 = 30$.

Произведение средних членов: $10 \cdot 3 = 30$.

Так как $30 = 30$, равенство является пропорцией.

Крайние члены пропорции: 2 и 15.

Средние члены пропорции: 10 и 3.

Ответ: Равенство $2 : 10 = 3 : 15$ (или $\frac{2}{10} = \frac{3}{15}$) является пропорцией. Крайние члены: 2 и 15; средние члены: 10 и 3.

К 57 Запиши равенство двух отношений двумя способами. Проверь, является ли оно пропорцией. Если да, то назови крайние и средние члены пропорции.

а) 7 так относится к 14, как 3 относится к 6; $\frac{7}{14} = \frac{3}{6}$

б) отношение 8 к 3 равно отношению 40 к 15; $\frac{8}{3} = \frac{40}{15}$

в) 36 во столько раз больше 20, во сколько раз 9 больше 5; $\frac{36}{20} = \frac{9}{5}$

г) 2 составляет такую же часть от 10, какую 3 составляет от 15. $\frac{2}{10} = \frac{3}{15}$

58 Выбери из данных отношений те, из которых можно составить пропорцию:

1) $5 : 15$;

2) $\frac{2}{9} : \frac{2}{27}$;

3) $3 : 1,2$;

4) $0,2 : 3$;

5) $\frac{1}{3} : 3$;

6) $4,2 : 21$;

7) $1,2 : 4$;

8) $0,1 : 0,4$;

9) $3\frac{1}{3} : 50$;

10) $1,5 : 0,05$.

Чтобы выбрать из данных отношений те, из которых можно составить пропорцию, необходимо найти пары отношений, которые имеют равные значения. Пропорция — это равенство двух отношений. Для этого мы вычислим и упростим каждое из десяти предложенных отношений.

1) 5 : 15;
Вычислим значение отношения, разделив 5 на 15 и сократив дробь:
$5 : 15 = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

2) $\frac{2}{9} : \frac{2}{27}$;
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{2}{9} : \frac{2}{27} = \frac{2}{9} \cdot \frac{27}{2} = \frac{2 \cdot 27}{9 \cdot 2} = \frac{27}{9} = 3$

3) 3 : 1,2;
Чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе, умножим делимое и делитель на 10:
$3 : 1,2 = 30 : 12 = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5$

4) 0,2 : 3;
Чтобы избавиться от десятичной дроби в делимом, умножим делимое и делитель на 10:
$0,2 : 3 = 2 : 30 = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

5) $\frac{1}{3} : 3$;
Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число:
$\frac{1}{3} : 3 = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$

6) 4,2 : 21;
Чтобы избавиться от десятичной дроби в делимом, умножим делимое и делитель на 10:
$4,2 : 21 = 42 : 210 = \frac{42}{210} = \frac{42 \div 42}{210 \div 42} = \frac{1}{5}$

7) 1,2 : 4;
Чтобы избавиться от десятичной дроби в делимом, умножим делимое и делитель на 10:
$1,2 : 4 = 12 : 40 = \frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 0,3$

8) 0,1 : 0,4;
Умножим оба числа на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$0,1 : 0,4 = 1 : 4 = \frac{1}{4} = 0,25$

9) $3\frac{1}{3} : 50$;
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{10}{3} : 50 = \frac{10}{3 \cdot 50} = \frac{10}{150} = \frac{1}{15}$

10) 1,5 : 0,05.
Умножим оба числа на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$1,5 : 0,05 = 150 : 5 = 30$

Сравнив вычисленные значения всех отношений, мы видим, что равные значения имеют отношения под номерами 4 и 9:
$0,2 : 3 = \frac{1}{15}$
$3\frac{1}{3} : 50 = \frac{1}{15}$
Следовательно, из этих двух отношений можно составить пропорцию: $0,2 : 3 = 3\frac{1}{3} : 50$.
Ответ: 4) и 9).

58 Выбери из данных отношений те, из которых можно составить пропорцию:

1) $5 : 15;$

3) $3 : 1,2;$

5) $\frac{1}{3} : 3;$

7) $1,2 : 4;$

9) $3\frac{1}{3} : 50;$

2) $\frac{2}{9} : \frac{2}{27};$

4) $0,2 : 3;$

6) $4,2 : 21;$

8) $0,1 : 0,4;$

10) $1,5 : 0,05.$

59 В чём заключается основное свойство пропорции? Запиши его для пропорций:

1) $m : n = k : p$;

2) $\frac{x}{y} = \frac{z}{t}$. Как иначе называют это свойство?

Основное свойство пропорции заключается в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов. Если пропорция записана в виде $a : b = c : d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то её основное свойство выражается формулой: $a \cdot d = b \cdot c$.

1) m : n = k : p;

В данной пропорции крайними членами являются m и p, а средними членами — n и k. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних.

$m \cdot p = n \cdot k$

Ответ: $m \cdot p = n \cdot k$

2) $\frac{x}{y} = \frac{z}{t}$;

В этой пропорции, записанной в виде равенства дробей, крайними членами являются числитель первой дроби x и знаменатель второй дроби t. Средними членами являются знаменатель первой дроби y и числитель второй дроби z. Применяя основное свойство, получаем равенство:

$x \cdot t = y \cdot z$

Ответ: $x \cdot t = y \cdot z$

Иначе это свойство называют правилом креста или перекрёстным умножением, так как при умножении членов пропорции, записанной в виде дробей, линии умножения образуют крест.

59 В чем заключается основное свойство пропорции? Запиши его для пропорций:

1) $m : n = k : p$;

2) $\frac{x}{y} = \frac{z}{t}$.

Как иначе называют это свойство?

60 Прочитай пропорцию разными способами, назови её крайние и средние члены:

a) $9 : 1 = 18 : 2;$

б) $\frac{1}{4} = \frac{3}{12};$

в) $0,5 : \frac{1}{30} = 6 : 0,4;$

г) $\frac{8}{2,4} = \frac{5}{1,5}.$

Докажи истинность утверждений, используя основное свойство пропорции.

а) Пропорцию $9 : 1 = 18 : 2$ можно прочитать несколькими способами:
1. "Девять относится к одному, как восемнадцать относится к двум".
2. "Отношение девяти к одному равно отношению восемнадцати к двум".
Крайние члены этой пропорции — 9 и 2.
Средние члены — 1 и 18.
Чтобы доказать истинность утверждения, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
Проверим равенство: $9 \cdot 2 = 1 \cdot 18$.
$18 = 18$.
Равенство верно, следовательно, пропорция истинна.
Ответ: Крайние члены: 9 и 2. Средние члены: 1 и 18. Утверждение истинно, так как $9 \cdot 2 = 1 \cdot 18$.

б) Пропорцию $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ можно прочитать так: "Отношение одного к четырем равно отношению трех к двенадцати". В виде $a:b=c:d$ она записывается как $1 : 4 = 3 : 12$.
Крайние члены этой пропорции — 1 и 12.
Средние члены — 4 и 3.
Проверим основное свойство пропорции: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних.
Проверим равенство: $1 \cdot 12 = 4 \cdot 3$.
$12 = 12$.
Равенство верно, следовательно, пропорция истинна.
Ответ: Крайние члены: 1 и 12. Средние члены: 4 и 3. Утверждение истинно, так как $1 \cdot 12 = 4 \cdot 3$.

в) Пропорцию $0,5 : \frac{1}{30} = 6 : 0,4$ можно прочитать так: "Отношение ноль целых пяти десятых к одной тридцатой равно отношению шести к ноль целых четырем десятым".
Крайние члены этой пропорции — 0,5 и 0,4.
Средние члены — $\frac{1}{30}$ и 6.
Проверим основное свойство пропорции: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних.
Произведение крайних членов: $0,5 \cdot 0,4 = 0,2$.
Произведение средних членов: $\frac{1}{30} \cdot 6 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Так как $0,2 = 0,2$, равенство верно, следовательно, пропорция истинна.
Ответ: Крайние члены: 0,5 и 0,4. Средние члены: $\frac{1}{30}$ и 6. Утверждение истинно, так как $0,5 \cdot 0,4 = \frac{1}{30} \cdot 6$.

г) Пропорцию $\frac{8}{2,4} = \frac{5}{1,5}$ можно прочитать так: "Отношение восьми к двум целым четырем десятым равно отношению пяти к одной целой пяти десятым". В виде $a:b=c:d$ она записывается как $8 : 2,4 = 5 : 1,5$.
Крайние члены этой пропорции — 8 и 1,5.
Средние члены — 2,4 и 5.
Проверим основное свойство пропорции: произведение крайних членов должно быть равно произведению средних.
Проверим равенство: $8 \cdot 1,5 = 2,4 \cdot 5$.
$12 = 12$.
Равенство верно, следовательно, пропорция истинна.
Ответ: Крайние члены: 8 и 1,5. Средние члены: 2,4 и 5. Утверждение истинно, так как $8 \cdot 1,5 = 2,4 \cdot 5$.

60 Прочитай пропорцию разными способами, назови ее крайние и средние члены:

a) $9 : 1 = 18 : 2;$

б) $\frac{1}{4} = \frac{3}{12};$

в) $0,5 : \frac{1}{30} = 6 : 0,4;$

г) $\frac{8}{2,4} = \frac{5}{1,5}.$

Докажи истинность утверждений, используя основное свойство пропорции.

61 Проверь двумя способами, является ли равенство пропорцией. Какой из способов проверки удобнее применить в каждом случае?

а) $4 : 1\frac{1}{5} = 5 : 1,5;$

б) $\frac{9}{10} = \frac{0,9}{0,01};$

в) $7 : 14 = 2\frac{1}{3} : 4\frac{2}{3};$

г) $\frac{3}{2,5} = \frac{4}{3\frac{1}{3}}.$

Проверить, является ли равенство пропорцией, можно двумя основными способами.

1. Используя основное свойство пропорции. Пропорция $a:b = c:d$ верна, если произведение её крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$), то есть $a \cdot d = b \cdot c$.
2. Сравнивая значения отношений. Пропорция $a:b = c:d$ верна, если частное от деления $a$ на $b$ равно частному от деления $c$ на $d$.

а) $4 : 1\frac{1}{5} = 5 : 1,5$

Сначала преобразуем числа к одному виду, например, к десятичным дробям: $1\frac{1}{5} = 1,2$. Равенство примет вид: $4 : 1,2 = 5 : 1,5$.

Способ 1 (основное свойство пропорции). Проверим равенство произведений крайних и средних членов. Крайние члены — 4 и 1,5. Средние члены — 1,2 и 5.
Произведение крайних членов: $4 \cdot 1,5 = 6$.
Произведение средних членов: $1,2 \cdot 5 = 6$.
Поскольку $6 = 6$, равенство является пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений). Вычислим значение каждого отношения.
Первое отношение: $4 : 1\frac{1}{5} = 4 : \frac{6}{5} = 4 \cdot \frac{5}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.
Второе отношение: $5 : 1,5 = 5 : \frac{3}{2} = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.
Значения отношений равны, значит, равенство является пропорцией.

В данном случае удобнее применить первый способ, предварительно преобразовав числа в десятичные дроби. Умножение десятичных дробей ($4 \cdot 1,5$ и $1,2 \cdot 5$) здесь проще, чем деление и работа со смешанными дробями.

Ответ: является пропорцией.

б) $\frac{9}{10} = \frac{0,9}{0,01}$

Способ 1 (основное свойство пропорции). Равенство можно записать как $9 : 10 = 0,9 : 0,01$. Крайние члены — 9 и 0,01. Средние члены — 10 и 0,9.
Произведение крайних членов: $9 \cdot 0,01 = 0,09$.
Произведение средних членов: $10 \cdot 0,9 = 9$.
Поскольку $0,09 \neq 9$, равенство не является пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений). Вычислим значение каждой дроби.
Первое отношение: $\frac{9}{10} = 0,9$.
Второе отношение: $\frac{0,9}{0,01} = \frac{0,9 \cdot 100}{0,01 \cdot 100} = \frac{90}{1} = 90$.
Поскольку $0,9 \neq 90$, равенство не является пропорцией.

Оба способа достаточно просты. Однако второй способ (сравнение отношений) в данном случае несколько нагляднее, так как сразу показывает большую разницу в значениях ($0,9$ и $90$).

Ответ: не является пропорцией.

в) $7 : 14 = 2\frac{1}{3} : 4\frac{2}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Способ 1 (основное свойство пропорции). Крайние члены — 7 и $\frac{14}{3}$. Средние члены — 14 и $\frac{7}{3}$.
Произведение крайних членов: $7 \cdot \frac{14}{3} = \frac{98}{3}$.
Произведение средних членов: $14 \cdot \frac{7}{3} = \frac{98}{3}$.
Произведения равны, следовательно, равенство является пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений). Вычислим значение каждого отношения.
Первое отношение: $7 : 14 = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Второе отношение: $2\frac{1}{3} : 4\frac{2}{3} = \frac{7}{3} : \frac{14}{3} = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Значения отношений равны, значит, равенство является пропорцией.

В этом случае значительно удобнее второй способ. Вычисления при нахождении значений отношений проще, так как дроби легко сокращаются до $\frac{1}{2}$, в то время как первый способ приводит к более громоздким числам.

Ответ: является пропорцией.

г) $\frac{3}{2,5} = \frac{4}{3\frac{1}{3}}$

Преобразуем числа в неправильные дроби: $2,5 = \frac{5}{2}$; $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$. Равенство можно записать как $3 : \frac{5}{2} = 4 : \frac{10}{3}$.

Способ 1 (основное свойство пропорции). Крайние члены — 3 и $\frac{10}{3}$. Средние члены — $\frac{5}{2}$ и 4.
Произведение крайних членов: $3 \cdot \frac{10}{3} = 10$.
Произведение средних членов: $\frac{5}{2} \cdot 4 = 10$.
Поскольку $10 = 10$, равенство является пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений). Вычислим значение каждого отношения.
Первое отношение: $\frac{3}{2,5} = \frac{3}{5/2} = 3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$.
Второе отношение: $\frac{4}{3\frac{1}{3}} = \frac{4}{10/3} = 4 \cdot \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1,2$.
Значения отношений равны, следовательно, равенство является пропорцией.

Здесь удобнее применить первый способ. При перемножении по основному свойству пропорции дроби удачно сокращаются, и в результате получаются целые числа ($10=10$), что делает проверку очень простой.

Ответ: является пропорцией.

61 Проверь двумя способами, является ли равенство пропорцией. Какой из способов проверки удобнее применить в каждом случае?

а) $4 : 1 \frac{1}{5} = 5 : 1,5;$

б) $\frac{9}{10} = \frac{0,9}{0,01};$

в) $7 : 14 = 2 \frac{1}{3} : 4 \frac{2}{3};$

г) $\frac{3}{2,5} = \frac{4}{3 \frac{1}{3}}.$

62 Составь, если возможно, пропорцию из 4 данных чисел. Можно ли составить из этих чисел другие пропорции?

а) 2; 5; 20; 8;

б) 18; 4; 24; 3;

в) 4,5; 6; 9; 12;

г) $\frac{1}{7}$; 0,2; $\frac{5}{7}$; 1.

а) Чтобы определить, можно ли составить пропорцию из чисел 2; 5; 20; 8, расположим их в порядке возрастания: 2, 5, 8, 20. Согласно основному свойству пропорции, произведение ее крайних членов должно быть равно произведению средних членов. Проверим это свойство для данных чисел. Произведение крайних членов (2 и 20) равно $2 \cdot 20 = 40$. Произведение средних членов (5 и 8) равно $5 \cdot 8 = 40$. Так как $40 = 40$, из этих чисел можно составить пропорцию. Например, $2:5 = 8:20$. Да, из этих чисел можно составить и другие пропорции путем перестановки членов. Например: $2:8 = 5:20$ или $20:5 = 8:2$.
Ответ: Да, можно. Например, $2:5 = 8:20$. Можно составить и другие пропорции.

б) Расположим числа 18; 4; 24; 3 в порядке возрастания: 3, 4, 18, 24. Проверим, равно ли произведение крайних членов произведению средних. Произведение крайних членов (3 и 24) равно $3 \cdot 24 = 72$. Произведение средних членов (4 и 18) равно $4 \cdot 18 = 72$. Поскольку произведения равны ($72 = 72$), пропорцию составить можно. Например: $3:4 = 18:24$. Да, можно составить и другие пропорции. Например: $3:18 = 4:24$ или $24:4 = 18:3$.
Ответ: Да, можно. Например, $3:4 = 18:24$. Можно составить и другие пропорции.

в) Числа 4,5; 6; 9; 12 уже расположены в порядке возрастания. Проверим основное свойство пропорции. Произведение крайних членов (4,5 и 12) равно $4.5 \cdot 12 = 54$. Произведение средних членов (6 и 9) равно $6 \cdot 9 = 54$. Так как $54 = 54$, из этих чисел можно составить пропорцию. Например: $4.5:6 = 9:12$. Да, из этих чисел можно составить и другие пропорции. Например: $4.5:9 = 6:12$ или $12:9 = 6:4.5$.
Ответ: Да, можно. Например, $4.5:6 = 9:12$. Можно составить и другие пропорции.

г) Для чисел $\frac{1}{7}; 0.2; \frac{5}{7}; 1$ сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Теперь у нас есть набор чисел: $\frac{1}{7}, \frac{1}{5}, \frac{5}{7}, 1$. Расположив их в порядке возрастания, получим ту же последовательность: $\frac{1}{7}, \frac{1}{5}, \frac{5}{7}, 1$. Проверим произведение крайних и средних членов. Произведение крайних членов ($\frac{1}{7}$ и 1) равно $\frac{1}{7} \cdot 1 = \frac{1}{7}$. Произведение средних членов ($\frac{1}{5}$ и $\frac{5}{7}$) равно $\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 7} = \frac{1}{7}$. Так как произведения равны ($\frac{1}{7} = \frac{1}{7}$), пропорцию составить можно. Например, используя исходные числа: $\frac{1}{7} : 0.2 = \frac{5}{7} : 1$. Да, можно составить и другие пропорции. Например: $\frac{1}{7} : \frac{5}{7} = 0.2 : 1$ или $1 : 0.2 = \frac{5}{7} : \frac{1}{7}$.
Ответ: Да, можно. Например, $\frac{1}{7} : 0.2 = \frac{5}{7} : 1$. Можно составить и другие пропорции.

62 Составь, если возможно, пропорцию из 4 данных чисел. Можно ли составить из этих чисел другие пропорции?

а) 2; 5; 20; 8;

б) 18; 4; 24; 3;

в) 4,5; 6; 9; 12;

г) $\frac{1}{7}$; 0,2; $\frac{5}{7}$; 1.

63. Напиши пропорцию, в которой каждое отношение равно:

а) 2;

б) $\frac{1}{3}$.

а)

Пропорция – это равенство двух отношений. Чтобы составить пропорцию, в которой каждое отношение равно 2, нужно найти два отношения, значение которых равно 2, и приравнять их.

Отношение можно записать в виде $a : b$ или $\frac{a}{b}$. Нам нужно, чтобы $\frac{a}{b} = 2$.

1. Найдем первое отношение. Возьмем любое число в качестве знаменателя (делителя), например, 4. Чтобы отношение было равно 2, числитель (делимое) должен быть в 2 раза больше.
$a = 4 \cdot 2 = 8$.
Первое отношение: $8 : 4 = 2$.

2. Найдем второе отношение. Возьмем другой знаменатель, например, 5. Числитель должен быть в 2 раза больше.
$c = 5 \cdot 2 = 10$.
Второе отношение: $10 : 5 = 2$.

3. Составим пропорцию, приравняв полученные отношения:
$8 : 4 = 10 : 5$
Проверка: $8 \div 4 = 2$ и $10 \div 5 = 2$. Так как $2=2$, пропорция верна.

Ответ: $8 : 4 = 10 : 5$ (возможны и другие варианты, например, $2 : 1 = 6 : 3$).

б)

Аналогично, составим пропорцию, в которой каждое отношение равно $\frac{1}{3}$. Нам нужно, чтобы $\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$.

1. Найдем первое отношение. Возьмем любое число в качестве числителя (делимого), например, 1. Чтобы отношение было равно $\frac{1}{3}$, знаменатель (делитель) должен быть в 3 раза больше.
$b = 1 \cdot 3 = 3$.
Первое отношение: $1 : 3 = \frac{1}{3}$.

2. Найдем второе отношение. Возьмем другой числитель, например, 4. Знаменатель должен быть в 3 раза больше.
$d = 4 \cdot 3 = 12$.
Второе отношение: $4 : 12 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

3. Составим пропорцию, приравняв полученные отношения:
$1 : 3 = 4 : 12$
Проверка: $1 \div 3 = \frac{1}{3}$ и $4 \div 12 = \frac{1}{3}$. Равенство верно.

Ответ: $1 : 3 = 4 : 12$ (возможны и другие варианты, например, $2 : 6 = 5 : 15$).

63. Напиши пропорцию, в которой каждое отношение равно:

а) $2$;

б) $\frac{1}{3}$.

70 Докажи, что:

а) число -3 является корнем уравнения $x^2 - 5 = 2x + 10$;

б) число 5 не является корнем уравнения $|-y| = -y$;

в) число 0 является корнем уравнения $k^2 = 2k$;

г) число -2 не является корнем уравнения $a(a - 1)(a + 1) = 0$.

а) Чтобы доказать, что число -3 является корнем уравнения $x^2 - 5 = 2x + 10$, нужно подставить значение $x = -3$ в обе части уравнения и проверить, будет ли равенство верным.
Подставляем в левую часть: $x^2 - 5 = (-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4$.
Подставляем в правую часть: $2x + 10 = 2 \cdot (-3) + 10 = -6 + 10 = 4$.
Поскольку левая и правая части уравнения равны ($4 = 4$), число -3 является корнем данного уравнения.
Ответ: что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что число 5 не является корнем уравнения $|-y| = -y$, подставим значение $y = 5$ в уравнение.
Получаем: $|-5| = -5$.
Вычислим значение левой части: $|-5| = 5$.
Правая часть равна -5.
Поскольку $5 \ne -5$, равенство неверное. Следовательно, число 5 не является корнем данного уравнения.
Ответ: что и требовалось доказать.

в) Чтобы доказать, что число 0 является корнем уравнения $k^2 = 2k$, подставим значение $k = 0$ в обе части уравнения.
Левая часть: $k^2 = 0^2 = 0$.
Правая часть: $2k = 2 \cdot 0 = 0$.
Поскольку левая и правая части уравнения равны ($0 = 0$), число 0 является корнем данного уравнения.
Ответ: что и требовалось доказать.

г) Чтобы доказать, что число -2 не является корнем уравнения $a(a-1)(a+1)=0$, подставим значение $a = -2$ в левую часть уравнения.
Вычисляем: $-2 \cdot (-2-1) \cdot (-2+1) = -2 \cdot (-3) \cdot (-1) = 6 \cdot (-1) = -6$.
Правая часть уравнения равна 0.
Поскольку $-6 \ne 0$, равенство неверное. Следовательно, число -2 не является корнем данного уравнения.
Ответ: что и требовалось доказать.

70 Докажи, что:

а) число -3 является корнем уравнения $x^2 - 5 = 2x + 10$;

б) число 5 не является корнем уравнения $\vert -y \vert = -y$;

в) число 0 является корнем уравнения $k^2 = 2k$;

г) число -2 не является корнем уравнения $a(a - 1)(a + 1) = 0$.

71. Является ли корнем уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$ число:

а) 2;

б) -2;

в) $\frac{1}{2}$;

г) $-\frac{1}{2}$?

Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной $x$ в уравнение. Если в результате получается верное числовое равенство (например, $0=0$), то число является корнем. В противном случае — не является.

Дано уравнение: $2x^2 + 5x + 2 = 0$.

а) 2;

Подставляем $x = 2$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot (2)^2 + 5 \cdot 2 + 2 = 2 \cdot 4 + 10 + 2 = 8 + 10 + 2 = 20$.

Поскольку $20 \ne 0$, число 2 не является корнем уравнения.

Ответ: не является.

б) -2;

Подставляем $x = -2$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) + 2 = 2 \cdot 4 - 10 + 2 = 8 - 10 + 2 = 0$.

Поскольку получилось $0$, что равно правой части уравнения, число -2 является корнем уравнения.

Ответ: является.

в) $\frac{1}{2}$;

Подставляем $x = \frac{1}{2}$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} + 2 = \frac{6}{2} + 2 = 3 + 2 = 5$.

Поскольку $5 \ne 0$, число $\frac{1}{2}$ не является корнем уравнения.

Ответ: не является.

г) $-\frac{1}{2}$?

Подставляем $x = -\frac{1}{2}$ в левую часть уравнения:

$2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 2 = -\frac{4}{2} + 2 = -2 + 2 = 0$.

Поскольку получилось $0$, что равно правой части уравнения, число $-\frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

Ответ: является.

71. Является ли корнем уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$ число:

а) 2;

б) -2;

в) $\frac{1}{2}$;

г) $-\frac{1}{2}$?

72 Имеет ли корни уравнение и сколько:

а) $|x|=3,$

$|y|=-3,$

$|z|=0;$

б) $x^2=16,$

$x^2=-16,$

$x^2=0;$

В) $\frac{x(x-5)}{x}=0,$

$\frac{2(y+3)(y-6)}{y}=0,$

$-4z(z-1)(z+2)(z-3)(z+4)=0?$

а)

Уравнение $|x| = 3$.
Модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Расстояние 3 от начала координат имеют две точки: 3 и -3. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Ответ: имеет 2 корня.

Уравнение $|y| = -3$.
Модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|y| \ge 0$ для любого $y$. Следовательно, модуль не может быть равен отрицательному числу -3.
Ответ: не имеет корней.

Уравнение $|z| = 0$.
Модуль числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. Следовательно, уравнение имеет один корень: $z = 0$.
Ответ: имеет 1 корень.

б)

Уравнение $x^2 = 16$.
Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. $x = \pm\sqrt{16}$, что дает два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Ответ: имеет 2 корня.

Уравнение $x^2 = -16$.
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, квадрат числа не может быть равен отрицательному числу -16 (в области действительных чисел).
Ответ: не имеет действительных корней.

Уравнение $x^2 = 0$.
Квадрат числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. Уравнение имеет один корень: $x = 0$.
Ответ: имеет 1 корень.

в)

Уравнение $\frac{x(x - 5)}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \ne 0$. На ОДЗ можно сократить $x$ в числителе и знаменателе: $x - 5 = 0$. Отсюда получаем $x = 5$. Этот корень удовлетворяет условию ОДЗ ($5 \ne 0$).
Ответ: имеет 1 корень.

Уравнение $\frac{2(y + 3)(y - 6)}{y} = 0$.
ОДЗ: $y \ne 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю: $2(y + 3)(y - 6) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $y + 3 = 0$ или $y - 6 = 0$. Получаем два корня: $y_1 = -3$ и $y_2 = 6$. Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ.
Ответ: имеет 2 корня.

Уравнение $-4z(z - 1)(z + 2)(z - 3)(z + 4) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель, содержащий переменную, к нулю:
$z = 0$;
$z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$;
$z + 2 = 0 \Rightarrow z = -2$;
$z - 3 = 0 \Rightarrow z = 3$;
$z + 4 = 0 \Rightarrow z = -4$.
Уравнение имеет пять различных корней.
Ответ: имеет 5 корней.

72 Имеет ли корни уравнение и сколько:

a) $|x| = 3$

$|y| = -3$

$|z| = 0$

б) $x^2 = 16$

$x^2 = -16$

$x^2 = 0$

в) $\frac{x(x-5)}{x} = 0$

$\frac{2(y+3)(y-6)}{y} = 0$

$-4z(z-1)(z+2)(z-3)(z+4) = 0? $

73. Докажи, что корнем уравнения является любое число:

а) $ (-x)^2 = x^2 $;

б) $ (-x)^3 = -x^3 $;

в) $ 3(x - 4) = x - 2(6 - x) $;

г) $ |x| = |-x| $.

а) Чтобы доказать, что уравнение $(-x)^2 = x^2$ верно для любого числа, необходимо показать, что левая часть тождественно равна правой. Преобразуем левую часть, используя свойство степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$.
Представим $-x$ как произведение $-1$ и $x$:
$(-x)^2 = (-1 \cdot x)^2 = (-1)^2 \cdot x^2$
Поскольку $(-1)^2 = 1$, получаем:
$1 \cdot x^2 = x^2$
Таким образом, мы пришли к тождеству $x^2 = x^2$, которое справедливо для любого значения $x$.
Ответ: Равенство является тождеством, поэтому его корнем является любое число.

б) Докажем, что уравнение $(-x)^3 = -x^3$ верно для любого числа. Как и в предыдущем пункте, преобразуем левую часть, представив $-x$ как $-1 \cdot x$:
$(-x)^3 = (-1 \cdot x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3$
Поскольку $(-1)^3 = -1$, получаем:
$-1 \cdot x^3 = -x^3$
Мы получили тождество $-x^3 = -x^3$, которое справедливо для любого значения $x$.
Ответ: Равенство является тождеством, поэтому его корнем является любое число.

в) Чтобы доказать, что уравнение $3(x - 4) = x - 2(6 - x)$ верно для любого числа, упростим обе его части, раскрыв скобки.
Преобразуем левую часть:
$3(x - 4) = 3 \cdot x - 3 \cdot 4 = 3x - 12$
Преобразуем правую часть:
$x - 2(6 - x) = x - (2 \cdot 6 - 2 \cdot x) = x - 12 + 2x = (x + 2x) - 12 = 3x - 12$
Уравнение принимает вид $3x - 12 = 3x - 12$. Это тождество, которое верно при любом значении $x$. Если мы попробуем его решить, то получим $0 = 0$.
Ответ: Равенство является тождеством, поэтому его корнем является любое число.

г) Докажем, что уравнение $|x| = |-x|$ верно для любого числа, используя определение модуля числа. Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой, и он всегда неотрицателен.
Рассмотрим три случая:
1. Если $x > 0$ (положительное число), то $|x| = x$. В этом случае $-x < 0$, и по определению модуля $|-x| = -(-x) = x$. Равенство $x = x$ верно.
2. Если $x < 0$ (отрицательное число), то $|x| = -x$. В этом случае $-x > 0$, и по определению модуля $|-x| = -x$. Равенство $-x = -x$ верно.
3. Если $x = 0$, то $|0| = 0$ и $|-0| = |0| = 0$. Равенство $0 = 0$ верно.
Так как равенство выполняется для всех возможных значений $x$, оно является тождеством.
Ответ: Равенство является тождеством, поэтому его корнем является любое число.

73 Докажи, что корнем уравнения является любое число:

а) $(-x)^2 = x^2$;

б) $(-x)^3 = -x^3$;

в) $3(x - 4) = x - 2(6 - x)$;

г) $|x| = |-x|$.

74 Докажи, что уравнение не имеет рациональных корней:

а) $x + 4 = x - 3;$

б) $x^2 + 1 = 0;$

в) $|2x - 3| = -1.$

а) Решим данное линейное уравнение $x + 4 = x - 3$. Для этого перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую:
$x - x = -3 - 4$
Приводя подобные слагаемые, получаем:
$0 \cdot x = -7$
$0 = -7$
Полученное равенство является ложным и не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что не существует такого числа (в том числе и рационального), которое бы удовлетворяло исходному уравнению. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: Уравнение не имеет корней, а значит, не имеет и рациональных корней.

б) Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 1 = 0$.
Выразим из него $x^2$:
$x^2 = -1$
По определению, квадрат любого действительного числа (а все рациональные числа являются действительными) является неотрицательным. То есть, для любого $x \in \mathbb{Q}$ (множество рациональных чисел) справедливо неравенство $x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение в левой части уравнения $x^2 + 1$ для любого рационального $x$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$), и никогда не сможет равняться нулю. Таким образом, уравнение не имеет действительных корней, а значит и рациональных.
Ответ: Уравнение не имеет рациональных корней.

в) Рассмотрим уравнение с модулем $|2x - 3| = -1$.
По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа — это величина неотрицательная. Для любого выражения $A$, значение $|A| \ge 0$.
В левой части нашего уравнения стоит выражение $|2x - 3|$, которое для любого рационального $x$ будет принимать неотрицательные значения: $|2x - 3| \ge 0$.
В правой части уравнения стоит отрицательное число -1.
Таким образом, мы получаем противоречие: неотрицательное число не может быть равно отрицательному. Следовательно, данное уравнение не имеет решений ни в действительных, ни, тем более, в рациональных числах.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как значение модуля не может быть отрицательным.

74. Докажи, что уравнение не имеет рациональных корней:

a) $x + 4 = x - 3;$

б) $x^2 + 1 = 0;$

в) $|2x - 3| = -1.$

75. Найди множество корней уравнения:

a) $6x - 2(3x - 7) = 14;$

б) $2y + 3(y - 2) - 5(y - 3) = 0;$

в) $z^2 = 25;$

г) $t^2 = -36;$

д) $|5b + 4| = 0;$

е) $|c - 2| = 1.$

а) $6x - 2(3x - 7) = 14$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$6x - 2 \cdot 3x - 2 \cdot (-7) = 14$
$6x - 6x + 14 = 14$
Приведем подобные слагаемые:
$(6x - 6x) + 14 = 14$
$0 \cdot x + 14 = 14$
$14 = 14$
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что уравнение верно при любом значении $x$.
Ответ: множество всех действительных чисел ($\mathbb{R}$).

б) $2y + 3(y - 2) - 5(y - 3) = 0$
Раскроем скобки:
$2y + 3y - 6 - 5y + 15 = 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2y + 3y - 5y) + (-6 + 15) = 0$
$0 \cdot y + 9 = 0$
$9 = 0$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней ($\emptyset$).

в) $z^2 = 25$
Чтобы найти $z$, необходимо извлечь квадратный корень из 25. Уравнение имеет два корня, так как и $5^2=25$, и $(-5)^2=25$.
$z = \pm\sqrt{25}$
$z_1 = 5, z_2 = -5$
Ответ: $\{-5; 5\}$.

г) $t^2 = -36$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($t^2 \ge 0$). Поскольку правая часть уравнения является отрицательным числом, данное уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел.
Ответ: нет корней ($\emptyset$).

д) $|5b + 4| = 0$
Модуль (абсолютная величина) выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю.
$5b + 4 = 0$
$5b = -4$
$b = -\frac{4}{5} = -0.8$
Ответ: $\{-0.8\}$.

е) $|c - 2| = 1$
Если модуль выражения равен 1, то само выражение может быть равно 1 или -1. Рассмотрим оба случая:
1) $c - 2 = 1$
$c = 1 + 2$
$c_1 = 3$
2) $c - 2 = -1$
$c = -1 + 2$
$c_2 = 1$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $\{1; 3\}$.

75 Найди множество корней уравнения:

а) $6x - 2(3x - 7) = 14;$

б) $2y + 3(y - 2) - 5(y - 3) = 0;$

В) $z^2 = 25;$

Г) $t^2 = -36;$

Д) $|5b + 4| = 0;$

е) $|c - 2| = 1.$

76 Реши уравнение $3x(x + 2)(3x - 5) = 0$ на множестве:

а) Q;

б) Z;

в) N;

г) положительных чисел;

д) неотрицательных чисел.

Сначала решим данное уравнение в общем виде, чтобы найти все его возможные корни. Уравнение имеет вид:

$3x(x + 2)(3x - 5) = 0$

Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю и найдем значения $x$:

1) $3x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

3) $3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x_3 = \frac{5}{3}$

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-2$, $0$ и $\frac{5}{3}$. Теперь рассмотрим, какие из этих корней принадлежат указанным множествам.

а) Q

Множество рациональных чисел ($Q$) включает все целые числа и все обыкновенные дроби. Все найденные корни: $-2$ (целое), $0$ (целое) и $\frac{5}{3}$ (дробное) — являются рациональными числами.

Ответ: $\{-2; 0; \frac{5}{3}\}$

б) Z

Множество целых чисел ($Z$) состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля. Из корней $-2$, $0$, $\frac{5}{3}$ целыми являются $-2$ и $0$. Число $\frac{5}{3}$ не является целым.

Ответ: $\{-2; 0\}$

в) N

Множество натуральных чисел ($N$) — это числа, используемые для счета (1, 2, 3, ...). Ни один из найденных корней ($-2$, $0$, $\frac{5}{3}$) не является натуральным числом.

Ответ: $\emptyset$ (нет корней)

г) положительных чисел

К множеству положительных чисел относятся все числа, которые строго больше нуля ($x > 0$). Из корней $-2$, $0$, $\frac{5}{3}$ этому условию удовлетворяет только $\frac{5}{3}$.

Ответ: $\{\frac{5}{3}\}$

д) неотрицательных чисел

К множеству неотрицательных чисел относятся все числа, которые больше или равны нулю ($x \ge 0$). Из корней $-2$, $0$, $\frac{5}{3}$ этому условию удовлетворяют $0$ и $\frac{5}{3}$.

Ответ: $\{0; \frac{5}{3}\}$

76 Реши уравнение $3x(x + 2)(3x - 5) = 0$ на множестве:

a) Q;

б) Z;

в) N;

г) положительных чисел;

д) неотрицательных чисел.

П 77

Вычисли устно. Что ты замечаешь?

Путь 1:

36 $\rightarrow$ : 3 $\rightarrow$ : 0,01 $\rightarrow$ : 10 $\rightarrow$ : 2 $\rightarrow$ : 5 $\rightarrow$ : 4 $\rightarrow$ ?

Путь 2:

36 $\rightarrow$ $\cdot \frac{1}{3}$ $\rightarrow$ $\cdot 100$ $\rightarrow$ $\cdot 0,1$ $\rightarrow$ $\cdot 0,5$ $\rightarrow$ $\cdot 0,2$ $\rightarrow$ $\cdot 0,25$ $\rightarrow$ ?

Вычисли устно

Выполним последовательно все действия для каждой цепочки, двигаясь от начального числа 36 к конечному результату.

Верхняя цепочка:
Начальное число — 36.
1. $36 : 3 = 12$
2. $12 : 0,01 = 12 : \frac{1}{100} = 12 \cdot 100 = 1200$
3. $1200 : 10 = 120$
4. $120 : 2 = 60$
5. $60 : 5 = 12$
6. $12 : 4 = 3$
Вся цепочка выглядит так: $36 \xrightarrow{:3} 12 \xrightarrow{:0,01} 1200 \xrightarrow{:10} 120 \xrightarrow{:2} 60 \xrightarrow{:5} 12 \xrightarrow{:4} 3$

Нижняя цепочка:
Начальное число — 36.
1. $36 \cdot \frac{1}{3} = 12$
2. $12 \cdot 100 = 1200$
3. $1200 \cdot 0,1 = 120$
4. $120 \cdot 0,5 = 60$
5. $60 \cdot 0,2 = 12$
6. $12 \cdot 0,25 = 3$
Вся цепочка выглядит так: $36 \xrightarrow{\cdot \frac{1}{3}} 12 \xrightarrow{\cdot 100} 1200 \xrightarrow{\cdot 0,1} 120 \xrightarrow{\cdot 0,5} 60 \xrightarrow{\cdot 0,2} 12 \xrightarrow{\cdot 0,25} 3$

Ответ: В результате вычислений по обеим цепочкам получается число 3.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что конечные результаты обеих цепочек вычислений одинаковы. Более того, все промежуточные результаты на каждом шаге также совпадают (12, 1200, 120, 60, 12).
Это объясняется тем, что каждая операция деления в верхней цепочке заменена на эквивалентную (равносильную) ей операцию умножения в нижней цепочке. Деление на число — это то же самое, что и умножение на обратное ему число.
Сравним операции на каждом шаге:
- Деление на $3$ эквивалентно умножению на $\frac{1}{3}$.
- Деление на $0,01$ эквивалентно умножению на $100$ (так как $0,01 = \frac{1}{100}$, а число, обратное к $\frac{1}{100}$, это $100$).
- Деление на $10$ эквивалентно умножению на $0,1$ (так как $0,1 = \frac{1}{10}$).
- Деление на $2$ эквивалентно умножению на $0,5$ (так как $0,5 = \frac{1}{2}$).
- Деление на $5$ эквивалентно умножению на $0,2$ (так как $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$).
- Деление на $4$ эквивалентно умножению на $0,25$ (так как $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$).
Таким образом, обе цепочки представляют собой одну и ту же последовательность математических действий, записанных разными, но равносильными способами. Поэтому, начиная с одного и того же числа, мы приходим к одному и тому же результату.
Ответ: Результаты совпадают, потому что каждая операция деления в верхней цепочке соответствует эквивалентной операции умножения на обратное число в нижней цепочке.

π 77 Вычисли устно. Что ты замечаешь?

Начальное значение: $36$

$: 3$

$: 0.01$

$: 10$

$: 2$

$: 5$

$: 4$

$\cdot \frac{1}{3}$

$\cdot 100$

$\cdot 0.1$

$\cdot 0.5$

$\cdot 0.2$

Конечное значение: $?$

78 Прочитай выражение, используя понятия обратного и противоположного числа. Устно найди значение выражения при $x = -2$.

а) $\frac{1}{x}$;

б) $-x$;

в) $-\frac{1}{x}$;

г) $\frac{1}{-x}$;

д) $|-x|$;

е) $-|x|$;

ж) $(-x)^2$;

з) $-x^2$.

а) Выражение $\frac{1}{x}$ читается как "число, обратное $x$".

Найдем значение выражения при $x = -2$:

$\frac{1}{-2} = -0.5$

Ответ: $-0.5$

б) Выражение $-x$ читается как "число, противоположное $x$".

Найдем значение выражения при $x = -2$:

$-(-2) = 2$

Ответ: $2$

в) Выражение $-\frac{1}{x}$ читается как "число, противоположное числу, обратному $x$".

Найдем значение выражения при $x = -2$:

$-\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $0.5$

г) Выражение $\frac{1}{-x}$ читается как "число, обратное числу, противоположному $x$".

Найдем значение выражения при $x = -2$:

$\frac{1}{-(-2)} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $0.5$

д) Выражение $|-x|$ читается как "модуль числа, противоположного $x$".

Найдем значение выражения при $x = -2$:

$|-(-2)| = |2| = 2$

Ответ: $2$

е) Выражение $-|x|$ читается как "число, противоположное модулю $x$".

Найдем значение выражения при $x = -2$:

$-|-2| = -(2) = -2$

Ответ: $-2$

ж) Выражение $(-x)^2$ читается как "квадрат числа, противоположного $x$".

Найдем значение выражения при $x = -2$:

$(-(-2))^2 = 2^2 = 4$

Ответ: $4$

з) Выражение $-x^2$ читается как "число, противоположное квадрату $x$".

Найдем значение выражения при $x = -2$:

$-(-2)^2 = -(4) = -4$

Ответ: $-4$

78 Прочитай выражения, используя понятия обратного и противоположного числа. Устно найди значения выражений при $x = -2$.

а) $\frac{1}{x}$;

б) $-x$;

в) $-\frac{1}{x}$;

г) $\frac{1}{-x}$;

д) $|-x|$;

е) $-|x|$;

ж) $(-x)^2$;

з) $-x^2$.