Номер 60, страница 18, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Отрицания высказываний о существовании. Параграф 1. Отрицание высказываний. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 60, страница 18.

Условие 2023.

60 Сформулируй разными способами высказывание «Некоторые дроби при сокращении уменьшаются». Построй его отрицание и приведи различные формулировки. Определи истинность данного высказывания и его отрицания.

Решение 2 (2023).

Сформулируй разными способами высказывание «Некоторые дроби при сокращении уменьшаются»

Исходное высказывание является экзистенциальным (утверждает существование) и может быть переформулировано следующими способами:

• Существуют дроби, которые при сокращении становятся меньше.
• Найдётся хотя бы одна дробь, которая при сокращении уменьшится.
• Неверно, что любая дробь при сокращении не уменьшается (т.е. остается равной себе или увеличивается).

Ответ: Варианты формулировок: «Существуют дроби, которые при сокращении становятся меньше»; «Найдётся хотя бы одна дробь, которая при сокращении уменьшится».

Построй его отрицание и приведи различные формулировки

Отрицанием для высказывания с квантором существования («некоторые», «существует») является высказывание с квантором всеобщности («все», «любая», «каждая»), в котором утверждается противоположное свойство.

Отрицание исходного высказывания: «Все дроби при сокращении не уменьшаются».

Различные формулировки отрицания:

• Ни одна дробь при сокращении не уменьшается.
• Каждая дробь при сокращении не уменьшается.
• Не существует дроби, которая при сокращении уменьшается.
• Поскольку при сокращении значение дроби не может увеличиться, можно сформулировать точнее: «Все дроби при сокращении сохраняют свое значение».

Ответ: Отрицание: «Все дроби при сокращении не уменьшаются». Другие формулировки: «Ни одна дробь при сокращении не уменьшается», «Все дроби при сокращении сохраняют свое значение».

Определи истинность данного высказывания и его отрицания

Сокращение дроби — это деление её числителя и знаменателя на их общий положительный делитель $k$, больший единицы. По основному свойству дроби, её значение при этом не изменяется:

$\frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a}{b}$

Например, сократим дробь $\frac{8}{12}$ на 4. Получим $\frac{2}{3}$. Значения дробей равны: $8 \div 12 = 2 \div 3 \approx 0.667$. Значение дроби не изменилось, следовательно, оно не уменьшилось.

Анализ истинности исходного высказывания:

Высказывание «Некоторые дроби при сокращении уменьшаются» утверждает, что найдется хотя бы одна дробь, которая станет меньше после сокращения. Так как значение любой дроби при сокращении не меняется, это утверждение ложно.

Анализ истинности отрицания:

Отрицание «Все дроби при сокращении не уменьшаются» утверждает, что любая дробь либо сохранит свое значение, либо увеличится. Так как значение любой дроби при сокращении сохраняется, оно не уменьшается. Следовательно, это утверждение истинно.

Ответ: Исходное высказывание «Некоторые дроби при сокращении уменьшаются» — ложно. Его отрицание «Все дроби при сокращении не уменьшаются» — истинно.

Условие 2010-2022.

60 Сформулируй разными способами высказывание “Некоторые дроби при сокращении уменьшаются”. Построй его отрицание и приведи различные формулировки. Определи истинность данного высказывания и его отрицания.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).