Номер 54, страница 16, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 1. Отрицание высказываний. 2. Отрицания общих высказываний - номер 54, страница 16.

Условие 2023.

54. Найди НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые множители:

а) 105 и 225;

б) 84 и 420;

в) 273 и 110;

г) 45, 120 и 525.

Решение 2 (2023).

а) 105 и 225

Сначала разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 105:

$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

Разложение числа 225:

$225 = 5 \cdot 45 = 5 \cdot 5 \cdot 9 = 3^2 \cdot 5^2$

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД), нужно найти произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени.

Общие множители: 3 и 5. Наименьшая степень для 3 это $3^1$, для 5 это $5^1$.

НОД(105; 225) = $3 \cdot 5 = 15$

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), нужно найти произведение всех простых множителей, входящих в разложения, взятых с наибольшим показателем степени.

Все множители: 3, 5, 7. Наибольшая степень для 3 это $3^2$, для 5 это $5^2$, для 7 это $7^1$.

НОК(105; 225) = $3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 9 \cdot 25 \cdot 7 = 225 \cdot 7 = 1575$

Ответ: НОД(105; 225) = 15; НОК(105; 225) = 1575.

б) 84 и 420

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 84:

$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложение числа 420:

$420 = 10 \cdot 42 = 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Находим НОД, взяв общие множители в наименьшей степени:

НОД(84; 420) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$

Находим НОК, взяв все множители в наибольшей степени:

НОК(84; 420) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$

Ответ: НОД(84; 420) = 84; НОК(84; 420) = 420.

в) 273 и 110

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 273:

$273 = 3 \cdot 91 = 3 \cdot 7 \cdot 13$

Разложение числа 110:

$110 = 10 \cdot 11 = 2 \cdot 5 \cdot 11$

У чисел 273 и 110 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми. Их НОД равен 1.

НОД(273; 110) = 1

НОК взаимно простых чисел равно их произведению.

НОК(273; 110) = $273 \cdot 110 = 30030$

Ответ: НОД(273; 110) = 1; НОК(273; 110) = 30030.

г) 45, 120 и 525

Разложим все три числа на простые множители.

Разложение числа 45:

$45 = 5 \cdot 9 = 3^2 \cdot 5$

Разложение числа 120:

$120 = 10 \cdot 12 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 3) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

Разложение числа 525:

$525 = 5 \cdot 105 = 5 \cdot (5 \cdot 21) = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$

Для нахождения НОД берем общие для всех трех чисел множители в наименьшей степени. Общие множители - 3 и 5.

НОД(45; 120; 525) = $3^1 \cdot 5^1 = 15$

Для нахождения НОК берем все множители из всех разложений в наибольшей степени.

НОК(45; 120; 525) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 72 \cdot 175 = 12600$

Ответ: НОД(45; 120; 525) = 15; НОК(45; 120; 525) = 12600.

Условие 2010-2022.

54 Найди НОД и НОК чисел с помощью разложения на простые множители:

a) 105 и 225;

б) 84 и 420;

в) 273 и 110;

г) 45, 120 и 525.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).