Номер 47, страница 15, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 1. Отрицание высказываний. 2. Отрицания общих высказываний - номер 47, страница 15.

Условие 2023.

47 Найди НОД $(a; b)$ и НОК $(a; b)$, если:

1) $a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5, b = 2 \cdot 5 \cdot 7$

2) $a = 2 \cdot 5^3, b = 3 \cdot 7$

3) $a = 2 \cdot 3, b = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Решение 2 (2023).

Чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД) двух чисел, представленных в виде произведения простых множителей, необходимо взять произведение их общих простых множителей, причем каждый множитель взять с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.

Чтобы найти Наименьшее Общее Кратное (НОК), необходимо взять произведение всех простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного из чисел, причем каждый множитель взять с наибольшим показателем степени.

1) Даны числа $a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 5 \cdot 7$.

Для нахождения НОД выберем общие множители ($2$ и $5$) с наименьшими степенями (в обоих случаях первая степень):
$НОД(a; b) = 2^1 \cdot 5^1 = 2 \cdot 5 = 10$.

Для нахождения НОК выпишем все множители из обоих чисел ($2, 3, 5, 7$) и возьмем каждый с наибольшей степенью:
$НОК(a; b) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 630$.

Ответ: $НОД(a; b) = 10$; $НОК(a; b) = 630$.

2) Даны числа $a = 2 \cdot 5^3$ и $b = 3 \cdot 7$.

У чисел $a$ и $b$ нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.
$НОД(a; b) = 1$.

Для нахождения НОК перемножим все множители из обоих чисел, так как они не повторяются. Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению.
$НОК(a; b) = 2 \cdot 5^3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 125 \cdot 21 = 250 \cdot 21 = 5250$.

Ответ: $НОД(a; b) = 1$; $НОК(a; b) = 5250$.

3) Даны числа $a = 2 \cdot 3$ и $b = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Для нахождения НОД выберем общие множители ($2$ и $3$) с наименьшими степенями (в обоих случаях первая степень):
$НОД(a; b) = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$.

Для нахождения НОК выпишем все множители из обоих чисел ($2, 3, 5, 7$) и возьмем каждый с наибольшей степенью:
$НОК(a; b) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 12 \cdot 35 = 420$.

Ответ: $НОД(a; b) = 6$; $НОК(a; b) = 420$.

Условие 2010-2022.

47 Найди НОД($a$; $b$) и НОК ($a$; $b$), если:

1) $a=2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $b=2 \cdot 5 \cdot 7$;

2) $a=2 \cdot 5^3$, $b=3 \cdot 7$;

3) $a=2 \cdot 3$, $b=2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).