Номер 48, страница 15, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Отрицания общих высказываний. Параграф 1. Отрицание высказываний. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 48, страница 15.

Условие 2023.

48 Найди с помощью разложения на простые множители НОД и НОК чисел:

а) 125 и 150;

б) 210 и 2730;

в) 35 и 72;

г) 60, 75 и 111.

Решение 2 (2023).

а) 125 и 150

Для нахождения НОД (Наибольшего Общего Делителя) и НОК (Наименьшего Общего Кратного) сперва разложим числа 125 и 150 на простые множители.
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
$150 = 15 \cdot 10 = (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени из тех, что встречаются в разложениях.
Общий множитель для 125 и 150 — это 5. Наименьший показатель степени у него — 2 (в разложении числа 150).
НОД(125, 150) = $5^2 = 25$.

Чтобы найти НОК, нужно перемножить все простые множители, которые встречаются в разложениях, взяв каждый с наибольшим показателем степени.
Множители: 2, 3, 5. Наибольшие показатели степеней: $2^1$, $3^1$, $5^3$.
НОК(125, 150) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^3 = 2 \cdot 3 \cdot 125 = 750$.
Ответ: НОД(125, 150) = 25; НОК(125, 150) = 750.

б) 210 и 2730

Разложим числа 210 и 2730 на простые множители.
$210 = 21 \cdot 10 = (3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
$2730 = 273 \cdot 10 = (3 \cdot 91) \cdot (2 \cdot 5) = (3 \cdot 7 \cdot 13) \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$

Находим НОД. Общие множители: 2, 3, 5, 7. Все они в разложениях имеют наименьшую степень 1.
НОД(210, 2730) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.

Находим НОК. Все множители из разложений: 2, 3, 5, 7, 13. Все они имеют наибольшую степень 1.
НОК(210, 2730) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 2730$.
Ответ: НОД(210, 2730) = 210; НОК(210, 2730) = 2730.

в) 35 и 72

Разложим числа 35 и 72 на простые множители.
$35 = 5 \cdot 7$
$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

Находим НОД. В разложениях чисел 35 и 72 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их НОД равен 1.
НОД(35, 72) = 1.

Находим НОК. Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению.
НОК(35, 72) = $35 \cdot 72 = 2520$. Также можно вычислить, перемножив все множители в их степенях: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 35 = 72 \cdot 35 = 2520$.
Ответ: НОД(35, 72) = 1; НОК(35, 72) = 2520.

г) 60, 75 и 111

Разложим числа 60, 75 и 111 на простые множители.
$60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$
$111 = 3 \cdot 37$ (сумма цифр $1+1+1=3$, значит число делится на 3)

Находим НОД. Единственный общий простой множитель для всех трех чисел — это 3. Наименьшая степень, в которой он встречается, — 1.
НОД(60, 75, 111) = 3.

Находим НОК. Выписываем все простые множители из разложений в наибольшей степени.
Множители: 2, 3, 5, 37. Наибольшие степени: $2^2$, $3^1$, $5^2$, $37^1$.
НОК(60, 75, 111) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 37 = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 37 = (4 \cdot 25) \cdot (3 \cdot 37) = 100 \cdot 111 = 11100$.
Ответ: НОД(60, 75, 111) = 3; НОК(60, 75, 111) = 11100.

Условие 2010-2022.

48 Найди с помощью разложения на простые множители НОД и НОК чисел:

а) 125 и 150;

б) 210 и 2730;

в) 35 и 72;

г) 60, 75 и 111.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).