Страница 22, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

71 На рисунке приведены три товарных чека. Что меняется и что остаётся неизменным на чеках одного магазина? На чеках разных магазинов?

Кассир 3

Касса 0412321

Чек 00081

Сумма: 247.20

27.07.08 12:35

ООО "ПИРС"

Кассир 1

Касса 0412393

Чек 00345

Сумма: 1200.00

04.12.07 17:43

ООО "ПИРС"

ОАО "Заря"

Сумма: 158.40

Кассир 1

14.05.08

Касса 3456756

Чек 0002345

На чеках одного магазина

Для анализа возьмем два чека из магазина ООО "ПИРС". Сравнивая их, можно сделать следующие выводы:
Что остаётся неизменным:
- Название магазина (ООО "ПИРС").
- Общий формат и структура чека.

Что меняется:
- Номер кассира (в одном чеке "Кассир 3", в другом "Кассир 1").
- Номер кассового аппарата (в одном "Касса 0412321", в другом "Касса 0412393").
- Порядковый номер чека (в одном "Чек 00081", в другом "Чек 00345").
- Сумма покупки (в одном "Сумма: 247.20", в другом "Сумма: 1200.00").
- Дата и время покупки (в одном "27.07.08 12:35", в другом "04.12.07 17:43").

Ответ: На чеках одного магазина неизменным остается название организации и общий вид (формат) чека. Меняются все данные, относящиеся к конкретной покупке: номер кассира, номер кассы, номер чека, сумма, дата и время.

На чеках разных магазинов

Для анализа сравним чек из ООО "ПИРС" и чек из ОАО "Заря".
Что остаётся неизменным:
- Назначение документа (это кассовый чек, подтверждающий покупку).
- Наличие набора обязательных для чека данных (название организации, сумма, дата, номер чека и т.д.), хотя их расположение и формат могут отличаться.

Что меняется:
- Название и организационно-правовая форма магазина (ООО "ПИРС" и ОАО "Заря").
- Внешний вид, дизайн и структура чека (разное расположение информации, разные шрифты).
- Все реквизиты, относящиеся к магазину и конкретной покупке (номера касс, чеков, кассиров, суммы, даты).

Ответ: На чеках разных магазинов меняется практически вся информация: название и реквизиты магазина, формат чека и все данные о покупке. Неизменным остается только назначение документа и наличие набора обязательных по закону реквизитов.

71 На рисунке приведены три товарных чека. Что меняется и что остается неизменным на чеках одного магазина? На чеках разных магазинов?

Кассир 3 Касса 0412321
Чек 00081
Сумма: $247.20$
-----------------
27.07.08 12:35
ООО "ПИРС"

Кассир 1 Касса 0412393
Чек 00345
Сумма: $1200.00$
-----------------
04.12.07 17:43
ООО "ПИРС"

ОАО "Заря"
-----------------
Сумма: $158.40$
Кассир 1
14.05.08
Касса 3456756
Чек 0002345

72 Найди значение выражения с переменной:

1) $228\ 150 - (203x + 8569)$, если $x = 604;$

2) $y + 7,25y + 4,2y + 12,55y$, если $y = 0,708;$

3) $3\frac{7}{9} : x + 2\frac{2}{15} : y$, если $x = 2\frac{5}{6}$, $y = 0,8;$

4) $(3x)^2 - 2y^3$, если $x = \frac{1}{6}$, $y = 0,5.$

1) Подставим значение $x = 604$ в выражение $228 150 - (203x + 8569)$.
Сначала выполним действия в скобках:
1. Умножение: $203 \cdot 604 = 122 612$.
2. Сложение: $122 612 + 8 569 = 131 181$.
Теперь выполним вычитание:
3. $228 150 - 131 181 = 96 969$.
Ответ: 96969

2) Сначала упростим выражение $y + 7,25y + 4,2y + 12,55y$, сложив коэффициенты при $y$:
$1 + 7,25 + 4,2 + 12,55 = 25$.
Таким образом, выражение равно $25y$.
Теперь подставим значение $y = 0,708$:
$25 \cdot 0,708 = 17,7$.
Ответ: 17,7

3) Подставим значения $x = 2\frac{5}{6}$ и $y = 0,8$ в выражение $3\frac{7}{9} : x + 2\frac{2}{15} : y$.
Для удобства вычислений преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби, а десятичную дробь в обыкновенную:
$3\frac{7}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{34}{9}$
$x = 2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$
$2\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{32}{15}$
$y = 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Теперь выполним действия по порядку:
1. Деление: $3\frac{7}{9} : 2\frac{5}{6} = \frac{34}{9} : \frac{17}{6} = \frac{34}{9} \cdot \frac{6}{17} = \frac{34 \cdot 6}{9 \cdot 17} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{4}{3}$.
2. Деление: $2\frac{2}{15} : \frac{4}{5} = \frac{32}{15} : \frac{4}{5} = \frac{32}{15} \cdot \frac{5}{4} = \frac{32 \cdot 5}{15 \cdot 4} = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{8}{3}$.
3. Сложение: $\frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
Ответ: 4

4) Подставим значения $x = \frac{1}{6}$ и $y = 0,5$ в выражение $(3x)^2 - 2y^3$.
Представим $y = 0,5$ в виде обыкновенной дроби: $y = \frac{1}{2}$.
Выражение примет вид: $(3 \cdot \frac{1}{6})^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2})^3$.
Выполним действия по порядку:
1. Умножение в первых скобках: $3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
2. Возведение в квадрат: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
3. Возведение в куб: $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
4. Умножение: $2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
5. Вычитание: $\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$.
Ответ: 0

72 Найди значение выражения с переменной:

1) $228\,150 - (203x + 8569)$, если $x = 604$;

2) $y + 7.25y + 4.2y + 12.55y$, если $y = 0.708$;

3) $3\frac{7}{9} : x + 2\frac{2}{15} : y$, если $x = 2\frac{5}{6}$, $y = 0.8$;

4) $(3x)^2 - 2y^3$, если $x = \frac{1}{6}$, $y = 0.5$.

73 Подбери значение переменной в предложении так, чтобы оно превратилось в истинное высказывание.

1) Сегодня по классу дежурит a.

2) Сегодня по расписанию b уроков.

3) Сегодня в классе отсутствуют c учащихся.

4) Сегодня занятия заканчиваются в t ч.

5) $2x - 7 = 31.$

6) $y < 45.$

7) $z \ge 3.$

8) $8 < k \le 9.$

1) Сегодня по классу дежурит a.

Чтобы данное предложение стало истинным высказыванием, нужно вместо переменной a подставить имя и фамилию ученика, который сегодня дежурит по классу. Поскольку эта информация зависит от конкретного дня и класса, мы можем подставить любое имя в качестве примера.

Ответ: Например, a = Петров Максим.

2) Сегодня по расписанию b уроков.

Чтобы это высказывание стало истинным, переменная b должна быть равна фактическому количеству уроков в расписании на сегодня. Обычно в школе бывает от 5 до 8 уроков в день. Подберем возможное значение.

Ответ: Например, b = 6.

3) Сегодня в классе отсутствуют c учащихся.

Чтобы высказывание стало истинным, переменная c должна соответствовать числу учеников, которые отсутствуют на занятиях в данный день. Это число должно быть целым и неотрицательным (может быть 0, если все присутствуют).

Ответ: Например, c = 3.

4) Сегодня занятия заканчиваются в t ч.

Чтобы высказывание стало истинным, переменная t должна соответствовать времени (в часах), когда заканчиваются занятия. Например, если уроки заканчиваются в два часа дня, то t будет равно 14.

Ответ: Например, t = 14.

5) 2x − 7 = 31.

Это линейное уравнение. Чтобы найти значение переменной x, при котором равенство будет истинным, решим его:

$2x - 7 = 31$

Сначала перенесем -7 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 31 + 7$

$2x = 38$

Теперь разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{38}{2}$

$x = 19$

При $x = 19$ данное равенство превращается в истинное высказывание.

Ответ: $x = 19$.

6) y < 45.

Это неравенство. Чтобы оно стало истинным высказыванием, нужно выбрать любое число y, которое строго меньше 45. Существует бесконечное множество таких чисел.

Ответ: Например, y = 10 (подойдет любое число, меньшее 45, например, 44, 0 или -15.5).

7) z ≥ 3.

Это неравенство означает, что z больше или равно 3. Чтобы высказывание стало истинным, нужно выбрать любое число, которое удовлетворяет этому условию. Это может быть само число 3 или любое число, которое больше 3.

Ответ: Например, z = 5 (подойдет любое число, не меньшее 3, например, 3, 4.5 или 100).

8) 8 < k ≤ 9.

Это двойное неравенство. Оно означает, что k строго больше 8 и одновременно меньше или равно 9. Этому условию удовлетворяет единственное целое число (9), а также все дробные числа в этом интервале.

Ответ: Например, k = 9 (также подойдут значения 8.1, 8.5, 8.9 и т.д.).

73 Подбери значение переменной в предложении так, чтобы оно превратилось в истинное высказывание:

1) Сегодня по классу дежурит a.

2) Сегодня по расписанию b уроков.

3) Сегодня в классе отсутствуют c учащихся.

4) Сегодня занятия заканчиваются в t часов.

5) $2x - 7 = 31.$

6) $y < 45.$

7) $z \ge 3.$

8) $8 < k \le 9.$

74 Вырази из данной формулы каждую переменную. В качестве формы записи приведён образец.

Образец: $C = an \iff a = C : n \iff n = C : a \ (a, n \ne 0)$.

1) $s = vt$;

2) $A = wt$;

3) $S = ab$;

4) $P = 2(a + b)$;

5) $V = abc$;

6) $a = bc + r$.

1) Исходная формула: $s = vt$.

Чтобы выразить скорость $v$, нужно расстояние $s$ разделить на время $t$. Для этого разделим обе части уравнения на $t$ (при условии $t \neq 0$):

$v = \frac{s}{t}$

Чтобы выразить время $t$, нужно расстояние $s$ разделить на скорость $v$. Для этого разделим обе части исходного уравнения на $v$ (при условии $v \neq 0$):

$t = \frac{s}{v}$

Ответ: $v = \frac{s}{t}$, $t = \frac{s}{v}$.

2) Исходная формула: $A = wt$.

Чтобы выразить переменную $w$, разделим обе части уравнения на $t$ (при условии $t \neq 0$):

$w = \frac{A}{t}$

Чтобы выразить переменную $t$, разделим обе части исходного уравнения на $w$ (при условии $w \neq 0$):

$t = \frac{A}{w}$

Ответ: $w = \frac{A}{t}$, $t = \frac{A}{w}$.

3) Исходная формула: $S = ab$.

Чтобы выразить сторону $a$, нужно площадь $S$ разделить на сторону $b$. Для этого разделим обе части уравнения на $b$ (при условии $b \neq 0$):

$a = \frac{S}{b}$

Чтобы выразить сторону $b$, нужно площадь $S$ разделить на сторону $a$. Для этого разделим обе части исходного уравнения на $a$ (при условии $a \neq 0$):

$b = \frac{S}{a}$

Ответ: $a = \frac{S}{b}$, $b = \frac{S}{a}$.

4) Исходная формула: $P = 2(a + b)$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от множителя перед скобкой:

$\frac{P}{2} = a + b$

Чтобы выразить сторону $a$, вычтем $b$ из обеих частей полученного уравнения:

$a = \frac{P}{2} - b$

Чтобы выразить сторону $b$, вычтем $a$ из обеих частей уравнения $\frac{P}{2} = a + b$:

$b = \frac{P}{2} - a$

Ответ: $a = \frac{P}{2} - b$, $b = \frac{P}{2} - a$.

5) Исходная формула: $V = abc$.

Чтобы выразить переменную $a$, разделим обе части уравнения на произведение $bc$ (при условии $b \neq 0$ и $c \neq 0$):

$a = \frac{V}{bc}$

Чтобы выразить переменную $b$, разделим обе части исходного уравнения на произведение $ac$ (при условии $a \neq 0$ и $c \neq 0$):

$b = \frac{V}{ac}$

Чтобы выразить переменную $c$, разделим обе части исходного уравнения на произведение $ab$ (при условии $a \neq 0$ и $b \neq 0$):

$c = \frac{V}{ab}$

Ответ: $a = \frac{V}{bc}$, $b = \frac{V}{ac}$, $c = \frac{V}{ab}$.

6) Исходная формула: $a = bc + r$.

Чтобы выразить остаток $r$, перенесем произведение $bc$ в левую часть уравнения (сменив знак):

$a - bc = r$

или

$r = a - bc$

Чтобы выразить переменную $b$, сначала выразим произведение $bc$. Для этого вычтем $r$ из обеих частей исходного уравнения:

$a - r = bc$

Теперь разделим обе части полученного уравнения на $c$ (при условии $c \neq 0$):

$b = \frac{a - r}{c}$

Аналогично, чтобы выразить переменную $c$, разделим обе части уравнения $a - r = bc$ на $b$ (при условии $b \neq 0$):

$c = \frac{a - r}{b}$

Ответ: $r = a - bc$, $b = \frac{a - r}{c}$, $c = \frac{a - r}{b}$.

74 Вырази из данной формулы каждую переменную. В качестве формы записи приведен образец.

1) $s = vt$;

2) $A = wt$;

3) $S = ab$;

4) $P = 2(a + b)$;

5) $V = abc$;

6) $a = bc + r$.

Образец: $C = an \Leftrightarrow a = C : n \Leftrightarrow n = C : a \quad (a, n \neq 0)$

75 Составь выражение к задаче и найди его значение при данном значении переменной.

1) Ширина прямоугольника равна $a$ м и составляет 0,4 его длины. Найти периметр прямоугольника. ($a = 8,6$.)

2) Длина прямоугольника $b$ дм, а ширина – $c$ дм. Какую часть длины прямоугольника составляет его ширина? ($b = 5,4; c = 3,6$.)

3) Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ см$^3$, длина – $d$ см, а ширина составляет 30 % длины. Найти высоту параллелепипеда. ($V = 48; d = 8$.)

4) Ширина прямоугольного параллелепипеда $n$ м, длина в 1,5 раза больше ширины, а высота составляет 24 % суммы длины и ширины. Найти объём параллелепипеда. ($n = 2$.)

1)

Пусть ширина прямоугольника равна $w$, а длина – $l$. По условию, $w = a$ м.

Ширина составляет 0,4 его длины, то есть $w = 0,4 \cdot l$. Отсюда можно выразить длину: $l = \frac{w}{0,4} = \frac{a}{0,4}$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(w + l)$.

Составим выражение для нахождения периметра: $P = 2(a + \frac{a}{0,4})$.

Упростим выражение, чтобы было удобнее считать: $P = 2(a + 2,5a) = 2(3,5a) = 7a$.

Теперь подставим данное значение $a = 8,6$ в полученное выражение:

$P = 7 \cdot 8,6 = 60,2$ м.

Ответ: 60,2 м.

2)

Длина прямоугольника равна $b$ дм, а ширина – $c$ дм.

Чтобы найти, какую часть длины составляет ширина, необходимо разделить ширину на длину. Выражение для решения задачи: $\frac{c}{b}$.

Подставим данные значения $b = 5,4$ и $c = 3,6$:

$\frac{3,6}{5,4} = \frac{36}{54} = \frac{18 \cdot 2}{18 \cdot 3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3)

Пусть длина параллелепипеда равна $l$, ширина – $w$, высота – $h$, а объём – $V$.

По условию, объём $V$ см$^3$, длина $l = d$ см. Ширина составляет 30% длины, что можно записать как $w = 0,3 \cdot l = 0,3d$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$.

Из этой формулы выразим высоту: $h = \frac{V}{l \cdot w}$.

Составим выражение для нахождения высоты: $h = \frac{V}{d \cdot 0,3d} = \frac{V}{0,3d^2}$.

Подставим данные значения $V = 48$ и $d = 8$:

$h = \frac{48}{0,3 \cdot 8^2} = \frac{48}{0,3 \cdot 64} = \frac{48}{19,2} = \frac{480}{192} = 2,5$ см.

Ответ: 2,5 см.

4)

Пусть ширина параллелепипеда равна $w$, длина – $l$, высота – $h$.

По условию, ширина $w = n$ м.

Длина в 1,5 раза больше ширины, следовательно, $l = 1,5 \cdot w = 1,5n$.

Высота составляет 24% от суммы длины и ширины: $h = 0,24 \cdot (l + w) = 0,24 \cdot (1,5n + n) = 0,24 \cdot (2,5n)$.

Объём параллелепипеда $V$ равен произведению его длины, ширины и высоты: $V = l \cdot w \cdot h$.

Составим выражение для нахождения объёма: $V = (1,5n) \cdot n \cdot (0,24 \cdot 2,5n)$.

Упростим выражение: $V = 1,5n \cdot n \cdot 0,6n = 0,9n^3$.

Подставим данное значение $n = 2$ в выражение:

$V = 0,9 \cdot 2^3 = 0,9 \cdot 8 = 7,2$ м$^3$.

Ответ: 7,2 м$^3$.

75 Составь выражение к задаче и найди его значение при данном значении переменной:

1) Ширина прямоугольника равна $a$ м и составляет 0,4 его длины. Найти периметр прямоугольника. ($a = 8,6$)

2) Длина прямоугольника $b$ дм, а ширина — $c$ дм. Какую часть длины прямоугольника составляет его ширина? ($b = 5,4; c = 3,6$)

3) Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ см³, длина — $d$ см, а ширина составляет 30% длины. Найти высоту параллелепипеда. ($V = 48; d = 8$)

4) Ширина прямоугольного параллелепипеда $n$ м, длина в 1,5 раза больше ширины, а высота составляет 24% суммы длины и ширины. Найти объем параллелепипеда. ($n = 2$)

76 Кубометр горячей воды стоит 140 р. Пусть $n$ – количество кубометров воды, которое согласно счётчику потратили в этом месяце, $С$ р. – стоимость этой воды. Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений $n$, удовлетворяющих неравенству $0 \le n \le 5$.

Стоимость $C$ (в рублях) зависит от количества потребленной горячей воды $n$ (в кубометрах). Поскольку цена за один кубометр постоянна и равна 140 р., эта зависимость является прямой пропорциональностью и выражается формулой:

$C = 140 \cdot n$

Составление таблицы

Для составления таблицы вычислим значения стоимости $C$ для целых значений $n$ в диапазоне от 0 до 5, который задан неравенством $0 \le n \le 5$.
При $n = 0$, $C = 140 \cdot 0 = 0$ р.
При $n = 1$, $C = 140 \cdot 1 = 140$ р.
При $n = 2$, $C = 140 \cdot 2 = 280$ р.
При $n = 3$, $C = 140 \cdot 3 = 420$ р.
При $n = 4$, $C = 140 \cdot 4 = 560$ р.
При $n = 5$, $C = 140 \cdot 5 = 700$ р.

Представим полученные данные в виде таблицы:

Построение графика

Зависимость $C = 140n$ является линейной функцией, графиком которой служит прямая линия. Поскольку область определения ограничена отрезком $0 \le n \le 5$, график будет представлять собой отрезок прямой.

Для построения отрезка достаточно определить координаты его концов.
1. Начальная точка: при $n = 0$, $C = 0$. Координаты: (0; 0).
2. Конечная точка: при $n = 5$, $C = 700$. Координаты: (5; 700).

Чтобы построить график, нужно начертить систему координат, где по оси абсцисс (горизонтальной) откладывается количество воды $n$, а по оси ординат (вертикальной) — стоимость $C$. Затем следует отметить на ней точки (0; 0) и (5; 700) и соединить их отрезком. Этот отрезок и есть искомый график.

Ответ: Таблица зависимости стоимости от количества воды приведена выше. Графиком данной зависимости для $0 \le n \le 5$ является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами (0; 0) и (5; 700).

76 Кубометр круглого леса стоит 3 тыс. р. Пусть $n$ м$^3$ — количество купленных кубометров, а $C$ тыс. р. — стоимость покупки. Составь таблицу и построй график этой зависимости для значений $n$, удовлетворяющих неравенству $0 \le n \le 5$.

83 Расстояние между двумя пристанями $s$ км. От этих пристаней одновременно отплыли два катера со скоростями $v_1$ и $v_2$ ($v_1 > v_2$). Построй формулу зависимости расстояния $d$ между катерами от времени движения $t$, если они движутся:

1) навстречу друг другу;

2) в противоположных направлениях;

3) вдогонку;

4) с отставанием.

(Считать, что встречи за это время не произойдёт.)

1) навстречу друг другу
Когда катера движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t$ они сблизятся на расстояние, равное $(v_1 + v_2)t$. Новое расстояние $d$ между ними будет равно начальному расстоянию $s$ минус расстояние, на которое они сблизились. Таким образом, формула имеет вид: $d = s - (v_1 + v_2)t$.
Ответ: $d = s - (v_1 + v_2)t$

2) в противоположных направлениях
Когда катера движутся в противоположных направлениях, они удаляются друг от друга. Их скорость удаления равна сумме их скоростей: $v_{удал} = v_1 + v_2$. За время $t$ расстояние между ними увеличится на величину $(v_1 + v_2)t$. Новое расстояние $d$ будет равно начальному расстоянию $s$ плюс это увеличение. Таким образом, формула имеет вид: $d = s + (v_1 + v_2)t$.
Ответ: $d = s + (v_1 + v_2)t$

3) вдогонку
При движении вдогонку более быстрый катер (со скоростью $v_1$) догоняет более медленный (со скоростью $v_2$). Скорость их сближения равна разности скоростей: $v_{сбл} = v_1 - v_2$ (по условию $v_1 > v_2$). За время $t$ расстояние между ними уменьшится на $(v_1 - v_2)t$. Новое расстояние $d$ равно начальному расстоянию $s$ минус расстояние, на которое они сблизились. Таким образом, формула имеет вид: $d = s - (v_1 - v_2)t$.
Ответ: $d = s - (v_1 - v_2)t$

4) с отставанием
При движении с отставанием более медленный катер ($v_2$) движется за более быстрым ($v_1$). Расстояние между ними увеличивается. Скорость удаления равна разности их скоростей: $v_{удал} = v_1 - v_2$. За время $t$ расстояние между ними увеличится на $(v_1 - v_2)t$. Новое расстояние $d$ будет равно начальному расстоянию $s$ плюс это увеличение. Таким образом, формула имеет вид: $d = s + (v_1 - v_2)t$.
Ответ: $d = s + (v_1 - v_2)t$

83 Расстояние между двумя пристанями $s$ км. От этих пристаней одновременно отплыли два катера со скоростями $v_1$ и $v_2$ ($v_1 > v_2$). Построй формулу зависимости расстояния $d$ между катерами от времени движения $t$, если они движутся:

1) навстречу друг другу;

2) в противоположных направлениях;

3) вдогонку;

4) с отставанием. (Считать, что встречи за это время не произойдет.)

84 Расстояние $h$, которое проходит в вакууме падающее вниз тело, не зависит от его массы, а зависит лишь от времени падения $t$. Приближённые значения величины $h$ м в первые 5 с падения приведены в таблице. Построй формулу и график этой зависимости, подобрав на осях координат удобные единицы измерения.

Построение формулы

Для того чтобы найти формулу, выражающую зависимость расстояния $h$ от времени падения $t$, проанализируем данные из таблицы. Предположим, что зависимость является квадратичной, то есть имеет вид $h = k \cdot t^2$, где $k$ — постоянный коэффициент. Чтобы проверить это предположение, вычислим отношение $\frac{h}{t^2}$ для всех пар значений из таблицы, где $t \neq 0$.

• При $t=1$ с: $\frac{h}{t^2} = \frac{5}{1^2} = 5$ м/с$^2$.
• При $t=2$ с: $\frac{h}{t^2} = \frac{20}{2^2} = \frac{20}{4} = 5$ м/с$^2$.
• При $t=3$ с: $\frac{h}{t^2} = \frac{45}{3^2} = \frac{45}{9} = 5$ м/с$^2$.
• При $t=4$ с: $\frac{h}{t^2} = \frac{80}{4^2} = \frac{80}{16} = 5$ м/с$^2$.
• При $t=5$ с: $\frac{h}{t^2} = \frac{125}{5^2} = \frac{125}{25} = 5$ м/с$^2$.

Так как отношение $\frac{h}{t^2}$ для всех точек постоянно и равно 5, наше предположение верно, и коэффициент $k=5$. Следовательно, искомая формула зависимости имеет вид: $h = 5t^2$.

Ответ: $h = 5t^2$.

Построение графика

Графиком зависимости $h = 5t^2$ является парабола. Для его построения используем точки из таблицы: (0; 0), (1; 5), (2; 20), (3; 45), (4; 80), (5; 125). Отложим по горизонтальной оси (оси абсцисс) время $t$ (в секундах), а по вертикальной (оси ординат) — расстояние $h$ (в метрах). Выберем удобный масштаб: по оси $t$ единичный отрезок соответствует 1 с, а по оси $h$ — 20 м. Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: График зависимости представлен на рисунке.

84 Расстояние $h$, которое проходит в вакууме падающее вниз тело, не зависит от его массы, а зависит лишь от времени падения $t$. Приближенные значения величины $h$ в первые 5 секунд падения приведены в таблице. Построй формулу и график этой зависимости, подобрав на осях координат удобные единицы измерения.

85 Найди верные равенства и из соответствующих им букв составь название денежной единицы. В каких странах она используется?

Д

$0,2 : 6 = 1 : \frac{1}{3}$

Б

$\frac{2}{3} = \frac{0,7}{10,5}$

Ь

$\frac{1,75}{0,2} = \frac{3,5}{4}$

А

$2 : \frac{1}{3} = 3 : 0,5$

О

$\frac{2,7}{0,36} = \frac{3}{0,4}$

Н

$1\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = 0,1 : 0,01$

П

$1,5 : 3 = 3 : 4$

Л

$\frac{1}{7} = \frac{10}{0,7}$

У

$6,3 : 3 = 2 : 100$

С

$0,9 : 6 = 0,06 : 4$

К

$\frac{2,4}{0,6} = \frac{20}{5}$

Р

$\frac{0,04}{0,8} = \frac{0,5}{10}$

Чтобы найти название денежной единицы, необходимо проверить каждое равенство. Если равенство верное, мы берем соответствующую ему букву.

Д

Проверяем равенство $0,2 : 6 = 1 : \frac{1}{3}$.

Левая часть: $0,2 : 6 = \frac{2}{10} : 6 = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$.

Правая часть: $1 : \frac{1}{3} = 1 \cdot 3 = 3$.

Сравниваем результаты: $\frac{1}{30} \neq 3$. Равенство неверное.

Ответ: неверно.

Б

Проверяем равенство $\frac{2}{3} : 3 = \frac{0,7}{10,5}$.

Левая часть: $\frac{2}{3} : 3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.

Правая часть: $\frac{0,7}{10,5} = \frac{7}{105} = \frac{1}{15}$.

Сравниваем результаты: $\frac{2}{9} \neq \frac{1}{15}$. Равенство неверное.

Ответ: неверно.

Ь

Проверяем равенство $\frac{1,75}{0,2} = \frac{3,5}{4}$.

Левая часть: $\frac{1,75}{0,2} = \frac{17,5}{2} = 8,75$.

Правая часть: $\frac{3,5}{4} = 0,875$.

Сравниваем результаты: $8,75 \neq 0,875$. Равенство неверное.

Ответ: неверно.

А

Проверяем равенство $2 : \frac{1}{3} = 3 : 0,5$.

Левая часть: $2 : \frac{1}{3} = 2 \cdot 3 = 6$.

Правая часть: $3 : 0,5 = 3 : \frac{1}{2} = 3 \cdot 2 = 6$.

Сравниваем результаты: $6 = 6$. Равенство верное.

Ответ: верно.

О

Проверяем равенство $\frac{2,7}{0,36} = \frac{3}{0,4}$.

Это пропорция. Проверим равенство произведений крайних и средних членов: $2,7 \cdot 0,4 = 1,08$ и $0,36 \cdot 3 = 1,08$.

Так как $1,08 = 1,08$, равенство верное.

Ответ: верно.

Н

Проверяем равенство $1\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = 0,1 : 0,01$.

Левая часть: $1\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{30}{3} = 10$.

Правая часть: $0,1 : 0,01 = 10$.

Сравниваем результаты: $10 = 10$. Равенство верное.

Ответ: верно.

П

Проверяем равенство $1,5 : 3 = 3 : 4$.

Левая часть: $1,5 : 3 = 0,5$.

Правая часть: $3 : 4 = 0,75$.

Сравниваем результаты: $0,5 \neq 0,75$. Равенство неверное.

Ответ: неверно.

Л

Проверяем равенство $\frac{1}{7} = \frac{10}{0,7}$.

Правая часть: $\frac{10}{0,7} = \frac{100}{7}$.

Сравниваем результаты: $\frac{1}{7} \neq \frac{100}{7}$. Равенство неверное.

Ответ: неверно.

У

Проверяем равенство $6,3 : 3 = 2 : 100$.

Левая часть: $6,3 : 3 = 2,1$.

Правая часть: $2 : 100 = 0,02$.

Сравниваем результаты: $2,1 \neq 0,02$. Равенство неверное.

Ответ: неверно.

С

Проверяем равенство $0,9 : 6 = 0,06 : 4$.

Левая часть: $0,9 : 6 = 0,15$.

Правая часть: $0,06 : 4 = 0,015$.

Сравниваем результаты: $0,15 \neq 0,015$. Равенство неверное.

Ответ: неверно.

К

Проверяем равенство $\frac{2,4}{0,6} = \frac{20}{5}$.

Левая часть: $\frac{2,4}{0,6} = \frac{24}{6} = 4$.

Правая часть: $\frac{20}{5} = 4$.

Сравниваем результаты: $4 = 4$. Равенство верное.

Ответ: верно.

Р

Проверяем равенство $\frac{0,04}{0,8} = \frac{0,5}{10}$.

Это пропорция. Проверим равенство произведений крайних и средних членов: $0,04 \cdot 10 = 0,4$ и $0,8 \cdot 0,5 = 0,4$.

Так как $0,4 = 0,4$, равенство верное.

Ответ: верно.

Верными оказались равенства, соответствующие буквам: А, О, Н, К, Р.

Из этих букв можно составить название денежной единицы: КРОНА.

В каких странах она используется?

Крона является национальной валютой в нескольких странах Европы:

• Швеция (шведская крона)
• Норвегия (норвежская крона)
• Дания (датская крона), а также в Гренландии и на Фарерских островах
• Исландия (исландская крона)
• Чехия (чешская крона)

85 Найди верные равенства и из соответствующих им букв составь название денежной единицы. В каких странах она используется?

Д: $0,2 : 6 = 1 : \frac{1}{3}$

Б: $\frac{2}{3} = \frac{0,7}{10,5}$

Ь: $\frac{1,75}{0,2} = \frac{3,5}{4}$

А: $2 : \frac{1}{3} = 3 : 0,5$

О: $\frac{2,7}{0,36} = \frac{3}{0,4}$

Н: $1\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = 0,1 : 0,01$

П: $1,5 : 3 = 3 : 4$

Л: $\frac{1}{7} = \frac{10}{0,7}$

У: $6,3 : 3 = 2 : 100$

С: $0,9 : 6 = 0,06 : 4$

К: $\frac{2,4}{0,6} = \frac{20}{5}$

Р: $\frac{0,04}{0,8} = \frac{0,5}{10}$

86 Реши уравнения:

1) $x : 250 = 5,08 : 12,5$

2) $1,32 : 3\frac{1}{7} = (1,4y) : \frac{5}{6}$

3) $\frac{4,8}{2z + 15} = \frac{0,2}{5}$

1) $x : 250 = 5,08 : 12,5$

Это уравнение является пропорцией. Запишем ее в виде дробей:

$\frac{x}{250} = \frac{5,08}{12,5}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 250:

$x = \frac{5,08 \cdot 250}{12,5}$

Вычислим значение выражения. Удобнее сначала разделить 250 на 12,5:

$\frac{250}{12,5} = \frac{2500}{125} = 20$

Теперь умножим результат на 5,08:

$x = 5,08 \cdot 20 = 101,6$

Ответ: $x = 101,6$

2) $1,32 : 3\frac{1}{7} = (1,4y) : \frac{5}{6}$

Это пропорция. Для удобства решения преобразуем десятичные дроби и смешанное число в обыкновенные дроби:

$1,32 = \frac{132}{100} = \frac{33}{25}$

$3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$

$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\frac{33}{25} : \frac{22}{7} = (\frac{7}{5}y) : \frac{5}{6}$

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$\frac{33}{25} \cdot \frac{5}{6} = \frac{22}{7} \cdot \frac{7}{5}y$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{33 \cdot 5}{25 \cdot 6} = \frac{(3 \cdot 11) \cdot 5}{(5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)} = \frac{11}{10}$

Упростим правую часть уравнения:

$\frac{22 \cdot 7}{7 \cdot 5}y = \frac{22}{5}y$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$\frac{11}{10} = \frac{22}{5}y$

Чтобы найти $y$, разделим $\frac{11}{10}$ на $\frac{22}{5}$:

$y = \frac{11}{10} : \frac{22}{5} = \frac{11}{10} \cdot \frac{5}{22} = \frac{11 \cdot 5}{10 \cdot 22} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $y = \frac{1}{4}$

3) $\frac{4,8}{2z + 15} = \frac{0,2}{5}$

Это уравнение также является пропорцией. Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4,8 \cdot 5 = 0,2 \cdot (2z + 15)$

Выполним умножение в левой части:

$24 = 0,2 \cdot (2z + 15)$

Теперь разделим обе части уравнения на 0,2:

$2z + 15 = \frac{24}{0,2} = \frac{240}{2} = 120$

Получили простое линейное уравнение:

$2z + 15 = 120$

Вычтем 15 из обеих частей:

$2z = 120 - 15$

$2z = 105$

Найдем $z$, разделив 105 на 2:

$z = \frac{105}{2} = 52,5$

Ответ: $z = 52,5$

86 Реши уравнения:

1) $x : 250 = 5,08 : 12,5;$

2) $1,32 : 3\frac{1}{7} = (1,4y) : \frac{5}{6};$

3) $\frac{4,8}{2z + 15} = \frac{0,2}{5}.$

87 Размеры фигур, приведённых на рис. 1 и 2, были увеличены в отношении 3 : 2.

1) Вырази увеличение изображения в процентах.

2) Изобрази в тетради копию чертежа, приведённого на рис. 1, произведя необходимые измерения и вычисления.

3) По копии чертежа, приведённого на рис. 2, восстанови его размеры в оригинале и нарисуй чертёж в тетради.

Рис. 1

Рис. 2

1)

Размеры фигур были увеличены в отношении $3:2$. Это означает, что новый размер относится к старому как $3$ к $2$. Найдем коэффициент увеличения, разделив новую пропорцию на старую: $k = 3 / 2 = 1.5$.

Это значит, что новые размеры составляют $1.5$ от старых размеров. Чтобы выразить это в процентах, умножим на $100\%$: $1.5 \times 100\% = 150\%$.

Новый размер составляет $150\%$ от оригинального. Увеличение изображения — это разница между новым размером в процентах и оригинальным (который составляет $100\%$): $150\% - 100\% = 50\%$.

Ответ: Увеличение изображения составляет $50\%$.

2)

Чтобы изобразить увеличенную копию фигуры с рис. 1, нужно сначала измерить оригинальные размеры, а затем умножить их на коэффициент увеличения $k=1.5$.

1. С помощью линейки измеряем диагонали четырехугольника ABCD и отрезки, на которые они делятся точкой пересечения O. Допустим, измерения дали следующие результаты (ваши измерения могут немного отличаться):
   • Длина диагонали AC = $3.6$ см.
   • Длина диагонали BD = $2.4$ см.
   • Длина отрезка AO = $1.6$ см.
   • Длина отрезка OC = $2.0$ см.
   • Длина отрезков BO = OD = $1.2$ см.
2. Вычисляем размеры для новой, увеличенной фигуры, умножая каждый размер на $1.5$:
   • Новая длина AC' = $3.6 \text{ см} \times 1.5 = 5.4$ см.
   • Новая длина BD' = $2.4 \text{ см} \times 1.5 = 3.6$ см.
   • Новая длина AO' = $1.6 \text{ см} \times 1.5 = 2.4$ см.
   • Новая длина OC' = $2.0 \text{ см} \times 1.5 = 3.0$ см.
   • Новая длина BO' = OD' = $1.2 \text{ см} \times 1.5 = 1.8$ см.
3. Строим новый чертеж по вычисленным размерам:
   • Начертите отрезок AC' длиной $5.4$ см.
   • На этом отрезке отметьте точку O' так, чтобы AO' = $2.4$ см (и, соответственно, O'C' = $3.0$ см).
   • Через точку O' проведите прямую, перпендикулярную AC'.
   • На этой прямой отложите от точки O' отрезки O'B' и O'D' длиной $1.8$ см в разные стороны.
   • Соедините точки A, B', C', D' последовательно. Полученный четырехугольник A'B'C'D' будет искомой копией.

Ответ: Для построения копии необходимо использовать вычисленные увеличенные размеры: диагонали $5.4$ см и $3.6$ см, с точкой пересечения, делящей их на отрезки $2.4$ см, $3.0$ см и $1.8$ см, $1.8$ см соответственно.

3)

По условию, чертеж на рис. 2 — это увеличенная копия. Чтобы восстановить оригинальные размеры, нужно размеры этой копии умножить на обратный коэффициент, то есть на $2/3$.

1. Измеряем ключевые размеры трапеции KLMN на рис. 2. Допустим, измерения дали следующие результаты:
   • Длина верхнего основания LM = $2.1$ см.
   • Длина нижнего основания KN = $4.5$ см.
   • Высота LE (и MF) = $2.4$ см.
2. Вычисляем оригинальные размеры, умножая каждый измеренный размер на $2/3$:
   • Оригинальная длина LM = $2.1 \text{ см} \times (2/3) = 1.4$ см.
   • Оригинальная длина KN = $4.5 \text{ см} \times (2/3) = 3.0$ см.
   • Оригинальная высота LE = $2.4 \text{ см} \times (2/3) = 1.6$ см.
3. Строим оригинальный чертеж по вычисленным размерам:
   • Начертите нижнее основание KN длиной $3.0$ см.
   • Из точек K и N проведите две параллельные прямые, перпендикулярные KN.
   • На высоте $1.6$ см проведите прямую, параллельную KN.
   • На этой прямой постройте верхнее основание LM длиной $1.4$ см так, чтобы трапеция была симметричной (если она выглядит таковой на рисунке). Для этого от середины KN отложите по $0.7$ см в обе стороны и из этих точек проведите перпендикуляры до пересечения с верхней параллельной прямой. Это будут точки L и M.
   • Соедините точки K с L и N с M. Полученная трапеция будет оригиналом.

Ответ: Оригинальные размеры трапеции: верхнее основание $1.4$ см, нижнее основание $3.0$ см, высота $1.6$ см.

87 Размеры фигур, приведенных на рисунках 1 и 2, были увеличены в отношении $3 : 2$.

1) Вырази увеличение изображения в процентах.

2) Изобрази в тетради копию чертежа, приведенного на рис. 1, произведя необходимые измерения и вычисления.

3) По копии чертежа, приведенного на рис. 2, восстанови его размеры в оригинале и нарисуй чертеж в тетради.

86. Реши уравнение различными способами. Какой из способов ты находишь более удобным?

a) $-x + 3 = 2;$

б) $-5 + y = -4;$

в) $z - 9 = -3;$

г) $-7 - t = 0.$

Для решения каждого уравнения можно использовать два основных способа: метод, основанный на свойствах равенств (выполнение тождественных преобразований с обеими частями уравнения), и метод нахождения неизвестного компонента арифметического действия.

а) $-x + 3 = 2$

Способ 1: Использование свойств равенства.

Чтобы выделить неизвестное $x$, вычтем $3$ из обеих частей уравнения:

$-x + 3 - 3 = 2 - 3$

$-x = -1$

Теперь умножим обе части на $-1$, чтобы найти $x$:

$(-1) \cdot (-x) = (-1) \cdot (-1)$

$x = 1$

Способ 2: Нахождение неизвестного компонента.

В уравнении $-x + 3 = 2$ член $-x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($2$) вычесть известное слагаемое ($3$):

$-x = 2 - 3$

$-x = -1$

Отсюда, $x = 1$.

Проверка: $-(1) + 3 = -1 + 3 = 2$. Верно.

Ответ: $x=1$

б) $-5 + y = -4$

Способ 1: Использование свойств равенства.

Чтобы выделить $y$, прибавим $5$ к обеим частям уравнения:

$-5 + y + 5 = -4 + 5$

$y = 1$

Способ 2: Нахождение неизвестного компонента.

В уравнении $-5 + y = -4$ неизвестным является слагаемое $y$. Чтобы найти его, нужно из суммы ($-4$) вычесть известное слагаемое ($-5$):

$y = -4 - (-5)$

$y = -4 + 5$

$y = 1$

Проверка: $-5 + 1 = -4$. Верно.

Ответ: $y=1$

в) $z - 9 = -3$

Способ 1: Использование свойств равенства.

Чтобы выделить $z$, прибавим $9$ к обеим частям уравнения:

$z - 9 + 9 = -3 + 9$

$z = 6$

Способ 2: Нахождение неизвестного компонента.

В этом уравнении $z$ – неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности ($-3$) прибавить вычитаемое ($9$):

$z = -3 + 9$

$z = 6$

Проверка: $6 - 9 = -3$. Верно.

Ответ: $z=6$

г) $-7 - t = 0$

Способ 1: Использование свойств равенства.

Сначала прибавим $7$ к обеим частям уравнения:

$-7 - t + 7 = 0 + 7$

$-t = 7$

Затем умножим обе части на $-1$:

$t = -7$

Способ 2: Нахождение неизвестного компонента.

Здесь $t$ – неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($-7$) вычесть разность ($0$):

$t = -7 - 0$

$t = -7$

Проверка: $-7 - (-7) = -7 + 7 = 0$. Верно.

Ответ: $t=-7$

Какой из способов ты находишь более удобным?

Первый способ, основанный на свойствах равенства (выполнение одинаковых операций с обеими частями уравнения), является более универсальным и систематическим. Он помогает понять саму логику решения уравнений и легко применяется к более сложным случаям. Второй способ, основанный на поиске компонентов действия (слагаемое, вычитаемое и т.д.), может быть быстрым для простых примеров, но требует запоминания отдельных правил для каждого действия и может вызывать путаницу, особенно с отрицательными числами. Поэтому первый способ можно считать более надежным и удобным для изучения и применения в дальнейшем.

K 86 Реши уравнения различными способами. Какой из способов ты находишь более удобным?

а) $-x + 3 = 2;$

б) $-5 + y = -4;$

в) $z - 9 = -3;$

г) $-7 - t = 0.$

87 Реши уравнение, используя приём переноса слагаемых:

а) $9 - 4y = -5y$;

г) $4n = -2 + 6n + 7$;

ж) $\frac{5}{6}m + 2 = \frac{1}{3}m - 0,8$;

б) $12a - 1 = -a + 25$;

д) $2 - c = 5c + 1$;

з) $-1,6 - 0,3p = 0,9p + 0,2$;

в) $8 + 3b = -7 - 2b$;

е) $-3d - 10 = 3d - 6$;

и) $\frac{11}{12}x - \frac{2}{3} = -0,5 - \frac{3}{4}x$.

а) $9 - 4y = -5y$

Перенесем слагаемое с переменной $-4y$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

$9 = -5y + 4y$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения.

$9 = -y$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $y$.

$y = -9$

Ответ: $-9$

б) $12a - 1 = -a + 25$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую, меняя их знаки при переносе.

$12a + a = 25 + 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения.

$13a = 26$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на $13$.

$a = \frac{26}{13}$

$a = 2$

Ответ: $2$

в) $8 + 3b = -7 - 2b$

Сгруппируем слагаемые с переменной $b$ в левой части, а свободные члены — в правой. При переносе слагаемых их знаки меняются на противоположные.

$3b + 2b = -7 - 8$

Приведем подобные слагаемые.

$5b = -15$

Найдем $b$, разделив обе части уравнения на $5$.

$b = \frac{-15}{5}$

$b = -3$

Ответ: $-3$

г) $4n = -2 + 6n + 7$

Сначала упростим правую часть уравнения, сложив свободные члены.

$4n = (7 - 2) + 6n$

$4n = 5 + 6n$

Теперь перенесем слагаемое $6n$ в левую часть уравнения.

$4n - 6n = 5$

Приведем подобные слагаемые.

$-2n = 5$

Разделим обе части на $-2$.

$n = -\frac{5}{2}$

$n = -2,5$

Ответ: $-2,5$

д) $2 - c = 5c + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $c$ в правую часть, а свободные члены в левую.

$2 - 1 = 5c + c$

Приведем подобные слагаемые.

$1 = 6c$

Чтобы найти $c$, разделим обе части уравнения на $6$.

$c = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

е) $-3d - 10 = 3d - 6$

Перенесем слагаемые с переменной $d$ в правую часть, а свободные члены в левую.

$-10 + 6 = 3d + 3d$

Приведем подобные слагаемые.

$-4 = 6d$

Найдем $d$, разделив обе части на $6$.

$d = -\frac{4}{6}$

Сократим дробь.

$d = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$

ж) $\frac{5}{6}m + 2 = \frac{1}{3}m - 0,8$

Для удобства вычислений избавимся от дробей и десятичных чисел. Представим $0,8$ как $\frac{4}{5}$. Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{5}{6}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{5}$ равен $30$. Умножим обе части уравнения на $30$.

$30 \cdot (\frac{5}{6}m + 2) = 30 \cdot (\frac{1}{3}m - \frac{4}{5})$

$25m + 60 = 10m - 24$

Перенесем слагаемые с переменной $m$ в левую часть, а свободные члены в правую.

$25m - 10m = -24 - 60$

Приведем подобные слагаемые.

$15m = -84$

Разделим обе части на $15$.

$m = -\frac{84}{15} = -\frac{28}{5} = -5,6$

Ответ: $-5,6$

з) $-1,6 - 0,3p = 0,9p + 0,2$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на $10$.

$10 \cdot (-1,6 - 0,3p) = 10 \cdot (0,9p + 0,2)$

$-16 - 3p = 9p + 2$

Перенесем слагаемые с переменной $p$ в правую часть, а свободные члены в левую.

$-16 - 2 = 9p + 3p$

Приведем подобные слагаемые.

$-18 = 12p$

Найдем $p$.

$p = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $-1,5$

и) $\frac{11}{12}x - \frac{2}{3} = -0,5 - \frac{3}{4}x$

Представим десятичную дробь $-0,5$ в виде обыкновенной дроби $-\frac{1}{2}$.

$\frac{11}{12}x - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4}x$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей ($12, 3, 2, 4$), который равен $12$.

$12 \cdot (\frac{11}{12}x - \frac{2}{3}) = 12 \cdot (-\frac{1}{2} - \frac{3}{4}x)$

$11x - 8 = -6 - 9x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены в правую.

$11x + 9x = -6 + 8$

Приведем подобные слагаемые.

$20x = 2$

Найдем $x$.

$x = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: $0,1$

87 Реши уравнения, используя прием переноса слагаемых:

а) $9 - 4y = -5y$;

б) $12a - 1 = -a + 25$;

в) $8 + 3b = -7 - 2b$;

г) $4n = -2 + 6n + 7$;

д) $2 - c = 5c + 1$;

е) $-3d - 10 = 3d - 6$;

ж) $\frac{5}{6}m + 2 = \frac{1}{3}m - 0.8$;

з) $-1.6 - 0.3p = 0.9p + 0.2$;

и) $\frac{11}{12}x - \frac{2}{3} = -0.5 - \frac{3}{4}x$.

88 Повтори правила раскрытия скобок и реши уравнение:

а) $2a - (14 - 3a) = -10;$

б) $(9 - 2b) - (b + 5) = 16;$

в) $-(4c - 7) = 5c + (11 - 7c);$

г) $-6x + 2(5 - 3x) = 8;$

д) $18 - 4y = 7(2 - y) + 6;$

е) $4(-2z + 5) = 14 - 2(4z - 3).$

а) $2a - (14 - 3a) = -10$

Сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$2a - 14 + 3a = -10$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(2a + 3a) - 14 = -10$

$5a - 14 = -10$

Перенесем число $-14$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$5a = -10 + 14$

$5a = 4$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 5:

$a = \frac{4}{5}$

$a = 0.8$

Ответ: $a = 0.8$

б) $(9 - 2b) - (b + 5) = 16$

Раскроем скобки. Перед первыми скобками нет знака, поэтому просто убираем их. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри меняются:

$9 - 2b - b - 5 = 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-2b - b) + (9 - 5) = 16$

$-3b + 4 = 16$

Перенесем число 4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-3b = 16 - 4$

$-3b = 12$

Разделим обе части уравнения на $-3$:

$b = \frac{12}{-3}$

$b = -4$

Ответ: $b = -4$

в) $-(4c - 7) = 5c + (11 - 7c)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$-4c + 7 = 5c + 11 - 7c$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$-4c + 7 = (5c - 7c) + 11$

$-4c + 7 = -2c + 11$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $c$ в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки при переносе:

$-4c + 2c = 11 - 7$

$-2c = 4$

Разделим обе части на $-2$:

$c = \frac{4}{-2}$

$c = -2$

Ответ: $c = -2$

г) $-6x + 2(5 - 3x) = 8$

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения ($a(b+c) = ab+ac$):

$-6x + 2 \cdot 5 + 2 \cdot (-3x) = 8$

$-6x + 10 - 6x = 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-6x - 6x) + 10 = 8$

$-12x + 10 = 8$

Перенесем 10 в правую часть:

$-12x = 8 - 10$

$-12x = -2$

Разделим обе части на $-12$:

$x = \frac{-2}{-12}$

$x = \frac{1}{6}$

Ответ: $x = \frac{1}{6}$

д) $18 - 4y = 7(2 - y) + 6$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$18 - 4y = 7 \cdot 2 - 7 \cdot y + 6$

$18 - 4y = 14 - 7y + 6$

Приведем подобные слагаемые (числа) в правой части:

$18 - 4y = (14 + 6) - 7y$

$18 - 4y = 20 - 7y$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:

$-4y + 7y = 20 - 18$

$3y = 2$

Разделим обе части на 3:

$y = \frac{2}{3}$

Ответ: $y = \frac{2}{3}$

е) $4(-2z + 5) = 14 - 2(4z - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4 \cdot (-2z) + 4 \cdot 5 = 14 - (2 \cdot 4z - 2 \cdot 3)$

$-8z + 20 = 14 - (8z - 6)$

$-8z + 20 = 14 - 8z + 6$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$-8z + 20 = (14 + 6) - 8z$

$-8z + 20 = 20 - 8z$

Перенесем слагаемые с $z$ в левую часть, а числа — в правую:

$-8z + 8z = 20 - 20$

$0 \cdot z = 0$

$0 = 0$

Получено верное числовое равенство, не зависящее от переменной $z$. Это означает, что уравнение имеет бесконечно много решений, то есть $z$ может быть любым числом.

Ответ: $z$ — любое число.

88 Повтори правила раскрытия скобок и реши уравнения:

а) $2a - (14 - 3a) = -10$;

б) $(9 - 2b) - (b + 5) = 16$;

в) $-(4c - 7) = 5c + (11 - 7c)$;

г) $-6x + 2(5 - 3x) = 8$;

д) $18 - 4y = 7(2 - y) + 6$;

е) $4(-2z + 5) = 14 - 2(4z - 3)$.

89 Реши уравнение, приводя обе его части к целым коэффициентам:

а) $\frac{x}{5} - 4 = -0,1x + 2$

б) $0,4b + 0,8 = 0,9b - 2,7$

в) $1 - \frac{a}{7} = \frac{a}{14} - 0,25a$

г) $3 - (\frac{2}{9}m + \frac{1}{6}) = \frac{m}{3} + 1,5$

д) $2,6z - 0,2(3z - 9) = -0,5(2z + 6)$

е) $\frac{5}{12}(c - 3) - \frac{1}{6}(2c - 7) = 2$

а) $\frac{x}{5} - 4 = -0,1x + 2$

Сначала приведем все коэффициенты к виду обыкновенных дробей: $-0,1 = -\frac{1}{10}$. Уравнение примет вид: $\frac{x}{5} - 4 = -\frac{1}{10}x + 2$.

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{10}$, то есть на 10.

$10 \cdot (\frac{x}{5} - 4) = 10 \cdot (-\frac{1}{10}x + 2)$

$10 \cdot \frac{x}{5} - 10 \cdot 4 = 10 \cdot (-\frac{1}{10}x) + 10 \cdot 2$

$2x - 40 = -x + 20$

Теперь решим уравнение с целыми коэффициентами. Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы в правую:

$2x + x = 20 + 40$

$3x = 60$

$x = \frac{60}{3}$

$x = 20$

Ответ: $20$.

б) $0,4b + 0,8 = 0,9b - 2,7$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10.

$10 \cdot (0,4b + 0,8) = 10 \cdot (0,9b - 2,7)$

$4b + 8 = 9b - 27$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а константы в другую:

$8 + 27 = 9b - 4b$

$35 = 5b$

$b = \frac{35}{5}$

$b = 7$

Ответ: $7$.

в) $1 - \frac{a}{7} = \frac{a}{14} - 0,25a$

Приведем коэффициент $0,25$ к виду обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{1}{4}$. Уравнение примет вид: $1 - \frac{a}{7} = \frac{a}{14} - \frac{1}{4}a$.

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей (знаменатели 7, 14, 4), который равен 28.

$28 \cdot (1 - \frac{a}{7}) = 28 \cdot (\frac{a}{14} - \frac{a}{4})$

$28 - 4a = 2a - 7a$

$28 - 4a = -5a$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону:

$28 = -5a + 4a$

$28 = -a$

$a = -28$

Ответ: $-28$.

г) $3 - (\frac{2}{9}m + \frac{1}{6}) = \frac{m}{3} + 1,5$

Сначала раскроем скобки и представим $1,5$ в виде дроби $\frac{3}{2}$.

$3 - \frac{2}{9}m - \frac{1}{6} = \frac{m}{3} + \frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей (знаменатели 9, 6, 3, 2), который равен 18.

$18 \cdot (3 - \frac{2}{9}m - \frac{1}{6}) = 18 \cdot (\frac{m}{3} + \frac{3}{2})$

$18 \cdot 3 - 18 \cdot \frac{2}{9}m - 18 \cdot \frac{1}{6} = 18 \cdot \frac{m}{3} + 18 \cdot \frac{3}{2}$

$54 - 4m - 3 = 6m + 27$

Упростим уравнение:

$51 - 4m = 6m + 27$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а константы в другую:

$51 - 27 = 6m + 4m$

$24 = 10m$

$m = \frac{24}{10}$

$m = 2,4$

Ответ: $2,4$.

д) $2,6z - 0,2(3z - 9) = -0,5(2z + 6)$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10.

$10 \cdot (2,6z - 0,2(3z - 9)) = 10 \cdot (-0,5(2z + 6))$

$26z - 2(3z - 9) = -5(2z + 6)$

Раскроем скобки:

$26z - 6z + 18 = -10z - 30$

$20z + 18 = -10z - 30$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а константы в правую:

$20z + 10z = -30 - 18$

$30z = -48$

$z = -\frac{48}{30} = -\frac{8}{5}$

$z = -1,6$

Ответ: $-1,6$.

е) $\frac{5}{12}(c - 3) - \frac{1}{6}(2c - 7) = 2$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей (12 и 6), то есть на 12.

$12 \cdot (\frac{5}{12}(c - 3) - \frac{1}{6}(2c - 7)) = 12 \cdot 2$

$5(c - 3) - 2(2c - 7) = 24$

Раскроем скобки:

$5c - 15 - 4c + 14 = 24$

Приведем подобные слагаемые:

$c - 1 = 24$

$c = 24 + 1$

$c = 25$

Ответ: $25$.

89 Реши уравнения, приводя обе его части к целым коэффициентам:

а) $\frac{x}{5} - 4 = -0,1x + 2;$

б) $0,4b + 0,8 = 0,9b - 2,7;$

в) $1 - \frac{a}{7} = \frac{a}{14} - 0,25a;$

г) $3 - \left(\frac{2}{9}m + \frac{1}{6}\right) = \frac{m}{3} + 1,5;$

д) $2,6z - 0,2(3z - 9) = -0,5(2z + 6);$

е) $\frac{5}{12}(c - 3) - \frac{1}{6}(2c - 7) = 2.$