Страница 27, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

100 Докажи равносильность пропорций и определи, при каких значениях переменных данные утверждения истинны:

1) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $

2) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $

3) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d} $

4) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $

5) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d} $

6) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} $

7) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \iff \frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d} $

Для доказательства равносильности двух утверждений $P$ и $Q$ (обозначается $P \Leftrightarrow Q$) необходимо доказать два следования: $P \Rightarrow Q$ (из $P$ следует $Q$) и $Q \Rightarrow P$ (из $Q$ следует $P$). Истинность утверждений зависит от того, чтобы все выражения были определены, то есть знаменатели дробей не обращались в ноль.

1) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $.

Условия истинности: знаменатели не должны быть равны нулю. Для обеих пропорций это означает, что $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Прибавим к обеим частям равенства единицу: $ \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 $ Приводя к общему знаменателю в каждой части, получаем: $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $. Разделим числитель на знаменатель почленно: $ \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d} $ $ \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 $ Вычитая единицу из обеих частей, получаем: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

2) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $.

Условия истинности: $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Вычтем из обеих частей равенства единицу: $ \frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1 $ $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $. Разделим числитель на знаменатель почленно: $ \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d} $ $ \frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1 $ Прибавляя единицу к обеим частям, получаем: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

3) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d} $.

Условия истинности: $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Умножим обе части на $-1$: $ -\frac{a}{b} = -\frac{c}{d} $ Прибавим к обеим частям единицу: $ 1 - \frac{a}{b} = 1 - \frac{c}{d} $ $ \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d} $. Разделим почленно: $ \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{d}{d} - \frac{c}{d} $ $ 1 - \frac{a}{b} = 1 - \frac{c}{d} $ Вычитая единицу и умножая на $-1$, получаем: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

4) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $.

Условия истинности: для левой части $b \neq 0, d \neq 0$. Для правой части $a+b \neq 0, c+d \neq 0$. Таким образом, утверждения могут быть истинны только при $b \neq 0, d \neq 0, a+b \neq 0, c+d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Если $a=0$, то и $c=0$. Правая часть примет вид $ \frac{0}{0+b} = \frac{0}{0+d} $, то есть $0=0$, что верно. Если $a \neq 0$ (и, следовательно, $c \neq 0$), можно "перевернуть" дроби: $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $. Прибавим 1 к обеим частям: $ \frac{b}{a} + 1 = \frac{d}{c} + 1 $ $ \frac{b+a}{a} = \frac{d+c}{c} $ Снова "перевернем" дроби (это возможно, так как $a+b \neq 0, c+d \neq 0$): $ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $. Если $a=0$, то и $c=0$. Левая часть примет вид $ \frac{0}{b} = \frac{0}{d} $, то есть $0=0$, что верно. Если $a \neq 0$ (и $c \neq 0$), "перевернем" дроби: $ \frac{a+b}{a} = \frac{c+d}{c} $. Разделим почленно: $ 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{d}{c} $ $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $ И снова "перевернем" дроби: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0, d \neq 0, a+b \neq 0, c+d \neq 0$.

5) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d} $.

Условия истинности: $b \neq 0, d \neq 0, a-b \neq 0, c-d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Если $a=0$, то $c=0$, и правая часть $ \frac{0}{0-b} = \frac{0}{0-d} $ верна ($0=0$). Если $a \neq 0, c \neq 0$, то $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $. Умножим на $-1$ и прибавим 1: $ 1 - \frac{b}{a} = 1 - \frac{d}{c} $ $ \frac{a-b}{a} = \frac{c-d}{c} $ Перевернем дроби: $ \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d} $. Если $a=0$, то $c=0$, левая часть $ \frac{0}{b} = \frac{0}{d} $ верна. Если $a \neq 0, c \neq 0$, перевернем дроби: $ \frac{a-b}{a} = \frac{c-d}{c} $. Разделим почленно: $ 1 - \frac{b}{a} = 1 - \frac{d}{c} $ $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0, d \neq 0, a \neq b, c \neq d$.

6) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} $.

Условия истинности: $b \neq 0, d \neq 0, b-a \neq 0, d-c \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Если $a=0$, то $c=0$, и правая часть $ \frac{0}{b-0} = \frac{0}{d-0} $ верна. Если $a \neq 0, c \neq 0$, то $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $. Вычтем 1: $ \frac{b}{a} - 1 = \frac{d}{c} - 1 $ $ \frac{b-a}{a} = \frac{d-c}{c} $ Перевернем дроби: $ \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} $. Если $a=0$, то $c=0$, левая часть верна. Если $a \neq 0, c \neq 0$, перевернем дроби: $ \frac{b-a}{a} = \frac{d-c}{c} $. Разделим почленно: $ \frac{b}{a} - 1 = \frac{d}{c} - 1 $ $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0, d \neq 0, a \neq b, c \neq d$.

7) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d} $.

Это свойство называется производной пропорцией. Докажем первую равносильность: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $.

Условия истинности: $b \neq 0, d \neq 0, a-b \neq 0, c-d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k $. Тогда $ a = bk, c = dk $. Подставим в правую часть: $ \frac{a+b}{a-b} = \frac{bk+b}{bk-b} = \frac{b(k+1)}{b(k-1)} = \frac{k+1}{k-1} $ $ \frac{c+d}{c-d} = \frac{dk+d}{dk-d} = \frac{d(k+1)}{d(k-1)} = \frac{k+1}{k-1} $ Так как обе части равны одному и тому же выражению $ \frac{k+1}{k-1} $, они равны между собой.

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение): $ (a+b)(c-d) = (c+d)(a-b) $ $ ac - ad + bc - bd = ac - bc + ad - bd $ Сокращаем $ac$ и $-bd$: $ -ad + bc = -bc + ad $ $ 2bc = 2ad $ $ bc = ad $. Разделив на $bd$ (при $b \neq 0, d \neq 0$), получаем $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $.

Вторая равносильность $ \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d} $ является прямым следствием свойства пропорции: в верной пропорции можно менять местами средние или крайние члены. Здесь мы поменяли местами средние члены $ a-b $ и $ c+d $.

Общие условия истинности для всей цепочки: все знаменатели должны быть отличны от нуля. $b \neq 0, d \neq 0$ (из первой пропорции). $a-b \neq 0, c-d \neq 0$ (из второй пропорции). $c+d \neq 0, c-d \neq 0$ (из третьей пропорции). Объединяя, получаем: $b \neq 0, d \neq 0, a \neq b, c \neq d, c \neq -d$.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0, d \neq 0, a \neq b, c \neq d$ и $c \neq -d$.

100 Докажи равносильность пропорций и определи, при каких значениях переменных данные утверждения истинны:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d};$

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d};$

3) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d};$

4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d};$

5) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d};$

6) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c};$

7) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \iff \frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d}.$

101 Пользуясь свойствами, установленными в предыдущем задании, составь из данной пропорции три производные пропорции:

1) $\frac{3}{2} = \frac{15}{10}$;

2) $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$;

3) $\frac{m}{n} = \frac{k}{p}$;

4) $\frac{x}{y} = \frac{z}{t}$.

1) Дана пропорция $\frac{3}{2} = \frac{15}{10}$. Составим из нее три производные пропорции, используя основные свойства пропорций.

1. Поменяв местами крайние члены пропорции (числа 3 и 10), мы получим новую верную пропорцию:
$\frac{10}{2} = \frac{15}{3}$ (так как $10 \cdot 3 = 30$ и $2 \cdot 15 = 30$).

2. Поменяв местами средние члены пропорции (числа 2 и 15), мы также получим верную пропорцию:
$\frac{3}{15} = \frac{2}{10}$ (так как $3 \cdot 10 = 30$ и $15 \cdot 2 = 30$).

3. Перевернув обе части исходной пропорции (поменяв местами числитель и знаменатель в каждой дроби), мы получим еще одну верную пропорцию:
$\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$ (так как $2 \cdot 15 = 30$ и $3 \cdot 10 = 30$).

Ответ: $\frac{10}{2} = \frac{15}{3}$; $\frac{3}{15} = \frac{2}{10}$; $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$.

2) Дана пропорция $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$. Составим из нее три производные пропорции.

1. Меняем местами крайние члены (4 и 15):
$\frac{15}{5} = \frac{12}{4}$ (проверка: $15 \cdot 4 = 60$ и $5 \cdot 12 = 60$).

2. Меняем местами средние члены (5 и 12):
$\frac{4}{12} = \frac{5}{15}$ (проверка: $4 \cdot 15 = 60$ и $12 \cdot 5 = 60$).

3. Переворачиваем обе части пропорции:
$\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$ (проверка: $5 \cdot 12 = 60$ и $4 \cdot 15 = 60$).

Ответ: $\frac{15}{5} = \frac{12}{4}$; $\frac{4}{12} = \frac{5}{15}$; $\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$.

3) Дана пропорция $\frac{m}{n} = \frac{k}{p}$. Составим из нее три производные пропорции.

1. Поменяв местами крайние члены ($m$ и $p$), получаем:
$\frac{p}{n} = \frac{k}{m}$.

2. Поменяв местами средние члены ($n$ и $k$), получаем:
$\frac{m}{k} = \frac{n}{p}$.

3. Перевернув обе части исходной пропорции, получаем:
$\frac{n}{m} = \frac{p}{k}$.

Ответ: $\frac{p}{n} = \frac{k}{m}$; $\frac{m}{k} = \frac{n}{p}$; $\frac{n}{m} = \frac{p}{k}$.

4) Дана пропорция $\frac{x}{y} = \frac{z}{t}$. Составим из нее три производные пропорции.

1. Поменяв местами крайние члены ($x$ и $t$), получаем:
$\frac{t}{y} = \frac{z}{x}$.

2. Поменяв местами средние члены ($y$ и $z$), получаем:
$\frac{x}{z} = \frac{y}{t}$.

3. Перевернув обе части исходной пропорции, получаем:
$\frac{y}{x} = \frac{t}{z}$.

Ответ: $\frac{t}{y} = \frac{z}{x}$; $\frac{x}{z} = \frac{y}{t}$; $\frac{y}{x} = \frac{t}{z}$.

101 Пользуясь свойствами, установленными в предыдущем задании, составь из данной пропорции три производные пропорции:

1) $\frac{3}{2} = \frac{15}{10}$;

2) $\frac{4}{5} = \frac{12}{15}$;

3) $\frac{m}{n} = \frac{k}{p}$;

4) $\frac{x}{y} = \frac{z}{t}$.

102 Математическое исследование

1) Стороны угла А пересечены параллельными прямыми $B_1C_1, B_2C_2$ и $B_3C_3$. Измерь длины отрезков, образовавшихся на сторонах угла А, и сравни отношения $\frac{B_1B_2}{C_1C_2}$ и $\frac{B_2B_3}{C_2C_3}$.

2) Проведи исследование для произвольного угла А и произвольных параллельных прямых $B_1C_1, B_2C_2$ и $B_3C_3$, пересекающих его сторону. Сформулируй гипотезу. Можно ли считать её доказанной посредством проведённых измерений и вычислений?

3) Считая равенство $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ истинным, докажи, что $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_1B_3}{C_1C_3}$.

1)

Воспользуемся линейкой для измерения длин отрезков, изображенных на рисунке. Измерения могут быть неточными из-за масштаба и качества изображения, но они позволяют сделать предварительные выводы.

Примерные измерения показывают следующие результаты: $B_1B_2 \approx 25$ мм, $B_2B_3 \approx 25$ мм, $C_1C_2 \approx 27$ мм, $C_2C_3 \approx 27$ мм.

Теперь вычислим и сравним отношения:

$\frac{B_1B_2}{C_1C_2} \approx \frac{25}{27} \approx 0.926$

$\frac{B_2B_3}{C_2C_3} \approx \frac{25}{27} \approx 0.926$

Сравнивая полученные значения, можно заключить, что они равны с учётом погрешности измерений.

Ответ: Отношения $\frac{B_1B_2}{C_1C_2}$ и $\frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ примерно равны.

2)

Для проведения исследования нужно начертить несколько различных углов и пересечь их стороны разными наборами параллельных прямых. В каждом случае следует измерить длины получившихся отрезков (например, $B_1B_2, B_2B_3, C_1C_2, C_2C_3$) и вычислить их отношения. Каждый раз, выполняя измерения и вычисления, мы будем обнаруживать, что отношения соответствующих отрезков приблизительно равны.

На основе этих наблюдений можно сформулировать следующую гипотезу: если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне. Для данной задачи гипотеза заключается в том, что равенство $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ будет выполняться для любого угла A и любых трёх параллельных прямых.

Считать эту гипотезу доказанной на основании проведённых измерений и вычислений нельзя. Измерения всегда содержат погрешность и позволяют проверить лишь конечное число частных случаев. Математическое доказательство требует строгого логического вывода, который справедлив для всех возможных случаев, а не только для измеренных. Таким образом, измерения и вычисления лишь помогают выдвинуть гипотезу, но не доказывают её.

Ответ: Гипотеза: $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$. Считать её доказанной посредством измерений и вычислений нельзя, так как это не является строгим математическим доказательством.

3)

Дано, что равенство $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ является истинным. Требуется доказать, что $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_1B_3}{C_1C_3}$.

Доказательство:

Обозначим значение равных отношений через коэффициент пропорциональности $k$:

$\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3} = k$

Из этого равенства выразим длины отрезков на одной стороне угла через длины отрезков на другой стороне:

$B_1B_2 = k \cdot C_1C_2$

$B_2B_3 = k \cdot C_2C_3$

Отрезки $B_1B_3$ и $C_1C_3$ состоят из частей:

$B_1B_3 = B_1B_2 + B_2B_3$

$C_1C_3 = C_1C_2 + C_2C_3$

Подставим выражения для $B_1B_2$ и $B_2B_3$ в формулу для $B_1B_3$:

$B_1B_3 = k \cdot C_1C_2 + k \cdot C_2C_3 = k(C_1C_2 + C_2C_3)$

Так как $C_1C_2 + C_2C_3 = C_1C_3$, получаем:

$B_1B_3 = k \cdot C_1C_3$

Теперь составим отношение $\frac{B_1B_3}{C_1C_3}$:

$\frac{B_1B_3}{C_1C_3} = \frac{k \cdot C_1C_3}{C_1C_3} = k$

Мы получили, что отношение $\frac{B_1B_3}{C_1C_3}$ равно $k$. По исходному условию, $\frac{B_1B_2}{C_1C_2}$ также равно $k$. Следовательно, мы доказали, что $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_1B_3}{C_1C_3}$, что и требовалось.

Ответ: Доказательство основано на свойстве пропорций: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$, то $\frac{a+c}{b+d} = k$.

102 Математическое исследование.

1) Стороны угла A пересечены параллельными прямыми $B_1C_1$, $B_2C_2$ и $B_3C_3$. Измерь длины отрезков, образовавшихся на сторонах угла A, и сравни отношения $\frac{B_1B_2}{C_1C_2}$ и $\frac{B_2B_3}{C_2C_3}$.

2) Проведи исследование для произвольного угла A и произвольных параллельных прямых $B_1C_1$, $B_2C_2$ и $B_3C_3$, пересекающих его сторону. Сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной посредством проведенных измерений и вычислений?

3) Считая равенство $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ истинным, докажи, что $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_1B_3}{C_1C_3}$.

П 103

Найди верные равенства и расшифруй фамилию известного учёного. Когда и в какой стране он жил? Что ты о нём знаешь?

И $ \frac{0,2}{1,3} = \frac{4}{2,6} $

А $ \frac{2}{3} : 5 = 0,1 : \frac{3}{4} $

Е $ 2\frac{1}{6} : 10 = 1,3 : 6 $

Ф $ \frac{9,6}{0,3} = \frac{0,32}{0,01} $

Л $ \frac{7}{15} : \frac{7}{9} = 0,3 : 0,5 $

О $ \frac{3,131}{31} = \frac{9,6}{0,3} $

П $ \frac{60}{1,2} = \frac{0,5}{1} $

Г $ \frac{5,5}{11} = \frac{0,77}{0,7} $

С $ 1,5 : 0,18 = 5 : 0,6 $

Для того чтобы найти верные равенства и расшифровать фамилию, проверим каждое из них.

И

Проверим равенство $\frac{0,2}{1,3} = \frac{4}{2,6}$.

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

Левая часть: $0,2 \times 2,6 = 0,52$.

Правая часть: $1,3 \times 4 = 5,2$.

Поскольку $0,52 \neq 5,2$, равенство неверно.

Ответ: Неверно.

А

Проверим равенство $\frac{2}{3} : 5 = 0,1 : \frac{3}{4}$.

Вычислим левую часть: $\frac{2}{3} : 5 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$.

Вычислим правую часть: $0,1 : \frac{3}{4} = \frac{1}{10} : \frac{3}{4} = \frac{1}{10} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.

Поскольку левая и правая части равны, равенство верно.

Ответ: Верно.

Е

Проверим равенство $2\frac{1}{6} : 10 = 1,3 : 6$.

Вычислим левую часть: $2\frac{1}{6} : 10 = \frac{13}{6} : 10 = \frac{13}{6 \times 10} = \frac{13}{60}$.

Вычислим правую часть: $1,3 : 6 = \frac{1,3}{6} = \frac{13}{60}$.

Поскольку левая и правая части равны, равенство верно.

Ответ: Верно.

Ф

Проверим равенство $\frac{9,6}{0,3} = \frac{0,32}{0,01}$.

Вычислим левую часть: $\frac{9,6}{0,3} = \frac{96}{3} = 32$.

Вычислим правую часть: $\frac{0,32}{0,01} = \frac{32}{1} = 32$.

Поскольку левая и правая части равны, равенство верно.

Ответ: Верно.

Л

Проверим равенство $\frac{7}{15} : \frac{7}{9} = 0,3 : 0,5$.

Вычислим левую часть: $\frac{7}{15} : \frac{7}{9} = \frac{7}{15} \times \frac{9}{7} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

Вычислим правую часть: $0,3 : 0,5 = \frac{0,3}{0,5} = \frac{3}{5}$.

Поскольку левая и правая части равны, равенство верно.

Ответ: Верно.

О

Проверим равенство $\frac{3,131}{31} = \frac{9,6}{0,3}$.

Вычислим левую часть: $\frac{3,131}{31} = 0,101$.

Вычислим правую часть: $\frac{9,6}{0,3} = \frac{96}{3} = 32$.

Поскольку $0,101 \neq 32$, равенство неверно.

Ответ: Неверно.

П

Проверим равенство $\frac{60}{1,2} = \frac{0,5}{1}$.

Вычислим левую часть: $\frac{60}{1,2} = \frac{600}{12} = 50$.

Вычислим правую часть: $\frac{0,5}{1} = 0,5$.

Поскольку $50 \neq 0,5$, равенство неверно.

Ответ: Неверно.

Г

Проверим равенство $\frac{5,5}{11} = \frac{0,77}{0,7}$.

Вычислим левую часть: $\frac{5,5}{11} = 0,5$.

Вычислим правую часть: $\frac{0,77}{0,7} = \frac{7,7}{7} = 1,1$.

Поскольку $0,5 \neq 1,1$, равенство неверно.

Ответ: Неверно.

С

Проверим равенство $1,5 : 0,18 = 5 : 0,6$.

Вычислим левую часть: $1,5 : 0,18 = \frac{1,5}{0,18} = \frac{150}{18} = \frac{25 \times 6}{3 \times 6} = \frac{25}{3}$.

Вычислим правую часть: $5 : 0,6 = \frac{5}{0,6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.

Поскольку левая и правая части равны, равенство верно.

Ответ: Верно.

Верные равенства соответствуют буквам: А, Е, Ф, Л, С.

Из этих букв можно составить фамилию известного учёного: ФАЛЕС.

Когда и в какой стране он жил? Что ты о нём знаешь?

Фалес Милетский — древнегреческий философ, математик и астроном, один из "семи мудрецов".

• Когда и где жил: Фалес жил примерно в 624-546 годах до нашей эры в городе Милет (древнегреческая колония в Малой Азии, на территории современной Турции).
• Чем известен:
  • Философия: Считается одним из первых философов и основоположником европейской науки. Он первым попытался объяснить мир не через мифы, а через природные причины, полагая, что в основе всего лежит вода.
  • Математика: Ему приписывают доказательство нескольких геометрических теорем, в том числе "теоремы Фалеса" (о пропорциональных отрезках, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла, и теоремы о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым).
  • Астрономия: По преданию, он предсказал солнечное затмение 585 года до н.э., а также научился определять время солнцестояний и равноденствий.
  • Практические достижения: Рассказывают, что он измерил высоту египетских пирамид по длине их тени, что демонстрировало практическое применение его геометрических знаний.

Ответ: Зашифрована фамилия Фалес. Он жил в Древней Греции (г. Милет) в VII-VI веках до н. э. и был одним из основоположников философии, математики и науки.

П 103 Найди верные равенства и расшифруй фамилию известного ученого. Когда и в какой стране он жил? Что ты о нем знаешь?

И $\frac{0,2}{1,3} = \frac{4}{2,6}$

А $\frac{2}{3} : 5 = 0,1 : \frac{3}{4}$

Е $2\frac{1}{6} : 10 = 1,3 : 6$

Ф $\frac{9,6}{0,3} = \frac{0,32}{0,01}$

Л $\frac{7}{15} : \frac{7}{9} = 0,3 : 0,5$

О $\frac{3,131}{31} = \frac{9,6}{0,3}$

П $\frac{60}{1,2} = \frac{0,5}{1}$

Г $\frac{5,5}{11} = \frac{0,77}{0,7}$

С $1,5 : 0,18 = 5 : 0,6$