Страница 33, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

136 1) Увеличь число $x$:

а) в 5 раз;

б) на четверть;

в) на 70 %;

г) на 320 %.

2) Уменьши число $y$:

а) на 2;

б) на треть;

в) на 20 %;

г) на 5 %.

1) Увеличить число x:

а) в 5 раз
Чтобы увеличить число $x$ в 5 раз, необходимо выполнить умножение этого числа на 5.
$x \cdot 5 = 5x$
Ответ: $5x$

б) на четверть
Увеличить число $x$ на четверть означает прибавить к числу $x$ его четвертую часть, то есть $\frac{1}{4}x$.
$x + \frac{1}{4}x = \frac{4}{4}x + \frac{1}{4}x = \frac{5}{4}x = 1.25x$
Ответ: $1.25x$

в) на 70 %
Увеличение числа на 70% означает, что к исходному числу (100%) нужно прибавить 70% от него. Новое значение составит $100\% + 70\% = 170\%$ от исходного. Для вычисления нужно перевести проценты в десятичную дробь ($170\% = 1.7$) и умножить на число $x$.
$x + \frac{70}{100}x = x + 0.7x = 1.7x$
Ответ: $1.7x$

г) на 320 %
Увеличение числа на 320% означает, что к исходному числу (100%) нужно прибавить 320% от него. Новое значение составит $100\% + 320\% = 420\%$ от исходного. Переводим проценты в десятичную дробь ($420\% = 4.2$) и умножаем на число $x$.
$x + \frac{320}{100}x = x + 3.2x = 4.2x$
Ответ: $4.2x$

2) Уменьшить число y:

а) на 2
Чтобы уменьшить число $y$ на 2, необходимо выполнить вычитание.
$y - 2$
Ответ: $y - 2$

б) на треть
Уменьшить число $y$ на треть означает вычесть из числа $y$ его третью часть, то есть $\frac{1}{3}y$.
$y - \frac{1}{3}y = \frac{3}{3}y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y$
Ответ: $\frac{2}{3}y$

в) на 20 %
Уменьшение числа на 20% означает, что от исходного числа (100%) нужно отнять 20% от него. Новое значение составит $100\% - 20\% = 80\%$ от исходного. Переводим проценты в десятичную дробь ($80\% = 0.8$) и умножаем на число $y$.
$y - \frac{20}{100}y = y - 0.2y = 0.8y$
Ответ: $0.8y$

г) на 5 %
Уменьшение числа на 5% означает, что от исходного числа (100%) нужно отнять 5% от него. Новое значение составит $100\% - 5\% = 95\%$ от исходного. Переводим проценты в десятичную дробь ($95\% = 0.95$) и умножаем на число $y$.
$y - \frac{5}{100}y = y - 0.05y = 0.95y$
Ответ: $0.95y$

136 1) Увеличь число $x$:

а) в 5 раз;

б) на четверть;

в) на 70%;

г) на 320%.

2) Уменьши число $y$:

а) на 2;

б) на треть;

в) на 20%;

г) на 5%.

137 Найди процентное отношение чисел:
а) 4,8 и 12;
б) 12 и 4,8. На сколько процентов 4,8 меньше 12? На сколько процентов 12 больше 4,8?

а) 4,8 и 12

Чтобы найти процентное отношение числа 4,8 к числу 12, необходимо разделить первое число на второе и умножить полученный результат на 100%.

$ \frac{4,8}{12} \times 100\% = 0,4 \times 100\% = 40\% $

Следовательно, число 4,8 составляет 40% от числа 12.

Ответ: 40%.

б) 12 и 4,8

Чтобы найти процентное отношение числа 12 к числу 4,8, необходимо разделить первое число на второе и умножить полученный результат на 100%.

$ \frac{12}{4,8} \times 100\% = 2,5 \times 100\% = 250\% $

Следовательно, число 12 составляет 250% от числа 4,8.

Ответ: 250%.

На сколько процентов 4,8 меньше 12?

Чтобы определить, на сколько процентов число 4,8 меньше числа 12, мы принимаем число 12 за 100%. Сначала найдем разность между числами, а затем определим, какую долю эта разность составляет от числа 12.

1. Вычислим разность: $ 12 - 4,8 = 7,2 $.

2. Разделим разность на число, с которым производится сравнение (12), и выразим в процентах:

$ \frac{7,2}{12} \times 100\% = 0,6 \times 100\% = 60\% $

Таким образом, число 4,8 меньше числа 12 на 60%.

Ответ: на 60%.

На сколько процентов 12 больше 4,8?

Чтобы определить, на сколько процентов число 12 больше числа 4,8, мы принимаем число 4,8 за 100%. Сначала найдем разность между числами, а затем определим, какую долю эта разность составляет от числа 4,8.

1. Вычислим разность: $ 12 - 4,8 = 7,2 $.

2. Разделим разность на число, с которым производится сравнение (4,8), и выразим в процентах:

$ \frac{7,2}{4,8} \times 100\% = 1,5 \times 100\% = 150\% $

Таким образом, число 12 больше числа 4,8 на 150%.

Ответ: на 150%.

137 Найди процентное отношение чисел:

а) 4,8 и 12;

б) 12 и 4,8.

На сколько процентов 4,8 меньше 12?

На сколько процентов 12 больше 4,8?

138. Рассмотри равенства. Сколько процентов составляет число a от числа b? Сколько процентов составляет число b от числа a? На сколько процентов каждое из этих чисел больше или меньше другого?

1) $a = 0,8b;$

2) $a = 2b;$

3) $a = 0,6b;$

4) $a = \frac{10b}{9}.$

1) $a = 0,8b$

Чтобы найти, сколько процентов составляет число $a$ от числа $b$, найдем их отношение и умножим на 100%.
$\frac{a}{b} = 0,8$.
$0,8 \cdot 100\% = 80\%$.
Чтобы найти, сколько процентов составляет число $b$ от числа $a$, выразим $b$ через $a$: $b = \frac{a}{0,8} = 1,25a$. Найдем отношение $\frac{b}{a}$:
$\frac{b}{a} = 1,25$.
$1,25 \cdot 100\% = 125\%$.
Теперь определим, на сколько процентов одно число больше или меньше другого.
Так как $a < b$, число $a$ меньше числа $b$ на: $\frac{b-a}{b} \cdot 100\% = (1-\frac{a}{b}) \cdot 100\% = (1-0,8) \cdot 100\% = 20\%$.
Так как $b > a$, число $b$ больше числа $a$ на: $\frac{b-a}{a} \cdot 100\% = (\frac{b}{a}-1) \cdot 100\% = (1,25-1) \cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: Число $a$ составляет 80% от числа $b$; число $b$ составляет 125% от числа $a$; число $a$ на 20% меньше числа $b$, а число $b$ на 25% больше числа $a$.

2) $a = 2b$

Число $a$ составляет от числа $b$:
$\frac{a}{b} = 2$.
$2 \cdot 100\% = 200\%$.
Число $b$ составляет от числа $a$: выразим $b$ через $a$: $b = \frac{a}{2} = 0,5a$.
$\frac{b}{a} = 0,5$.
$0,5 \cdot 100\% = 50\%$.
Сравнение чисел:
Так как $a > b$, число $a$ больше числа $b$ на: $\frac{a-b}{b} \cdot 100\% = (\frac{a}{b}-1) \cdot 100\% = (2-1) \cdot 100\% = 100\%$.
Так как $b < a$, число $b$ меньше числа $a$ на: $\frac{a-b}{a} \cdot 100\% = (1-\frac{b}{a}) \cdot 100\% = (1-0,5) \cdot 100\% = 50\%$.
Ответ: Число $a$ составляет 200% от числа $b$; число $b$ составляет 50% от числа $a$; число $a$ на 100% больше числа $b$, а число $b$ на 50% меньше числа $a$.

3) $a = 0,6b$

Число $a$ составляет от числа $b$:
$\frac{a}{b} = 0,6$.
$0,6 \cdot 100\% = 60\%$.
Число $b$ составляет от числа $a$: выразим $b$ через $a$: $b = \frac{a}{0,6} = \frac{10}{6}a = \frac{5}{3}a$.
$\frac{b}{a} = \frac{5}{3}$.
$\frac{5}{3} \cdot 100\% \approx 166,67\%$, или $166 \frac{2}{3}\%$.
Сравнение чисел:
Так как $a < b$, число $a$ меньше числа $b$ на: $\frac{b-a}{b} \cdot 100\% = (1-\frac{a}{b}) \cdot 100\% = (1-0,6) \cdot 100\% = 40\%$.
Так как $b > a$, число $b$ больше числа $a$ на: $\frac{b-a}{a} \cdot 100\% = (\frac{b}{a}-1) \cdot 100\% = (\frac{5}{3}-1) \cdot 100\% = \frac{2}{3} \cdot 100\% \approx 66,67\%$, или $66 \frac{2}{3}\%$.
Ответ: Число $a$ составляет 60% от числа $b$; число $b$ составляет $166 \frac{2}{3}\%$ от числа $a$; число $a$ на 40% меньше числа $b$, а число $b$ на $66 \frac{2}{3}\%$ больше числа $a$.

4) $a = \frac{10b}{9}$

Число $a$ составляет от числа $b$:
$\frac{a}{b} = \frac{10}{9}$.
$\frac{10}{9} \cdot 100\% \approx 111,11\%$, или $111 \frac{1}{9}\%$.
Число $b$ составляет от числа $a$: выразим $b$ через $a$: $b = a \cdot \frac{9}{10} = 0,9a$.
$\frac{b}{a} = 0,9$.
$0,9 \cdot 100\% = 90\%$.
Сравнение чисел:
Так как $a > b$, число $a$ больше числа $b$ на: $\frac{a-b}{b} \cdot 100\% = (\frac{a}{b}-1) \cdot 100\% = (\frac{10}{9}-1) \cdot 100\% = \frac{1}{9} \cdot 100\% \approx 11,11\%$, или $11 \frac{1}{9}\%$.
Так как $b < a$, число $b$ меньше числа $a$ на: $\frac{a-b}{a} \cdot 100\% = (1-\frac{b}{a}) \cdot 100\% = (1-0,9) \cdot 100\% = 10\%$.
Ответ: Число $a$ составляет $111 \frac{1}{9}\%$ от числа $b$; число $b$ составляет 90% от числа $a$; число $a$ на $11 \frac{1}{9}\%$ больше числа $b$, а число $b$ на 10% меньше числа $a$.

138 Рассмотри равенства. Сколько процентов составляет число $a$ от числа $b$? Сколько процентов составляет число $b$ от числа $a$? На сколько процентов каждое из этих чисел больше или меньше другого?

1) $a = 0.8b$;

2) $a = 2b$;

3) $a = 0.6b$;

4) $a = \frac{10b}{9}$.

139 а) Увеличивается или уменьшается дробь при сокращении? Запиши своё высказывание на математическом языке и обоснуй его.

б) Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $\frac{546}{910}$;

2) $\frac{264}{1056}$;

3) $\frac{4abc}{12a^2c}$;

4) $\frac{15x^2y}{40xyz}$;

5) $\frac{ax - ay}{ax + ay}$;

6) $\frac{mn}{mn + m}$.

а) При сокращении дробь не увеличивается и не уменьшается, её значение остаётся неизменным. Сокращение дроби — это деление её числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы.

Это утверждение основывается на основном свойстве дроби, которое гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

На математическом языке это свойство можно записать так: $ \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} $, где $a$ и $b$ — числитель и знаменатель дроби, а $k$ — их общий делитель ($k \neq 0, k \neq 1$).

Таким образом, при сокращении дроби получается новая дробь, которая равна исходной.

Ответ: При сокращении значение дроби не изменяется.

б)

1) $ \frac{546}{910} $
Чтобы сократить дробь, найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, разложив их на простые множители:
$ 546 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 $
$ 910 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 $
Общие множители: 2, 7 и 13. НОД(546, 910) = $ 2 \cdot 7 \cdot 13 = 182 $.
Теперь разделим числитель и знаменатель на их НОД:
$ \frac{546 \div 182}{910 \div 182} = \frac{3}{5} $.
Или можно сокращать поэтапно:
$ \frac{546}{910} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13}{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} $

2) $ \frac{264}{1056} $
Заметим, что $ 1056 = 4 \cdot 264 $. Разделим числитель и знаменатель на 264:
$ \frac{264 \div 264}{1056 \div 264} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

3) $ \frac{4abc}{12a^2c} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $.
Сократим переменные: $ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $ и $ \frac{c}{c} = 1 $. Переменная $b$ остается в числителе.
$ \frac{4abc}{12a^2c} = \frac{4 \cdot b \cdot (ac)}{12 \cdot a \cdot (ac)} = \frac{b}{3a} $.
Ответ: $ \frac{b}{3a} $

4) $ \frac{15x^2y}{40xyz} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{15}{40} = \frac{3}{8} $.
Сократим переменные: $ \frac{x^2}{x} = x $ и $ \frac{y}{y} = 1 $. Переменная $z$ остается в знаменателе.
$ \frac{15x^2y}{40xyz} = \frac{15 \cdot x \cdot (xy)}{40 \cdot z \cdot (xy)} = \frac{3x}{8z} $.
Ответ: $ \frac{3x}{8z} $

5) $ \frac{ax - ay}{ax + ay} $
Вынесем общий множитель $a$ за скобки в числителе и знаменателе:
$ \frac{a(x - y)}{a(x + y)} $
Сократим общий множитель $a$:
$ \frac{x - y}{x + y} $.
Ответ: $ \frac{x - y}{x + y} $

6) $ \frac{mn}{mn + m} $
Вынесем общий множитель $m$ за скобки в знаменателе:
$ \frac{mn}{m(n + 1)} $
Сократим общий множитель $m$:
$ \frac{n}{n + 1} $.
Ответ: $ \frac{n}{n + 1} $

139 a) Увеличивается или уменьшается дробь при сокращении? Запиши свое высказывание на математическом языке и обоснуй его.

б) Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $ \frac{546}{910} $;

2) $ \frac{264}{1056} $;

3) $ \frac{4abc}{12a^2c} $;

4) $ \frac{15x^2y}{40xyz} $;

5) $ \frac{ax - ay}{ax + ay} $;

6) $ \frac{mn}{mn + m} $.

140 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a \in Q: a^2 > 0;$

б) $\forall a \in Q: a^2 \ge 0;$

в) $\exists a \in Q: a^2 < 0;$

г) $\exists a \in Q: a^2 \le 0.$

а) Высказывание $ \forall a \in Q: a^2 > 0 $ (для любого рационального числа $a$ верно, что $a^2$ больше нуля) является ложным.
Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один контрпример. Возьмем рациональное число $a = 0$. $0$ принадлежит множеству рациональных чисел ($0 \in Q$), но его квадрат $0^2 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным. Следовательно, утверждение, что для любого рационального числа его квадрат строго больше нуля, неверно.
Отрицанием для высказывания $ \forall x: P(x) $ является высказывание $ \exists x: \neg P(x) $. Отрицанием для условия $a^2 > 0$ является $a^2 \le 0$. Таким образом, отрицание исходного высказывания: $ \exists a \in Q: a^2 \le 0 $ (существует такое рациональное число $a$, что его квадрат меньше либо равен нулю).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $ \exists a \in Q: a^2 \le 0 $.

б) Высказывание $ \forall a \in Q: a^2 \ge 0 $ (для любого рационального числа $a$ верно, что $a^2$ больше либо равно нулю) является истинным.
Квадрат любого действительного числа, а значит и любого рационального, всегда неотрицателен. Если число положительное или отрицательное, его квадрат будет положительным. Если число равно нулю, его квадрат равен нулю. В любом случае, $a^2 \ge 0$ выполняется для всех $a \in Q$.
Ответ: высказывание истинно.

в) Высказывание $ \exists a \in Q: a^2 < 0 $ (существует такое рациональное число $a$, что его квадрат меньше нуля) является ложным.
Как было установлено в предыдущем пункте, квадрат любого рационального числа всегда больше либо равен нулю ($a^2 \ge 0$). Не существует рационального числа, квадрат которого был бы отрицательным.
Отрицанием для высказывания $ \exists x: P(x) $ является высказывание $ \forall x: \neg P(x) $. Отрицанием для условия $a^2 < 0$ является $a^2 \ge 0$. Таким образом, отрицание исходного высказывания: $ \forall a \in Q: a^2 \ge 0 $ (для любого рационального числа $a$ верно, что его квадрат больше либо равен нулю).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $ \forall a \in Q: a^2 \ge 0 $.

г) Высказывание $ \exists a \in Q: a^2 \le 0 $ (существует такое рациональное число $a$, что его квадрат меньше либо равен нулю) является истинным.
Чтобы доказать это утверждение, достаточно найти хотя бы одно рациональное число, удовлетворяющее условию. Таким числом является $a=0$. $0$ — рациональное число ($0 \in Q$), и его квадрат $0^2 = 0$. Условие $0 \le 0$ является верным. Следовательно, такое число существует.
Ответ: высказывание истинно.

140 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $ \forall a \in Q: a^2 > 0; $

б) $ \forall a \in Q: a^2 \ge 0; $

в) $ \exists a \in Q: a^2 < 0; $

г) $ \exists a \in Q: a^2 \le 0. $

141 Найди значения выражений:

а) $a(2a - b) - b(a - 2b) - 2(a^2 + b^2)$, если $a = -2 \frac{1}{3}$, $b = 1,5$;

б) $x(x + 3y) - y(3x - y) - (-x^2 + y^2)$, если $x = -0,5$, $y = 1 \frac{1}{7}$.

а) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$a(2a - b) - b(a - 2b) - 2(a^2 + b^2) = 2a^2 - ab - (ab - 2b^2) - (2a^2 + 2b^2) = 2a^2 - ab - ab + 2b^2 - 2a^2 - 2b^2$
Сгруппируем подобные члены:
$(2a^2 - 2a^2) + (-ab - ab) + (2b^2 - 2b^2) = 0 - 2ab + 0 = -2ab$
Теперь подставим в упрощенное выражение значения $a = -2\frac{1}{3}$ и $b = 1,5$.
Представим значения в виде неправильных дробей:
$a = -2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$
$b = 1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
Вычислим значение выражения:
$-2ab = -2 \cdot (-\frac{7}{3}) \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 7$
Ответ: 7

б) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$x(x + 3y) - y(3x - y) - (-x^2 + y^2) = x^2 + 3xy - (3xy - y^2) + x^2 - y^2 = x^2 + 3xy - 3xy + y^2 + x^2 - y^2$
Сгруппируем подобные члены:
$(x^2 + x^2) + (3xy - 3xy) + (y^2 - y^2) = 2x^2 + 0 + 0 = 2x^2$
Теперь подставим в упрощенное выражение значение $x = -0,5$. Значение $y$ для вычисления не потребуется.
$2x^2 = 2 \cdot (-0,5)^2 = 2 \cdot 0,25 = 0,5$
Ответ: 0,5

141 Найди значения выражений:

а) $a(2a - b) - b(a - 2b) - 2(a^2 + b^2)$, если $a = -2\frac{1}{3}, b = 1,5;$

б) $x(x + 3y) - y(3x - y) - (-x^2 + y^2)$, если $x = -0,5, y = 1\frac{1}{7}$.

142 Составь выражение для вычисления площади фигуры.

a) $a^2 - c^2$

б) $ab - cd$

в) $ab - 3c^2$

а) Площадь данной фигуры можно вычислить как разность площадей двух квадратов: большого внешнего и малого внутреннего (вырезанного).
Площадь большого квадрата со стороной $a$ равна $S_1 = a \cdot a = a^2$.
Площадь малого квадрата со стороной $c$ равна $S_2 = c \cdot c = c^2$.
Площадь закрашенной фигуры $S$ равна разности этих площадей:
$S = S_1 - S_2 = a^2 - c^2$.
Ответ: $a^2 - c^2$

б) Площадь данной фигуры можно найти, представив её как большой прямоугольник, из которого вырезан меньший прямоугольник, либо разбив её на части.
Рассмотрим фигуру как большой прямоугольник, из которого удалили прямоугольник в правом верхнем углу. Габариты большого прямоугольника: высота равна $b$, ширина равна сумме отрезков $a$ и $d$, то есть $a+d$. Его площадь $S_1 = b(a+d)$.
Размеры вырезанного прямоугольника: высота $c$ и ширина $d$. Его площадь $S_2 = cd$.
Площадь итоговой фигуры $S$ равна разности площадей:
$S = S_1 - S_2 = b(a+d) - cd = ab + bd - cd$.
Другой способ — разбиение фигуры на два прямоугольника вертикальной линией, идущей вниз от внутреннего угла.
1. Левый прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его площадь $S_{лев} = ab$.
2. Правый прямоугольник со стороной $d$ и высотой, равной разности высот $b$ и $c$, то есть $b-c$. Его площадь $S_{прав} = d(b-c)$.
Общая площадь $S = S_{лев} + S_{прав} = ab + d(b-c) = ab + bd - cd$.
Ответ: $b(a+d) - cd$

в) Площадь этой фигуры можно найти, вычтя из площади большого прямоугольника площадь вырезанной "ступенчатой" части.
Большой прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь $S_{общ} = ab$.
Вырезанная часть в правом верхнем углу состоит из трех квадратов со стороной $c$. Чтобы это увидеть, можно мысленно достроить угол до квадрата со стороной $2c$. Этот квадрат ($2c \times 2c$) будет состоять из вырезанной части и одного квадрата ($c \times c$), который является частью фигуры. Таким образом, площадь вырезанной части равна площади квадрата $2c \times 2c$ минус площадь квадрата $c \times c$: $S_{выр} = (2c)^2 - c^2 = 4c^2 - c^2 = 3c^2$.
Площадь итоговой фигуры $S$ равна:
$S = S_{общ} - S_{выр} = ab - 3c^2$.
Также можно разбить фигуру на три прямоугольника горизонтальными линиями.
1. Нижний прямоугольник: стороны $b$ и $a-2c$. Площадь $S_1 = b(a-2c)$.
2. Средний прямоугольник: стороны $b-c$ и $c$. Площадь $S_2 = c(b-c)$.
3. Верхний прямоугольник: стороны $b-2c$ и $c$. Площадь $S_3 = c(b-2c)$.
Общая площадь $S = S_1 + S_2 + S_3 = b(a-2c) + c(b-c) + c(b-2c) = ab - 2bc + bc - c^2 + bc - 2c^2 = ab - 3c^2$.
Ответ: $ab - 3c^2$

142 Составь выражения для вычисления площади фигур:

a) $ab - c^2$

б) $ab - cd$

B) $ab - 3c^2$

143 Выполни действия и найди следующее число в ряду ответов при сохранении закономерности:

a) $-2 : 0,03 - 11 \frac{2}{3} : (-1);$

б) $0,125 \cdot (-0,32) + \frac{5}{9} \cdot (-2,7);$

$(4,5 - 5\frac{1}{6}) \cdot (4,5 : 0,1);$

$2,4 \cdot 1\frac{5}{12} - 17,8 - (-1)^2;$

$(-1\frac{1}{3})^2 : (-0,8) + 2\frac{7}{9} \cdot (-1);$

$((-\frac{1}{5})^2 - 0,25 : (-\frac{1}{6})) : (-0,01).$

а)

1. Решим выражение $-2 : 0,03 - 11\frac{2}{3} : (-1)$.
Сначала выполним деление:
$-2 : 0,03 = -2 : \frac{3}{100} = -2 \cdot \frac{100}{3} = -\frac{200}{3}$
$11\frac{2}{3} : (-1) = \frac{35}{3} : (-1) = -\frac{35}{3}$
Теперь выполним вычитание:
$-\frac{200}{3} - (-\frac{35}{3}) = -\frac{200}{3} + \frac{35}{3} = \frac{-200 + 35}{3} = -\frac{165}{3} = -55$

Ответ: -55

2. Решим выражение $(4,5 - 5\frac{1}{6}) \cdot (4,5 : 0,1)$.
Вычислим значение в первой скобке:
$4,5 - 5\frac{1}{6} = 4\frac{1}{2} - 5\frac{1}{6} = \frac{9}{2} - \frac{31}{6} = \frac{27}{6} - \frac{31}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$
Вычислим значение во второй скобке:
$4,5 : 0,1 = 45$
Теперь выполним умножение:
$-\frac{2}{3} \cdot 45 = -2 \cdot \frac{45}{3} = -2 \cdot 15 = -30$

Ответ: -30

3. Решим выражение $(-1\frac{1}{3})^2 : (-0,8) + 2\frac{7}{9} \cdot (-1)$.
Выполним действия по порядку:
$(-1\frac{1}{3})^2 = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$
$\frac{16}{9} : (-0,8) = \frac{16}{9} : (-\frac{8}{10}) = \frac{16}{9} \cdot (-\frac{10}{8}) = \frac{2}{9} \cdot (-\frac{10}{1}) = -\frac{20}{9}$
$2\frac{7}{9} \cdot (-1) = \frac{25}{9} \cdot (-1) = -\frac{25}{9}$
Теперь выполним сложение:
$-\frac{20}{9} + (-\frac{25}{9}) = -\frac{20 + 25}{9} = -\frac{45}{9} = -5$

Ответ: -5

б)

1. Решим выражение $0,125 \cdot (-0,32) + \frac{5}{9} \cdot (-2,7)$.
Выполним умножение:
$0,125 \cdot (-0,32) = \frac{1}{8} \cdot (-\frac{32}{100}) = -\frac{1 \cdot 4}{100} = -0,04$
$\frac{5}{9} \cdot (-2,7) = \frac{5}{9} \cdot (-\frac{27}{10}) = -\frac{5 \cdot 27}{9 \cdot 10} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -1,5$
Теперь выполним сложение:
$-0,04 + (-1,5) = -1,54$

Ответ: -1,54

2. Решим выражение $2,4 \cdot 1\frac{5}{12} - 17,8 - (-1)^2$.
Выполним действия по порядку:
$2,4 \cdot 1\frac{5}{12} = \frac{24}{10} \cdot \frac{17}{12} = \frac{2}{10} \cdot 17 = \frac{34}{10} = 3,4$
$(-1)^2 = 1$
Теперь выполним вычитание:
$3,4 - 17,8 - 1 = -14,4 - 1 = -15,4$

Ответ: -15,4

3. Решим выражение $((-\frac{1}{5})^2 - 0,25 : (-\frac{1}{6})) : (-0,01)$.
Сначала вычислим значение в скобках:
$(-\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25} = 0,04$
$0,25 : (-\frac{1}{6}) = \frac{1}{4} \cdot (-6) = -\frac{6}{4} = -1,5$
$0,04 - (-1,5) = 0,04 + 1,5 = 1,54$
Теперь выполним деление:
$1,54 : (-0,01) = -154$

Ответ: -154

Поиск закономерности и следующего числа

Мы получили следующий ряд ответов: -55, -30, -5, -1,54, -15,4, -154.

Рассмотрим ответы для пункта а): -55, -30, -5.
Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее разность:
$-30 - (-55) = 25$
$-5 - (-30) = 25$
Разность прогрессии $d=25$. Следующий член в этой последовательности был бы $-5 + 25 = 20$.

Рассмотрим ответы для пункта б): -1,54, -15,4, -154.
Эти числа образуют геометрическую прогрессию. Найдем ее знаменатель:
$-15,4 : (-1,54) = 10$
$-154 : (-15,4) = 10$
Знаменатель прогрессии $q=10$.

Задание просит найти следующее число в общем ряду ответов. Поскольку последняя вычисленная часть задачи (пункт б) демонстрирует закономерность геометрической прогрессии, логично предположить, что для нахождения следующего числа в общем ряду необходимо продолжить именно эту последнюю закономерность.

Найдем следующий член геометрической прогрессии:
$-154 \cdot 10 = -1540$

Ответ: -1540

143 Выполни действия и найди следующее число в ряду ответов при сохранении закономерности:

a) $-2 : 0,03 - 11\frac{2}{3} : (-1)$;

$(4,5 - 5\frac{1}{6}) \cdot (4,5 : 0,1)$;

$(-1\frac{1}{3})^2 : (-0,8) + 2\frac{7}{9} \cdot (-1)$;

б) $0,125 \cdot (-0,32) + \frac{5}{9} \cdot (-2,7)$;

$2,4 \cdot 1\frac{5}{12} - 17,8 - (-1)^2$;

$((-\frac{1}{5})^2 - 0,25 : (-\frac{1}{6})) : (-0,01).$