Страница 36, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

128 Счёт-тест. (В тестах 1 и 2 записываются только ответы.)

Тест 1 (2 мин)

$3,2 + 7,5; \quad 8 - 1,7; \quad 0,06 + 2,9; \quad 2,78 - 1,28; \quad 3,14 - 1,9;$

$9,2 - 2; \quad 2,8 + 0,7; \quad 12,5 - 0,05; \quad 5,6 + 3,4; \quad 4,5 + 0,63.$

Тест 2 (2 мин)

$3,7 \div 0,01; \quad 5,8 \cdot 0,1; \quad 0,4 \cdot 0,7; \quad 30 \cdot 0,05; \quad 5,4 \div 0,054;$

$2,4 \cdot 10; \quad 9,2 \div 100; \quad 1,8 \div 0,02; \quad 6 \div 20; \quad (0,09)^{2}.$

Тест 3 (3 мин)

$530 - 52,9; \quad 12,92 + 7,315; \quad 117 \ 171 + 7129; \quad 407 - 1976.$

Тест 4 (5 мин)

$9,78 \cdot 30,6; \quad 0,805 \cdot 70 \ 600; \quad 19,212 \div 2,4; \quad 0,0228 \div 0,075.$

Тест 1 (2 мин)

3,2 + 7,5;
Для сложения десятичных дробей складываем их целые и дробные части по отдельности. Сложение целых частей: $3 + 7 = 10$. Сложение дробных частей: $0,2 + 0,5 = 0,7$. Суммируем результаты: $10 + 0,7 = 10,7$.
Ответ: 10,7

8 – 1,7;
Представим число 8 как десятичную дробь 8,0. Выполним вычитание: $8,0 - 1,7 = 6,3$.
Ответ: 6,3

0,06 + 2,9;
Для удобства сложения уравняем количество знаков после запятой, представив 2,9 как 2,90. Теперь сложим числа: $0,06 + 2,90 = 2,96$.
Ответ: 2,96

2,78 – 1,28;
Выполняем вычитание по разрядам. Вычитаем целые части: $2 - 1 = 1$. Вычитаем дробные части: $0,78 - 0,28 = 0,50$. Результат: $1 + 0,5 = 1,5$.
Ответ: 1,5

3,14 – 1,9;
Представим 1,9 как 1,90, чтобы уравнять количество знаков после запятой. Выполним вычитание: $3,14 - 1,90 = 1,24$.
Ответ: 1,24

9,2 – 2;
Вычитаем целое число из целой части десятичной дроби. Дробная часть остается без изменений. $9,2 - 2 = 7,2$.
Ответ: 7,2

2,8 + 0,7;
Складываем числа. $8 + 7 = 15$, поэтому $0,8 + 0,7 = 1,5$. Добавляем целую часть: $2 + 1,5 = 3,5$.
Ответ: 3,5

12,5 – 0,05;
Представим 12,5 как 12,50. Выполним вычитание: $12,50 - 0,05 = 12,45$.
Ответ: 12,45

5,6 + 3,4;
Складываем дробные части: $0,6 + 0,4 = 1,0$. Складываем целые части и прибавляем результат сложения дробных: $5 + 3 + 1 = 9$.
Ответ: 9

4,5 + 0,63;
Представим 4,5 как 4,50. Выполним сложение: $4,50 + 0,63 = 5,13$.
Ответ: 5,13

Тест 2 (2 мин)

3,7 : 0,01;
Деление на $0,01$ эквивалентно умножению на $100$. При умножении на $100$ запятая сдвигается на два знака вправо: $3,7 \cdot 100 = 370$.
Ответ: 370

5,8 · 0,1;
Умножение на $0,1$ эквивалентно делению на $10$. При делении на $10$ запятая сдвигается на один знак влево: $5,8 : 10 = 0,58$.
Ответ: 0,58

0,4 · 0,7;
Умножаем числа, игнорируя запятые: $4 \cdot 7 = 28$. В обоих множителях по одному знаку после запятой, значит в результате их будет два ($1+1=2$). Отделяем два знака: $0,28$.
Ответ: 0,28

30 · 0,05;
Умножаем числа: $30 \cdot 5 = 150$. В множителе $0,05$ два знака после запятой, отделяем их в результате: $1,50$, что равно $1,5$.
Ответ: 1,5

5,4 : 0,054;
Чтобы делитель стал целым числом, умножим делимое и делитель на $1000$ (перенесем запятую на 3 знака вправо): $5,4 : 0,054 = 5400 : 54$. Выполняем деление: $5400 : 54 = 100$.
Ответ: 100

2,4 · 10;
При умножении на $10$ запятая в десятичной дроби сдвигается на один знак вправо: $2,4 \cdot 10 = 24$.
Ответ: 24

9,2 : 100;
При делении на $100$ запятая в десятичной дроби сдвигается на два знака влево: $9,2 : 100 = 0,092$.
Ответ: 0,092

1,8 : 0,02;
Умножим делимое и делитель на $100$, чтобы делитель стал целым: $1,8 : 0,02 = 180 : 2$. Выполняем деление: $180 : 2 = 90$.
Ответ: 90

6 : 20;
Представим деление в виде дроби и сократим ее: $6 : 20 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$. Переводим в десятичную дробь: $0,3$.
Ответ: 0,3

(0,09)²;
Возведение в квадрат означает умножение числа на само себя: $(0,09)^2 = 0,09 \cdot 0,09$. Умножаем $9 \cdot 9 = 81$. В каждом множителе по два знака после запятой, итого в результате должно быть четыре знака ($2+2=4$): $0,0081$.
Ответ: 0,0081

Тест 3 (3 мин)

530 – 52,9;
Представим 530 как 530,0. Выполним вычитание: $530,0 - 52,9 = 477,1$.
Ответ: 477,1

12,92 + 7,315;
Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к 12,92. Получаем $12,920$. Складываем: $12,920 + 7,315 = 20,235$.
Ответ: 20,235

117 171 + 7129;
Выполняем сложение целых чисел, например, в столбик. $117171 + 7129 = 124300$.
Ответ: 124300

407 – 1976.
Мы вычитаем большее число из меньшего, поэтому результат будет отрицательным. Найдем разность модулей: $1976 - 407 = 1569$. Добавляем знак минус, получаем $-1569$.
Ответ: -1569

Тест 4 (5 мин)

9,78 · 30,6;
Умножаем числа $978$ и $306$, не обращая внимания на запятые: $978 \cdot 306 = 299268$. В первом множителе ($9,78$) два знака после запятой, во втором ($30,6$) - один. Всего $2+1=3$ знака. Отделяем три знака запятой в произведении: $299,268$.
Ответ: 299,268

0,805 · 70 600;
Можно перемножить числа, а затем учесть положение запятой и нули. $805 \cdot 70600 = 56833000$. В числе $0,805$ три знака после запятой, поэтому в результате отделяем три знака: $56833,000$, что равно $56833$. Либо: $0,805 \cdot 70600 = 805 \cdot 70,6 = 56833$.
Ответ: 56833

19,212 : 2,4;
Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо, чтобы делитель стал целым: $192,12 : 24$. Выполним деление в столбик. $192 : 24 = 8$. Затем делим дробную часть. $1 : 24 = 0$ (сносим 1), $12 : 24 = 0$ (сносим 2), $120 : 24 = 5$ (сносим 0). Получаем $8,005$.
Ответ: 8,005

0,0228 : 0,075;
Перенесем запятую в делимом и делителе на три знака вправо: $22,8 : 75$. Выполним деление в столбик. $22 < 75$, целая часть равна 0. $228 : 75 = 3$ (остаток $3$). $30 : 75 = 0$ (остаток $30$). $300 : 75 = 4$. Получаем $0,304$.
Ответ: 0,304

128 Счет-тест. (В тестах 1 и 2 записываются только ответы.)

Тест 1 (2 мин)

$3.2 + 7.5$ $8 - 1.7$ $0.06 + 2.9$ $2.78 - 1.28$ $3.14 - 1.9$

$9.2 - 2$ $2.8 + 0.7$ $12.5 - 0.05$ $5.6 + 3.4$ $4.5 + 0.63$

Тест 2 (2 мин)

$3.7 : 0.01$ $5.8 \cdot 0.1$ $0.4 \cdot 0.7$ $30 \cdot 0.05$ $5.4 : 0.054$

$2.4 \cdot 10$ $9.2 : 100$ $1.8 : 0.02$ $6 : 20$ $(0.09)^2$

Тест 3 (3 мин)

$530 - 52.9$ $12.92 + 7.315$ $117.171 + 7.129$ $4.07 - 1.976$

Тест 4 (5 мин)

$9.78 \cdot 30.6$ $0.805 \cdot 70600$ $19.212 : 2.4$ $0.0228 : 0.075$

129. В число 7*2* подставь вместо звездочек цифры так, чтобы полученное число делилось:

а) на 18;

б) на 30;

в) на 45;

г) на 36. Укажи все возможные решения.

Обозначим искомое число как $7a2b$, где $a$ и $b$ – это цифры, которые нужно найти.

а)

Чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно делиться на 2 и на 9, так как $18 = 2 \times 9$ и числа 2 и 9 взаимно простые.

1. Признак делимости на 2: число должно оканчиваться на четную цифру. Следовательно, цифра $b$ может быть 0, 2, 4, 6 или 8.

2. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр нашего числа: $S = 7 + a + 2 + b = 9 + a + b$. Чтобы $S$ делилось на 9, сумма $a + b$ должна делиться на 9. Так как $a$ и $b$ – это цифры от 0 до 9, их сумма может быть 0, 9 или 18.

Рассмотрим все возможные случаи для $b$:

• Если $b = 0$, то $a + 0$ должно делиться на 9. Отсюда $a = 0$ или $a = 9$. Получаем числа 7020 и 7920.
• Если $b = 2$, то $a + 2$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 2 = 9$, откуда $a = 7$. Получаем число 7722.
• Если $b = 4$, то $a + 4$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 4 = 9$, откуда $a = 5$. Получаем число 7524.
• Если $b = 6$, то $a + 6$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 6 = 9$, откуда $a = 3$. Получаем число 7326.
• Если $b = 8$, то $a + 8$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 8 = 9$, откуда $a = 1$. Получаем число 7128.

Ответ: 7020, 7920, 7722, 7524, 7326, 7128.

б)

Чтобы число делилось на 30, оно должно одновременно делиться на 3 и на 10, так как $30 = 3 \times 10$ и числа 3 и 10 взаимно простые.

1. Признак делимости на 10: число должно оканчиваться на 0. Следовательно, $b = 0$. Наше число имеет вид $7a20$.

2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр: $S = 7 + a + 2 + 0 = 9 + a$. Чтобы $S$ делилось на 3, $a$ также должно делиться на 3. Возможные значения для $a$: 0, 3, 6, 9.

Получаем следующие числа:

• Если $a = 0$, число 7020.
• Если $a = 3$, число 7320.
• Если $a = 6$, число 7620.
• Если $a = 9$, число 7920.

Ответ: 7020, 7320, 7620, 7920.

в)

Чтобы число делилось на 45, оно должно одновременно делиться на 5 и на 9, так как $45 = 5 \times 9$ и числа 5 и 9 взаимно простые.

1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Следовательно, $b$ может быть 0 или 5.

2. Признак делимости на 9: сумма цифр $S = 7 + a + 2 + b = 9 + a + b$ должна делиться на 9. Это значит, что $a + b$ должно делиться на 9.

Рассмотрим возможные случаи для $b$:

• Если $b = 0$, то $a + 0$ должно делиться на 9. Отсюда $a = 0$ или $a = 9$. Получаем числа 7020 и 7920.
• Если $b = 5$, то $a + 5$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 5 = 9$, откуда $a = 4$. Получаем число 7425.

Ответ: 7020, 7920, 7425.

г)

Чтобы число делилось на 36, оно должно одновременно делиться на 4 и на 9, так как $36 = 4 \times 9$ и числа 4 и 9 взаимно простые.

1. Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4. В нашем случае число $2b$ (то есть $20 + b$) должно делиться на 4. Это возможно, если $b = 0$ (число 20), $b = 4$ (число 24) или $b = 8$ (число 28).

2. Признак делимости на 9: сумма цифр $S = 9 + a + b$ должна делиться на 9. Это значит, что $a + b$ должно делиться на 9.

Рассмотрим возможные случаи для $b$:

• Если $b = 0$, то $a + 0$ должно делиться на 9. Отсюда $a = 0$ или $a = 9$. Получаем числа 7020 и 7920.
• Если $b = 4$, то $a + 4$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 4 = 9$, откуда $a = 5$. Получаем число 7524.
• Если $b = 8$, то $a + 8$ должно делиться на 9. Единственная возможность: $a + 8 = 9$, откуда $a = 1$. Получаем число 7128.

Ответ: 7020, 7920, 7524, 7128.

129. В число 7*2* подставь вместо звездочек цифры так, чтобы полученное число делилось:

а) на 18;

б) на 30;

в) на 45;

г) на 36.

Укажи все возможные решения.

130 Построй математическую модель задачи.

1) В детском хоре «Весна» занимаются 148 детей. В младшей группе хора в 2 раза больше детей, чем в средней, и на 32 человека больше, чем в старшей. Сколько детей занимается в каждой группе хора?

2) Из пункта A в пункт B едет мотоциклист. Если он увеличит скорость на 4 км/ч, то проедет весь путь за 4,5 ч, а если уменьшит скорость на 6 км/ч, то проедет весь путь за 6 ч. С какой скоростью едет мотоциклист?

3) Оператор должен набрать на компьютере 240 страниц рукописи. За каждый час он набирал на 3 страницы больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на 4 ч раньше намеченного срока. За сколько времени оператор сделал свою работу, если он работал равномерно?

4) На пароходе 240 пассажиров расселили в одноместные, двухместные и трёхместные каюты так, что в каютах не осталось свободных мест. Всего было занято 108 кают, причём одноместных кают было в 2 раза меньше, чем трёхместных. Сколько кают каждого вида было на пароходе?

1)

Пусть $x$ — количество детей в средней группе. Тогда в младшей группе $2x$ детей, а в старшей группе $(2x - 32)$ детей. Всего в хоре 148 детей.
Составим уравнение, сложив количество детей во всех группах:
$x + 2x + (2x - 32) = 148$
Решим уравнение:
$5x - 32 = 148$
$5x = 148 + 32$
$5x = 180$
$x = \frac{180}{5} = 36$ (детей в средней группе).
Теперь найдем количество детей в остальных группах:
В младшей группе: $2x = 2 \cdot 36 = 72$ (ребенка).
В старшей группе: $2x - 32 = 72 - 32 = 40$ (детей).
Проверка: $36 + 72 + 40 = 148$. Все сходится.
Ответ: В младшей группе 72 ребенка, в средней — 36, в старшей — 40.

2)

Пусть $v$ (км/ч) — первоначальная скорость мотоциклиста, а $S$ (км) — расстояние от пункта А до пункта В.
Расстояние $S$ можно выразить двумя способами на основе условий задачи:
1. Если скорость $(v + 4)$ км/ч, то время 4,5 ч: $S = (v + 4) \cdot 4.5$.
2. Если скорость $(v - 6)$ км/ч, то время 6 ч: $S = (v - 6) \cdot 6$.
Так как расстояние в обоих случаях одинаковое, приравняем правые части уравнений:
$(v + 4) \cdot 4.5 = (v - 6) \cdot 6$
Раскроем скобки:
$4.5v + 18 = 6v - 36$
Перенесем слагаемые с $v$ в одну сторону, а числа — в другую:
$18 + 36 = 6v - 4.5v$
$54 = 1.5v$
$v = \frac{54}{1.5} = 36$.
Первоначальная скорость мотоциклиста — 36 км/ч.
Ответ: 36 км/ч.

3)

Пусть $p$ (страниц/час) — предполагаемая скорость набора, а $t$ (часы) — предполагаемое время работы.
Общий объем работы — 240 страниц. Тогда $p \cdot t = 240$.
Фактическая скорость набора была $(p + 3)$ страниц/час, а фактическое время работы составило $(t - 4)$ часа.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases} t = \frac{240}{p} \\ (p+3)(t-4) = 240 \end{cases}$
Подставим первое уравнение во второе:
$(p + 3)(\frac{240}{p} - 4) = 240$
Раскроем скобки:
$p \cdot \frac{240}{p} - 4p + 3 \cdot \frac{240}{p} - 12 = 240$
$240 - 4p + \frac{720}{p} - 12 = 240$
$-4p + \frac{720}{p} - 12 = 0$
Умножим все уравнение на $p$ (при $p \neq 0$):
$-4p^2 - 12p + 720 = 0$
Разделим на -4 для упрощения:
$p^2 + 3p - 180 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 27$.
$p_1 = \frac{-3 + 27}{2} = 12$; $p_2 = \frac{-3 - 27}{2} = -15$.
Скорость не может быть отрицательной, поэтому предполагаемая скорость $p = 12$ страниц/час.
Фактическая скорость: $12 + 3 = 15$ страниц/час.
Фактическое время работы: $t_{факт} = \frac{240}{15} = 16$ часов.
Ответ: 16 часов.

4)

Пусть $x$ — количество одноместных кают, $y$ — двухместных, а $z$ — трёхместных.
Составим систему уравнений по условиям задачи:
1. По общему числу пассажиров: $x + 2y + 3z = 240$.
2. По общему числу кают: $x + y + z = 108$.
3. По соотношению одноместных и трёхместных кают: $z = 2x$.
Подставим третье уравнение в первые два:
$x + 2y + 3(2x) = 240 \implies 7x + 2y = 240$.
$x + y + 2x = 108 \implies 3x + y = 108$.
Из уравнения $3x + y = 108$ выразим $y$: $y = 108 - 3x$.
Подставим это выражение в уравнение $7x + 2y = 240$:
$7x + 2(108 - 3x) = 240$
$7x + 216 - 6x = 240$
$x = 240 - 216$
$x = 24$ (одноместные каюты).
Теперь найдем $z$ и $y$:
$z = 2x = 2 \cdot 24 = 48$ (трёхместные каюты).
$y = 108 - 3x = 108 - 3 \cdot 24 = 108 - 72 = 36$ (двухместные каюты).
Ответ: 24 одноместные каюты, 36 двухместных кают и 48 трёхместных кают.

130 Построй математическую модель задачи:

1) В детском хоре “Весна” занимаются 148 детей. В младшей группе хора в 2 раза больше детей, чем в средней, и на 32 человека больше, чем в старшей. Сколько детей занимается в каждой группе хора?

2) Из пункта А в пункт В едет мотоциклист. Если он увеличит скорость на 4 км/ч, то проедет весь путь за 4,5 ч, а если уменьшит скорость на 6 км/ч, то проедет весь путь за 6 ч. С какой скоростью едет мотоциклист?

3) Оператор должен набрать на компьютере 240 страниц рукописи. За каждый час он набирал на 3 страницы больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на 4 часа раньше намеченного срока. За сколько времени оператор сделал свою работу, если он работал равномерно?

4) На пароходе 240 пассажиров расселили в одноместные, двухместные и трехместные каюты так, что в каютах не осталось свободных мест. Всего было занято 108 кают, причем одноместных кают было в 2 раза меньше, чем трехместных. Сколько кают каждого вида было на пароходе?

131 Что общего в уравнениях каждой строки, каждого столбца? Упрости запись уравнения, используя свойства арифметических действий, а затем реши его:

1) $x + 2x + 3x + 4x = 48$;

2) $3,2y - 1,4y + y - 0,6y = 5,5$;

3) $1\frac{3}{5}z - \frac{4}{15}z + z - \frac{7}{6}z = 2\frac{1}{3}$;

4) $2x + 5 + x + 14 + 6x = 64$;

5) $1,8 + 3,5y + 0,9 + y = 16,2$;

6) $4\frac{1}{2}z + \frac{7}{9}z + 2\frac{1}{3} + \frac{1}{6}z = 5\frac{1}{18}$.

Сначала проанализируем, что общего в уравнениях.

Общее по строкам: в уравнениях каждой строки используется одна и та же переменная и один и тот же тип чисел.
- В первой строке (уравнения 1 и 4) используется переменная $x$ и целые числа.
- Во второй строке (уравнения 2 и 5) используется переменная $y$ и десятичные дроби.
- В третьей строке (уравнения 3 и 6) используется переменная $z$ и обыкновенные/смешанные дроби.

Общее по столбцам: уравнения в одном столбце имеют схожую структуру.
- В уравнениях первого столбца (1, 2, 3) в левой части находятся только слагаемые, содержащие переменную.
- В уравнениях второго столбца (4, 5, 6) в левой части находятся как слагаемые с переменной, так и числовые слагаемые (константы).

Теперь решим каждое уравнение.

1) $x + 2x + 3x + 4x = 48$

Упростим левую часть уравнения, используя распределительное свойство умножения (вынесем $x$ за скобки):

$(1 + 2 + 3 + 4)x = 48$

$10x = 48$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 10:

$x = 48 : 10$

$x = 4,8$

Ответ: $x = 4,8$.

2) $3,2y - 1,4y + y - 0,6y = 5,5$

Упростим левую часть, вынеся $y$ за скобки:

$(3,2 - 1,4 + 1 - 0,6)y = 5,5$

$(1,8 + 1 - 0,6)y = 5,5$

$(2,8 - 0,6)y = 5,5$

$2,2y = 5,5$

Найдем $y$:

$y = 5,5 : 2,2$

$y = 55 : 22$

$y = 2,5$

Ответ: $y = 2,5$.

3) $1\frac{3}{5}z + z - \frac{4}{15}z + \frac{7}{6}z = 2\frac{1}{3}$

Вынесем $z$ за скобки:

$(1\frac{3}{5} + 1 - \frac{4}{15} + \frac{7}{6})z = 2\frac{1}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и приведем дроби в скобках к общему знаменателю 30:

$(\frac{8}{5} + \frac{1}{1} - \frac{4}{15} + \frac{7}{6})z = \frac{7}{3}$

$(\frac{8 \cdot 6}{30} + \frac{1 \cdot 30}{30} - \frac{4 \cdot 2}{30} + \frac{7 \cdot 5}{30})z = \frac{7}{3}$

$(\frac{48 + 30 - 8 + 35}{30})z = \frac{7}{3}$

$\frac{105}{30}z = \frac{7}{3}$

Сократим дробь $\frac{105}{30}$ на 15:

$\frac{7}{2}z = \frac{7}{3}$

Найдем $z$:

$z = \frac{7}{3} : \frac{7}{2}$

$z = \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{7}$

$z = \frac{2}{3}$

Ответ: $z = \frac{2}{3}$.

4) $2x + 5 + x + 14 + 6x = 64$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$(2x + x + 6x) + (5 + 14) = 64$

Упростим каждую группу:

$9x + 19 = 64$

Перенесем 19 в правую часть уравнения, изменив знак:

$9x = 64 - 19$

$9x = 45$

Найдем $x$:

$x = 45 : 9$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$.

5) $1,8 + 3,5y + 0,9 + y = 16,2$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ и числовые слагаемые:

$(3,5y + y) + (1,8 + 0,9) = 16,2$

Упростим каждую группу:

$4,5y + 2,7 = 16,2$

Перенесем 2,7 в правую часть:

$4,5y = 16,2 - 2,7$

$4,5y = 13,5$

Найдем $y$:

$y = 13,5 : 4,5$

$y = 135 : 45$

$y = 3$

Ответ: $y = 3$.

6) $4\frac{1}{2}z + \frac{7}{9}z + 2\frac{1}{3} + \frac{1}{6}z = 5\frac{1}{18}$

Сгруппируем слагаемые с $z$ и перенесем числовое слагаемое из левой части в правую:

$(4\frac{1}{2}z + \frac{7}{9}z + \frac{1}{6}z) = 5\frac{1}{18} - 2\frac{1}{3}$

Выполним действия в левой части. Преобразуем $4\frac{1}{2}$ в $\frac{9}{2}$ и найдем общий знаменатель 18:

$(\frac{9 \cdot 9}{18} + \frac{7 \cdot 2}{18} + \frac{1 \cdot 3}{18})z = (\frac{81+14+3}{18})z = \frac{98}{18}z = \frac{49}{9}z$

Теперь выполним действия в правой части. Приведем к общему знаменателю 18:

$5\frac{1}{18} - 2\frac{1}{3} = 5\frac{1}{18} - 2\frac{6}{18} = 4\frac{19}{18} - 2\frac{6}{18} = 2\frac{13}{18} = \frac{49}{18}$

Получаем уравнение:

$\frac{49}{9}z = \frac{49}{18}$

Найдем $z$:

$z = \frac{49}{18} : \frac{49}{9}$

$z = \frac{49}{18} \cdot \frac{9}{49}$

$z = \frac{9}{18}$

$z = \frac{1}{2}$

Ответ: $z = \frac{1}{2}$.

131 Что общего в уравнениях каждой строки, каждого столбца? Упрости запись уравнения, используя свойства арифметических действий, а затем реши его:

1) $x + 2x + 3x + 4x = 48;$

2) $3,2y - 1,4y + y - 0,6y = 5,5;$

3) $\frac{8}{5}z + z - \frac{4}{15}z + \frac{7}{6}z = \frac{7}{3};$

4) $2x + 5 + x + 14 + 6x = 64;$

5) $1,8 + 3,5y + 0,9 + y = 16,2;$

6) $\frac{9}{2}z + \frac{7}{9}z + \frac{7}{3} + \frac{1}{6}z = \frac{91}{18}.$

140 Ниже приведён график зависимости расхода бензина $B$ л для автомобиля «Лада» от пройденного расстояния $s$ км. Заполни таблицу и построй формулу зависимости $B$ от $s$.

$B$ л

$s$ км

$s$ км 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

$B$ л

Заполни таблицу

Чтобы заполнить таблицу, необходимо найти соответствующие значения расхода бензина B (в литрах) для каждого значения пройденного расстояния s (в километрах) на предоставленном графике. График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, что указывает на прямую пропорциональную зависимость.

• При s = 10 км, B = 0,8 л
• При s = 20 км, B = 1,6 л
• При s = 30 км, B = 2,4 л
• При s = 40 км, B = 3,2 л
• При s = 50 км, B = 4,0 л
• При s = 60 км, B = 4,8 л
• При s = 70 км, B = 5,6 л
• При s = 80 км, B = 6,4 л
• При s = 90 км, B = 7,2 л
• При s = 100 км, B = 8,0 л

Ответ:

Построй формулу зависимости B от s

Поскольку график является прямой линией, проходящей через начало координат (0,0), зависимость B от s является прямой пропорциональностью. Формула такой зависимости имеет вид: $B = k \cdot s$, где k — коэффициент пропорциональности.

Для нахождения коэффициента k можно взять любую точку на графике. Возьмем, например, точку, где s = 100 км, а B = 8 л. Подставим эти значения в формулу:

$8 = k \cdot 100$

Отсюда найдем k:

$k = \frac{8}{100} = 0,08$

Коэффициент k = 0,08 показывает расход бензина в литрах на один километр. Таким образом, формула зависимости расхода бензина B от пройденного расстояния s имеет вид:

$B = 0,08s$

Ответ: $B = 0,08s$

140 Ниже приведен график зависимости расхода бензина $B$ л для автомобиля “Лада” от пройденного расстояния $s$ км. Заполни таблицу и построй формулу зависимости $B$ от $s$.

$s$ км: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

$B$ л:

141 На рисунке изображены графики полёта двух самолётов, вылетевших из аэропорта Внуково в одном направлении.

$s$ км

2400

2000

1600

1200

800

400

0

$t$ ч

9⁰⁰

10⁰⁰

11⁰⁰

12⁰⁰

13⁰⁰

14⁰⁰

15⁰⁰

16⁰⁰

17⁰⁰

18⁰⁰

1) В какое время самолёты вылетели с аэродрома и вернулись обратно?

2) Сколько промежуточных посадок сделал в пути каждый из них? Чему равна продолжительность этих остановок?

3) С какой скоростью летели самолёты на всех участках пути?

4) На каком расстоянии от Внуково были они в 12 ч, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин? Где были самолёты в это время – на земле или в воздухе?

5) В какое время они находились на расстоянии 400 км от Внуково?

Для решения задачи проанализируем графики движения двух самолётов. Чёрный график соответствует первому самолёту, а красный — второму. Горизонтальная ось (t) — время в часах, вертикальная ось (s) — расстояние от аэропорта Внуково в километрах.

1) В какое время самолёты вылетели с аэродрома и вернулись обратно?

Чтобы определить время вылета и возвращения, нужно найти на графиках точки, где расстояние $s$ равно нулю.

• Первый самолёт (чёрный график):
  График начинается в точке $(9^{00}, 0)$, что соответствует времени вылета. График заканчивается в точке $(18^{00}, 0)$, что соответствует времени возвращения.
• Второй самолёт (красный график):
  График начинается в точке $(10^{00}, 0)$, что соответствует времени вылета. График заканчивается в точке $(18^{30}, 0)$, что соответствует времени возвращения.

Ответ: Первый самолёт вылетел в 9:00 и вернулся в 18:00. Второй самолёт вылетел в 10:00 и вернулся в 18:30.

2) Сколько промежуточных посадок сделал в пути каждый из них? Чему равна продолжительность этих остановок?

Промежуточные посадки на графике отображаются горизонтальными участками, где время идёт, а расстояние не меняется.

• Первый самолёт (чёрный график) сделал три остановки:
  1. На расстоянии 800 км от Внуково: с 10:00 до 11:00. Продолжительность: $11:00 - 10:00 = 1$ час.
  2. На расстоянии 2400 км от Внуково: с 12:30 до 14:30. Продолжительность: $14:30 - 12:30 = 2$ часа.
  3. На расстоянии 800 км от Внуково (на обратном пути): с 16:00 до 17:00. Продолжительность: $17:00 - 16:00 = 1$ час.
• Второй самолёт (красный график) сделал одну остановку:
  1. На расстоянии 1600 км от Внуково: с 13:30 до 15:30. Продолжительность: $15:30 - 13:30 = 2$ часа.

Ответ: Первый самолёт сделал 3 посадки продолжительностью 1 час, 2 часа и 1 час. Второй самолёт сделал 1 посадку продолжительностью 2 часа.

3) С какой скоростью летели самолёты на всех участках пути?

Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$, где $\Delta s$ — пройденное расстояние, а $\Delta t$ — затраченное время.

• Первый самолёт (чёрный график):
  • Участок 9:00 – 10:00: $v = \frac{800 - 0}{10 - 9} = \frac{800}{1} = 800$ км/ч.
  • Участок 11:00 – 12:30: $v = \frac{2400 - 800}{12.5 - 11} = \frac{1600}{1.5} = \frac{3200}{3} \approx 1067$ км/ч.
  • Участок 14:30 – 16:00 (обратный путь): $v = \frac{2400 - 800}{16 - 14.5} = \frac{1600}{1.5} = \frac{3200}{3} \approx 1067$ км/ч.
  • Участок 17:00 – 18:00 (обратный путь): $v = \frac{800 - 0}{18 - 17} = \frac{800}{1} = 800$ км/ч.
• Второй самолёт (красный график):
  • Участок 10:00 – 13:30: $v = \frac{1600 - 0}{13.5 - 10} = \frac{1600}{3.5} = \frac{3200}{7} \approx 457$ км/ч.
  • Участок 15:30 – 18:30 (обратный путь): $v = \frac{1600 - 0}{18.5 - 15.5} = \frac{1600}{3} \approx 533$ км/ч.

Ответ: Скорости первого самолёта: 800 км/ч, $\approx 1067$ км/ч, $\approx 1067$ км/ч, 800 км/ч. Скорости второго самолёта: $\approx 457$ км/ч, $\approx 533$ км/ч.

4) На каком расстоянии от Внуково были они в 12 ч, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин? Где были самолёты в это время — на земле или в воздухе?

Определим положение самолётов в указанное время по графикам.

• В 12:00:
  • Первый самолёт (чёрный) летел с 11:00 до 12:30. За 1 час полёта на этом участке (с 11:00 до 12:00) он пролетел $1067 \times 1 \approx 1067$ км. Его расстояние от Внуково: $800 + 1067 = 1867$ км. Самолёт был в воздухе.
  • Второй самолёт (красный) летел с 10:00 до 13:30. За 2 часа полёта (с 10:00 до 12:00) он пролетел $457 \times 2 = 914$ км. Самолёт был в воздухе.
• В 14:20:
  • Первый самолёт (чёрный) находился на стоянке (с 12:30 до 14:30) на расстоянии 2400 км от Внуково. Самолёт был на земле.
  • Второй самолёт (красный) находился на стоянке (с 13:30 до 15:30) на расстоянии 1600 км от Внуково. Самолёт был на земле.
• В 16:40:
  • Первый самолёт (чёрный) находился на стоянке (с 16:00 до 17:00) на расстоянии 800 км от Внуково. Самолёт был на земле.
  • Второй самолёт (красный) летел обратно (с 15:30 до 18:30). Прошло 1 час 10 мин ($= \frac{7}{6}$ часа) с начала движения. Он пролетел $\frac{1600}{3} \times \frac{7}{6} \approx 622$ км. Его расстояние от Внуково: $1600 - 622 = 978$ км. Самолёт был в воздухе.

Ответ: В 12:00 первый самолёт был на расстоянии $\approx 1867$ км (в воздухе), второй — $\approx 914$ км (в воздухе). В 14:20 первый — 2400 км (на земле), второй — 1600 км (на земле). В 16:40 первый — 800 км (на земле), второй — $\approx 978$ км (в воздухе).

5) В какое время они находились на расстоянии 400 км от Внуково?

Найдём точки на графиках, где координата $s$ равна 400 км.

• Первый самолёт (чёрный график):
  • При полёте от Внуково (9:00-10:00, скорость 800 км/ч): $t = \frac{s}{v} = \frac{400}{800} = 0.5$ часа = 30 минут. Время: $9:00 + 30$ мин = 9:30.
  • При возвращении во Внуково (17:00-18:00, скорость 800 км/ч): самолёт вылетел с отметки 800 км. Чтобы оказаться на 400 км, ему нужно пролететь 400 км. Время: $t = \frac{400}{800} = 0.5$ часа = 30 минут. Время: $17:00 + 30$ мин = 17:30.
• Второй самолёт (красный график):
  • При полёте от Внуково (10:00-13:30, скорость $\frac{3200}{7}$ км/ч): $t = \frac{s}{v} = \frac{400}{3200/7} = \frac{400 \times 7}{3200} = \frac{7}{8}$ часа. $\frac{7}{8} \times 60 = 52.5$ минуты = 52 мин 30 сек. Время: $10:00 + 52.5$ мин = 10:52:30.
  • При возвращении во Внуково (15:30-18:30, скорость $\frac{1600}{3}$ км/ч): самолёт вылетел с отметки 1600 км. Чтобы оказаться на 400 км, ему нужно пролететь $1600 - 400 = 1200$ км. Время: $t = \frac{1200}{1600/3} = \frac{1200 \times 3}{1600} = \frac{9}{4} = 2.25$ часа = 2 часа 15 минут. Время: $15:30 + 2$ ч $15$ мин = 17:45.

Ответ: Первый самолёт находился на расстоянии 400 км в 9:30 и в 17:30. Второй самолёт — в 10:52:30 и в 17:45.

141 На рисунке изображены графики полета двух самолетов, вылетевших из аэропорта Внуково в одном направлении.

$s$ км

$t$ ч

1) В какое время самолеты вылетели с аэродрома и вернулись обратно?

2) Сколько промежуточных посадок сделал в пути каждый из них? Чему равна продолжительность этих остановок?

3) С какой скоростью летели самолеты на всех участках пути?

4) На каком расстоянии от Внуково были они в 12 часов, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин? Где были самолеты в это время – на земле или в воздухе?

5) В какое время они находились на расстоянии 400 км от Внуково?

157 Построй многоугольник $A_1 A_2 \dots A_{37}$ по координатам его вершин:

$A_1(5; 0)$, $A_2(5; 5)$, $A_3(3; 5)$, $A_4(3; 6)$, $A_5(2; 6)$, $A_6(2; 11)$, $A_7(0; 11)$, $A_8(1; 12)$, $A_9(1; 13)$, $A_{10}(3; 13)$, $A_{11}(3; 7)$, $A_{12}(4; 7)$, $A_{13}(4; 8)$, $A_{14}(5; 8)$, $A_{15}(5; 9)$, $A_{16}(9; 9)$, $A_{17}(9; 8)$, $A_{18}(10; 8)$, $A_{19}(10; 7)$, $A_{20}(11; 7)$, $A_{21}(11; 8)$, $A_{22}(12; 8)$, $A_{23}(12; 9)$, $A_{24}(13; 9)$, $A_{25}(13; 10)$, $A_{26}(14; 10)$, $A_{27}(14; 7)$, $A_{28}(12; 7)$, $A_{29}(12; 6)$, $A_{30}(11; 6)$, $A_{31}(11; 5)$, $A_{32}(9; 5)$, $A_{33}(9; 0)$, $A_{34}(8; 0)$, $A_{35}(8; 5)$, $A_{36}(6; 5)$, $A_{37}(6; 0)$, $A_1$.

Что получилось?

Для построения многоугольника $A_1A_2...A_{37}$ необходимо последовательно отметить на координатной плоскости все заданные вершины и соединить их отрезками.

1. Построим систему координат $Oxy$.
2. Отметим на ней все точки с заданными координатами:
$A_1(5; 0)$, $A_2(5; 5)$, $A_3(3; 5)$, $A_4(3; 6)$, $A_5(2; 6)$, $A_6(2; 11)$, $A_7(0; 11)$, $A_8(1; 12)$, $A_9(1; 13)$, $A_{10}(3; 13)$, $A_{11}(3; 7)$, $A_{12}(4; 7)$, $A_{13}(4; 8)$, $A_{14}(5; 8)$, $A_{15}(5; 9)$, $A_{16}(9; 9)$, $A_{17}(9; 8)$, $A_{18}(10; 8)$, $A_{19}(10; 7)$, $A_{20}(11; 7)$, $A_{21}(11; 8)$, $A_{22}(12; 8)$, $A_{23}(12; 9)$, $A_{24}(13; 9)$, $A_{25}(13; 10)$, $A_{26}(14; 10)$, $A_{27}(14; 7)$, $A_{28}(12; 7)$, $A_{29}(12; 6)$, $A_{30}(11; 6)$, $A_{31}(11; 5)$, $A_{32}(9; 5)$, $A_{33}(9; 0)$, $A_{34}(8; 0)$, $A_{35}(8; 5)$, $A_{36}(6; 5)$, $A_{37}(6; 0)$.
3. Последовательно соединим отрезками точки: $A_1$ с $A_2$, $A_2$ с $A_3$, и так далее до отрезка $A_{36}A_{37}$.
4. Для того чтобы многоугольник был замкнутым, соединим последнюю вершину $A_{37}$ с первой $A_1$.

Что получилось?

В результате выполнения построений на координатной плоскости получается контурное изображение замка с двумя башнями по бокам и воротами в центре.
Ответ: Замок (или крепость).

157 Построй многоугольник $A_1A_2\dots A_{37}$ по координатам его вершин:

$A_1 (5; 0)$, $A_2 (5; 5)$, $A_3 (3; 5)$, $A_4 (3; 6)$, $A_5 (2; 6)$, $A_6 (2; 11)$, $A_7 (0; 11)$, $A_8 (1; 12)$, $A_9 (1; 13)$, $A_{10} (3; 13)$, $A_{11} (3; 7)$, $A_{12} (4; 7)$, $A_{13} (4; 8)$, $A_{14} (5; 8)$, $A_{15} (5; 9)$, $A_{16} (9; 9)$, $A_{17} (9; 8)$, $A_{18} (10; 8)$, $A_{19} (10; 7)$, $A_{20} (11; 7)$, $A_{21} (11; 8)$, $A_{22} (12; 8)$, $A_{23} (12; 9)$, $A_{24} (13; 9)$, $A_{25} (13; 10)$, $A_{26} (14; 10)$, $A_{27} (14; 7)$, $A_{28} (12; 7)$, $A_{29} (12; 6)$, $A_{30} (11; 6)$, $A_{31} (11; 5)$, $A_{32} (9; 5)$, $A_{33} (9; 0)$, $A_{34} (8; 0)$, $A_{35} (8; 5)$, $A_{36} (6; 5)$, $A_{37} (6; 0)$, $A_1$.

Что получилось?

158 Группа туристов вышла в $9$ ч из пансионата «Ока» на экскурсию в дом-музей Есенина в деревне Константиново. Их путь проходил вдоль реки. Первые $2$ ч шли со скоростью $3$ км/ч. Затем после часового привала туристы увеличили скорость на $1$ км/ч и через $2,5$ ч дошли до музея. Обед и экскурсия длились $2$ ч, и обратный путь туристы проделали в лодке по той же реке со скоростью $8$ км/ч. Построй график движения туристов и определи по графику, успеют ли они к ужину, который начинается в пансионате в $19$ ч.

Для решения задачи сначала рассчитаем все этапы путешествия туристов, чтобы определить ключевые точки для построения графика зависимости расстояния от времени.

1. Первый этап пути (пешком):
Туристы вышли в 9:00. Первые 2 часа они шли со скоростью 3 км/ч.

• Время в пути: $2$ ч.
• Время окончания этапа: $9:00 + 2:00 = 11:00$.
• Пройденное расстояние: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 3 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 6 \text{ км}$.

Ключевая точка на графике: (11:00, 6 км).

2. Привал:
Привал длился 1 час.

• Время начала привала: 11:00.
• Время окончания привала: $11:00 + 1:00 = 12:00$.
• Расстояние от пансионата не менялось и осталось равным 6 км.

Ключевая точка на графике: (12:00, 6 км).

3. Второй этап пути (пешком):
Туристы увеличили скорость на 1 км/ч и шли 2,5 часа.

• Новая скорость: $v_2 = 3 \text{ км/ч} + 1 \text{ км/ч} = 4 \text{ км/ч}$.
• Время в пути: $2,5$ ч.
• Время прибытия в музей: $12:00 + 2:30 = 14:30$.
• Пройденное расстояние на этом этапе: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 4 \text{ км/ч} \cdot 2,5 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.
• Общее расстояние от пансионата до музея: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 6 \text{ км} + 10 \text{ км} = 16 \text{ км}$.

Ключевая точка на графике: (14:30, 16 км).

4. Обед и экскурсия в музее:
Это мероприятие длилось 2 часа.

• Время начала: 14:30.
• Время окончания: $14:30 + 2:00 = 16:30$.
• Расстояние от пансионата не менялось и составляло 16 км.

Ключевая точка на графике: (16:30, 16 км).

5. Обратный путь (на лодке):
Туристы возвращались на лодке со скоростью 8 км/ч.

• Расстояние: 16 км.
• Скорость: $v_3 = 8 \text{ км/ч}$.
• Время в пути: $t_3 = \frac{S_{общ}}{v_3} = \frac{16 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.
• Время возвращения в пансионат: $16:30 + 2:00 = 18:30$.

Ключевая точка на графике: (18:30, 0 км).

Построй график движения туристов

График представляет собой зависимость расстояния $S$ (в км) от пансионата от времени $t$ (в часах). По оси абсцисс (горизонтальной) откладываем время $t$ от 9:00 до 19:00. По оси ординат (вертикальной) откладываем расстояние $S$ от 0 до 16 км.

График будет состоять из следующих отрезков, соединяющих ключевые точки:

• Отрезок от точки $(9:00; 0)$ до $(11:00; 6)$. Это наклонная прямая, показывающая движение с постоянной скоростью.
• Горизонтальный отрезок от $(11:00; 6)$ до $(12:00; 6)$. Показывает привал, расстояние не меняется.
• Отрезок от $(12:00; 6)$ до $(14:30; 16)$. Это наклонная прямая с большим углом наклона, чем первая, так как скорость увеличилась.
• Горизонтальный отрезок от $(14:30; 16)$ до $(16:30; 16)$. Показывает пребывание в музее.
• Отрезок от $(16:30; 16)$ до $(18:30; 0)$. Это наклонная прямая, идущая вниз, показывающая возвращение в пансионат. Этот отрезок самый крутой, так как скорость на обратном пути была самой высокой.

Ответ: График движения представляет собой ломаную линию, построенную по точкам с координатами (время; расстояние): (9:00; 0) → (11:00; 6) → (12:00; 6) → (14:30; 16) → (16:30; 16) → (18:30; 0).

Определи по графику, успеют ли они к ужину, который начинается в пансионате в 19 ч.

Чтобы определить время возвращения туристов, нужно найти на графике точку, где расстояние от пансионата снова станет равным нулю. Это конечная точка последнего отрезка. Согласно нашим расчетам и графику, эта точка имеет координаты $(18:30; 0)$. Это означает, что туристы вернулись в пансионат в 18:30.

Ужин начинается в 19:00. Сравниваем время возвращения с временем начала ужина: $18:30 < 19:00$.

Следовательно, туристы вернутся за 30 минут до начала ужина.

Ответ: Да, туристы успеют к ужину.

158 Группа туристов вышла в 9 ч из пансионата «Ока» на экскурсию в дом-музей Есенина в деревне Константиново. Их путь проходил вдоль реки. Первые 2 ч они шли со скоростью 3 км/ч. Затем после часового привала туристы увеличили скорость на 1 км/ч и через 2,5 ч дошли до музея. Обед и экскурсия длились 2 ч, и обратный путь туристы проделали в лодке по той же реке со скоростью 8 км/ч. Построй график движения туристов и определи по графику, успеют ли они к ужину, который начинается в пансионате в 19 ч?

159. Вырази в указанных единицах измерения:

а) в метрах в минуту: $9 \text{ км}/\text{ч}$; $5 \text{ м}/\text{с}$;

б) в километрах в час: $400 \text{ м}/\text{мин}$; $20 \text{ м}/\text{с}$;

в) в метрах в секунду: $27 \text{ км}/\text{ч}$; $150 \text{ м}/\text{мин}$.

а)

Для перевода скорости из одних единиц в другие, необходимо знать соотношения между единицами длины и времени:
1 км = 1000 м
1 час = 60 минут
1 минута = 60 секунд
1 час = 3600 секунд

Выразим 9 км/ч в метрах в минуту:
Нужно километры перевести в метры (умножить на 1000), а часы в минуты (в знаменателе 1 час заменить на 60 минут).
$9 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{9 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{9000}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 150 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Выразим 5 м/с в метрах в минуту:
Единицы длины (метры) совпадают. Нужно перевести секунды в минуты. Так как в одной минуте 60 секунд, то за минуту тело пройдет расстояние в 60 раз больше, чем за секунду.
$5 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 5 \times 60 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 300 \frac{\text{м}}{\text{мин}}$

Ответ: 150 м/мин; 300 м/мин.

б)

Выразим 400 м/мин в километрах в час:
Нужно метры перевести в километры (разделить на 1000), а минуты в часы (так как минуты в знаменателе, нужно знаменатель разделить на 60, что равносильно умножению всей дроби на 60).
$400 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{400 \div 1000 \text{ км}}{1 \div 60 \text{ ч}} = 400 \times \frac{60}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{24000}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 24 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Выразим 20 м/с в километрах в час:
Нужно метры перевести в километры (разделить на 1000), а секунды в часы (разделить знаменатель на 3600, что равносильно умножению дроби на 3600).
$20 \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{20 \div 1000 \text{ км}}{1 \div 3600 \text{ ч}} = 20 \times \frac{3600}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 20 \times 3.6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: 24 км/ч; 72 км/ч.

в)

Выразим 27 км/ч в метрах в секунду:
Нужно километры перевести в метры (умножить на 1000), а часы в секунды (заменить 1 час в знаменателе на 3600 секунд).
$27 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{27 \times 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{27000}{3600} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 7.5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Выразим 150 м/мин в метрах в секунду:
Единицы длины (метры) совпадают. Нужно перевести минуты в секунды (заменить 1 минуту в знаменателе на 60 секунд).
$150 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{150 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 2.5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: 7.5 м/с; 2.5 м/с.

159 Вырази в указанных единицах измерения:

а) в метрах в минуту: $9 \text{ км/ч}; 5 \text{ м/с};$

б) в километрах в час: $400 \text{ м/мин}; 20 \text{ м/с};$

в) в метрах в секунду: $27 \text{ км/ч}; 150 \text{ м/мин}.$

160 Найди число, 11 % которого составляет число

$0,125 : \left( \frac{(0,45 + 0,25) : 4,2}{(0,9 + 0,5) : 2,1} - \frac{3\frac{3}{4} - (7,55 - 3,8)}{\frac{4}{25} \cdot 0,25 + 6,23} \right) + \frac{7\frac{1}{8} : 1,9}{1 - 0,6 : \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}}$

161 Найди 45 % от числа

Для того чтобы найти искомое число, сначала необходимо вычислить значение сложного числового выражения. Выполним вычисления по действиям.

Вычисление значения выражения

Сначала вычислим значение выражения в больших скобках. Оно представляет собой разность двух дробей.

1. Найдем значение первой дроби в скобках: $\frac{(0,45 + 0,25) : 4,2}{(0,9 + 0,5) : 2,1}$.

Вычислим числитель: $(0,45 + 0,25) : 4,2 = 0,7 : 4,2 = \frac{7}{10} : \frac{42}{10} = \frac{7}{10} \cdot \frac{10}{42} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6}$.

Вычислим знаменатель: $(0,9 + 0,5) : 2,1 = 1,4 : 2,1 = \frac{14}{10} : \frac{21}{10} = \frac{14}{10} \cdot \frac{10}{21} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{1/6}{2/3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25$.

2. Найдем значение второй дроби в скобках: $\frac{3\frac{3}{4} - (7,55 - 3,8)}{\frac{4}{25} \cdot 0,25 + 6,23}$.

Вычислим числитель: $3\frac{3}{4} - (7,55 - 3,8) = 3,75 - 3,75 = 0$.

Так как числитель равен нулю, то значение всей дроби равно нулю.

3. Вычислим значение выражения в скобках: $0,25 - 0 = 0,25$.

4. Теперь выполним деление, стоящее перед скобками: $0,125 : 0,25 = \frac{1}{8} : \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \cdot 4 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0,5$.

5. Перейдем ко второму большому слагаемому. Вычислим значение дроби $\frac{7\frac{1}{8} : 1,9}{1 - 0,6 : \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}}$.

Ее числитель: $7\frac{1}{8} : 1,9 = \frac{57}{8} : \frac{19}{10} = \frac{57}{8} \cdot \frac{10}{19} = \frac{3 \cdot 19}{8} \cdot \frac{10}{19} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3,75$.

Ее знаменатель: $1 - 0,6 : \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{3}{5} : \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} = 1 - (\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4}) \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Значение дроби: $\frac{3,75}{3/4} = \frac{15/4}{3/4} = \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{15}{3} = 5$.

6. Сложим результаты, чтобы найти окончательное значение всего выражения: $0,5 + 5 = 5,5$.

Нахождение искомого числа

По условию, 11% искомого числа составляют 5,5. Обозначим искомое число за $x$. Тогда можно составить уравнение:

$0,11 \cdot x = 5,5$

Чтобы найти $x$, разделим 5,5 на 0,11:

$x = \frac{5,5}{0,11} = \frac{550}{11} = 50$.

Таким образом, искомое число равно 50.

Ответ: 50

160 Найди число, 11% которого составляет число:

$0,125 : \left( \frac{(0,45 + 0,25) : 4,2}{(0,9 + 0,5) : 2,1} - \frac{3\frac{3}{4} - (7,55 - 3,8)}{\frac{4}{25} \cdot 0,25 + 6,23} \right) + \frac{7\frac{1}{8} \cdot 1,9}{1 - 0,6 : \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}}$

161 Найди 45 % от числа

$ \frac{2\frac{1}{6} + 1,5}{2\frac{1}{6} - 1,5} + \frac{\frac{2}{13} \cdot \left(5,84 + 7\frac{4}{25}\right)}{\frac{4}{9} : 4\frac{4}{9} - 0,05} - \frac{\left(\frac{19,2}{0,12} - 3,4\right) : 0,9}{1,2 : \frac{1}{29} \cdot \frac{1}{2}} - 29,9. $

Чтобы найти 45% от числа, заданного выражением, сначала необходимо вычислить значение этого выражения.

Выражение: $ \frac{2\frac{1}{6}+1.5}{2\frac{1}{6}-1.5} + \frac{\frac{2}{13} \cdot (5.84 + 7\frac{4}{25})}{\frac{4}{9} : 4\frac{4}{9} - 0.05} - \frac{(\frac{19.2}{0.12}-3.4):0.9}{1.2 : \frac{1}{29} \cdot \frac{1}{2}} - 29.9 $

Решим его по частям.

1. Вычисление первого слагаемого $ \frac{2\frac{1}{6}+1.5}{2\frac{1}{6}-1.5} $

Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби:

$ 2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6} $

$ 1.5 = \frac{3}{2} $

Теперь вычислим числитель и знаменатель дроби:

Числитель: $ \frac{13}{6} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{13+9}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} $

Знаменатель: $ \frac{13}{6} - \frac{3}{2} = \frac{13}{6} - \frac{9}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Результат деления числителя на знаменатель:

$ \frac{11}{3} : \frac{2}{3} = \frac{11}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 $

2. Вычисление второго слагаемого $ \frac{\frac{2}{13} \cdot (5.84 + 7\frac{4}{25})}{\frac{4}{9} : 4\frac{4}{9} - 0.05} $

Вычислим числитель. Сначала выполним сложение в скобках, преобразовав смешанное число в десятичную дробь:

$ 7\frac{4}{25} = 7 + \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 7 + \frac{16}{100} = 7.16 $

$ 5.84 + 7.16 = 13 $

Теперь умножим: $ \frac{2}{13} \cdot 13 = 2 $. Числитель равен 2.

Вычислим знаменатель. Сначала выполним деление:

$ \frac{4}{9} : 4\frac{4}{9} = \frac{4}{9} : \frac{4 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{4}{9} : \frac{40}{9} = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0.1 $

Теперь вычитание: $ 0.1 - 0.05 = 0.05 $. Знаменатель равен 0.05.

Результат деления числителя на знаменатель:

$ \frac{2}{0.05} = \frac{2}{5/100} = 2 \cdot \frac{100}{5} = 40 $

3. Вычисление вычитаемого $ \frac{(\frac{19.2}{0.12}-3.4):0.9}{1.2 : \frac{1}{29} \cdot \frac{1}{2}} $

Вычислим числитель. Сначала действия в скобках:

$ \frac{19.2}{0.12} = \frac{1920}{12} = 160 $

$ 160 - 3.4 = 156.6 $

Теперь деление за скобками: $ 156.6 : 0.9 = 1566 : 9 = 174 $. Числитель равен 174.

Вычислим знаменатель. Действия деления и умножения выполняются по порядку слева направо:

$ 1.2 : \frac{1}{29} = \frac{12}{10} \cdot 29 = \frac{6}{5} \cdot 29 = \frac{174}{5} = 34.8 $

$ 34.8 \cdot \frac{1}{2} = 17.4 $. Знаменатель равен 17.4.

Результат деления числителя на знаменатель:

$ \frac{174}{17.4} = 10 $

4. Вычисление значения всего выражения

Теперь подставим найденные значения всех частей в исходное выражение:

$ 5.5 + 40 - 10 - 29.9 = 45.5 - 10 - 29.9 = 35.5 - 29.9 = 5.6 $

Итак, искомое число равно 5.6.

5. Нахождение 45 % от числа 5.6

Чтобы найти процент от числа, нужно умножить это число на значение процента, выраженное в виде десятичной дроби.

$ 45\% = \frac{45}{100} = 0.45 $

Выполним умножение:

$ 5.6 \cdot 0.45 = 2.52 $

Ответ: 2,52

161 Найти 45% от числа:

$\frac{2\frac{1}{6} + 1,5}{2\frac{1}{6} - 1,5} + \frac{\frac{2}{13} \cdot (5,84 + 7\frac{4}{25})}{\frac{4}{9} \div 4\frac{4}{9} - 0,05} - \frac{(\frac{19,2}{0,12} - 3,4) \div 0,9}{1,2 \div \frac{1}{29} \cdot \frac{1}{2}} - 29,9$

162 На сколько процентов число 27 больше числа $\frac{-28\frac{3}{7}-3,6:(-0,09)}{0,2\cdot6\frac{1}{7}-1,5\cdot0,2-0,2\cdot1\frac{3}{7}} + \frac{5,7:18,5\cdot3,7}{0,7\cdot1,9:(-2,8)} - \frac{1\frac{5}{8}+9\frac{7}{12}-20\frac{11}{24}}{3\frac{1}{24}-1,5}$?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, сперва необходимо найти значение всего числового выражения. Выполним вычисления по действиям.

1. Вычислим значение первой дроби $ \frac{-28\frac{3}{7}-3,6:(-0,09)}{0,2 \cdot 6\frac{1}{7} - 1,5 \cdot 0,2 - 0,2 \cdot 1\frac{3}{7}} $

а) Сначала выполним действия в числителе:

$ 3,6:(-0,09) = -360:9 = -40 $

$ -28\frac{3}{7} - (-40) = 40 - 28\frac{3}{7} = 11\frac{4}{7} $

б) Теперь выполним действия в знаменателе. Для упрощения вынесем общий множитель 0,2 за скобки:

$ 0,2 \cdot (6\frac{1}{7} - 1,5 - 1\frac{3}{7}) = 0,2 \cdot ((6\frac{1}{7} - 1\frac{3}{7}) - 1,5) = 0,2 \cdot (4\frac{5}{7} - 1\frac{1}{2}) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 14:

$ 0,2 \cdot (4\frac{10}{14} - 1\frac{7}{14}) = 0,2 \cdot 3\frac{3}{14} = \frac{2}{10} \cdot \frac{45}{14} = \frac{1}{5} \cdot \frac{45}{14} = \frac{9}{14} $

в) Разделим числитель на знаменатель:

$ 11\frac{4}{7} : \frac{9}{14} = \frac{81}{7} \cdot \frac{14}{9} = \frac{81 \cdot 14}{7 \cdot 9} = 9 \cdot 2 = 18 $

2. Вычислим значение второй дроби $ \frac{5,7:18,5 \cdot 3,7}{0,7 \cdot 1,9:(-2,8)} $

а) Вычислим значение числителя:

$ 5,7:18,5 \cdot 3,7 = \frac{5,7 \cdot 3,7}{18,5} = \frac{21,09}{18,5} = 1,14 $

б) Вычислим значение знаменателя:

$ 0,7 \cdot 1,9:(-2,8) = \frac{0,7 \cdot 1,9}{-2,8} = \frac{1,33}{-2,8} = -0,475 $

в) Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{1,14}{-0,475} = -\frac{1140}{475} = -\frac{228 \cdot 5}{95 \cdot 5} = -\frac{228}{95} = -\frac{12 \cdot 19}{5 \cdot 19} = -\frac{12}{5} = -2,4 $

3. Вычислим значение третьей дроби $ \frac{1\frac{5}{8}+9\frac{7}{12}-20\frac{11}{24}}{3\frac{1}{24}-1,5} $

а) Вычислим числитель, приведя дроби к общему знаменателю 24:

$ 1\frac{5}{8}+9\frac{7}{12}-20\frac{11}{24} = 1\frac{15}{24} + 9\frac{14}{24} - 20\frac{11}{24} = 10\frac{29}{24} - 20\frac{11}{24} = 11\frac{5}{24} - 20\frac{11}{24} = -(20\frac{11}{24} - 11\frac{5}{24}) = -9\frac{6}{24} = -9\frac{1}{4} $

б) Вычислим знаменатель:

$ 3\frac{1}{24}-1,5 = 3\frac{1}{24} - 1\frac{1}{2} = 3\frac{1}{24} - 1\frac{12}{24} = 2\frac{25}{24} - 1\frac{12}{24} = 1\frac{13}{24} $

в) Разделим числитель на знаменатель:

$ -9\frac{1}{4} : 1\frac{13}{24} = -\frac{37}{4} : \frac{37}{24} = -\frac{37}{4} \cdot \frac{24}{37} = -\frac{24}{4} = -6 $

4. Найдем итоговое значение выражения

Теперь объединим результаты вычислений всех трех дробей:

$ 18 + (-2,4) - (-6) = 18 - 2,4 + 6 = 15,6 + 6 = 21,6 $

5. Определим, на сколько процентов число 27 больше числа 21,6

Чтобы найти, на сколько процентов одно число больше другого, нужно их разность разделить на число, с которым производится сравнение, и результат умножить на 100%.

Найдем разность чисел: $ 27 - 21,6 = 5,4 $.

Вычислим процентное соотношение:

$ \frac{5,4}{21,6} \cdot 100\% = \frac{54}{216} \cdot 100\% $

Сократим дробь $ \frac{54}{216} $: $ 216 = 4 \cdot 54 $, следовательно $ \frac{54}{216} = \frac{1}{4} $.

$ \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% $

Ответ: на 25%.

162 На сколько процентов число 27 больше числа:

$\frac{-28\frac{3}{7} - 3,6 : (-0,09)}{0,2 \cdot 6\frac{1}{7} - 1,5 \cdot 0,2 - 0,2 \cdot 1\frac{3}{7}} + \frac{5,7 : 18,5 \cdot 3,7}{0,7 \cdot 1,9 : (-2,8)} - \frac{1\frac{5}{8} + 9\frac{7}{12} - 20\frac{11}{24}}{3\frac{1}{24} - 1,5}$

C 163 Сколько различных пар по два любых цветка в каждой можно составить из васильков, ромашек и колокольчиков? Как изменится решение, если пары можно составлять только из двух разных цветков?

У нас есть три вида цветков: василек (В), ромашка (Р) и колокольчик (К). Условие "любых" двух цветков означает, что цветки в паре могут быть как разными, так и одинаковыми.

Способ 1: Перечисление всех вариантов

Сначала составим пары из одинаковых цветков:

• Василек и Василек
• Ромашка и Ромашка
• Колокольчик и Колокольчик

Таких пар получилось 3.

Теперь составим пары из разных цветков (порядок в паре не важен, поэтому пара "василек и ромашка" — это то же самое, что "ромашка и василек"):

• Василек и Ромашка
• Василек и Колокольчик
• Ромашка и Колокольчик

Таких пар тоже 3.

Общее количество различных пар равно сумме пар из одинаковых и разных цветков: $3 + 3 = 6$.

Способ 2: Использование формулы

Эта задача относится к комбинаторике и является примером сочетаний с повторениями. Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$:

$\bar{C}_{n}^{k} = C_{n+k-1}^{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

В нашем случае количество видов цветков $n=3$, а количество цветков в паре $k=2$.

Подставим значения в формулу:

$\bar{C}_{3}^{2} = C_{3+2-1}^{2} = C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.

Ответ: можно составить 6 различных пар.

Если пары можно составлять только из двух разных цветков, то мы не рассматриваем варианты, когда оба цветка в паре одинаковые. Это означает, что из общего числа пар, найденного в первой части, нужно исключить пары из одинаковых цветков.

Способ 1: Перечисление вариантов

Мы должны составить пары только из разных цветков. Как мы уже перечислили в первом пункте, это:

• Василек и Ромашка
• Василек и Колокольчик
• Ромашка и Колокольчик

Всего получается 3 такие пары.

Способ 2: Использование формулы

Эта задача является примером сочетаний без повторений. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь, как и ранее, $n=3$ и $k=2$.

Подставим значения в формулу:

$C_{3}^{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$.

Таким образом, решение изменится: количество возможных пар уменьшится с 6 до 3.

Ответ: количество пар уменьшится до 3.

Сколько различных пар по два любых цветка в каждой можно составить из васильков, ромашек и колокольчиков? Как изменится решение, если пары можно составлять только из двух разных цветков?

164 Составь все возможные двузначные числа из цифр 1, 3, 5 и 7, если:

а) цифры в записи числа могут повторяться;

б) цифры в записи числа не повторяются.

а) цифры в записи числа могут повторяться;
Чтобы составить двузначное число из цифр 1, 3, 5, 7, нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. Всего дано 4 цифры.
Поскольку цифры в записи числа могут повторяться, для разряда десятков можно выбрать любую из 4-х цифр, и для разряда единиц также можно выбрать любую из 4-х цифр.
Общее количество возможных комбинаций равно произведению количества вариантов для каждой позиции: $4 \times 4 = 16$.
Перечислим все возможные числа:
С цифрой 1 на первом месте: 11, 13, 15, 17.
С цифрой 3 на первом месте: 31, 33, 35, 37.
С цифрой 5 на первом месте: 51, 53, 55, 57.
С цифрой 7 на первом месте: 71, 73, 75, 77.
Ответ: 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.

б) цифры в записи числа не повторяются.
В этом случае цифры в двузначном числе должны быть разными.
Для разряда десятков можно выбрать любую из 4-х данных цифр. После того как цифра для десятков выбрана, для разряда единиц останется 3 варианта, так как использованная цифра не может повторяться.
Общее количество таких чисел равно: $4 \times 3 = 12$.
Перечислим все возможные числа:
С цифрой 1 на первом месте: 13, 15, 17.
С цифрой 3 на первом месте: 31, 35, 37.
С цифрой 5 на первом месте: 51, 53, 57.
С цифрой 7 на первом месте: 71, 73, 75.
Ответ: 13, 15, 17, 31, 35, 37, 51, 53, 57, 71, 73, 75.

164 Составь все возможные двузначные числа из цифр 1, 3, 5 и 7, если:

а) цифры в записи числа могут повторяться;

б) цифры в записи числа не повторяются.