Страница 43, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

167 Построй отрицания высказываний.

1) Число 1 – простое.

2) Сумма $38 \cdot 15 + 27$ кратна 9.

3) Квадрат натурального числа может быть меньше 1.

4) Все простые числа – нечётные.

5) Любое число отлично от своего квадрата.

6) Существуют натуральные числа, сумма которых не превышает их разности.

1) Исходное высказывание: «Число 1 – простое». Отрицанием этого высказывания является утверждение, что число 1 не является простым. По определению, простое число — это натуральное число больше 1, имеющее ровно два различных натуральных делителя. Число 1 имеет только один делитель, поэтому оно не простое.
Ответ: Число 1 не является простым.

2) Исходное высказывание: «Сумма $38 \cdot 15 + 27$ кратна 9». Отрицанием является утверждение, что данная сумма не кратна 9. Чтобы проверить это, вычислим значение выражения: $38 \cdot 15 + 27 = 570 + 27 = 597$. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 597 равна $5 + 9 + 7 = 21$. Так как 21 не делится на 9, то и 597 не делится на 9.
Ответ: Сумма $38 \cdot 15 + 27$ не кратна 9.

3) Исходное высказывание: «Квадрат натурального числа может быть меньше 1». Это то же самое, что «существует натуральное число $n$, такое что $n^2 < 1$». Отрицанием этого будет: «Квадрат любого натурального числа не является меньше 1», что эквивалентно «Квадрат любого натурального числа больше или равен 1». Наименьшее натуральное число – это 1, его квадрат $1^2 = 1$. Для любого натурального числа $n > 1$, его квадрат $n^2$ будет больше 1. Таким образом, для любого натурального числа $n$ верно неравенство $n^2 \ge 1$.
Ответ: Квадрат любого натурального числа не меньше 1.

4) Исходное высказывание: «Все простые числа – нечётные». Это универсальное утверждение. Его отрицанием является утверждение о существовании исключения: «Существует простое число, которое не является нечётным», то есть «Существует чётное простое число». Таким числом является 2, так как оно простое и чётное.
Ответ: Существует простое число, которое является чётным.

5) Исходное высказывание: «Любое число отлично от своего квадрата». Это утверждение можно записать как: для любого числа $x$ верно $x \ne x^2$. Отрицанием будет: «Существует число, которое равно своему квадрату», то есть существует $x$ такой, что $x = x^2$. Решая уравнение $x^2 - x = 0$, или $x(x-1)=0$, находим два таких числа: $x=0$ и $x=1$.
Ответ: Существует число, которое равно своему квадрату.

6) Исходное высказывание: «Существуют натуральные числа, сумма которых не превышает их разности». То есть, существуют натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $a+b \le |a-b|$. Отрицанием этого будет: «Для любых натуральных чисел их сумма превышает их разность». Проверим это. Пусть $a$ и $b$ – натуральные числа. Не умаляя общности, пусть $a \ge b$. Тогда неравенство $a+b > |a-b|$ примет вид $a+b > a-b$, что равносильно $2b > 0$. Так как $b$ – натуральное число, оно положительно, и неравенство верно.
Ответ: Сумма любых двух натуральных чисел больше их разности.

167 Построй отрицания высказываний:

1) Число 1 – простое.

2) Сумма $38 \cdot 15 + 27$ кратна 9.

3) Квадрат натурального числа может быть меньше 1.

4) Все простые числа – нечетные.

5) Любое число отлично от своего квадрата.

6) Существуют натуральные числа, сумма которых не превышает их разности.

168 Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists n \in N: 2n - 5 = 12$;

2) $\forall a, b \in N: a - 1 < b + 1$;

3) $\forall x, y \in R: xy = yx (R - \text{множество дробей})$;

4) $\exists c, d \in N: c^2 = d^2 - 1$.

1) $∃n ∈ N: 2n - 5 = 12$
Данное высказывание утверждает, что существует такое натуральное число $n$ (принадлежащее множеству $N = \{1, 2, 3, ...\}$), для которого выполняется равенство $2n - 5 = 12$.
Чтобы проверить это, решим уравнение относительно $n$:
$2n = 12 + 5$
$2n = 17$
$n = \frac{17}{2} = 8.5$
Полученное значение $n = 8.5$ не является натуральным числом, так как натуральные числа — это целые положительные числа. Следовательно, не существует натурального числа $n$, удовлетворяющего данному равенству. Таким образом, высказывание ложно.
Отрицанием для высказывания с квантором существования ($∃$) является высказывание с квантором всеобщности ($∀$), а равенство заменяется на неравенство.
Отрицание: $∀n ∈ N: 2n - 5 ≠ 12$. (Для любого натурального числа $n$ неверно, что $2n - 5 = 12$).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $∀n ∈ N: 2n - 5 ≠ 12$.

2) $∀a, b ∈ N: a - 1 < b + 1$
Данное высказывание утверждает, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $a - 1 < b + 1$.
Чтобы доказать ложность высказывания с квантором всеобщности, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такую пару чисел $a$ и $b$, для которой неравенство неверно.
Возьмем, например, $a = 4$ и $b = 1$. Оба числа являются натуральными.
Подставим их в неравенство:
$4 - 1 < 1 + 1$
$3 < 2$
Полученное неравенство неверно. Так как мы нашли контрпример, исходное высказывание ложно.
Отрицанием для высказывания с квантором всеобщности ($∀$) является высказывание с квантором существования ($∃$), а знак $<$ заменяется на знак $≥$.
Отрицание: $∃a, b ∈ N: a - 1 ≥ b + 1$. (Существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, что $a - 1$ больше или равно $b + 1$).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $∃a, b ∈ N: a - 1 ≥ b + 1$.

3) $∀x, y ∈ R: xy = yx$ (R – множество дробей)
Данное высказывание утверждает, что для любых двух дробей (рациональных чисел) $x$ и $y$ их произведение не зависит от порядка множителей.
Это утверждение является формулировкой коммутативного (переместительного) закона умножения. Этот закон является одним из фундаментальных свойств для множества рациональных чисел (а также действительных и комплексных). Произведение любых двух дробей не меняется при перестановке множителей.
Например, $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$ и $\frac{5}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{21}$.
Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: высказывание истинно.

4) $∃c, d ∈ N: c^2 = d^2 - 1$
Данное высказывание утверждает, что существуют такие натуральные числа $c$ и $d$, для которых выполняется равенство $c^2 = d^2 - 1$.
Перепишем уравнение в виде: $d^2 - c^2 = 1$.
Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(d - c)(d + c) = 1$.
Поскольку $c$ и $d$ — натуральные числа, то $c ≥ 1$ и $d ≥ 1$. Это означает, что их сумма $(d+c)$ и разность $(d-c)$ являются целыми числами. Кроме того, $d + c ≥ 1 + 1 = 2$.
Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: $1 \cdot 1 = 1$ или $(-1) \cdot (-1) = 1$.
1. Система: $\begin{cases} d - c = 1 \\ d + c = 1 \end{cases}$. Сложив два уравнения, получим $2d = 2$, откуда $d = 1$. Подставив $d=1$ в любое из уравнений, найдем $c = 0$. Но $c=0$ не является натуральным числом, поэтому это решение не подходит.
2. Система: $\begin{cases} d - c = -1 \\ d + c = -1 \end{cases}$. В этом случае $d = -1$, что также не является натуральным числом.
Других целочисленных решений нет. Таким образом, не существует пары натуральных чисел $c$ и $d$, удовлетворяющих уравнению. Высказывание ложно.
Отрицание: $∀c, d ∈ N: c^2 ≠ d^2 - 1$. (Для любой пары натуральных чисел $c$ и $d$ неверно, что $c^2 = d^2 - 1$).
Ответ: высказывание ложно, отрицание: $∀c, d ∈ N: c^2 ≠ d^2 - 1$.

168 Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists n \in N: 2n-5=12;$

2) $\forall a, b \in N: a-1<b+1;$

3) $\forall x, y \in R: xy=yx$ (R - множество дробей);

4) $\exists c, d \in N: c^2=d^2-1.$

169 Запиши предложения с переменными на математическом языке. Установи их истинность или ложность для данных значений переменных.

1) Квадрат суммы чисел $a$ и $b$ равен 34 ($a = 5, b = 3$).

$(a+b)^2 = 34$

2) Разность кубов чисел $c$ и $d$ равна 7 ($c = 2, d = 1$).

$c^3 - d^3 = 7$

1) Предложение «Квадрат суммы чисел a и b равен 34» на математическом языке записывается как уравнение: $(a + b)^2 = 34$.
Проверим истинность этого утверждения для данных значений $a = 5$ и $b = 3$. Подставим значения в левую часть равенства:
$(5 + 3)^2 = 8^2 = 64$.
Теперь сравним полученный результат с правой частью уравнения: $64 = 34$.
Это равенство неверно, следовательно, утверждение является ложным.
Ответ: $(a+b)^2=34$, ложно.

2) Предложение «Разность кубов чисел c и d равна 7» на математическом языке записывается как уравнение: $c^3 - d^3 = 7$.
Проверим истинность этого утверждения для данных значений $c = 2$ и $d = 1$. Подставим значения в левую часть равенства:
$2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$.
Теперь сравним полученный результат с правой частью уравнения: $7 = 7$.
Это равенство верно, следовательно, утверждение является истинным.
Ответ: $c^3-d^3=7$, истинно.

169 Запиши предложения с переменными на математическом языке. Установи их истинность или ложность для данных значений переменных.

1) Квадрат суммы чисел a и b равен 34 ($ (a+b)^2 = 34 $) ($a = 5, b = 3$).

2) Разность кубов чисел c и d равна 7 ($ c^3 - d^3 = 7 $) ($c = 2, d = 1$).

170 1) $ (3\frac{2}{5} \cdot 2 - 5\frac{3}{4} : 1\frac{1}{12}) : 3\frac{1}{6} - 4\frac{4}{5} : 9 + 2\frac{2}{3}; $

2) $ [40 - (4,25 \cdot 7,08 + 6,768 : 0,75)] \cdot 2050. $

1) $(3\frac{2}{5} \cdot 2 - 5\frac{3}{4} : 1\frac{11}{12}) : 3\frac{1}{6} - 4\frac{4}{5} : 9 + 2\frac{2}{3}$

Решим пример по действиям, соблюдая их правильный порядок.

1. Сначала выполним действия в скобках. Для этого переведем смешанные числа в неправильные дроби.

$3\frac{2}{5} \cdot 2 = \frac{17}{5} \cdot 2 = \frac{34}{5}$

$5\frac{3}{4} : 1\frac{11}{12} = \frac{23}{4} : \frac{23}{12} = \frac{23}{4} \cdot \frac{12}{23} = \frac{12}{4} = 3$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{34}{5} - 3 = \frac{34}{5} - \frac{15}{5} = \frac{19}{5}$

3. Выполним деление результата из скобок на следующее число:

$\frac{19}{5} : 3\frac{1}{6} = \frac{19}{5} : \frac{19}{6} = \frac{19}{5} \cdot \frac{6}{19} = \frac{6}{5}$

4. Выполним следующее деление в выражении:

$4\frac{4}{5} : 9 = \frac{24}{5} : 9 = \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{9} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

5. Теперь выполним оставшиеся действия вычитания и сложения слева направо:

$\frac{6}{5} - \frac{8}{15} = \frac{18}{15} - \frac{8}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} + 2\frac{2}{3} = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

Ответ: $3\frac{1}{3}$.

2) $[40 - (4,25 \cdot 7,08 + 6,768 : 0,75)] \cdot 2050$

Решим пример по действиям, соблюдая их правильный порядок.

1. Сначала выполним действия во внутренних скобках (умножение и деление):

$4,25 \cdot 7,08 = 30,09$

$6,768 : 0,75 = 9,024$

2. Выполним сложение в скобках:

$30,09 + 9,024 = 39,114$

3. Теперь выполним вычитание в квадратных скобках:

$40 - 39,114 = 0,886$

4. Выполним последнее действие — умножение:

$0,886 \cdot 2050 = 1816,3$

Ответ: $1816,3$.

170 1) $\left(3\frac{2}{5} \cdot 2 - 5\frac{3}{4} : 1\frac{11}{12}\right) : 3\frac{1}{6} - 4\frac{4}{5} : 9 + 2\frac{2}{3};$

2) $\left[40 - (4,25 \cdot 7,08 + 6,768 : 0,75)\right] \cdot 2050.$

$2) [40 - (4,25 \cdot 7,08 + 6,768 : 0,75)] \cdot 2050.$

171 Из прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вырезали 4 равных квадрата со стороной $c$, как показано на рисунке. Составь выражения для вычисления площади и периметра получившейся фигуры. Найди их значения при $a = 10 \text{ м}, b = 6 \text{ м и } c = 1,5 \text{ м}.$

Площадь

Чтобы найти площадь получившейся фигуры, нужно из площади исходного прямоугольника вычесть площади четырех вырезанных квадратов.
Площадь исходного прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна: $S_{прямоугольника} = a \cdot b$.
Площадь одного вырезанного квадрата со стороной $c$ равна: $S_{квадрата} = c^2$.
Так как вырезали 4 одинаковых квадрата, их общая площадь составляет: $4 \cdot c^2$.
Следовательно, выражение для вычисления площади $S$ получившейся фигуры:
$S = S_{прямоугольника} - 4 \cdot S_{квадрата} = a \cdot b - 4c^2$.
Теперь найдем значение площади при $a = 10$ м, $b = 6$ м и $c = 1,5$ м:
$S = 10 \cdot 6 - 4 \cdot (1,5)^2 = 60 - 4 \cdot 2,25 = 60 - 9 = 51$ (м²).
Ответ: Выражение для площади: $S = a \cdot b - 4c^2$. Значение площади: $51$ м².

Периметр

Периметр исходного прямоугольника равен $P_{прямоугольника} = 2(a + b)$.
При вырезании квадрата из каждого угла два отрезка длиной $c$ убираются с периметра, но вместо них добавляются два новых отрезка такой же длины $c$. Таким образом, общая длина границы фигуры не изменяется.
Следовательно, периметр $P$ получившейся фигуры равен периметру исходного прямоугольника:
$P = 2(a + b)$.
Теперь найдем значение периметра при $a = 10$ м и $b = 6$ м (значение $c$ не влияет на периметр):
$P = 2(10 + 6) = 2 \cdot 16 = 32$ (м).
Ответ: Выражение для периметра: $P = 2(a + b)$. Значение периметра: $32$ м.

171 Из прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вырезали 4 равных квадрата со стороной $c$, как показано на рисунке. Составь выражения для вычисления площади и периметра получившейся фигуры. Найди их значения при $a = 10$ м, $b = 6$ м и $c = 1,5$ м.

172 Длина прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 дм, ширина составляет 0,5 длины и 0,9 высоты параллелепипеда. Какую часть объём этого параллелепипеда составляет от объёма куба с ребром 3 дм?

Для решения задачи необходимо последовательно найти все размеры прямоугольного параллелепипеда, вычислить его объём, затем вычислить объём куба и, наконец, найти отношение объёма параллелепипеда к объёму куба.

1. Нахождение размеров прямоугольного параллелепипеда

Пусть длина, ширина и высота параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$ соответственно.
Согласно условию, длина $a = 3,6$ дм.
Ширина $b$ составляет 0,5 длины. Вычислим её:
$b = 0,5 \times a = 0,5 \times 3,6 = 1,8$ дм.
Также известно, что ширина $b$ составляет 0,9 высоты $c$. Исходя из этого, найдем высоту:
$b = 0,9 \times c$
$c = \frac{b}{0,9} = \frac{1,8}{0,9} = 2$ дм.
Итак, размеры параллелепипеда: длина 3,6 дм, ширина 1,8 дм, высота 2 дм.

2. Вычисление объёма прямоугольного параллелепипеда ($V_п$)

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \times b \times c$.
$V_п = 3,6 \times 1,8 \times 2 = 6,48 \times 2 = 12,96$ дм³.

3. Вычисление объёма куба ($V_к$)

По условию, ребро куба $d$ равно 3 дм.
Объём куба вычисляется по формуле $V = d^3$.
$V_к = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$ дм³.

4. Нахождение отношения объёмов

Чтобы найти, какую часть объём параллелепипеда составляет от объёма куба, нужно найти их отношение $\frac{V_п}{V_к}$.
Отношение = $\frac{12,96}{27}$.
Для удобства представим это отношение в виде дроби из целых чисел:
$\frac{12,96}{27} = \frac{1296}{2700}$.
Теперь сократим полученную дробь. Оба числа, 1296 и 2700, делятся на 108 ($1296 = 12 \times 108$ и $2700 = 25 \times 108$).
$\frac{1296 \div 108}{2700 \div 108} = \frac{12}{25}$.
Таким образом, объём параллелепипеда составляет $\frac{12}{25}$ от объёма куба.

Ответ: $\frac{12}{25}$.

172 Длина прямоугольного параллелепипеда равна 3,6 дм, ширина составляет 0,5 длины и 0,9 высоты параллелепипеда. Какую часть объем этого параллелепипеда составляет от объема куба с ребром 3 дм?

173 Реши уравнения:

1) $15.8 - (2a + 3.6) / 0.4 = 4.8;$

2) $2.3b + 6b - 3.8b + b = 11;$

3) $1.5x + 1.2 + 2x + 0.8 = 2.7;$

4) $4y - 11 = y + 2.5.$

1) $15,8 - (2a + 3,6) : 0,4 = 4,8$

В данном уравнении выражение $(2a + 3,6) : 0,4$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого $15,8$ вычесть разность $4,8$.

$(2a + 3,6) : 0,4 = 15,8 - 4,8$

$(2a + 3,6) : 0,4 = 11$

Теперь выражение $2a + 3,6$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, нужно частное $11$ умножить на делитель $0,4$.

$2a + 3,6 = 11 \cdot 0,4$

$2a + 3,6 = 4,4$

Далее, $2a$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы $4,4$ вычесть известное слагаемое $3,6$.

$2a = 4,4 - 3,6$

$2a = 0,8$

Наконец, чтобы найти неизвестный множитель $a$, нужно произведение $0,8$ разделить на известный множитель $2$.

$a = 0,8 : 2$

$a = 0,4$

Ответ: $a = 0,4$.

2) $2,3b + 6b - 3,8b + b = 11$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые. Для этого вынесем общий множитель $b$ за скобки.

$(2,3 + 6 - 3,8 + 1)b = 11$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2,3 + 6 - 3,8 + 1 = 8,3 - 3,8 + 1 = 4,5 + 1 = 5,5$

Теперь уравнение имеет вид:

$5,5b = 11$

Чтобы найти неизвестный множитель $b$, разделим произведение $11$ на известный множитель $5,5$.

$b = 11 : 5,5$

$b = 110 : 55$

$b = 2$

Ответ: $b = 2$.

3) $1,5x + 1,2 + 2x + 0,8 = 2,7$

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые в левой части уравнения: слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые.

$(1,5x + 2x) + (1,2 + 0,8) = 2,7$

$3,5x + 2 = 2,7$

Теперь $3,5x$ — неизвестное слагаемое. Найдем его, вычтя из суммы $2,7$ известное слагаемое $2$.

$3,5x = 2,7 - 2$

$3,5x = 0,7$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение $0,7$ на известный множитель $3,5$.

$x = 0,7 : 3,5$

$x = 7 : 35$

$x = 0,2$

Ответ: $x = 0,2$.

4) $4y - 11 = y + 2,5$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $y$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе знак слагаемого меняется на противоположный.

$4y - y = 2,5 + 11$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения.

$3y = 13,5$

Чтобы найти неизвестный множитель $y$, разделим произведение $13,5$ на известный множитель $3$.

$y = 13,5 : 3$

$y = 4,5$

Ответ: $y = 4,5$.

173 Реши уравнения:

1) $15,8 - (2a + 3,6) : 0,4 = 4,8;$

2) $2,3b + 6b - 3,8b + b = 11;$

3) $1,5x + 1,2 + 2x + 0,8 = 2,7;$

4) $4y - 11 = y + 2,5.$

174 1) Сумма цифр трёхзначного числа равна 9, а произведение равно 15. Чему равно это число?

2) После того как цифры двузначного числа поменяли местами, оно увеличилось на 54. Какое это число?

1) Обозначим цифры трёхзначного числа как $a, b$ и $c$.
Согласно условию, у нас есть система из двух уравнений:
$a + b + c = 9$ (сумма цифр)
$a \cdot b \cdot c = 15$ (произведение цифр)
Цифры $a, b, c$ должны быть целыми числами от 0 до 9, при этом первая цифра $a$ не может быть нулём.
Рассмотрим второе уравнение. Нам нужно найти три однозначных множителя, произведение которых равно 15. Разложим число 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Чтобы получить три множителя, мы должны добавить 1. Таким образом, единственная комбинация цифр (без учёта порядка), произведение которых равно 15, это 1, 3 и 5.
Теперь проверим, удовлетворяет ли эта комбинация первому уравнению:
$1 + 3 + 5 = 9$
Условие выполняется.
Следовательно, искомое число состоит из цифр 1, 3 и 5. Поскольку в задаче нет других условий, любое трёхзначное число, составленное из этих цифр, является решением.
Возможные числа: 135, 153, 315, 351, 513, 531.
Ответ: 135, 153, 315, 351, 513 или 531.

2) Пусть исходное двузначное число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. Тогда его можно записать в виде $10a + b$.
Здесь $a$ - целое число от 1 до 9, а $b$ - целое число от 0 до 9.
После того как цифры поменяли местами, получилось новое число, которое можно записать как $10b + a$.
По условию, новое число на 54 больше исходного. Составим уравнение:
$(10b + a) - (10a + b) = 54$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$10b + a - 10a - b = 54$
$9b - 9a = 54$
Разделим обе части уравнения на 9:
$b - a = 6$
Теперь нам нужно найти все пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этому равенству, с учётом ограничений на $a$ и $b$.
- Если $a = 1$, то $b = 1 + 6 = 7$. Исходное число - 17. (Проверка: $71 - 17 = 54$)
- Если $a = 2$, то $b = 2 + 6 = 8$. Исходное число - 28. (Проверка: $82 - 28 = 54$)
- Если $a = 3$, то $b = 3 + 6 = 9$. Исходное число - 39. (Проверка: $93 - 39 = 54$)
Если $a \ge 4$, то $b \ge 10$, что невозможно, так как $b$ - это цифра.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют три числа.
Ответ: 17, 28 или 39.

174 1) Сумма цифр трехзначного числа равна 9, а произведение равно 15. Чему равно это число?

$a+b+c=9$

$abc=15$

2) После того как цифры двузначного числа поменяли местами, оно увеличилось на 54. Какое это число?

$(10b+a) - (10a+b) = 54$

175 Переведи условие задачи на математический язык.

Путь от А до В велосипедист проехал за 5 ч, а мотоциклист – за 2 ч. Скорость мотоциклиста на 23,4 км/ч больше скорости велосипедиста. Чему равно расстояние от А до В?

Обозначим:

Расстояние от А до В: $S$ (км)

Скорость велосипедиста: $v_в$ (км/ч)

Скорость мотоциклиста: $v_м$ (км/ч)

Время в пути велосипедиста: $t_в = 5$ (ч)

Время в пути мотоциклиста: $t_м = 2$ (ч)

Уравнения, описывающие условие задачи:

$S = v_в \cdot t_в \implies S = 5 v_в$

$S = v_м \cdot t_м \implies S = 2 v_м$

$v_м - v_в = 23.4$

Найти: $S$

Переведите условие задачи на математический язык.

Для перевода условия задачи на математический язык введем следующие переменные:

• $S$ – искомое расстояние от А до В (в км);
• $v_в$ – скорость велосипедиста (в км/ч);
• $v_м$ – скорость мотоциклиста (в км/ч);
• $t_в = 5$ ч – время движения велосипедиста;
• $t_м = 2$ ч – время движения мотоциклиста.

Используя основную формулу движения $S = v \cdot t$ (расстояние = скорость × время) и данные из условия, составим систему уравнений:

1. Расстояние, которое проехал велосипедист: $S = v_в \cdot 5$.
2. Расстояние, которое проехал мотоциклист: $S = v_м \cdot 2$.
3. Связь между скоростями: скорость мотоциклиста на 23,4 км/ч больше скорости велосипедиста, что можно записать как $v_м = v_в + 23,4$.

Ответ: Условие задачи на математическом языке можно представить в виде следующей системы уравнений:

$ \begin{cases} S = 5v_в \\ S = 2v_м \\ v_м = v_в + 23,4 \end{cases} $

Чему равно расстояние от А до В?

Для нахождения расстояния $S$ решим составленную систему уравнений. Для этого выразим скорости через расстояние из первых двух уравнений:

$v_в = \frac{S}{5}$

$v_м = \frac{S}{2}$

Теперь подставим эти выражения в третье уравнение системы $v_м = v_в + 23,4$:

$\frac{S}{2} = \frac{S}{5} + 23,4$

Мы получили линейное уравнение с одной переменной $S$. Решим его. Для избавления от дробей умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5, то есть на 10:

$10 \cdot \frac{S}{2} = 10 \cdot \frac{S}{5} + 10 \cdot 23,4$

$5S = 2S + 234$

Перенесем слагаемые, содержащие $S$, в левую часть уравнения:

$5S - 2S = 234$

$3S = 234$

Найдем $S$:

$S = \frac{234}{3}$

$S = 78$

Таким образом, расстояние от А до В равно 78 км.

Проверка:

Найдем скорости велосипедиста и мотоциклиста:

$v_в = \frac{S}{5} = \frac{78}{5} = 15,6$ км/ч.

$v_м = \frac{S}{2} = \frac{78}{2} = 39$ км/ч.

Проверим, выполняется ли условие о разнице скоростей:

$v_м - v_в = 39 - 15,6 = 23,4$ км/ч.

Условие выполняется, значит, задача решена верно.

Ответ: 78 км.

175 Переведи условие задачи на математический язык:

Путь от $A$ до $B$ велосипедист проехал за 5 ч, а мотоциклист – за 2 ч. Скорость мотоциклиста на 23,4 км/ч больше скорости велосипедиста. Чему равно расстояние от $A$ до $B$?

165 Каждая из зависимостей, приведённых в таблице, является прямой или обратной пропорциональностью. Установи вид зависимости, запиши её формулу и заполни пустые клетки.

1)

Формула: $y = 2.8x$

2)

Формула: $y = \frac{30}{x}$

3)

Формула: $y = 5x$

4)

Формула: $y = \frac{8}{x}$

1)

Чтобы определить вид зависимости, проверим отношение $y/x$ и произведение $x \cdot y$ для известных пар значений.

Проверим отношение: $2,8 / 1 = 2,8$; $5,6 / 2 = 2,8$.

Так как отношение $y/x$ постоянно, это прямая пропорциональность. Коэффициент пропорциональности $k = 2,8$.

Формула зависимости: $y = 2,8x$.

Теперь найдем значения для пустых клеток:

При $x = 3$, $y = 2,8 \cdot 3 = 8,4$.

При $x = 4$, $y = 2,8 \cdot 4 = 11,2$.

При $x = 5$, $y = 2,8 \cdot 5 = 14$.

При $x = 6$, $y = 2,8 \cdot 6 = 16,8$.

Ответ: В пустые клетки нужно вписать числа 8,4; 11,2; 14; 16,8.

2)

Проверим отношение $y/x$ и произведение $x \cdot y$.

Проверим произведение: $0,5 \cdot 60 = 30$; $1 \cdot 30 = 30$.

Так как произведение $x \cdot y$ постоянно, это обратная пропорциональность. Коэффициент пропорциональности $k = 30$.

Формула зависимости: $y = 30/x$.

Найдем значения для пустых клеток:

При $x = 1,5$, $y = 30 / 1,5 = 20$.

При $x = 2$, $y = 30 / 2 = 15$.

При $x = 2,5$, $y = 30 / 2,5 = 12$.

При $x = 3$, $y = 30 / 3 = 10$.

Ответ: В пустые клетки нужно вписать числа 20; 15; 12; 10.

3)

Проверим отношение $y/x$ для известных пар значений (0,8; 4) и (3,2; 16).

$4 / 0,8 = 5$; $16 / 3,2 = 5$.

Отношение $y/x$ постоянно, следовательно, это прямая пропорциональность с коэффициентом $k = 5$.

Формула зависимости: $y = 5x$.

Найдем значения для пустых клеток:

При $x = 4,8$, $y = 5 \cdot 4,8 = 24$.

При $y = 20$, $x = 20 / 5 = 4$.

При $x = 2,4$, $y = 5 \cdot 2,4 = 12$.

При $y = 8$, $x = 8 / 5 = 1,6$.

Ответ: В пустые клетки нужно вписать (по порядку): 24; 4; 12; 1,6.

4)

Проверим произведение $x \cdot y$ для известных пар значений (2; 4) и (0,2; 40).

$2 \cdot 4 = 8$; $0,2 \cdot 40 = 8$.

Произведение $x \cdot y$ постоянно, следовательно, это обратная пропорциональность с коэффициентом $k = 8$.

Формула зависимости: $y = 8/x$.

Найдем значения для пустых клеток:

При $y = 0,5$, $x = 8 / 0,5 = 16$.

При $x = 1$, $y = 8 / 1 = 8$.

При $y = 3,2$, $x = 8 / 3,2 = 2,5$.

При $x = 0,8$, $y = 8 / 0,8 = 10$.

Ответ: В пустые клетки нужно вписать (по порядку): 16; 8; 2,5; 10.

165 Каждая из зависимостей, приведенных в таблице, является прямой или обратной пропорциональностью. Установи вид зависимости, запиши ее формулу и заполни пустые клетки:

1) x: 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 2,8, 5,6, 8,4, 11,2, 14,0, 16,8

Формула: $y = 2.8x$

2) x: 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5, 3

y: 60, 30, 20, 15, 12, 10

Формула: $y = \frac{30}{x}$

3) x: 0,8, 3,2, 4,8, 4, 2,4, 1,6

y: 4, 16, 24, 20, 12, 8

Формула: $y = 5x$

4) x: 2, 0,2, 16, 1, 2,5, 0,8

y: 4, 40, 0,5, 8, 3,2, 10

Формула: $y = \frac{8}{x}$

166 Реши задачу двумя способами.

1) Имеется 100 г 30%-го раствора соли. Его смешали с 200 г воды. Чему равна концентрация полученного раствора?

2) К 300 г 20%-го сахарного сиропа добавили 100 г воды. Чему равна концентрация полученного сиропа?

1)

Способ 1: Через нахождение массы растворенного вещества

1. Сначала найдем массу соли в исходном 30%-ом растворе. Для этого умножим массу раствора на концентрацию, выраженную в долях.
Масса соли: $m_{соли} = 100 \text{ г} \times 0,30 = 30 \text{ г}$.

2. Затем найдем общую массу нового раствора после добавления воды. Она равна сумме масс исходного раствора и добавленной воды.
Общая масса нового раствора: $m_{раствора} = 100 \text{ г} + 200 \text{ г} = 300 \text{ г}$.

3. Теперь можно найти концентрацию нового раствора. Масса соли осталась прежней (30 г), а масса раствора стала 300 г. Концентрация — это отношение массы соли к общей массе раствора, умноженное на 100%.
Новая концентрация: $C_{новая} = \frac{30 \text{ г}}{300 \text{ г}} \times 100\% = 0,1 \times 100\% = 10\%$.

Ответ: 10%

Способ 2: Через пропорциональное изменение концентрации

1. Определим, во сколько раз увеличилась общая масса раствора при добавлении воды.
Начальная масса: $m_{1} = 100 \text{ г}$.
Конечная масса: $m_{2} = 100 \text{ г} + 200 \text{ г} = 300 \text{ г}$.
Масса раствора увеличилась в $k = \frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{300 \text{ г}}{100 \text{ г}} = 3$ раза.

2. Так как количество растворенной соли не изменилось, а общая масса раствора увеличилась в 3 раза, то концентрация соли должна уменьшиться во столько же раз.
Новая концентрация: $C_{новая} = \frac{30\%}{3} = 10\%$.

Ответ: 10%

2)

Способ 1: Через нахождение массы растворенного вещества

1. Найдем массу сахара в исходном 20%-ом сиропе.
Масса сахара: $m_{сахара} = 300 \text{ г} \times 0,20 = 60 \text{ г}$.

2. Найдем общую массу нового сиропа после добавления 100 г воды.
Общая масса нового сиропа: $m_{сиропа} = 300 \text{ г} + 100 \text{ г} = 400 \text{ г}$.

3. Рассчитаем новую концентрацию сиропа. Масса сахара осталась 60 г.
Новая концентрация: $C_{новая} = \frac{60 \text{ г}}{400 \text{ г}} \times 100\% = \frac{6}{40} \times 100\% = 0,15 \times 100\% = 15\%$.

Ответ: 15%

Способ 2: Через пропорциональное изменение концентрации

1. Определим, во сколько раз увеличилась общая масса сиропа.
Начальная масса: $m_{1} = 300 \text{ г}$.
Конечная масса: $m_{2} = 300 \text{ г} + 100 \text{ г} = 400 \text{ г}$.
Масса сиропа увеличилась в $k = \frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{400 \text{ г}}{300 \text{ г}} = \frac{4}{3}$ раза.

2. Поскольку количество сахара не изменилось, концентрация уменьшится в $\frac{4}{3}$ раза.
Новая концентрация: $C_{новая} = 20\% \div \frac{4}{3} = 20\% \times \frac{3}{4} = \frac{60\%}{4} = 15\%$.

Ответ: 15%

166 Реши задачу двумя способами:

1) Имеется 100 граммов 30%-го раствора соли. Его смешали с 200 граммами воды. Чему равна концентрация полученного раствора?

2) К 300 граммам 20%-го сахарного сиропа добавили 100 граммов воды. Чему равна концентрация полученного сиропа?

167. Какое выражение может быть «лишним»:

1) $\frac{a}{b+c}$; $\frac{a+b}{c}$; $a : (b+c)$; $(a+b) : c$; $a + b : c$

2) $a : c - b : c$; $\frac{a-b}{c}$; $a - b : c$; $\frac{a}{c} - \frac{b}{c}$; $(a-b) : c?$

1)

Для того чтобы определить "лишнее" выражение, проанализируем каждое из них, приведя их к единому виду. Знак ":" и дробная черта обозначают деление. Важно также учитывать порядок действий: деление и умножение выполняются перед сложением и вычитанием.

• $\frac{a}{b+c}$ — это частное от деления $a$ на сумму $(b+c)$.
• $\frac{a+b}{c}$ — это частное от деления суммы $(a+b)$ на $c$.
• $a:(b+c)$ — то же самое, что и $\frac{a}{b+c}$.
• $(a+b):c$ — то же самое, что и $\frac{a+b}{c}$.
• $a+b:c$ — согласно порядку действий, сначала выполняется деление $b$ на $c$, а затем сложение. Выражение равно $a + \frac{b}{c}$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что:

• Выражения $\frac{a}{b+c}$ и $a:(b+c)$ эквивалентны.
• Выражения $\frac{a+b}{c}$ и $(a+b):c$ эквивалентны.
• Выражение $a+b:c$ (т.е. $a + \frac{b}{c}$) не эквивалентно ни одному из остальных.

Таким образом, выражение $a+b:c$ является "лишним", поскольку оно единственное, которое не образует пару эквивалентных выражений, а также по своей структуре является суммой, в то время как остальные четыре выражения представляют собой частное.

Ответ: $a+b:c$

2)

Проанализируем второй набор выражений аналогичным образом. Приведем их к единой форме записи и сравним.

• $a:c - b:c$ — разность двух частных, что равно $\frac{a}{c} - \frac{b}{c}$.
• $\frac{a-b}{c}$ — частное от деления разности $(a-b)$ на $c$.
• $a-b:c$ — согласно порядку действий, сначала выполняется деление, затем вычитание. Выражение равно $a - \frac{b}{c}$.
• $\frac{a}{c} - \frac{b}{c}$ — разность двух дробей.
• $(a-b):c$ — то же самое, что и $\frac{a-b}{c}$.

Теперь воспользуемся свойством дробей, согласно которому $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$. Сравним все выражения:

• $a:c - b:c = \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$
• $\frac{a-b}{c}$
• $a - b:c = a - \frac{b}{c}$
• $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$
• $(a-b):c = \frac{a-b}{c}$

Видно, что первое, второе, четвертое и пятое выражения математически эквивалентны. Третье выражение, $a-b:c$, в общем случае не равно остальным. Например, при $a=10, b=4, c=2$ выражение $a-b:c = 10 - 4:2 = 10-2=8$, а выражение $(a-b):c = (10-4):2 = 6:2=3$.

Следовательно, "лишним" является выражение $a-b:c$.

Ответ: $a-b:c$

167 Какое выражение может быть "лишним":

1) $\frac{a}{b + c}$; $\frac{a + b}{c}$; $a : (b + c)$; $(a + b) : c$; $a + b : c$;

2) $a : c - b : c$; $\frac{a - b}{c}$; $a - b : c$; $\frac{a}{c} - \frac{b}{c}$; $(a - b) : c$?

168 Найди x из пропорции:

1) $ \frac{x}{0,3} = \frac{2}{0,01} $;

2) $ \frac{1\frac{1}{7}}{8x} = \frac{\frac{5}{12}}{4\frac{2}{3}} $;

3) $ \frac{x - 3,8}{3x} = \frac{0,4}{5} $.

1) $\frac{x}{0,3} = \frac{2}{0,01}$

Для решения данной пропорции воспользуемся основным свойством пропорции (правилом перекрестного умножения), согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$x \cdot 0,01 = 0,3 \cdot 2$

Выполним умножение в правой части уравнения:

$0,01x = 0,6$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,01$:

$x = \frac{0,6}{0,01}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$x = \frac{0,6 \cdot 100}{0,01 \cdot 100} = \frac{60}{1} = 60$

Ответ: $60$

2) $\frac{1\frac{1}{7}}{8x} = \frac{\frac{5}{12}}{4\frac{2}{3}}$

В первую очередь преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Теперь подставим полученные дроби в исходную пропорцию:

$\frac{\frac{8}{7}}{8x} = \frac{\frac{5}{12}}{\frac{14}{3}}$

Упростим обе части пропорции. Левая часть:

$\frac{\frac{8}{7}}{8x} = \frac{8}{7} \div 8x = \frac{8}{7} \cdot \frac{1}{8x} = \frac{1}{7x}$

Правая часть:

$\frac{\frac{5}{12}}{\frac{14}{3}} = \frac{5}{12} \div \frac{14}{3} = \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{14} = \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 14} = \frac{5}{4 \cdot 14} = \frac{5}{56}$

Пропорция принимает вид:

$\frac{1}{7x} = \frac{5}{56}$

Снова применяем правило перекрестного умножения:

$1 \cdot 56 = 7x \cdot 5$

$56 = 35x$

Находим $x$:

$x = \frac{56}{35}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:

$x = \frac{56 \div 7}{35 \div 7} = \frac{8}{5}$

Ответ: $\frac{8}{5}$

3) $\frac{x - 3,8}{3x} = \frac{0,4}{5}$

Применим основное свойство пропорции:

$5 \cdot (x - 3,8) = 3x \cdot 0,4$

Раскроем скобки в левой части и выполним умножение в правой:

$5x - 5 \cdot 3,8 = 1,2x$

$5x - 19 = 1,2x$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$5x - 1,2x = 19$

$3,8x = 19$

Чтобы найти $x$, разделим 19 на 3,8:

$x = \frac{19}{3,8}$

Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{19 \cdot 10}{3,8 \cdot 10} = \frac{190}{38}$

Выполним деление:

$x = 5$

Ответ: $5$

168 Найди x из пропорции:

1) $ \frac{x}{0,3} = \frac{2}{0,01} $;

2) $ \frac{1\frac{1}{7}}{8x} = \frac{\frac{5}{12}}{4\frac{2}{3}} $;

3) $ \frac{x - 3,8}{3x} = \frac{0,4}{5} $.

169 3

1) Поезд проходит расстояние между двумя станциями за 3,2 ч. Сколько времени ему понадобится, чтобы пройти с той же скоростью путь:

а) в 4 раза меньший;

б) в 2,5 раза больший?

2) Бригада рабочих отремонтировала некоторый участок дороги за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на ремонт этого участка бригаде, производительность которой:

а) на 20 % выше;

б) на 50 % ниже?

1)

Поскольку скорость поезда остается неизменной, время, затраченное на путь, прямо пропорционально пройденному расстоянию. Исходное время составляет 3,2 часа.

а) Если путь в 4 раза меньше, то и времени на его преодоление потребуется в 4 раза меньше.

$3,2 / 4 = 0,8$ (ч).

Ответ: 0,8 ч.

б) Если путь в 2,5 раза больше, то и времени потребуется в 2,5 раза больше.

$3,2 \times 2,5 = 8$ (ч).

Ответ: 8 ч.

2)

Объем работы по ремонту участка дороги является постоянной величиной. Время, необходимое для выполнения работы, и производительность труда являются обратно пропорциональными величинами. Изначально на ремонт требовалось 12 дней.

а) Производительность выросла на 20%, то есть стала составлять $100\% + 20\% = 120\%$, или 1,2 от первоначальной. Так как зависимость обратная, время выполнения работы уменьшится в 1,2 раза.

$12 / 1,2 = 10$ (дней).

Ответ: 10 дней.

б) Производительность снизилась на 50%, то есть стала составлять $100\% - 50\% = 50\%$, или 0,5 от первоначальной. Так как зависимость обратная, время выполнения работы увеличится во столько раз, во сколько уменьшилась производительность.

$12 / 0,5 = 24$ (дня).

Ответ: 24 дня.

$^3$

169 1) Поезд проходит расстояние между двумя станциями за 3,2 ч. Сколько времени ему понадобится, чтобы пройти с той же скоростью путь:

a) в 4 раза меньший;

б) в 2,5 раза больший?

2) Бригада рабочих отремонтировала некоторый участок дороги за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на ремонт этого участка бригаде, производительность которой:

а) на 20% выше;

б) на 50% ниже?

170. По таблице установи вид зависимости между величинами, если известно, что она является прямой или обратной пропорциональностью. Построй формулу и график этой зависимости.

1) Прямая пропорциональность. Формула: $y = 3x$.

2) Обратная пропорциональность. Формула: $y = \frac{18}{x}$.

1)

Чтобы определить вид зависимости, проверим, является ли отношение $y/x$ или произведение $x \cdot y$ постоянной величиной для всех пар значений из таблицы.

Найдем отношение $y$ к $x$ для каждой пары значений:

$3 \div 1 = 3$
$6 \div 2 = 3$
$9 \div 3 = 3$
$12 \div 4 = 3$
$15 \div 5 = 3$
$18 \div 6 = 3$

Поскольку отношение $\frac{y}{x}$ постоянно и равно 3, данная зависимость является прямой пропорциональностью. Коэффициент пропорциональности $k=3$.

Формула этой зависимости имеет вид: $y = kx$. Подставив найденный коэффициент, получаем:

$y = 3x$

Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат (0,0) и точки, указанные в таблице: (1, 3), (2, 6), (3, 9) и т.д.

Ответ: Прямая пропорциональность, формула $y = 3x$, график — прямая линия, проходящая через начало координат и, например, точку (1, 3).

2)

Чтобы определить вид зависимости, проверим, является ли отношение $y/x$ или произведение $x \cdot y$ постоянной величиной для всех пар значений из таблицы.

Сначала проверим отношение $y/x$:

$18 \div 1 = 18$
$9 \div 2 = 4,5$
Отношение не является постоянным, значит, это не прямая пропорциональность.

Теперь найдем произведение $x \cdot y$ для каждой пары значений:

$1 \cdot 18 = 18$
$2 \cdot 9 = 18$
$3 \cdot 6 = 18$
$4 \cdot 4,5 = 18$
$6 \cdot 3 = 18$
$9 \cdot 2 = 18$
$18 \cdot 1 = 18$

Поскольку произведение $x \cdot y$ постоянно и равно 18, данная зависимость является обратной пропорциональностью. Коэффициент пропорциональности $k=18$.

Формула этой зависимости имеет вид: $y = \frac{k}{x}$. Подставив найденный коэффициент, получаем:

$y = \frac{18}{x}$

Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Так как все значения $x$ и $y$ в таблице положительны, ветвь гиперболы будет расположена в первой координатной четверти и проходить через точки, указанные в таблице: (1, 18), (2, 9), (3, 6) и т.д.

Ответ: Обратная пропорциональность, формула $y = \frac{18}{x}$, график — гипербола.

170 По таблице установи вид зависимости между величинами, если известно, что она является прямой или обратной пропорциональностью. Построй формулу и график этой зависимости.

1) x: 1, 2, 3, 4, 5, 6

y: 3, 6, 9, 12, 15, 18

2) x: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18

y: 18, 9, 6, 4,5, 3, 2, 1

171 Реши задачу двумя способами.

Смешали 200 г 25 %-го раствора серной кислоты и 300 г воды. Чему равна концентрация полученного раствора?

Способ 1
1. Найдем массу серной кислоты (растворенного вещества) в исходном 25%-м растворе. Массовая доля вещества ($ \omega $) — это отношение массы вещества к массе всего раствора.
Формула для расчета массы вещества: $ m_{вещества} = m_{раствора} \times \omega $.
$ m_{H_2SO_4} = 200 \text{ г} \times 25\% = 200 \text{ г} \times 0.25 = 50 \text{ г} $.
2. Определим массу конечного раствора. Она складывается из массы исходного раствора и массы добавленной воды.
$ m_{конечного \ раствора} = m_{исходного \ раствора} + m_{воды} $.
$ m_{конечного \ раствора} = 200 \text{ г} + 300 \text{ г} = 500 \text{ г} $.
3. Рассчитаем концентрацию (массовую долю) серной кислоты в полученном растворе. Масса растворенного вещества (50 г) не изменилась, а масса раствора увеличилась.
Формула для расчета массовой доли: $ \omega_{конечная} = \frac{m_{вещества}}{m_{конечного \ раствора}} \times 100\% $.
$ \omega_{конечная} = \frac{50 \text{ г}}{500 \text{ г}} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\% $.
Ответ: концентрация полученного раствора равна 10%.

Способ 2
Этот способ основан на том, что масса растворенного вещества (серной кислоты) при добавлении воды не меняется. Массу вещества в исходном и конечном растворах можно выразить через массу раствора и массовую долю, что приводит к равенству:
$ m_{раствора1} \times \omega_1 = m_{раствора2} \times \omega_2 $.
Где:
$m_{раствора1}$ — масса исходного раствора (200 г),
$\omega_1$ — концентрация исходного раствора (25% или 0.25),
$m_{раствора2}$ — масса конечного раствора ($ 200 \text{ г} + 300 \text{ г} = 500 \text{ г} $),
$\omega_2$ — искомая конечная концентрация.
Выразим из этой формулы конечную концентрацию $ \omega_2 $:
$ \omega_2 = \frac{m_{раствора1} \times \omega_1}{m_{раствора2}} $.
Подставим числовые значения, используя концентрацию $ \omega_1 $ в долях единицы:
$ \omega_2 = \frac{200 \text{ г} \times 0.25}{500 \text{ г}} = \frac{50 \text{ г}}{500 \text{ г}} = 0.1 $.
Чтобы выразить результат в процентах, умножим его на 100%:
$ 0.1 \times 100\% = 10\% $.
Ответ: концентрация полученного раствора равна 10%.

171 Реши задачу двумя способами:

Смешали 200 граммов 25%-го раствора серной кислоты и 300 граммов воды.

Чему равна концентрация полученного раствора?

C 172 Найди наименьшее число, которое начинается с цифр 2008 и делится на все числа от 1 до 9.

Пусть искомое число – это $N$. Согласно условию задачи, число $N$ должно удовлетворять двум требованиям:1) $N$ начинается с цифр 2008.2) $N$ делится на все целые числа от 1 до 9.

Рассмотрим второе условие. Если число делится на все числа от 1 до 9, то оно должно делиться и на их наименьшее общее кратное (НОК). Найдем НОК для чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для этого разложим числа на простые множители:$4 = 2^2$; $6 = 2 \cdot 3$; $8 = 2^3$; $9 = 3^2$. Остальные числа (2, 3, 5, 7) – простые.

Для нахождения НОК нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:$НОК(1, ..., 9) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$.

Следовательно, искомое число $N$ должно быть кратно 2520, то есть иметь вид $N = 2520 \cdot k$, где $k$ – некоторое натуральное число.

Теперь воспользуемся первым условием: число $N$ должно начинаться с цифр 2008. Это означает, что $N$ должно находиться в одном из следующих промежутков: $[2008, 2009)$, $[20080, 20090)$, $[200800, 200900)$ и так далее. Мы ищем наименьшее такое число, поэтому будем последовательно проверять эти промежутки, чтобы найти наименьшее натуральное $k$, для которого число $N = 2520 \cdot k$ попадает в один из них.

1. Проверим промежуток $[20080, 20090)$.Ищем такое целое $k$, что $20080 \le 2520 \cdot k < 20090$.Разделим неравенство на 2520:$\frac{20080}{2520} \le k < \frac{20090}{2520}$$7.968... \le k < 7.972...$В этом промежутке нет целых значений $k$.

2. Проверим промежуток $[200800, 200900)$.Ищем такое целое $k$, что $200800 \le 2520 \cdot k < 200900$.Разделим неравенство на 2520:$\frac{200800}{2520} \le k < \frac{200900}{2520}$$79.68... \le k < 79.72...$В этом промежутке также нет целых значений $k$.

3. Проверим промежуток $[2008000, 2009000)$.Ищем такое целое $k$, что $2008000 \le 2520 \cdot k < 2009000$.Разделим неравенство на 2520:$\frac{2008000}{2520} \le k < \frac{2009000}{2520}$$796.82... \le k < 797.22...$В этом промежутке есть одно целое значение: $k=797$.

Мы нашли наименьшее подходящее значение $k$, следовательно, оно даст нам наименьшее искомое число $N$.Вычислим $N$:$N = 2520 \cdot k = 2520 \cdot 797 = 2008440$.

Проверим: число 2008440 начинается с 2008 и делится на 2520, а значит, и на все числа от 1 до 9. Это наименьшее такое число, так как мы нашли его при наименьшем возможном $k$.

Ответ: 2008440

c 172 Найди наименьшее число, которое начинается с цифр 2008 и делится на все числа от 1 до 9.

194 a) Какие зависимости между величинами называются прямой и обратной пропорциональностью? Приведи примеры этих зависимостей и запиши их формулы.

б) Какие из приведённых ниже зависимостей между величинами являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим?

1. $t = \frac{40}{v}$

2. $s = 7t$

3. $A = \frac{1}{3}v$

4. $C = \frac{2n}{5}$

5. $P = 4a$

6. $a = \frac{1.2}{b}$

7. $S = a^2$

8. $m = 2 + n$

9. $xy = 5$

а)

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Отношение соответствующих значений таких величин постоянно.
Формула прямой пропорциональности: $y = kx$, где $x$ и $y$ — переменные величины, а $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности ($k \neq 0$).
Пример: Зависимость стоимости $C$ товара от его количества $n$ при постоянной цене. Если цена одного карандаша 5 рублей, то стоимость $n$ карандашей выражается формулой $C = 5n$. При увеличении количества карандашей в 2 раза (с 2 до 4 штук) их стоимость также увеличится в 2 раза (с 10 до 20 рублей).

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Произведение соответствующих значений таких величин постоянно.
Формула обратной пропорциональности: $y = \frac{k}{x}$, где $x$ и $y$ — переменные величины, а $k$ — постоянный коэффициент ($k \neq 0$). Эту формулу также можно записать как $xy = k$.
Пример: Зависимость скорости движения $v$ от времени $t$ при прохождении фиксированного расстояния. Чтобы проехать расстояние 100 км, автомобилю со скоростью 50 км/ч потребуется 2 часа, а со скоростью 100 км/ч — 1 час. Зависимость выражается формулой $t = \frac{100}{v}$. При увеличении скорости в 2 раза время в пути уменьшается в 2 раза.

Ответ: Прямая пропорциональность — это зависимость вида $y = kx$, при которой во сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз увеличивается и другая. Пример: зависимость пройденного пути от времени при постоянной скорости ($s=vt$). Обратная пропорциональность — это зависимость вида $y = \frac{k}{x}$, при которой во сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз уменьшается другая. Пример: зависимость скорости от времени при прохождении фиксированного пути ($v=\frac{s}{t}$).

б)

Проанализируем каждую зависимость:

1. $t = \frac{40}{v}$ — зависимость вида $y = \frac{k}{x}$ (где $y=t, x=v, k=40$). Это обратная пропорциональность.
2. $s = 7t$ — зависимость вида $y = kx$ (где $y=s, x=t, k=7$). Это прямая пропорциональность.
3. $A = \frac{1}{3}v$ — зависимость вида $y = kx$ (где $y=A, x=v, k=\frac{1}{3}$). Это прямая пропорциональность.
4. $C = \frac{2n}{5}$ — можно записать как $C = \frac{2}{5}n$. Зависимость вида $y = kx$ (где $y=C, x=n, k=\frac{2}{5}$). Это прямая пропорциональность.
5. $P = 4a$ — зависимость вида $y = kx$ (где $y=P, x=a, k=4$). Это прямая пропорциональность.
6. $a = 1,2 : b$ — можно записать как $a = \frac{1.2}{b}$. Зависимость вида $y = \frac{k}{x}$ (где $y=a, x=b, k=1.2$). Это обратная пропорциональность.
7. $S = a^2$ — не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью. При увеличении $a$ в 2 раза, величина $S$ увеличивается в 4 раза ($S_2 = (2a)^2 = 4a^2 = 4S_1$). Это ни то, ни другое.
8. $m = 2 + n$ — не является прямой пропорциональностью, так как при $n=0$, $m=2$, а не 0. Отношение $\frac{m}{n}$ не является постоянным. Это ни то, ни другое.
9. $xy = 5$ — можно записать как $y = \frac{5}{x}$. Зависимость вида $y = \frac{k}{x}$ (где $k=5$). Это обратная пропорциональность.

Ответ:
Прямая пропорциональность: 2 ($s=7t$), 3 ($A=\frac{1}{3}v$), 4 ($C=\frac{2n}{5}$), 5 ($P=4a$).
Обратная пропорциональность: 1 ($t=\frac{40}{v}$), 6 ($a=1,2:b$), 9 ($xy=5$).
Не является ни тем, ни другим: 7 ($S=a^2$), 8 ($m=2+n$).

194 a) Какие зависимости между величинами называются прямой и обратной пропорциональностью? Приведи примеры этих зависимостей и запиши их формулы.

б) Какие из приведенных ниже зависимостей между величинами являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим?

1 $t = \frac{40}{v}$

2 $s = 7t$

3 $A = \frac{1}{3}v$

4 $C = \frac{2n}{5}$

5 $P = 4a$

6 $a = \frac{1.2}{b}$

7 $S = a^2$

8 $m = 2 + n$

9 $xy = 5$

195 Определи вид зависимости между величинами и реши задачи:

a) Тракторист должен был вспахать поле за 5 дней. Но он обрабатывал в день на 2 га больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на день раньше. Чему равна площадь поля, если тракторист работал равномерно?

b) Пешеход за 40 мин прошёл 30 % всего пути, а ещё через час ему осталось пройти всего 3 км. С какой скоростью он шёл, если скорость его была постоянной?

В задаче а) рассматривается зависимость между производительностью труда (площадь, вспахиваемая за день) и временем выполнения работы. При неизменном общем объёме работы (площадь поля) эти величины являются обратно пропорциональными: чем выше производительность, тем меньше времени требуется для выполнения работы.

В задаче б) рассматривается зависимость между расстоянием и временем при постоянной скорости. Эти величины являются прямо пропорциональными: чем больше времени движется пешеход, тем большее расстояние он проходит.

а)

Пусть $x$ га/день — это запланированная производительность тракториста. По плану он должен был работать 5 дней, следовательно, площадь поля $S$ можно выразить как:
$S = 5x$

Фактически тракторист обрабатывал на 2 га в день больше, то есть его производительность была $(x + 2)$ га/день. Он закончил работу на день раньше, то есть за $5 - 1 = 4$ дня. Значит, площадь поля $S$ также можно выразить как:
$S = 4(x + 2)$

Так как площадь поля не менялась, приравняем два полученных выражения:
$5x = 4(x + 2)$
$5x = 4x + 8$
$5x - 4x = 8$
$x = 8$

Мы нашли запланированную производительность — 8 га/день. Теперь рассчитаем площадь поля, используя любую из формул:
$S = 5 \cdot 8 = 40$ га.

Ответ: 40 га.

б)

Пусть $S$ км — это длина всего пути, а $v$ км/ч — постоянная скорость пешехода.

За первые 40 минут ($40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$) пешеход прошёл 30% пути, то есть расстояние $0.3S$ км. Скорость пешехода $v$ можно выразить через эти величины:
$v = \frac{0.3S}{2/3}$

Через ещё один час общее время в пути составило $40 \text{ мин} + 1 \text{ ч} = 100 \text{ мин}$. Переведём это время в часы: $100 \text{ мин} = \frac{100}{60} \text{ ч} = \frac{5}{3} \text{ ч}$. За это время ему осталось пройти 3 км, значит, он преодолел расстояние $(S - 3)$ км. Выразим скорость $v$ через эти новые данные:
$v = \frac{S - 3}{5/3}$

Поскольку скорость была постоянной, мы можем приравнять два выражения для $v$:
$\frac{0.3S}{2/3} = \frac{S - 3}{5/3}$

Решим это уравнение. Для начала "перевернём" дроби в знаменателях:
$0.3S \cdot \frac{3}{2} = (S - 3) \cdot \frac{3}{5}$
Можно умножить обе части на $\frac{1}{3}$:
$\frac{0.3S}{2} = \frac{S - 3}{5}$
Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрёстное умножение):
$5 \cdot 0.3S = 2 \cdot (S - 3)$
$1.5S = 2S - 6$
$6 = 2S - 1.5S$
$6 = 0.5S$
$S = \frac{6}{0.5} = 12$ км.

Общая длина пути составляет 12 км. Теперь найдём скорость, подставив значение $S$ в одно из выражений для $v$:
$v = \frac{12 - 3}{5/3} = \frac{9}{5/3} = 9 \cdot \frac{3}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$ км/ч.

Ответ: 5,4 км/ч.

195 Определи вид зависимости между величинами и реши задачи:

а) Тракторист должен был вспахать поле за 5 дней. Но он обрабатывал в день на 2 га больше, чем предполагал, и поэтому закончил работу на день раньше.
Чему равна площадь поля, если тракторист работал равномерно?

б) Пешеход за 40 мин прошел 30% всего пути, а еще через час ему осталось пройти всего 3 км. С какой скоростью он шел, если скорость его была постоянной?

D 196 a) Раcшифруй имена известных учёных. Прочитай о них в энциклопедии.

$(-2; 2)$, $(2; 0)$, $(4; -3)$, $(2; -2)$, $(0; 0)$, $(-2; 2)$

$(4; 2)$, $(-3; 4)$, $(-4; -3)$, $(3; -4)$, $(-3; 4)$, $(5; 1)$, $(2; 0)$

$(2; -2)$, $(0; 0)$, $(2; 4)$, $(2; 4)$, $(-5; 1)$, $(-3; -4)$, $(0; 2)$, $(5; 1)$, $(5; 1)$, $(-5; 1)$

б) Муравей шагает по сторонам клеток, $1$ сторона клетки $= 1$ шаг. Найди длину кратчайшего маршрута Муравья в шагах: из С в П, из Е в Л, из Ю в А.

а)

Для расшифровки имен сначала определим координаты всех букв, отмеченных на координатной плоскости:

• А: $(-2; 4)$
• Б: $(2; 0)$
• Е: $(1; 2)$
• И: $(-4; 1)$
• К: $(3; -3)$
• Л: $(5; 1)$
• Н: $(-1; 2)$
• О: $(0; 0)$
• П: $(4; 2)$
• Р: $(3; 4)$
• С: $(-3; -2)$
• Т: $(3; -2)$
• Ч: $(-2; -3)$
• Ю: $(2; -3)$

В таблицах с координатами для расшифровки имен содержатся ошибки. Ниже приведена расшифровка имен на основе наиболее вероятных исправлений.

Первое имя:

Заданные координаты в таблице: $(-2; 2), (2; 0), (4; -3), (2; -2), (0; 0), (-2; 2)$.
Расшифрованное имя: Ньютон. Для этого имени правильные координаты букв должны быть:

• Н: $(-1; 2)$
• Ю: $(2; -3)$ (вместо буквы Ь)
• Т: $(3; -2)$
• О: $(0; 0)$
• Н: $(-1; 2)$

Ответ: Ньютон.

Второе имя:

Заданные координаты в таблице: $(4; 2), (-3; 4), (-4; -3), (3; -4), (-3; 4), (5; 1), (2; 0)$.
Расшифрованное имя: Паскаль. Для этого имени правильные координаты букв должны быть:

• П: $(4; 2)$
• А: $(-2; 4)$
• С: $(-3; -2)$
• К: $(3; -3)$
• А: $(-2; 4)$
• Л: $(5; 1)$

Ответ: Паскаль.

Третье имя:

Заданные координаты в таблице: $(2; -2), (0; 0), (2; 4), (2; 4), (-5; 1), (-3; -4), (0; 2), (5; 1), (5; 1), (-5; 1)$.
Расшифрованное имя: Королёв. Для этого имени правильные координаты букв должны быть:

• К: $(3; -3)$
• О: $(0; 0)$
• Р: $(3; 4)$
• О: $(0; 0)$
• Л: $(5; 1)$
• Ё: $(1; 2)$ (используем букву Е)
• В: (буква отсутствует на графике)

Ответ: Королёв.

б)

Длина кратчайшего маршрута муравья, который шагает по сторонам клеток, вычисляется как сумма модулей разностей координат (манхэттенское расстояние). Формула для расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$.

из С в П

Координаты точек: С$(-3; -2)$ и П$(4; 2)$.
Длина маршрута = $|4 - (-3)| + |2 - (-2)| = |4 + 3| + |2 + 2| = 7 + 4 = 11$ шагов.
Ответ: 11 шагов.

из Е в Л

Координаты точек: Е$(1; 2)$ и Л$(5; 1)$.
Длина маршрута = $|5 - 1| + |1 - 2| = |4| + |-1| = 4 + 1 = 5$ шагов.
Ответ: 5 шагов.

из Ю в А

Координаты точек: Ю$(2; -3)$ и А$(-2; 4)$.
Длина маршрута = $|-2 - 2| + |4 - (-3)| = |-4| + |4 + 3| = 4 + 7 = 11$ шагов.
Ответ: 11 шагов.

D 196 Расшифруй имена известных ученых. Прочитай о них в энциклопедии.

Координаты точек на графике:

• A: $(-2, 4)$
• И: $(-4, 2)$
• Н: $(-2, 2)$
• E: $(0, 2)$
• О: $(0, 0)$
• Б: $(2, 0)$
• П: $(2, 4)$
• Л: $(4, 1)$
• С: $(-3, -2)$
• Ч: $(-2, -3)$
• Т: $(2, -2)$
• Ю: $(3, -3)$
• К: $(2, -4)$

Набор координат 1:

$(-2; 2)$, $(2; 0)$, $(4; -3)$, $(2; -2)$, $(0; 0)$, $(-2; 2)$

Набор координат 2:

$(4; 2)$, $(-3; 4)$, $(-4; -3)$, $(3; -4)$, $(-3; 4)$, $(5; 1)$, $(2; 0)$

Набор координат 3:

$(2; -2)$, $(0; 0)$, $(2; 4)$, $(2; 4)$, $(-5; 1)$, $(-3; -4)$, $(0; 2)$, $(5; 1)$, $(5; 1)$, $(-5; 1)$

197 Построй ломаную линию по координатам её вершин. Что получилось?

$A_1 (0; -1)$, $A_2 (-4; -1)$, $A_3 (-4; 0)$, $A_4 (-5; 1)$, $A_5 (-4; 2)$, $A_6 (-5; 3)$, $A_7 (-4; 4)$,
$A_8 (-5; 5)$, $A_9 (-4; 6)$, $A_{10} (-5; 7)$, $A_{11} (-4; 8)$, $A_{12} (-5; 9)$, $A_{13} (-4; 10)$, $A_{14} (-5; 11)$,
$A_{15} (-4; 12)$, $A_{16} (-3; 11)$, $A_{17} (-1; 13)$, $A_{18} (0; 11)$, $A_{19} (2; 12)$, $A_{20} (2; 11)$, $A_{21} (4; 11)$,
$A_{22} (0; 9)$, $A_{23} (0; -1)$, $A_{24} (2; -1)$, $A_{25} (2; -2)$, $A_{26} (4; -2)$, $A_{27} (4; -1)$, $A_{28} (3; -1)$,
$A_{29} (2; 0)$, $A_{30} (2; 6)$, $A_{31} (4; 7)$, $A_{32} (3; 8)$, $A_{33} (3; 9)$, $A_{34} (2; 10)$.

Для построения ломаной линии необходимо последовательно отметить на координатной плоскости все заданные точки от $A_1$ до $A_{34}$ и соединить их отрезками в указанном порядке (точку $A_1$ с $A_2$, $A_2$ с $A_3$, и так далее до $A_{33}$ с $A_{34}$).

Проанализируем построение фигуры по частям:

1. Первый крупный сегмент ломаной, от точки $A_1(0; -1)$ до точки $A_{23}(0; -1)$, формирует основной замкнутый контур фигуры.

• Отрезок $A_1A_2$ образует нижнюю часть стержня.
• Ломаная линия от $A_2(-4; -1)$ до $A_{15}(-4; 12)$ представляет собой левую зубчатую сторону стержня ключа.
• Участок от $A_{15}(-4; 12)$ до $A_{21}(4; 11)$ вырисовывает сложную фигурную головку (ушко) ключа.
• Линия от $A_{21}(4; 11)$ через $A_{22}(0; 9)$ к $A_{23}(0; -1)$ формирует правую сторону головки и стержня. Поскольку точка $A_{23}$ имеет те же координаты, что и $A_1$, контур замыкается.

2. Второй сегмент, продолжающийся от точки $A_{23}(0; -1)$ до $A_{29}(2; 0)$, рисует бородку ключа — характерные выступы на его рабочем конце.

3. Третий и последний сегмент, от $A_{29}(2; 0)$ до $A_{34}(2; 10)$, изображает линию внутри контура ключа, которая является частью стержня и заканчивается узором внутри головки.

Таким образом, если соединить все точки последовательно, на координатной плоскости получится изображение старинного ключа.

Ответ: Получилось изображение ключа.

197 a) Построй ломаную линию по координатам ее вершин. Что получилось?

$A_1 (0; -1)$, $A_2 (-4; -1)$, $A_3 (-4; 0)$, $A_4 (-5; 1)$, $A_5 (-4; 2)$, $A_6 (-5; 3)$, $A_7 (-4; 4)$, $A_8 (-5; 5)$, $A_9 (-4; 6)$, $A_{10} (-5; 7)$, $A_{11} (-4; 8)$, $A_{12} (-5; 9)$, $A_{13} (-4; 10)$, $A_{14} (-5; 11)$, $A_{15} (-4; 12)$, $A_{16} (-3; 11)$, $A_{17} (-1; 13)$, $A_{18} (0; 11)$, $A_{19} (2; 12)$, $A_{20} (2; 11)$, $A_{21} (4; 11)$, $A_{22} (0; 9)$, $A_{23} (0; -1)$, $A_{24} (2; -1)$, $A_{25} (2; -2)$, $A_{26} (4; -2)$, $A_{27} (4; -1)$, $A_{28} (3; -1)$, $A_{29} (2; 0)$, $A_{30} (2; 6)$, $A_{31} (4; 7)$, $A_{32} (3; 8)$, $A_{33} (3; 9)$, $A_{34} (2; 10)$.

б) Начерти на координатной плоскости фигуру, составленную из ломаных линий, и закодируй ее с помощью координат.