Страница 45, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

K 173 Построй формулу, описывающую зависимость между величинами во всех четырёх задачах. Какая это зависимость? $y = 6x$. Построй её таблицу и график и реши с помощью графика все четыре задачи одновременно.

1) Лыжник идёт со скоростью 6 км/ч. Какое расстояние он пройдёт за 2,5 ч? За какое время он пройдёт 27 км?

2) Литр питьевой воды стоит 6 р. Сколько надо заплатить за 2,5 л питьевой воды? Сколько питьевой воды можно купить на 27 р.?

3) Через кран поступает в минуту 6 л воды. Сколько воды поступит через кран за 2,5 мин? За сколько времени через кран поступит 27 л воды?

4) Минутная стрелка поворачивается за 1 мин на угол 6°. На какой угол повернётся она за 2,5 мин? За сколько времени повернётся минутная стрелка на угол 27°?

Во всех четырех задачах мы видим одну и ту же зависимость между двумя величинами. Если обозначить одну величину через $x$, а другую через $y$, то их связь можно описать общей формулой.

Формула: $y = 6x$

Тип зависимости: Это прямая пропорциональность. Величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$. Коэффициент пропорциональности $k=6$.

Таблица значений:

График зависимости:

Графиком функции $y = 6x$ является прямая линия, проходящая через начало координат (точку (0;0)) и точки, указанные в таблице, например, (1;6), (2;12) и т.д. Так как в контексте задач величины $x$ и $y$ не могут быть отрицательными, график представляет собой луч, выходящий из начала координат.

Решение задач с помощью графика:

Чтобы решить задачи, находим на оси $x$ значение 2,5, поднимаемся до графика и смотрим соответствующее значение на оси $y$ — это 15. Чтобы найти $x$, когда $y=27$, находим на оси $y$ значение 27, движемся до графика и опускаемся на ось $x$ — получаем 4,5.

1) Лыжник идёт со скоростью 6 км/ч. Какое расстояние он пройдёт за 2,5 ч? За какое время он пройдёт 27 км?

Здесь $x$ — время в часах (t), $y$ — расстояние в км (S). Формула: $S = 6t$.
- Если $t = 2,5$ ч, то $S = 6 \cdot 2,5 = 15$ км.
- Если $S = 27$ км, то $27 = 6 \cdot t$, откуда $t = \frac{27}{6} = 4,5$ ч.

Ответ: За 2,5 ч лыжник пройдёт 15 км; 27 км он пройдёт за 4,5 часа.

2) Литр питьевой воды стоит 6 р. Сколько надо заплатить за 2,5 л питьевой воды? Сколько питьевой воды можно купить на 27 р.?

Здесь $x$ — количество воды в литрах (V), $y$ — стоимость в рублях (C). Формула: $C = 6V$.
- Если $V = 2,5$ л, то $C = 6 \cdot 2,5 = 15$ р.
- Если $C = 27$ р., то $27 = 6 \cdot V$, откуда $V = \frac{27}{6} = 4,5$ л.

Ответ: За 2,5 л воды надо заплатить 15 рублей; на 27 рублей можно купить 4,5 л воды.

3) Через кран поступает в минуту 6 л воды. Сколько воды поступит через кран за 2,5 мин? За сколько времени через кран поступит 27 л воды?

Здесь $x$ — время в минутах (t), $y$ — объём воды в литрах (V). Формула: $V = 6t$.
- Если $t = 2,5$ мин, то $V = 6 \cdot 2,5 = 15$ л.
- Если $V = 27$ л, то $27 = 6 \cdot t$, откуда $t = \frac{27}{6} = 4,5$ мин.

Ответ: За 2,5 мин поступит 15 л воды; 27 л воды поступит за 4,5 минуты.

4) Минутная стрелка поворачивается за 1 мин на угол 6°. На какой угол повернётся она за 2,5 мин? За сколько времени повернётся минутная стрелка на угол 27°?

Здесь $x$ — время в минутах (t), $y$ — угол поворота в градусах (A). Формула: $A = 6t$.
- Если $t = 2,5$ мин, то $A = 6 \cdot 2,5 = 15^{\circ}$.
- Если $A = 27^{\circ}$, то $27 = 6 \cdot t$, откуда $t = \frac{27}{6} = 4,5$ мин.

Ответ: За 2,5 мин стрелка повернётся на 15°; на угол 27° стрелка повернётся за 4,5 минуты.

K 173 Построй формулу, описывающую зависимости между величинами во всех четырех задачах. Какая это зависимость? Построй ее таблицу и график и реши с помощью графика все четыре задачи одновременно.

1) Лыжник идет со скоростью 6 км/ч. Какое расстояние он пройдет за 2,5 ч? За какое время он пройдет 27 км?

2) Литр питьевой воды стоит 6 р. Сколько надо заплатить за 2,5 л питьевой воды? Сколько питьевой воды можно купить на 27 р.?

3) Через кран поступает в минуту 6 л воды. Сколько воды поступит через кран за 2,5 мин? За сколько времени через кран поступит 27 л воды?

4) Минутная стрелка поворачивается за 1 мин на угол $6^\circ$. На какой угол повернется она за 2,5 мин? За сколько времени повернется минутная стрелка на угол $27^\circ$?

174 Построй на одном чертеже графики зависимостей:

$y = 0,5x$, $y = x$, $y = 2x$, $y = 4x$, $y = 5x$.

Рассмотри их расположение и сделай вывод.

Построение графиков

Все заданные функции имеют вид $y=kx$. Это функции прямой пропорциональности. Их графиками являются прямые линии, проходящие через начало координат — точку $(0,0)$.

Для построения каждой прямой нам нужна еще одна точка. Найдем координаты второй точки для каждой функции, выбрав удобное значение $x$ (например, $x=1$ или $x=2$) и вычислив соответствующее значение $y$.

• Для $y = 0,5x$:
  Если $x=2$, то $y = 0,5 \cdot 2 = 1$. Получаем точку $(2,1)$.
• Для $y = x$:
  Если $x=1$, то $y = 1$. Получаем точку $(1,1)$.
• Для $y = 2x$:
  Если $x=1$, то $y = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем точку $(1,2)$.
• Для $y = 4x$:
  Если $x=1$, то $y = 4 \cdot 1 = 4$. Получаем точку $(1,4)$.
• Для $y = 5x$:
  Если $x=1$, то $y = 5 \cdot 1 = 5$. Получаем точку $(1,5)$.

Теперь, имея по две точки для каждой функции (первая — $(0,0)$), мы можем построить все пять прямых на одной координатной плоскости.

Ответ: Графики построены на чертеже выше.

Расположение графиков и вывод

Проанализируем расположение построенных графиков:

1. Все графики являются прямыми линиями, проходящими через начало координат $(0,0)$.

2. Коэффициенты $k$ во всех функциях ($0,5; 1; 2; 4; 5$) положительны ($k > 0$), поэтому все графики расположены в I и III координатных четвертях.

3. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой относительно положительного направления оси абсцисс (оси $Ox$).

Сравнивая графики, мы видим, что чем больше значение коэффициента $k$, тем "круче" идет график. Прямая $y=0,5x$ (с наименьшим $k=0,5$) является самой пологой, а прямая $y=5x$ (с наибольшим $k=5$) — самой крутой, то есть она расположена ближе всего к оси ординат (оси $Oy$).

Вывод: У всех функций вида $y=kx$ с положительным коэффициентом $k$ график представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Чем больше значение коэффициента $k$, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$, и тем "круче" идет график, приближаясь к оси $Oy$.

Ответ: Все графики являются прямыми, проходящими через начало координат. С увеличением положительного коэффициента $k$ в уравнении $y=kx$ график становится круче, то есть угол наклона к оси $Ox$ увеличивается.

174 Построй на одном чертеже графики зависимостей:

$y = 0.5x$, $y = x$, $y = 2x$, $y = 4x$, $y = 5x$.

Рассмотри их расположение и сделай вывод.

207* Когда трёхзначное число, у которого цифры сотен и десятков одинаковые, а цифра единиц равна 5, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Чему равны делимое, делитель и частное?

Обозначим искомые величины. Пусть делимое — это $D$, делитель — $d$, частное — $q$. По условию задачи:

• Делимое $D$ — это трёхзначное число, у которого цифры сотен и десятков одинаковы, а цифра единиц равна 5. Если обозначить одинаковые цифры сотен и десятков буквой $a$ (где $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9), то число можно записать в виде $\overline{aa5}$. В математической форме это выражается как $D = 100 \cdot a + 10 \cdot a + 5 = 110a + 5$.
• Делитель $d$ — это однозначное число, то есть $d \in \{1, 2, ..., 9\}$.
• При делении $D$ на $d$ в остатке получается 8.

Основное свойство деления с остатком можно записать формулой:

$D = d \cdot q + R$,

где $R$ — остаток. В нашем случае $R=8$.

Подставим известные значения в формулу:

$110a + 5 = d \cdot q + 8$

Важным правилом деления с остатком является то, что остаток всегда должен быть меньше делителя ($R < d$).

Поскольку остаток равен 8, то $8 < d$. Учитывая, что $d$ — это однозначное число, единственное возможное значение для $d$ — это 9.

Итак, мы нашли делитель: $d = 9$.

Теперь подставим значение $d=9$ в наше уравнение:

$110a + 5 = 9 \cdot q + 8$

Преобразуем уравнение, чтобы выразить произведение $9 \cdot q$:

$9 \cdot q = 110a + 5 - 8$

$9 \cdot q = 110a - 3$

Из этого уравнения следует, что выражение $(110a - 3)$ должно быть кратно 9. Чтобы проверить делимость на 9, можно использовать признак делимости: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Будем поочередно подставлять возможные значения для $a$ (от 1 до 9) и проверять это условие.

• Если $a=1$, то $110 \cdot 1 - 3 = 107$. Сумма цифр $1+0+7=8$, не делится на 9.
• Если $a=2$, то $110 \cdot 2 - 3 = 217$. Сумма цифр $2+1+7=10$, не делится на 9.
• Если $a=3$, то $110 \cdot 3 - 3 = 327$. Сумма цифр $3+2+7=12$, не делится на 9.
• Если $a=4$, то $110 \cdot 4 - 3 = 437$. Сумма цифр $4+3+7=14$, не делится на 9.
• Если $a=5$, то $110 \cdot 5 - 3 = 547$. Сумма цифр $5+4+7=16$, не делится на 9.
• Если $a=6$, то $110 \cdot 6 - 3 = 657$. Сумма цифр $6+5+7=18$. $18$ делится на 9, значит, это значение $a$ нам подходит.

Продолжать перебор нет необходимости, так как в подобных задачах обычно предполагается единственное решение. Мы нашли, что $a=6$.

Теперь мы можем найти делимое и частное:

Делимое: $D = 110a + 5 = 110 \cdot 6 + 5 = 660 + 5 = 665$.

Делитель: $d = 9$.

Частное: $q = (110a - 3) / 9 = 657 / 9 = 73$.

Проверим результат: $665 \div 9 = 73$ и $8$ в остатке. ($9 \times 73 + 8 = 657 + 8 = 665$).

Ответ: делимое равно 665, делитель равен 9, частное равно 73.

207 Когда трехзначное число, у которого цифры сотен и десятков одинаковые, а цифра единиц равна 5, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Чему равны делимое, делитель и частное?