Страница 39, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

143 Прочитай высказывания и построй их отрицания:

1) $\forall m \in N: m^2 = 2m;$

2) $\forall n \in N: n^2 \ne 1;$

3) $\forall x, y \in N: xy \ge x + y;$

4) $\forall k \in N: 5 < k \le 10;$

5) $\exists m \in N: m^3 \ne m \cdot m \cdot m;$

6) $\exists n \in N: 5 - n = 6;$

7) $\exists x, y \in N: x + y < 2;$

8) $\exists k \in N: 2 < k < 3.$

1) Исходное высказывание: $ \forall m \in N: m^2 = 2m $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $m$ верно, что $m$ в квадрате равно $2m$".
Для построения отрицания необходимо заменить квантор всеобщности ($ \forall $, "для любого") на квантор существования ($ \exists $, "существует") и само утверждение ($m^2 = 2m$) на противоположное ($m^2 \neq 2m$).
В результате получаем высказывание: $ \exists m \in N: m^2 \neq 2m $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $m$, для которого $m$ в квадрате не равно $2m$".
Ответ: $ \exists m \in N: m^2 \neq 2m $

2) Исходное высказывание: $ \forall n \in N: n^2 \neq 1 $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $n$ верно, что его квадрат не равен 1".
Для построения отрицания заменяем квантор всеобщности ($ \forall $) на квантор существования ($ \exists $) и утверждение ($n^2 \neq 1$) на противоположное ($n^2 = 1$).
В результате получаем высказывание: $ \exists n \in N: n^2 = 1 $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $n$, квадрат которого равен 1".
Ответ: $ \exists n \in N: n^2 = 1 $

3) Исходное высказывание: $ \forall x, y \in N: xy \ge x + y $.
Оно читается как: "Для любых натуральных чисел $x$ и $y$ верно, что их произведение больше или равно их сумме".
Для построения отрицания заменяем квантор всеобщности ($ \forall $) на квантор существования ($ \exists $) и утверждение ($xy \ge x + y$) на противоположное ($xy < x + y$).
В результате получаем высказывание: $ \exists x, y \in N: xy < x + y $.
Оно читается как: "Существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что их произведение меньше их суммы".
Ответ: $ \exists x, y \in N: xy < x + y $

4) Исходное высказывание: $ \forall k \in N: 5 < k \le 10 $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $k$ верно, что $k$ строго больше 5 и меньше или равно 10".
Для построения отрицания заменяем квантор всеобщности ($ \forall $) на квантор существования ($ \exists $). Утверждение $5 < k \le 10$ является двойным неравенством, что эквивалентно системе $k > 5$ и $k \le 10$. Отрицанием этого является $k \le 5$ или $k > 10$.
В результате получаем высказывание: $ \exists k \in N: k \le 5 \lor k > 10 $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $k$, которое меньше или равно 5, или больше 10".
Ответ: $ \exists k \in N: k \le 5 \lor k > 10 $

5) Исходное высказывание: $ \exists m \in N: m^3 \neq m \cdot m \cdot m $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $m$, что его куб не равен произведению $m \cdot m \cdot m$".
Для построения отрицания необходимо заменить квантор существования ($ \exists $) на квантор всеобщности ($ \forall $) и само утверждение ($m^3 \neq m \cdot m \cdot m$) на противоположное ($m^3 = m \cdot m \cdot m$).
В результате получаем высказывание: $ \forall m \in N: m^3 = m \cdot m \cdot m $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $m$ верно, что его куб равен произведению $m \cdot m \cdot m$".
Ответ: $ \forall m \in N: m^3 = m \cdot m \cdot m $

6) Исходное высказывание: $ \exists n \in N: 5 - n = 6 $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $n$, что разность 5 и $n$ равна 6".
Для построения отрицания заменяем квантор существования ($ \exists $) на квантор всеобщности ($ \forall $) и утверждение ($5 - n = 6$) на противоположное ($5 - n \neq 6$).
В результате получаем высказывание: $ \forall n \in N: 5 - n \neq 6 $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $n$ верно, что разность 5 и $n$ не равна 6".
Ответ: $ \forall n \in N: 5 - n \neq 6 $

7) Исходное высказывание: $ \exists x, y \in N: x + y < 2 $.
Оно читается как: "Существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что их сумма меньше 2".
Для построения отрицания заменяем квантор существования ($ \exists $) на квантор всеобщности ($ \forall $) и утверждение ($x + y < 2$) на противоположное ($x + y \ge 2$).
В результате получаем высказывание: $ \forall x, y \in N: x + y \ge 2 $.
Оно читается как: "Для любых натуральных чисел $x$ и $y$ верно, что их сумма больше или равна 2".
Ответ: $ \forall x, y \in N: x + y \ge 2 $

8) Исходное высказывание: $ \exists k \in N: 2 < k < 3 $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $k$, которое строго больше 2 и строго меньше 3".
Для построения отрицания заменяем квантор существования ($ \exists $) на квантор всеобщности ($ \forall $). Утверждение $2 < k < 3$ является двойным неравенством, что эквивалентно системе $k > 2$ и $k < 3$. Отрицанием этого является $k \le 2$ или $k \ge 3$.
В результате получаем высказывание: $ \forall k \in N: k \le 2 \lor k \ge 3 $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $k$ верно, что $k$ меньше или равно 2, или $k$ больше или равно 3".
Ответ: $ \forall k \in N: k \le 2 \lor k \ge 3 $

143. Прочитай высказывания и построй их отрицания:

1) $\forall m \in N: m^2 = 2m;$

2) $\forall n \in N: n^2 \neq 1;$

3) $\forall x, y \in N: xy \ge x + y;$

4) $\forall k \in N: 5 < k \le 10;$

5) $\exists m \in N: m^3 \neq m \cdot m \cdot m;$

6) $\exists n \in N: 5 - n = 6;$

7) $\exists x, y \in N: x + y < 2;$

8) $\exists k \in N: 2 < k < 3.$

144 Опровергни утверждения и запиши их отрицания на математическом языке ($R$ – множество дробей):

1) $\forall n \in N: n$ – простое;

2) $\forall k \in N: k < k^2$;

3) $\forall a, b \in N:$ НОД $(a, b) = 1$;

4) $\forall x, y \in R: (x - y)^2 \neq x^2 - y^2$;

5) $\exists n \in N: n^3 = 3$;

6) $\exists k \in N: k^2 > k^3$;

7) $\exists a, b \in N:$ НОК $(a, b) = a - b$;

8) $\exists x, y \in R: (x + y)^2 \neq x^2 + 2xy + y^2$.

1) Утверждение $\forall n \in N: n$ - простое, является ложным. Для его опровержения достаточно привести контрпример. Возьмем натуральное число $n=4$. Число 4 не является простым, так как оно делится не только на 1 и на себя, но и на 2. Отрицанием исходного утверждения является существование натурального числа, которое не является простым.
Ответ: $\exists n \in N: n \text{ - не простое}$.

2) Утверждение $\forall k \in N: k < k^2$, является ложным. Контрпримером является $k=1$. Для $k=1$ неравенство принимает вид $1 < 1^2$, что равносильно $1 < 1$. Это неверно. Отрицанием исходного утверждения является существование натурального числа $k$, для которого $k \ge k^2$.
Ответ: $\exists k \in N: k \ge k^2$.

3) Утверждение $\forall a, b \in N: \text{НОД}(a, b) = 1$, является ложным. Контрпример: пусть $a=2$ и $b=4$. Оба числа натуральные, но их наибольший общий делитель $\text{НОД}(2, 4) = 2$, что не равно 1. Отрицанием является существование пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых не равен 1.
Ответ: $\exists a, b \in N: \text{НОД}(a, b) \ne 1$.

4) Утверждение $\forall x, y \in R: (x-y)^2 \ne x^2 - y^2$, является ложным. Чтобы его опровергнуть, нужно найти такие $x, y \in R$, для которых $(x-y)^2 = x^2 - y^2$. Раскроем скобки: $x^2 - 2xy + y^2 = x^2 - y^2$, что упрощается до $2y^2 - 2xy = 0$, или $2y(y-x) = 0$. Это равенство верно, если $y=0$ или $y=x$. Например, при $x=1, y=0$, получаем $(1-0)^2 = 1$ и $1^2-0^2=1$. Отрицанием является существование $x, y$ из $R$, для которых равенство выполняется.
Ответ: $\exists x, y \in R: (x-y)^2 = x^2 - y^2$.

5) Утверждение $\exists n \in N: n^3 = 3$, является ложным. Не существует натурального числа, куб которого равен 3. Проверим первые натуральные числа: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$. Поскольку функция $f(n)=n^3$ является возрастающей для натуральных $n$, и $1 < 3 < 8$, то натурального $n$, удовлетворяющего условию, нет. Отрицанием будет утверждение, что для любого натурального $n$ его куб не равен 3.
Ответ: $\forall n \in N: n^3 \ne 3$.

6) Утверждение $\exists k \in N: k^2 > k^3$, является ложным. Так как $k \in N$, то $k > 0$, и можно разделить неравенство $k^2 > k^3$ на $k^2$. Получим $1 > k$. Однако в множестве натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ нет чисел, меньших 1. Следовательно, такое $k$ не существует. Отрицанием является утверждение, что для любого натурального $k$ выполняется обратное неравенство.
Ответ: $\forall k \in N: k^2 \le k^3$.

7) Утверждение $\exists a, b \in N: \text{НОК}(a, b) = a - b$, является ложным. По определению, наименьшее общее кратное $\text{НОК}(a, b)$ должно быть кратно $a$, поэтому $\text{НОК}(a, b) \ge a$. С другой стороны, разность $a-b$ должна быть положительной (т.к. НОК > 0), что означает $a > b$. Но если $a > b$, то $a - b < a$. Таким образом, мы приходим к противоречию $\text{НОК}(a, b) \ge a$ и $\text{НОК}(a, b) < a$. Таких чисел $a,b$ не существует. Отрицанием является то, что для любых натуральных $a, b$ это равенство неверно.
Ответ: $\forall a, b \in N: \text{НОК}(a, b) \ne a - b$.

8) Утверждение $\exists x, y \in R: (x+y)^2 \ne x^2 + 2xy + y^2$, является ложным. Равенство $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ — это формула квадрата суммы, которая является тождеством и верна для любых чисел, в том числе и для всех $x, y$ из множества дробей $R$. Поэтому не существует такой пары чисел, для которой это равенство не выполнялось бы. Отрицанием является то, что данное равенство верно для всех $x, y$ из $R$.
Ответ: $\forall x, y \in R: (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

144 Опровергни утверждения и запиши их отрицания на математическом языке

($R$ – множество дробей):

1) $\forall n \in N$: n – простое;

2) $\forall k \in N$: $k < k^2$;

3) $\forall a, b \in N$: НОД $(a, b) = 1$;

4) $\forall x, y \in R$: $(x - y)^2 \neq x^2 - y^2$;

5) $\exists n \in N$: $n^3 = 3$;

6) $\exists k \in N$: $k^2 > k^3$;

7) $\exists a, b \in N$: НОК $(a, b) = a - b$;

8) $\exists x, y \in R$: $(x + y)^2 \neq x^2 + 2xy + y^2$.

145 Придумай и запиши с помощью кванторов: а) общее высказывание; б) высказывание о существовании. Построй отрицание каждого из этих высказываний.

а) общее высказывание

В качестве общего высказывания рассмотрим утверждение: "Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом".

Введем предикат $P(x) = \{x^2 \ge 0\}$, определенный на множестве действительных чисел $\mathbb{R}$. Тогда данное высказывание можно записать с помощью квантора всеобщности $\forall$ (для любого, для каждого):

$\forall x \in \mathbb{R} : (x^2 \ge 0)$.

Теперь построим отрицание этого высказывания. Отрицание общего высказывания является высказыванием о существовании. Для построения отрицания используется правило: $\neg(\forall x P(x)) \Leftrightarrow \exists x \neg P(x)$.

Отрицанием предиката $P(x)$, то есть $\neg P(x)$, будет высказывание $x^2 < 0$.

Следовательно, отрицание исходного высказывания в словесной форме: "Существует такое действительное число, квадрат которого отрицателен".

В символьной форме отрицание выглядит так:

$\exists x \in \mathbb{R} : (x^2 < 0)$.

Ответ: Исходное высказывание: $\forall x \in \mathbb{R} : (x^2 \ge 0)$. Его отрицание: $\exists x \in \mathbb{R} : (x^2 < 0)$.

б) высказывание о существовании

В качестве высказывания о существовании рассмотрим утверждение: "Существует натуральное число, являющееся корнем уравнения $x - 3 = 0$".

Введем предикат $Q(x) = \{x - 3 = 0\}$, определенный на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$. Тогда данное высказывание можно записать с помощью квантора существования $\exists$ (существует, найдется):

$\exists x \in \mathbb{N} : (x - 3 = 0)$.

Теперь построим отрицание этого высказывания. Отрицание высказывания о существовании является общим высказыванием. Для построения отрицания используется правило: $\neg(\exists x Q(x)) \Leftrightarrow \forall x \neg Q(x)$.

Отрицанием предиката $Q(x)$, то есть $\neg Q(x)$, будет высказывание $x - 3 \neq 0$.

Следовательно, отрицание исходного высказывания в словесной форме: "Любое натуральное число не является корнем уравнения $x - 3 = 0$".

В символьной форме отрицание выглядит так:

$\forall x \in \mathbb{N} : (x - 3 \neq 0)$.

Ответ: Исходное высказывание: $\exists x \in \mathbb{N} : (x - 3 = 0)$. Его отрицание: $\forall x \in \mathbb{N} : (x - 3 \neq 0)$.

145 Придумай и запиши с помощью кванторов:

а) общее высказывание;

б) высказывание о существовании.

Построй отрицание каждого из этих высказываний.

146 Докажи или опровергни высказывания. Построй отрицания ложных высказываний.

1) Существуют числа, квадрат которых больше их куба.

2) Все трёхзначные числа делятся на 3.

3) Элементы множества $A = \{8, 15, 31, 49\}$, взятые попарно, являются взаимно простыми числами.

4) В множестве $B = \{345, 505 050, 222 555, 15 150\}$ есть числа, не кратные 15.

5) Сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

6) Сумма двух чётных чисел может быть числом нечётным.

7) Натуральные решения неравенства $7 < x \le 12$ – составные числа.

8) Среди решений неравенства $20 - 3x > 4$ есть числа, большие 5.

1) Существуют числа, квадрат которых больше их куба.

Высказывание истинно. Рассмотрим число $x$, для которого должно выполняться неравенство $x^2 > x^3$.

Перенесём все члены в одну сторону: $x^2 - x^3 > 0$.

Вынесем общий множитель: $x^2(1 - x) > 0$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x \ne 0$ и $1 - x > 0$. Из второго условия получаем $x < 1$.

Таким образом, неравенство выполняется для любого числа $x$ из интервала $(0, 1)$ или для любого отрицательного числа $x$.

Например, возьмём число $x = 0.5$. Его квадрат $(0.5)^2 = 0.25$, а его куб $(0.5)^3 = 0.125$. Так как $0.25 > 0.125$, высказывание доказано.

Другой пример, возьмём $x = -2$. Его квадрат $(-2)^2 = 4$, а его куб $(-2)^3 = -8$. Так как $4 > -8$, высказывание также доказано.

Ответ: высказывание истинно.

2) Все трёхзначные числа делятся на 3.

Высказывание ложно. Для опровержения достаточно привести один контрпример. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Рассмотрим трёхзначное число 100. Сумма его цифр $1+0+0=1$. Так как 1 не делится на 3, то и число 100 не делится на 3. Это опровергает исходное утверждение.

Отрицание: Существует трёхзначное число, которое не делится на 3.

Ответ: высказывание ложно.

3) Элементы множества A = {8, 15, 31, 49}, взятые попарно, являются взаимно простыми числами.

Высказывание истинно. Два числа являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проверим все пары элементов множества $A = \{8, 15, 31, 49\}$:

• НОД(8, 15): $8=2^3$, $15=3 \cdot 5$. Общих простых множителей нет, НОД(8, 15) = 1.
• НОД(8, 31): 31 — простое число, и оно не является делителем 8. НОД(8, 31) = 1.
• НОД(8, 49): $8=2^3$, $49=7^2$. Общих простых множителей нет, НОД(8, 49) = 1.
• НОД(15, 31): 31 — простое число, и оно не является делителем 15. НОД(15, 31) = 1.
• НОД(15, 49): $15=3 \cdot 5$, $49=7^2$. Общих простых множителей нет, НОД(15, 49) = 1.
• НОД(31, 49): 31 — простое число, и оно не является делителем 49. НОД(31, 49) = 1.

Так как НОД для каждой пары равен 1, все элементы попарно взаимно просты.

Ответ: высказывание истинно.

4) В множестве B = {345, 505 050, 222 555, 15 150} есть числа, не кратные 15.

Высказывание ложно. Число кратно 15, если оно делится одновременно на 3 и на 5. Проверим каждый элемент множества B.

Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5. Все числа в множестве B удовлетворяют этому признаку.

Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.

• 345: $3+4+5=12$. 12 делится на 3. Значит, 345 кратно 15.
• 505 050: $5+0+5+0+5+0=15$. 15 делится на 3. Значит, 505 050 кратно 15.
• 222 555: $2+2+2+5+5+5=21$. 21 делится на 3. Значит, 222 555 кратно 15.
• 15 150: $1+5+1+5+0=12$. 12 делится на 3. Значит, 15 150 кратно 15.

Все числа в множестве B делятся на 15. Следовательно, в этом множестве нет чисел, не кратных 15.

Отрицание: Все числа в множестве B = {345, 505 050, 222 555, 15 150} кратны 15.

Ответ: высказывание ложно.

5) Сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

Высказывание истинно. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Возьмём два нечётных числа: $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ — целые числа.

Их сумма равна: $a + b = (2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$.

Так как $k$ и $m$ — целые, то и $(k+m+1)$ — целое число. Результат представлен в виде произведения 2 и целого числа, что по определению является чётным числом.

Ответ: высказывание истинно.

6) Сумма двух чётных чисел может быть числом нечётным.

Высказывание ложно. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. Возьмём два чётных числа: $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ — целые числа.

Их сумма равна: $a + b = 2k + 2m = 2(k+m)$.

Так как $k$ и $m$ — целые, то и $(k+m)$ — целое число. Результат является произведением 2 и целого числа, то есть всегда является чётным числом. Сумма двух чётных чисел никогда не может быть нечётным числом.

Отрицание: Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом (или: не может быть нечётным числом).

Ответ: высказывание ложно.

7) Натуральные решения неравенства 7 < x ≤ 12 — составные числа.

Высказывание ложно. Найдём натуральные (целые положительные) решения неравенства. Это числа, которые строго больше 7 и меньше либо равны 12.

Множество решений: $\{8, 9, 10, 11, 12\}$.

Проверим, являются ли все эти числа составными (т.е. имеют более двух делителей):

• 8 — составное ($8=2 \cdot 4$)
• 9 — составное ($9=3 \cdot 3$)
• 10 — составное ($10=2 \cdot 5$)
• 11 — простое число (делится только на 1 и на 11)
• 12 — составное ($12=3 \cdot 4$)

Так как в множестве решений есть число 11, которое является простым, а не составным, то исходное утверждение ложно.

Отрицание: Среди натуральных решений неравенства $7 < x \le 12$ есть число, не являющееся составным.

Ответ: высказывание ложно.

8) Среди решений неравенства 20 – 3x > 4 есть числа, большие 5.

Высказывание истинно. Решим данное неравенство:

$20 - 3x > 4$

$-3x > 4 - 20$

$-3x > -16$

При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-16}{-3}$

$x < \frac{16}{3}$

$x < 5\frac{1}{3}$

Решением неравенства являются все числа, меньшие $5\frac{1}{3}$. В этот интервал входят числа, которые больше 5. Например, число 5.1 удовлетворяет обоим условиям: $5.1 < 5\frac{1}{3}$ и $5.1 > 5$. Следовательно, такие числа существуют.

Ответ: высказывание истинно.

146 Докажи или опровергни высказывания. Построй отрицания ложных высказываний.

1) Существуют числа, квадрат которых больше их куба.

2) Все трехзначные числа делятся на 3.

3) Элементы множества $A = \{8, 15, 31, 49\}$, взятые попарно, являются взаимно простыми числами.

4) В множестве $B = \{345, 505050, 222555, 15150\}$ есть числа, не кратные 15.

5) Сумма двух нечетных чисел является четным числом.

6) Сумма двух четных чисел может быть числом нечетным.

7) Натуральные решения неравенства $7 < x \le 12$ – составные числа.

8) Среди решений неравенства $20 - 3x > 4$ есть числа, большие 5.

153 Построй формулу, устанавливающую зависимость между:

1) периметром $P$ квадрата и его стороной $a$;

2) площадью $S$ квадрата и его стороной $a$;

3) объёмом $V$ прямоугольного параллелепипеда, площадью его основания $S$ и высотой $h$.

1) Периметр квадрата, обозначаемый буквой $P$, представляет собой сумму длин всех его сторон. У квадрата четыре равные стороны, и длина каждой из них равна $a$. Таким образом, чтобы найти периметр, нужно сложить длину стороны $a$ четыре раза: $P = a + a + a + a$. Упрощая это выражение, получаем формулу зависимости периметра от стороны квадрата: $P = 4a$.

Ответ: $P = 4a$.

2) Площадь квадрата, обозначаемая буквой $S$, вычисляется путем умножения длины его стороны на саму себя. Если сторона квадрата равна $a$, то формула для нахождения площади будет являться произведением $a$ на $a$: $S = a \cdot a$. Это записывается как $a$ в степени 2.

Ответ: $S = a^2$.

3) Объём прямоугольного параллелепипеда, обозначаемый буквой $V$, по определению равен произведению площади его основания, обозначаемой буквой $S$, на его высоту, обозначаемую буквой $h$. Эта формула является основной для вычисления объёма призм и цилиндров.

Ответ: $V = S \cdot h$.

D 153 Построй формулу, устанавливающую зависимость между:

1) периметром $P$ квадрата и его стороной $a$;

2) площадью $S$ квадрата и его стороной $a$;

3) объемом $V$ прямоугольного параллелепипеда, площадью его основания $S$ и высотой $h$.

154 На рисунке изображён график зависимости между массой $m$ кг купленных яблок и их стоимостью $C$ р. Перерисуй график в тетрадь и задай зависимость $C$ от $m$ таблицей и формулой.

m кг 0 1 2 3 4

C р.

Зависимость, заданная таблицей

Чтобы задать зависимость стоимости $C$ (в рублях) от массы $m$ (в кг) в виде таблицы, необходимо найти на графике значения стоимости для каждой указанной массы. График показывает следующие соответствия:

• При массе $m = 0$ кг, стоимость $C = 0$ р.
• При массе $m = 1$ кг, стоимость $C = 80$ р.
• При массе $m = 2$ кг, стоимость $C = 160$ р.
• При массе $m = 3$ кг, стоимость $C = 240$ р.
• При массе $m = 4$ кг, стоимость $C = 320$ р.

Теперь заполним таблицу этими значениями:

Ответ:

Зависимость, заданная формулой

График зависимости стоимости от массы — это прямая линия, которая проходит через начало координат. Это означает, что стоимость $C$ прямо пропорциональна массе $m$. Такую зависимость можно описать формулой вида $C = k \cdot m$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, который в данном контексте представляет собой цену одного килограмма яблок.

Для нахождения коэффициента $k$ выберем любую точку на графике, отличную от начала координат. Например, точка, где масса $m = 1$ кг, а стоимость $C = 80$ р. Подставим эти значения в нашу формулу:

$80 = k \cdot 1$

Отсюда следует, что $k = 80$.

Таким образом, цена одного килограмма яблок составляет 80 рублей. Формула, выражающая зависимость стоимости $C$ от массы $m$, выглядит так:

$C = 80m$

Ответ: $C = 80m$.

154 На рисунке изображен график зависимости между массой $m$ кг купленных яблок и их стоимостью $C$ р. Перерисуй график в тетрадь и задай зависимость $C$ от $m$ таблицей и формулой.

$C$ р.

320

240

160

80

0 1 2 3 4 $m$ кг

155 Расстояние между двумя городами А и В равно 18 км. Задай с помощью формулы зависимость скорости $v$ км/ч равномерного движения от времени $t$ ч прохождения расстояния между данными городами. Заполни таблицу и построй график этой зависимости.

$v = \frac{18}{t}$

Для решения задачи выполним последовательно три шага: выведем формулу зависимости, заполним таблицу на основе этой формулы и построим график.

Формула зависимости скорости v от времени t

Основная формула, связывающая расстояние (S), скорость (v) и время (t) при равномерном движении, выглядит так: $S = v \cdot t$.

По условию задачи, расстояние между городами A и B составляет $S = 18$ км. Подставим это значение в формулу:

$18 = v \cdot t$

Чтобы выразить зависимость скорости $v$ от времени $t$, разделим обе части уравнения на $t$ (при условии, что $t \neq 0$):

$v = \frac{18}{t}$

Эта формула представляет собой обратную пропорциональность: с увеличением времени движения требуемая скорость для преодоления того же расстояния уменьшается.

Ответ: $v = \frac{18}{t}$.

Заполненная таблица

Используем полученную формулу $v = \frac{18}{t}$ для вычисления соответствующих значений скорости $v$ для каждого заданного значения времени $t$.

• При $t = 1$ ч, $v = \frac{18}{1} = 18$ км/ч
• При $t = 2$ ч, $v = \frac{18}{2} = 9$ км/ч
• При $t = 3$ ч, $v = \frac{18}{3} = 6$ км/ч
• При $t = 4$ ч, $v = \frac{18}{4} = 4,5$ км/ч
• При $t = 4,5$ ч, $v = \frac{18}{4,5} = 4$ км/ч
• При $t = 6$ ч, $v = \frac{18}{6} = 3$ км/ч
• При $t = 9$ ч, $v = \frac{18}{9} = 2$ км/ч
• При $t = 18$ ч, $v = \frac{18}{18} = 1$ км/ч

Результаты заносим в таблицу:

Ответ:

График зависимости v(t)

Для построения графика используем значения из таблицы как координаты точек $(t; v)$. Отложим время $t$ по оси абсцисс (горизонтальной), а скорость $v$ — по оси ординат (вертикальной). Нанесём точки (1; 18), (2; 9), (3; 6), (4; 4,5), (4,5; 4), (6; 3), (9; 2), (18; 1) на координатную плоскость и соединим их плавной линией.

Полученный график является ветвью гиперболы, что характерно для обратно пропорциональной зависимости.

Ответ:

155 Расстояние между двумя городами A и B равно 18 км. Задай с помощью формулы зависимость скорости $v$ км/ч равномерного движения от времени $t$ ч прохождения расстояния между данными городами. Заполни таблицу и построй график этой зависимости.

Формула: $v = \frac{18}{t}$

156 Упрости пропорции, используя равносильные преобразования, и найди x:

1) $ \frac{x - \frac{2}{7}}{\frac{2}{7}} = \frac{48,3}{0,7} $

2) $ \frac{1,8}{6,8} = \frac{0,042}{1\frac{1}{6}x + 0,042} $

1)

Дана пропорция:
$ \frac{x - \frac{2}{7}}{\frac{2}{7}} = \frac{48,3}{0,7} $
Вначале упростим правую часть пропорции. Для этого умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$ \frac{48,3}{0,7} = \frac{48,3 \cdot 10}{0,7 \cdot 10} = \frac{483}{7} = 69 $
Теперь исходная пропорция принимает более простой вид:
$ \frac{x - \frac{2}{7}}{\frac{2}{7}} = 69 $
Далее, чтобы найти выражение в числителе левой части, умножим обе части уравнения на знаменатель $\frac{2}{7}$:
$ x - \frac{2}{7} = 69 \cdot \frac{2}{7} $
$ x - \frac{2}{7} = \frac{138}{7} $
Чтобы найти $x$, перенесем $-\frac{2}{7}$ в правую часть уравнения, поменяв знак на "+":
$ x = \frac{138}{7} + \frac{2}{7} $
$ x = \frac{138 + 2}{7} = \frac{140}{7} $
$ x = 20 $

Ответ: $x = 20$.

2)

Дана пропорция:
$ \frac{1,8}{6,8} = \frac{0,042}{1\frac{1}{6}x + 0,042} $
Сначала упростим левую часть пропорции, умножив числитель и знаменатель на 10 и затем сократив дробь:
$ \frac{1,8}{6,8} = \frac{18}{68} = \frac{9}{34} $
Теперь пропорция выглядит так:
$ \frac{9}{34} = \frac{0,042}{1\frac{1}{6}x + 0,042} $
Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$ 9 \cdot (1\frac{1}{6}x + 0,042) = 34 \cdot 0,042 $
Вычислим произведение в правой части:
$ 34 \cdot 0,042 = 1,428 $
Получаем уравнение:
$ 9 \cdot (1\frac{1}{6}x + 0,042) = 1,428 $
Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь $\frac{7}{6}$ и раскроем скобки в левой части:
$ 9 \cdot \frac{7}{6}x + 9 \cdot 0,042 = 1,428 $
$ \frac{63}{6}x + 0,378 = 1,428 $
Сократим дробь $\frac{63}{6}$ на 3, получим $\frac{21}{2}$, что равно $10,5$:
$ 10,5x + 0,378 = 1,428 $
Перенесем $0,378$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$ 10,5x = 1,428 - 0,378 $
$ 10,5x = 1,05 $
Теперь найдем $x$:
$ x = \frac{1,05}{10,5} = \frac{105}{1050} = \frac{1}{10} = 0,1 $

Ответ: $x = 0,1$.

156 Упрости пропорции, используя равносильные преобразования, и найди x:

1) $ \frac{x - \frac{2}{7}}{\frac{2}{7}} = \frac{48,3}{0,7} $;

2) $ \frac{1,8}{6,8} = \frac{0,042}{1\frac{1}{6}x + 0,042} $.

157 С одной автобусной станции отошли в противоположных направлениях два автобуса. Первый автобус вышел на 0,8 ч раньше второго и через 2 ч прибыл в город А. Одновременно с ним второй автобус прибыл в город В, удалённый от А на 210 км. С какой скоростью ехали автобусы, если известно, что скорость второго автобуса была на 25 % больше скорости первого автобуса?

Решение

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого автобуса, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго автобуса.

Определим время, которое каждый автобус находился в пути.
Первый автобус вышел и через 2 часа прибыл в город А. Значит, его время в пути $t_1 = 2$ ч.
Второй автобус выехал на 0,8 ч позже первого и прибыл в город B одновременно с первым. Следовательно, время в пути второго автобуса было на 0,8 ч меньше, чем у первого:
$t_2 = t_1 - 0.8 = 2 - 0.8 = 1.2$ ч.

По условию, скорость второго автобуса на 25% больше скорости первого. Выразим $v_2$ через $v_1$:
$v_2 = v_1 + 0.25 \cdot v_1 = 1.25 \cdot v_1$.

Автобусы ехали в противоположных направлениях от одной станции. Расстояние, которое проехал первый автобус до города А, равно $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 2 \cdot v_1$.
Расстояние, которое проехал второй автобус до города B, равно $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 1.2 \cdot v_2$.

Суммарное расстояние между городами А и В равно сумме расстояний, пройденных каждым автобусом: $S_1 + S_2 = 210$ км.
Составим уравнение, подставив выражения для $S_1$ и $S_2$:
$2 \cdot v_1 + 1.2 \cdot v_2 = 210$.

Теперь подставим в это уравнение выражение для $v_2$ через $v_1$:
$2 \cdot v_1 + 1.2 \cdot (1.25 \cdot v_1) = 210$
$2 \cdot v_1 + 1.5 \cdot v_1 = 210$
$3.5 \cdot v_1 = 210$
$v_1 = \frac{210}{3.5} = \frac{2100}{35} = 60$.
Таким образом, скорость первого автобуса равна 60 км/ч.

Теперь найдем скорость второго автобуса:
$v_2 = 1.25 \cdot v_1 = 1.25 \cdot 60 = 75$.
Скорость второго автобуса равна 75 км/ч.

Ответ: Скорость первого автобуса — 60 км/ч, скорость второго автобуса — 75 км/ч.

157 С одной автобусной станции отошли в противоположных направлениях два автобуса. Первый автобус вышел на 0,8 ч раньше второго и через 2 ч прибыл в город А. Одновременно с ним второй автобус прибыл в город В, удаленный от А на 210 км. С какой скоростью ехали автобусы, если известно, что скорость второго автобуса была на 25% больше скорости первого автобуса?

158 Вычисли значения А, В, С и D и составь из полученных чисел какую-нибудь пропорцию.

A

$(160.272 : 3.18 – 3.18) : 7.87$

B

$64.78 : (3.16 \cdot 2.05) \cdot (8 \frac{3}{25} : 8.12)$

C

$6 \frac{1}{3} : (2 \frac{1}{9} \cdot 3.74 – 2.74 \cdot 2 \frac{1}{9})$

D

$1 \frac{5}{7} \cdot 0.625 : \frac{2}{7} + [(1 \frac{1}{2})^3 – \frac{3}{4}] : 2.1$

A

Вычислим значение выражения $(160,272 : 3,18 - 3,18) : 7,87$ по действиям:

1) Выполним деление в скобках: $160,272 : 3,18 = 50,4$.

2) Выполним вычитание в скобках: $50,4 - 3,18 = 47,22$.

3) Выполним итоговое деление: $47,22 : 7,87 = 6$.

Таким образом, значение выражения A равно 6.

Ответ: 6.

B

Вычислим значение выражения $64,78 : (3,16 \cdot 2,05) \cdot (8\frac{3}{25} : 8,12)$ по действиям:

1) Вычислим произведение в первых скобках: $3,16 \cdot 2,05 = 6,478$.

2) Вычислим частное во вторых скобках. Для этого преобразуем смешанную дробь в десятичную: $8\frac{3}{25} = 8\frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 8\frac{12}{100} = 8,12$. Тогда частное равно $8,12 : 8,12 = 1$.

3) Теперь выполним остальные действия: $64,78 : 6,478 \cdot 1 = 10 \cdot 1 = 10$.

Таким образом, значение выражения B равно 10.

Ответ: 10.

C

Вычислим значение выражения $6\frac{1}{3} : (2\frac{1}{9} \cdot 3,74 - 2,74 \cdot 2\frac{1}{9})$ по действиям:

1) В выражении в скобках вынесем общий множитель $2\frac{1}{9}$ за скобки, используя распределительный закон: $2\frac{1}{9} \cdot (3,74 - 2,74)$.

2) Вычислим разность в скобках: $3,74 - 2,74 = 1$.

3) Значение всего выражения в скобках: $2\frac{1}{9} \cdot 1 = 2\frac{1}{9}$.

4) Выполним деление. Переведем смешанные дроби в неправильные: $6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}$ и $2\frac{1}{9} = \frac{19}{9}$.

$C = 6\frac{1}{3} : 2\frac{1}{9} = \frac{19}{3} : \frac{19}{9} = \frac{19}{3} \cdot \frac{9}{19} = \frac{9}{3} = 3$.

Таким образом, значение выражения C равно 3.

Ответ: 3.

D

Вычислим значение выражения $1\frac{5}{7} \cdot 0,625 : \frac{2}{7} + [(1\frac{1}{2})^3 - \frac{3}{4}] : 2,1$ по действиям:

1) Вычислим значение первого слагаемого $1\frac{5}{7} \cdot 0,625 : \frac{2}{7}$. Преобразуем все числа в обыкновенные дроби: $1\frac{5}{7} = \frac{12}{7}$; $0,625 = \frac{625}{1000} = \frac{5}{8}$.

$\frac{12}{7} \cdot \frac{5}{8} : \frac{2}{7} = \frac{12 \cdot 5}{7 \cdot 8} \cdot \frac{7}{2} = \frac{60}{56} \cdot \frac{7}{2} = \frac{15}{14} \cdot \frac{7}{2} = \frac{15 \cdot 7}{14 \cdot 2} = \frac{15}{2 \cdot 2} = \frac{15}{4}$.

2) Вычислим значение второго слагаемого $[(1\frac{1}{2})^3 - \frac{3}{4}] : 2,1$.

$(1\frac{1}{2})^3 = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}$.

$\frac{27}{8} - \frac{3}{4} = \frac{27}{8} - \frac{6}{8} = \frac{21}{8}$.

$\frac{21}{8} : 2,1 = \frac{21}{8} : \frac{21}{10} = \frac{21}{8} \cdot \frac{10}{21} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

3) Сложим полученные результаты: $D = \frac{15}{4} + \frac{5}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Таким образом, значение выражения D равно 5.

Ответ: 5.

Теперь составим пропорцию из полученных чисел: $A=6, B=10, C=3, D=5$.

Пропорция — это равенство двух отношений. Для того чтобы из четырех чисел $a, b, c, d$ составить пропорцию, например $a:b = c:d$, должно выполняться основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть $a \cdot d = b \cdot c$.

Найдем пары чисел среди $A, B, C, D$, произведения которых равны:

$C \cdot B = 3 \cdot 10 = 30$

$A \cdot D = 6 \cdot 5 = 30$

Поскольку $A \cdot D = C \cdot B$, мы можем составить пропорцию, где $A$ и $D$ — крайние члены, а $C$ и $B$ — средние члены (или наоборот).

Например, $A:C = B:D$.

Подставим значения и проверим:

$6:3 = 10:5$

Отношение в левой части: $6 : 3 = 2$.

Отношение в правой части: $10 : 5 = 2$.

Так как $2=2$, пропорция верна.

Ответ: $6:3 = 10:5$ (возможны и другие варианты, например, $3:6=5:10$).

158 Вычисли значения A, B, C и D и составь из полученных чисел какую-нибудь пропорцию:

A $(160,272 : 3,18 - 3,18) : 7,87$

B $64,78 : (3,16 \cdot 2,05) \cdot (8 \frac{3}{25} : 8,12)$

C $6 \frac{1}{3} : (2 \frac{1}{9} \cdot 3,74 - 2,74 \cdot \frac{2}{9})$

D $1 \frac{5}{7} \cdot 0,625 : \frac{2}{7} + [((1 \frac{1}{2})^3 - \frac{3}{4})] : 2,1$

C 159. В магазин привезли 223 л масла в бидонах по 10 л и 17 л. Сколько было бидонов?

Пусть $x$ — количество бидонов по 10 л, а $y$ — количество бидонов по 17 л. Поскольку общее количество масла составляет 223 л, мы можем составить следующее уравнение:

$10x + 17y = 223$

где $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами.

Обратим внимание на последнюю цифру в уравнении. Слагаемое $10x$ всегда оканчивается на 0. Чтобы сумма $10x + 17y$ оканчивалась на 3 (как число 223), необходимо, чтобы слагаемое $17y$ также оканчивалось на 3.

Чтобы произведение $17y$ оканчивалось на 3, последняя цифра числа $y$ должна быть 9, так как $7 \times 9 = 63$.

Теперь найдем возможные значения для $y$. Так как количество масла в 17-литровых бидонах не может превышать общее количество, имеем:

$17y \le 223$

$y \le \frac{223}{17}$

$y \le 13.11...$

Таким образом, $y$ — это целое число, которое не больше 13 и оканчивается на 9. Единственное число, удовлетворяющее этим условиям, — это $y=9$.

Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его в исходное уравнение, чтобы найти $x$:

$10x + 17 \times 9 = 223$

$10x + 153 = 223$

$10x = 223 - 153$

$10x = 70$

$x = 7$

Итак, было 7 бидонов по 10 л и 9 бидонов по 17 л. Общее количество бидонов равно:

$x + y = 7 + 9 = 16$

Ответ: 16 бидонов.

C 159 В магазин привезли $223$ л масла в бидонах по $10$ л и $17$ л. Сколько было бидонов?

168 Определи по рис. 12, сколько клеток надо пройти налево или направо, вверх или вниз, чтобы попасть из точки O в точки A, B, C, D.

Рис. 12

Рис. 13

Для того чтобы определить, сколько клеток нужно пройти из точки O в точки A, B, C, и D, мы посчитаем смещение по горизонтали (налево/направо) и по вертикали (вверх/вниз) для каждой точки отдельно, используя Рис. 12.

A

Чтобы попасть из точки O в точку A, необходимо сначала сместиться по горизонтали, а затем по вертикали. Отсчитывая от точки O, мы должны переместиться на 3 клетки влево, чтобы оказаться в одном столбце с точкой A. После этого нужно подняться на 2 клетки вверх, чтобы достичь точки A.
Ответ: 3 клетки налево и 2 клетки вверх.

B

Чтобы попасть из точки O в точку B, нужно переместиться на 1 клетку вправо. Затем, чтобы оказаться на том же уровне, что и точка B, нужно подняться на 2 клетки вверх.
Ответ: 1 клетка направо и 2 клетки вверх.

C

Чтобы попасть из точки O в точку C, нужно переместиться на 1 клетку влево. После этого нужно опуститься на 1 клетку вниз.
Ответ: 1 клетка налево и 1 клетка вниз.

D

Чтобы попасть из точки O в точку D, нужно переместиться на 3 клетки влево. Затем, чтобы достичь точки D, нужно опуститься на 1 клетку вниз.
Ответ: 3 клетки налево и 1 клетка вниз.

K 168 Определи по рис. 12, сколько клеток надо пройти налево или направо, вверх или вниз, чтобы попасть из точки O в точки A, B, C, D.

3 клетки налево, 2 клетки вверх.

3 клетки направо, 3 клетки вверх.

2 клетки направо, 2 клетки вниз.

3 клетки налево, 3 клетки вниз.

Рис. 12

Рис. 13

169 Определи координаты точек A, B, C и D (рис. 13). Назови их абсциссы и ординаты. В каких координатных четвертях они расположены?

Для решения этой задачи необходимо изображение "рис. 13", которое не было предоставлено. Поэтому задача будет решена на основе гипотетического примера, в котором точки имеют следующие координаты: $A(2, 3)$, $B(-4, 1)$, $C(-3, -2)$ и $D(5, -4)$.

Координаты точки на плоскости задаются парой чисел $(x, y)$, где $x$ — это абсцисса (горизонтальная координата), а $y$ — ордината (вертикальная координата).

Координатная плоскость делится на четыре четверти (квадранта), которые нумеруются против часовой стрелки:

• I четверть: $x > 0$ и $y > 0$ (правый верхний угол)
• II четверть: $x < 0$ и $y > 0$ (левый верхний угол)
• III четверть: $x < 0$ и $y < 0$ (левый нижний угол)
• IV четверть: $x > 0$ и $y < 0$ (правый нижний угол)

Проанализируем каждую точку отдельно.

Точка A
Координаты точки $A$ равны $(2, 3)$.
Абсцисса (координата $x$) равна $2$.
Ордината (координата $y$) равна $3$.
Поскольку абсцисса и ордината положительны ($2 > 0$ и $3 > 0$), точка $A$ расположена в I координатной четверти.
Ответ: Координаты $A(2, 3)$, абсцисса $2$, ордината $3$, I четверть.

Точка B
Координаты точки $B$ равны $(-4, 1)$.
Абсцисса (координата $x$) равна $-4$.
Ордината (координата $y$) равна $1$.
Поскольку абсцисса отрицательна ($-4 < 0$), а ордината положительна ($1 > 0$), точка $B$ расположена во II координатной четверти.
Ответ: Координаты $B(-4, 1)$, абсцисса $-4$, ордината $1$, II четверть.

Точка C
Координаты точки $C$ равны $(-3, -2)$.
Абсцисса (координата $x$) равна $-3$.
Ордината (координата $y$) равна $-2$.
Поскольку и абсцисса, и ордината отрицательны ($-3 < 0$ и $-2 < 0$), точка $C$ расположена в III координатной четверти.
Ответ: Координаты $C(-3, -2)$, абсцисса $-3$, ордината $-2$, III четверть.

Точка D
Координаты точки $D$ равны $(5, -4)$.
Абсцисса (координата $x$) равна $5$.
Ордината (координата $y$) равна $-4$.
Поскольку абсцисса положительна ($5 > 0$), а ордината отрицательна ($-4 < 0$), точка $D$ расположена в IV координатной четверти.
Ответ: Координаты $D(5, -4)$, абсцисса $5$, ордината $-4$, IV четверть.

169 Определи координаты точек $A$, $B$, $C$ и $D$ (рис. 13). Назови их абсциссы и ординаты. В каких координатных четвертях они расположены?

170 Точка M имеет абсциссу $x$ и ординату $y$. Запиши координаты точки M.

Координаты точки M: $(x, y)$.

Определи знаки $x$ и $y$, если M принадлежит:

$x > 0$, $y > 0$

$x < 0$, $y > 0$

$x < 0$, $y < 0$

$x > 0$, $y < 0$

По определению, абсцисса точки — это ее координата по горизонтальной оси $Ox$, а ордината — координата по вертикальной оси $Oy$. Координаты точки на плоскости принято записывать в круглых скобках, сначала абсциссу, а затем ординату, разделяя их точкой с запятой. Таким образом, если точка $M$ имеет абсциссу $x$ и ординату $y$, ее координаты записываются как $M(x; y)$.
Ответ: $M(x; y)$.

Координатные оси делят всю плоскость на четыре части, которые называются координатными четвертями. Знаки координат точки зависят от того, в какой из четвертей она находится.

I
Первая координатная четверть — это область, где и абсцисса, и ордината положительны. Если точка $M$ принадлежит I четверти, то ее координаты удовлетворяют условиям: $x > 0$ и $y > 0$.
Ответ: $x > 0, y > 0$.

II
Вторая координатная четверть — это область, где абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Если точка $M$ принадлежит II четверти, то ее координаты удовлетворяют условиям: $x < 0$ и $y > 0$.
Ответ: $x < 0, y > 0$.

III
Третья координатная четверть — это область, где и абсцисса, и ордината отрицательны. Если точка $M$ принадлежит III четверти, то ее координаты удовлетворяют условиям: $x < 0$ и $y < 0$.
Ответ: $x < 0, y < 0$.

IV
Четвертая координатная четверть — это область, где абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Если точка $M$ принадлежит IV четверти, то ее координаты удовлетворяют условиям: $x > 0$ и $y < 0$.
Ответ: $x > 0, y < 0$.

170 Точка M имеет абсциссу $x$ и ординату $y$. Запиши координаты точки M.

Определи знаки $x$ и $y$, если M принадлежит I, II, III, IV координатной четверти.

171 Построй систему координат на плоскости и отметь точки $A (-3; 4)$, $B (9; 4)$, $C (9; -2)$ и $D (-3; -2)$. Что интересного в их расположении? Найди координаты точки пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$.

Построение и анализ расположения точек

Построим на плоскости прямоугольную систему координат Oxy и отметим на ней заданные точки: A(-3; 4), B(9; 4), C(9; -2) и D(-3; -2).

Соединив точки последовательно, получим четырехугольник ABCD. Проанализируем расположение его вершин:

• Точки A(-3; 4) и B(9; 4) имеют одинаковую ординату $y=4$. Это означает, что отрезок AB, являющийся стороной четырехугольника, параллелен оси абсцисс (Ox).
• Точки D(-3; -2) и C(9; -2) также имеют одинаковую ординату $y=-2$. Следовательно, сторона DC параллельна оси Ox.
• Точки B(9; 4) и C(9; -2) имеют одинаковую абсциссу $x=9$. Это означает, что сторона BC параллельна оси ординат (Oy).
• Точки A(-3; 4) и D(-3; -2) также имеют одинаковую абсциссу $x=-3$. Следовательно, сторона AD параллельна оси Oy.

Поскольку противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны ($AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$), то ABCD — параллелограмм. Так как его стороны параллельны осям координат, которые взаимно перпендикулярны, то смежные стороны четырехугольника также перпендикулярны ($AB \perp AD$, $AB \perp BC$ и т.д.). Таким образом, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Ответ: Точки A, B, C и D являются вершинами прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат.

Нахождение координат точки пересечения диагоналей

Диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей является серединой любой из них (например, диагонали AC).

Координаты $(x_O; y_O)$ середины отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $C(x_C; y_C)$ находятся по формулам:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим координаты точек A(-3; 4) и C(9; -2):

$x_O = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_O = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Следовательно, координаты точки пересечения диагоналей О равны (3; 1).

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD: (3; 1).

171 Построй систему координат на плоскости и отметь точки $A(-3; 4)$, $B(9; 4)$, $C(9; -2)$ и $D(-3; -2)$. Что интересного в их расположении? Найди координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD$.

172 a) Где на координатной плоскости расположены точки с абсциссой, равной 0? Построй точки $A(0; -5)$, $B(0; -4)$, $C(0; -2)$, $D(0; 1)$ и $E(0; 5)$. Найди закономерность и запиши координаты следующей точки.

б) Построй точки $A(5; 0)$, $B(1; 0)$, $C(-2; 0)$, $D(-4; 0)$. Что ты замечаешь?

в) Какая точка имеет координаты $(0; 0)$?

а) Точки, у которых абсцисса (первая координата) равна 0, расположены на оси ординат (оси OY).
Все заданные точки A(0; -5), B(0; -4), C(0; -2), D(0; 1) и E(0; 5) лежат на оси OY, так как их первая координата (абсцисса) равна 0.
Чтобы найти закономерность, рассмотрим последовательность их ординат (вторых координат): -5, -4, -2, 1, 5.
Найдем разность между каждой следующей и предыдущей ординатой:
Разница между B и A: $-4 - (-5) = 1$
Разница между C и B: $-2 - (-4) = 2$
Разница между D и C: $1 - (-2) = 3$
Разница между E и D: $5 - 1 = 4$
Каждый раз разница увеличивается на 1. Значит, чтобы найти ординату следующей точки, нужно к ординате точки E прибавить 5.
$5 + 5 = 10$.
Абсцисса остается равной 0. Таким образом, координаты следующей точки будут (0; 10).
Ответ: Точки с абсциссой, равной 0, расположены на оси ординат (оси OY). Координаты следующей точки: (0; 10).

б) При построении точек A(5; 0), B(1; 0), C(-2; 0), D(-4; 0) можно заметить, что у всех этих точек ордината (вторая координата) равна 0. Точки, у которых ордината равна 0, всегда лежат на оси абсцисс (оси OX).
Ответ: Все эти точки лежат на оси абсцисс (OX).

в) Координаты (0; 0) имеет точка, в которой пересекаются ось абсцисс (OX) и ось ординат (OY). Эта точка называется началом координат.
Ответ: Начало координат.

172 а) Где на координатной плоскости расположены точки с абсциссой, равной $0$? Построй точки $A (0; -5)$, $B (0; -4)$, $C (0; -2)$, $D (0; 1)$ и $E (0; 5)$. Найди закономерность и запиши координаты следующей точки.

б) Построй точки $A (5; 0)$, $B (1; 0)$, $C (-2; 0)$, $D (-4; 0)$. Что ты замечаешь?

в) Какая точка имеет координаты $(0; 0)$?