Номер 146, страница 39, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 4. Отрицание утверждений с кванторами - номер 146, страница 39.

Условие 2023.

146 Докажи или опровергни высказывания. Построй отрицания ложных высказываний.

1) Существуют числа, квадрат которых больше их куба.

2) Все трёхзначные числа делятся на 3.

3) Элементы множества $A = \{8, 15, 31, 49\}$, взятые попарно, являются взаимно простыми числами.

4) В множестве $B = \{345, 505 050, 222 555, 15 150\}$ есть числа, не кратные 15.

5) Сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

6) Сумма двух чётных чисел может быть числом нечётным.

7) Натуральные решения неравенства $7 < x \le 12$ – составные числа.

8) Среди решений неравенства $20 - 3x > 4$ есть числа, большие 5.

Решение 2 (2023).

1) Существуют числа, квадрат которых больше их куба.

Высказывание истинно. Рассмотрим число $x$, для которого должно выполняться неравенство $x^2 > x^3$.

Перенесём все члены в одну сторону: $x^2 - x^3 > 0$.

Вынесем общий множитель: $x^2(1 - x) > 0$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x \ne 0$ и $1 - x > 0$. Из второго условия получаем $x < 1$.

Таким образом, неравенство выполняется для любого числа $x$ из интервала $(0, 1)$ или для любого отрицательного числа $x$.

Например, возьмём число $x = 0.5$. Его квадрат $(0.5)^2 = 0.25$, а его куб $(0.5)^3 = 0.125$. Так как $0.25 > 0.125$, высказывание доказано.

Другой пример, возьмём $x = -2$. Его квадрат $(-2)^2 = 4$, а его куб $(-2)^3 = -8$. Так как $4 > -8$, высказывание также доказано.

Ответ: высказывание истинно.

2) Все трёхзначные числа делятся на 3.

Высказывание ложно. Для опровержения достаточно привести один контрпример. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Рассмотрим трёхзначное число 100. Сумма его цифр $1+0+0=1$. Так как 1 не делится на 3, то и число 100 не делится на 3. Это опровергает исходное утверждение.

Отрицание: Существует трёхзначное число, которое не делится на 3.

Ответ: высказывание ложно.

3) Элементы множества A = {8, 15, 31, 49}, взятые попарно, являются взаимно простыми числами.

Высказывание истинно. Два числа являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Проверим все пары элементов множества $A = \{8, 15, 31, 49\}$:

• НОД(8, 15): $8=2^3$, $15=3 \cdot 5$. Общих простых множителей нет, НОД(8, 15) = 1.
• НОД(8, 31): 31 — простое число, и оно не является делителем 8. НОД(8, 31) = 1.
• НОД(8, 49): $8=2^3$, $49=7^2$. Общих простых множителей нет, НОД(8, 49) = 1.
• НОД(15, 31): 31 — простое число, и оно не является делителем 15. НОД(15, 31) = 1.
• НОД(15, 49): $15=3 \cdot 5$, $49=7^2$. Общих простых множителей нет, НОД(15, 49) = 1.
• НОД(31, 49): 31 — простое число, и оно не является делителем 49. НОД(31, 49) = 1.

Так как НОД для каждой пары равен 1, все элементы попарно взаимно просты.

Ответ: высказывание истинно.

4) В множестве B = {345, 505 050, 222 555, 15 150} есть числа, не кратные 15.

Высказывание ложно. Число кратно 15, если оно делится одновременно на 3 и на 5. Проверим каждый элемент множества B.

Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5. Все числа в множестве B удовлетворяют этому признаку.

Признак делимости на 3: сумма цифр числа делится на 3.

• 345: $3+4+5=12$. 12 делится на 3. Значит, 345 кратно 15.
• 505 050: $5+0+5+0+5+0=15$. 15 делится на 3. Значит, 505 050 кратно 15.
• 222 555: $2+2+2+5+5+5=21$. 21 делится на 3. Значит, 222 555 кратно 15.
• 15 150: $1+5+1+5+0=12$. 12 делится на 3. Значит, 15 150 кратно 15.

Все числа в множестве B делятся на 15. Следовательно, в этом множестве нет чисел, не кратных 15.

Отрицание: Все числа в множестве B = {345, 505 050, 222 555, 15 150} кратны 15.

Ответ: высказывание ложно.

5) Сумма двух нечётных чисел является чётным числом.

Высказывание истинно. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Возьмём два нечётных числа: $a = 2k+1$ и $b = 2m+1$, где $k$ и $m$ — целые числа.

Их сумма равна: $a + b = (2k+1) + (2m+1) = 2k + 2m + 2 = 2(k+m+1)$.

Так как $k$ и $m$ — целые, то и $(k+m+1)$ — целое число. Результат представлен в виде произведения 2 и целого числа, что по определению является чётным числом.

Ответ: высказывание истинно.

6) Сумма двух чётных чисел может быть числом нечётным.

Высказывание ложно. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число. Возьмём два чётных числа: $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ — целые числа.

Их сумма равна: $a + b = 2k + 2m = 2(k+m)$.

Так как $k$ и $m$ — целые, то и $(k+m)$ — целое число. Результат является произведением 2 и целого числа, то есть всегда является чётным числом. Сумма двух чётных чисел никогда не может быть нечётным числом.

Отрицание: Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом (или: не может быть нечётным числом).

Ответ: высказывание ложно.

7) Натуральные решения неравенства 7 < x ≤ 12 — составные числа.

Высказывание ложно. Найдём натуральные (целые положительные) решения неравенства. Это числа, которые строго больше 7 и меньше либо равны 12.

Множество решений: $\{8, 9, 10, 11, 12\}$.

Проверим, являются ли все эти числа составными (т.е. имеют более двух делителей):

• 8 — составное ($8=2 \cdot 4$)
• 9 — составное ($9=3 \cdot 3$)
• 10 — составное ($10=2 \cdot 5$)
• 11 — простое число (делится только на 1 и на 11)
• 12 — составное ($12=3 \cdot 4$)

Так как в множестве решений есть число 11, которое является простым, а не составным, то исходное утверждение ложно.

Отрицание: Среди натуральных решений неравенства $7 < x \le 12$ есть число, не являющееся составным.

Ответ: высказывание ложно.

8) Среди решений неравенства 20 – 3x > 4 есть числа, большие 5.

Высказывание истинно. Решим данное неравенство:

$20 - 3x > 4$

$-3x > 4 - 20$

$-3x > -16$

При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-16}{-3}$

$x < \frac{16}{3}$

$x < 5\frac{1}{3}$

Решением неравенства являются все числа, меньшие $5\frac{1}{3}$. В этот интервал входят числа, которые больше 5. Например, число 5.1 удовлетворяет обоим условиям: $5.1 < 5\frac{1}{3}$ и $5.1 > 5$. Следовательно, такие числа существуют.

Ответ: высказывание истинно.

Условие 2010-2022.

146 Докажи или опровергни высказывания. Построй отрицания ложных высказываний.

1) Существуют числа, квадрат которых больше их куба.

2) Все трехзначные числа делятся на 3.

3) Элементы множества $A = \{8, 15, 31, 49\}$, взятые попарно, являются взаимно простыми числами.

4) В множестве $B = \{345, 505050, 222555, 15150\}$ есть числа, не кратные 15.

5) Сумма двух нечетных чисел является четным числом.

6) Сумма двух четных чисел может быть числом нечетным.

7) Натуральные решения неравенства $7 < x \le 12$ – составные числа.

8) Среди решений неравенства $20 - 3x > 4$ есть числа, большие 5.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).