Номер 143, страница 39, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Отрицание утверждений с кванторами. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 143, страница 39.

Условие 2023.

143 Прочитай высказывания и построй их отрицания:

1) $\forall m \in N: m^2 = 2m;$

2) $\forall n \in N: n^2 \ne 1;$

3) $\forall x, y \in N: xy \ge x + y;$

4) $\forall k \in N: 5 < k \le 10;$

5) $\exists m \in N: m^3 \ne m \cdot m \cdot m;$

6) $\exists n \in N: 5 - n = 6;$

7) $\exists x, y \in N: x + y < 2;$

8) $\exists k \in N: 2 < k < 3.$

Решение 2 (2023).

1) Исходное высказывание: $ \forall m \in N: m^2 = 2m $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $m$ верно, что $m$ в квадрате равно $2m$".
Для построения отрицания необходимо заменить квантор всеобщности ($ \forall $, "для любого") на квантор существования ($ \exists $, "существует") и само утверждение ($m^2 = 2m$) на противоположное ($m^2 \neq 2m$).
В результате получаем высказывание: $ \exists m \in N: m^2 \neq 2m $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $m$, для которого $m$ в квадрате не равно $2m$".
Ответ: $ \exists m \in N: m^2 \neq 2m $

2) Исходное высказывание: $ \forall n \in N: n^2 \neq 1 $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $n$ верно, что его квадрат не равен 1".
Для построения отрицания заменяем квантор всеобщности ($ \forall $) на квантор существования ($ \exists $) и утверждение ($n^2 \neq 1$) на противоположное ($n^2 = 1$).
В результате получаем высказывание: $ \exists n \in N: n^2 = 1 $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $n$, квадрат которого равен 1".
Ответ: $ \exists n \in N: n^2 = 1 $

3) Исходное высказывание: $ \forall x, y \in N: xy \ge x + y $.
Оно читается как: "Для любых натуральных чисел $x$ и $y$ верно, что их произведение больше или равно их сумме".
Для построения отрицания заменяем квантор всеобщности ($ \forall $) на квантор существования ($ \exists $) и утверждение ($xy \ge x + y$) на противоположное ($xy < x + y$).
В результате получаем высказывание: $ \exists x, y \in N: xy < x + y $.
Оно читается как: "Существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что их произведение меньше их суммы".
Ответ: $ \exists x, y \in N: xy < x + y $

4) Исходное высказывание: $ \forall k \in N: 5 < k \le 10 $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $k$ верно, что $k$ строго больше 5 и меньше или равно 10".
Для построения отрицания заменяем квантор всеобщности ($ \forall $) на квантор существования ($ \exists $). Утверждение $5 < k \le 10$ является двойным неравенством, что эквивалентно системе $k > 5$ и $k \le 10$. Отрицанием этого является $k \le 5$ или $k > 10$.
В результате получаем высказывание: $ \exists k \in N: k \le 5 \lor k > 10 $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $k$, которое меньше или равно 5, или больше 10".
Ответ: $ \exists k \in N: k \le 5 \lor k > 10 $

5) Исходное высказывание: $ \exists m \in N: m^3 \neq m \cdot m \cdot m $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $m$, что его куб не равен произведению $m \cdot m \cdot m$".
Для построения отрицания необходимо заменить квантор существования ($ \exists $) на квантор всеобщности ($ \forall $) и само утверждение ($m^3 \neq m \cdot m \cdot m$) на противоположное ($m^3 = m \cdot m \cdot m$).
В результате получаем высказывание: $ \forall m \in N: m^3 = m \cdot m \cdot m $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $m$ верно, что его куб равен произведению $m \cdot m \cdot m$".
Ответ: $ \forall m \in N: m^3 = m \cdot m \cdot m $

6) Исходное высказывание: $ \exists n \in N: 5 - n = 6 $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $n$, что разность 5 и $n$ равна 6".
Для построения отрицания заменяем квантор существования ($ \exists $) на квантор всеобщности ($ \forall $) и утверждение ($5 - n = 6$) на противоположное ($5 - n \neq 6$).
В результате получаем высказывание: $ \forall n \in N: 5 - n \neq 6 $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $n$ верно, что разность 5 и $n$ не равна 6".
Ответ: $ \forall n \in N: 5 - n \neq 6 $

7) Исходное высказывание: $ \exists x, y \in N: x + y < 2 $.
Оно читается как: "Существуют такие натуральные числа $x$ и $y$, что их сумма меньше 2".
Для построения отрицания заменяем квантор существования ($ \exists $) на квантор всеобщности ($ \forall $) и утверждение ($x + y < 2$) на противоположное ($x + y \ge 2$).
В результате получаем высказывание: $ \forall x, y \in N: x + y \ge 2 $.
Оно читается как: "Для любых натуральных чисел $x$ и $y$ верно, что их сумма больше или равна 2".
Ответ: $ \forall x, y \in N: x + y \ge 2 $

8) Исходное высказывание: $ \exists k \in N: 2 < k < 3 $.
Оно читается как: "Существует такое натуральное число $k$, которое строго больше 2 и строго меньше 3".
Для построения отрицания заменяем квантор существования ($ \exists $) на квантор всеобщности ($ \forall $). Утверждение $2 < k < 3$ является двойным неравенством, что эквивалентно системе $k > 2$ и $k < 3$. Отрицанием этого является $k \le 2$ или $k \ge 3$.
В результате получаем высказывание: $ \forall k \in N: k \le 2 \lor k \ge 3 $.
Оно читается как: "Для любого натурального числа $k$ верно, что $k$ меньше или равно 2, или $k$ больше или равно 3".
Ответ: $ \forall k \in N: k \le 2 \lor k \ge 3 $

Условие 2010-2022.

143. Прочитай высказывания и построй их отрицания:

1) $\forall m \in N: m^2 = 2m;$

2) $\forall n \in N: n^2 \neq 1;$

3) $\forall x, y \in N: xy \ge x + y;$

4) $\forall k \in N: 5 < k \le 10;$

5) $\exists m \in N: m^3 \neq m \cdot m \cdot m;$

6) $\exists n \in N: 5 - n = 6;$

7) $\exists x, y \in N: x + y < 2;$

8) $\exists k \in N: 2 < k < 3.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).