Номер 150, страница 40, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Отрицание утверждений с кванторами. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 150, страница 40.

Условие 2023.

150 Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Найти натуральное число, которое в 7 раз больше цифры его единиц.

Математический язык: Пусть натуральное число $N$, а его цифра единиц $d_0$. Тогда $N = 7d_0$.

2) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются на 36.

Математический язык: Пусть двузначное число $10a + b$, где $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$. Число с переставленными цифрами $10b + a$. Условие: $(10b + a) - (10a + b) = 36$, что упрощается до $9b - 9a = 36$, или $b - a = 4$.

3) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются в 4,5 раза.

Математический язык: Пусть двузначное число $10a + b$, где $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$. Число с переставленными цифрами $10b + a$. Условие: $10b + a = 4.5(10a + b)$, что упрощается до $5.5b = 44a$, или $b = 8a$.

4) Найти все трёхзначные числа, цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594.

Математический язык: Пусть трёхзначное число $100a + 10b + c$, где $a \in \{1, ..., 9\}$, $b \in \{0, ..., 9\}$, $c \in \{0, ..., 9\}$. Дано, что $b = 5$. Число с переставленными цифрами сотен и единиц $100c + 10b + a$. Условие: $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 594$. С учётом $b=5$, это упрощается до $99a - 99c = 594$, или $a - c = 6$.

Решение 2 (2023).

1) Найти натуральное число, которое в 7 раз больше цифры его единиц.

Переведем условие на математический язык. Пусть искомое натуральное число — это $N$, а цифра его единиц — $u$. По условию $N = 7u$. Поскольку $N$ — натуральное число, $N > 0$, значит, и $u$ не может быть нулем ($u \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$). Решим задачу методом перебора, проверяя все возможные значения $u$.

При $u=1$: $N = 7 \times 1 = 7$. Цифра единиц числа 7 равна 7, что не равно 1. Не подходит.
При $u=2$: $N = 7 \times 2 = 14$. Цифра единиц числа 14 равна 4, что не равно 2. Не подходит.
При $u=3$: $N = 7 \times 3 = 21$. Цифра единиц числа 21 равна 1, что не равно 3. Не подходит.
При $u=4$: $N = 7 \times 4 = 28$. Цифра единиц числа 28 равна 8, что не равно 4. Не подходит.
При $u=5$: $N = 7 \times 5 = 35$. Цифра единиц числа 35 равна 5. Условие выполнено. Число 35 — решение.
При $u=6$: $N = 7 \times 6 = 42$. Цифра единиц числа 42 равна 2, что не равно 6. Не подходит.
При $u=7$: $N = 7 \times 7 = 49$. Цифра единиц числа 49 равна 9, что не равно 7. Не подходит.
При $u=8$: $N = 7 \times 8 = 56$. Цифра единиц числа 56 равна 6, что не равно 8. Не подходит.
При $u=9$: $N = 7 \times 9 = 63$. Цифра единиц числа 63 равна 3, что не равно 9. Не подходит.

Ответ: 35.

2) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются на 36.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. При этом $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$. Число, полученное перестановкой цифр, равно $10b + a$. По условию, новое число больше исходного на 36. Составим уравнение: $(10b + a) - (10a + b) = 36$
$9b - 9a = 36$
$b - a = 4$

Теперь методом перебора найдем все пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этому условию.

Если $a=1$, то $b = 1 + 4 = 5$. Число: 15. Проверка: $51 - 15 = 36$. Подходит.
Если $a=2$, то $b = 2 + 4 = 6$. Число: 26. Проверка: $62 - 26 = 36$. Подходит.
Если $a=3$, то $b = 3 + 4 = 7$. Число: 37. Проверка: $73 - 37 = 36$. Подходит.
Если $a=4$, то $b = 4 + 4 = 8$. Число: 48. Проверка: $84 - 48 = 36$. Подходит.
Если $a=5$, то $b = 5 + 4 = 9$. Число: 59. Проверка: $95 - 59 = 36$. Подходит.
Если $a \ge 6$, то $b$ будет больше 9, что невозможно для цифры.

Ответ: 15, 26, 37, 48, 59.

3) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются в 4,5 раза.

Обозначим искомое двузначное число как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, ..., 9\}$). Число после перестановки цифр — $10b + a$. По условию задачи, новое число в 4,5 раза больше исходного. Запишем это в виде уравнения: $10b + a = 4.5 \times (10a + b)$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $2(10b + a) = 9(10a + b)$
$20b + 2a = 90a + 9b$
$11b = 88a$
$b = 8a$

Теперь методом перебора найдем подходящие цифры $a$ и $b$.

Если $a=1$, то $b = 8 \times 1 = 8$. Число: 18. Проверка: $18 \times 4.5 = 81$. Число после перестановки цифр — 81. Подходит.
Если $a \ge 2$, то $b$ будет равно 16 или больше, что не является цифрой.

Ответ: 18.

4) Найти все трёхзначные числа, цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $100a + 10b + c$, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. По условию, $b=5$. Значит, число имеет вид $100a + 50 + c$. При этом $a \in \{1, ..., 9\}$ и $c \in \{0, ..., 9\}$. Новое число, полученное перестановкой цифр сотен и единиц, равно $100c + 50 + a$. Исходное число уменьшается на 594, то есть: $(100a + 50 + c) - (100c + 50 + a) = 594$
$99a - 99c = 594$
$a - c = \frac{594}{99}$
$a - c = 6$

Методом перебора найдем все пары цифр $(a, c)$, удовлетворяющие условию $a = c + 6$.

Если $c=0$, то $a = 0 + 6 = 6$. Искомое число: 650. Проверка: $650 - 56 = 594$. Подходит.
Если $c=1$, то $a = 1 + 6 = 7$. Искомое число: 751. Проверка: $751 - 157 = 594$. Подходит.
Если $c=2$, то $a = 2 + 6 = 8$. Искомое число: 852. Проверка: $852 - 258 = 594$. Подходит.
Если $c=3$, то $a = 3 + 6 = 9$. Искомое число: 953. Проверка: $953 - 359 = 594$. Подходит.
Если $c \ge 4$, то $a$ будет 10 или больше, что невозможно для цифры.

Ответ: 650, 751, 852, 953.

Условие 2010-2022.

150 Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора. Укажи все возможные решения.

1) Найти натуральное число, которое в 7 раз больше цифры его единиц.

2) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются на 36.

3) Найти все двузначные числа, которые от перестановки их цифр увеличиваются в 4,5 раза.

4) Найти все трехзначные числа, цифры десятков которых равны 5 и которые при перестановке цифры сотен с цифрой единиц уменьшаются на 594.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).