Номер 157, страница 41, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Отрицание утверждений с кванторами. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 157, страница 41.

Условие 2023.

D 157 Прочитай высказывания и построй их отрицания:

1) $\forall a \in N: 4a - 9 = 15;$

2) $\exists b \in N: b(b + 1) \le b^2;$

3) $\forall x \in N: 2x > 2;$

4) $\exists m, n \in N: \text{НОД}(m; n) = m + n.$

Решение 2 (2023).

Для построения отрицания высказывания, содержащего квантор, необходимо заменить этот квантор на противоположный (квантор всеобщности $ \forall $ на квантор существования $ \exists $, и наоборот) и предикат (утверждение после квантора) на его отрицание.

1) Исходное высказывание: $ \forall a \in N: 4a - 9 = 15 $.

Это высказывание с квантором всеобщности $ \forall $ ("для любого") и предикатом $ 4a - 9 = 15 $. Для построения отрицания заменяем квантор всеобщности $ \forall $ на квантор существования $ \exists $ ("существует") и отрицаем предикат. Отрицанием для равенства $ A = B $ является $ A \neq B $.

Таким образом, отрицанием будет высказывание: "Существует такое натуральное число $a$, что $4a - 9 \neq 15$".

Ответ: $ \exists a \in N: 4a - 9 \neq 15 $

2) Исходное высказывание: $ \exists b \in N: b(b + 1) \leq b^2 $.

Это высказывание с квантором существования $ \exists $ ("существует") и предикатом $ b(b + 1) \leq b^2 $. Для построения отрицания заменяем квантор существования $ \exists $ на квантор всеобщности $ \forall $ ("для любого") и отрицаем предикат. Отрицанием для нестрогого неравенства $ A \leq B $ является строгое неравенство $ A > B $.

Таким образом, отрицанием будет высказывание: "Для любого натурального числа $b$ верно, что $b(b + 1) > b^2$".

Ответ: $ \forall b \in N: b(b + 1) > b^2 $

3) Исходное высказывание: $ \forall x \in N: 2x > 2 $.

Это высказывание с квантором всеобщности $ \forall $ и предикатом $ 2x > 2 $. Заменяем $ \forall $ на $ \exists $ и отрицаем предикат. Отрицанием для строгого неравенства $ A > B $ является нестрогое неравенство $ A \leq B $.

Таким образом, отрицанием будет высказывание: "Существует такое натуральное число $x$, что $2x \leq 2$".

Ответ: $ \exists x \in N: 2x \leq 2 $

4) Исходное высказывание: $ \exists m, n \in N: \text{НОД}(m; n) = m + n $.

Это высказывание с квантором существования $ \exists $ и предикатом $ \text{НОД}(m; n) = m + n $. Заменяем $ \exists $ на $ \forall $ и отрицаем предикат. Отрицанием для равенства $ A = B $ является $ A \neq B $.

Таким образом, отрицанием будет высказывание: "Для любых натуральных чисел $m$ и $n$ верно, что $\text{НОД}(m; n) \neq m + n$".

Ответ: $ \forall m, n \in N: \text{НОД}(m; n) \neq m + n $

Условие 2010-2022.

D 157 Прочитай высказывания и построй их отрицания:

1) $\forall a \in N: 4a - 9 = 15$;

2) $\exists b \in N: b(b + 1) \le b^2$;

3) $\forall x \in R: 2x > 2$ (R - множество дробей);

4) $\exists m, n \in N: \text{НОД}(m; n) = m + n$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).