Номер 158, страница 41, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Отрицание утверждений с кванторами. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 158, страница 41.

Условие 2023.

158 Переведи высказывания на математический язык и построй их отрицания.

1) Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их произведению.

Математический язык: $ \forall a, b \in \mathbb{N}, \text{НОК}(a, b) = a \cdot b $

Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{N}, \text{НОК}(a, b) \neq a \cdot b $

2) Квадрат числа не может быть равен 0,01.

Математический язык: $ \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \neq 0.01 $

Отрицание: $ \exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 0.01 $

3) Произведение двух правильных дробей может быть неправильной дробью.

Математический язык: $ \exists \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \text{ such that } (a, b, c, d \in \mathbb{N} \land a < b \land c < d) \land (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \ge 1) $

Отрицание: $ \forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \text{ such that } (a, b, c, d \in \mathbb{N} \land a < b \land c < d) \implies (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} < 1) $

4) Частное двух натуральных чисел всегда меньше делимого.

Математический язык: $ \forall a, b \in \mathbb{N}, \frac{a}{b} < a $

Отрицание: $ \exists a, b \in \mathbb{N}, \frac{a}{b} \ge a $

Решение 2 (2023).

1) Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их произведению.

Перевод на математический язык:

Данное высказывание является общим, так как в нем используется слово «любых». Обозначим два произвольных натуральных числа как $a$ и $b$. Натуральные числа — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \ldots$ Множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$. Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ обозначается как НОК$(a, b)$. Произведение чисел — это $a \cdot b$.

Таким образом, высказывание можно записать в виде формулы с использованием квантора всеобщности $\forall$ («для любого»):

$\forall a \in \mathbb{N}, \forall b \in \mathbb{N}: \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$.

Построение отрицания:

Отрицанием для общего высказывания (с квантором $\forall$) является высказывание о существовании (с квантором $\exists$). Нужно заменить «для любых» на «существуют такие», а знак равенства «$=$» на знак неравенства «$\neq$».

Математическая запись отрицания: $\exists a \in \mathbb{N}, \exists b \in \mathbb{N}: \text{НОК}(a, b) \neq a \cdot b$.

Словесная формулировка отрицания: «Существуют такие два натуральных числа, наименьшее общее кратное которых не равно их произведению».

Ответ: Математическая запись: $\forall a, b \in \mathbb{N}: \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$. Отрицание: Существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, для которых $\text{НОК}(a, b) \neq a \cdot b$.

2) Квадрат числа не может быть равен 0,01.

Перевод на математический язык:

Фраза «не может быть» означает, что это невозможно ни для какого числа. Это общее высказывание. Пусть $x$ — произвольное число (будем считать, что из множества действительных чисел $\mathbb{R}$). Его квадрат — это $x^2$.

Высказывание утверждает, что для любого числа $x$ его квадрат не равен $0,01$. Математическая запись:

$\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \neq 0,01$.

Построение отрицания:

Отрицанием будет утверждение о том, что такое число все-таки существует. То есть «не может быть» заменяется на «может быть», а знак «$\neq$» на «$=$».

Математическая запись отрицания: $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 = 0,01$.

Словесная формулировка отрицания: «Существует такое число, квадрат которого равен 0,01» или «Квадрат числа может быть равен 0,01».

Ответ: Математическая запись: $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \neq 0,01$. Отрицание: Существует такое число $x$, для которого $x^2 = 0,01$.

3) Произведение двух правильных дробей может быть неправильной дробью.

Перевод на математический язык:

Фраза «может быть» указывает на то, что это высказывание о существовании. Правильная дробь — это положительное рациональное число, меньшее 1. Неправильная дробь — это рациональное число, большее или равное 1. Пусть $x$ и $y$ — две правильные дроби.

Условия для $x$ и $y$: $x \in \mathbb{Q}, 0 < x < 1$ и $y \in \mathbb{Q}, 0 < y < 1$.

Утверждается, что их произведение $x \cdot y$ может быть неправильной дробью, то есть $x \cdot y \geq 1$.

Математическая запись с использованием квантора существования $\exists$ («существует»):

$\exists x, y \in \mathbb{Q}$ такие, что ($0 < x < 1$ и $0 < y < 1$) и ($x \cdot y \geq 1$).

Построение отрицания:

Отрицанием для высказывания о существовании является общее высказывание. «Может быть» заменяем на «никогда не может быть» или «всегда не». Произведение будет правильной дробью, то есть строго меньше 1.

Математическая запись отрицания: $\forall x, y \in \mathbb{Q}$, если ($0 < x < 1$ и $0 < y < 1$), то ($x \cdot y < 1$).

Словесная формулировка отрицания: «Произведение любых двух правильных дробей является правильной дробью» или «Произведение двух правильных дробей не может быть неправильной дробью».

Ответ: Математическая запись: $\exists x, y \in \mathbb{Q}$ такие, что ($0 < x < 1$ и $0 < y < 1$) и ($x \cdot y \geq 1$). Отрицание: Произведение любых двух правильных дробей всегда является правильной дробью (то есть, меньше 1).

4) Частное двух натуральных чисел всегда меньше делимого.

Перевод на математический язык:

Слово «всегда» указывает на то, что это общее высказывание. Пусть $a$ — делимое, $b$ — делитель, где $a, b \in \mathbb{N}$. Частное — это результат деления, то есть $\frac{a}{b}$.

Высказывание утверждает, что для любых натуральных $a$ и $b$ частное меньше делимого:

$\forall a, b \in \mathbb{N}: \frac{a}{b} < a$.

Построение отрицания:

Отрицанием является утверждение о существовании такой пары чисел, для которой это неравенство не выполняется. «Всегда меньше» заменяется на «существуют такие, для которых не меньше (то есть больше или равно)». Знак «$<$» меняется на «$\geq$».

Математическая запись отрицания: $\exists a, b \in \mathbb{N}: \frac{a}{b} \geq a$.

Словесная формулировка отрицания: «Существуют такие натуральные числа (делимое и делитель), частное которых не меньше (больше или равно) делимого».

Ответ: Математическая запись: $\forall a, b \in \mathbb{N}: \frac{a}{b} < a$. Отрицание: Существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, что $\frac{a}{b} \geq a$.

Условие 2010-2022.

158 Переведи высказывания на математический язык и построй их отрицания:

1) Наименьшее общее кратное любых двух натуральных чисел равно их произведению.

2) Квадрат числа не может быть равен 0,01.

3) Произведение двух правильных дробей может быть неправильной дробью.

4) Частное двух натуральных чисел всегда меньше делимого.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).