Номер 154, страница 41, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 4. Отрицание утверждений с кванторами - номер 154, страница 41.

Условие 2023.

154. Точки $A(a; 0)$ и $B(0; b)$ принадлежат координатному углу $xOy$. Докажи, что треугольник $AOB$ является прямоугольным.

Решение 2 (2023).

Для доказательства того, что треугольник AOB является прямоугольным, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Доказательство через свойства координатных осей
Треугольник AOB имеет следующие вершины:
- O — начало координат с координатами $(0; 0)$.
- A — точка с координатами $(a; 0)$. Поскольку её y-координата равна нулю, точка A лежит на оси абсцисс (Ox). Следовательно, сторона OA треугольника лежит на оси Ox.
- B — точка с координатами $(0; b)$. Поскольку её x-координата равна нулю, точка B лежит на оси ординат (Oy). Следовательно, сторона OB треугольника лежит на оси Oy.
В декартовой системе координат оси Ox и Oy по определению взаимно перпендикулярны, то есть угол между ними равен $90^\circ$. Так как стороны OA и OB треугольника лежат на этих осях, угол между ними, $\angle AOB$, также равен $90^\circ$.
По определению, треугольник, имеющий прямой угол, является прямоугольным. Следовательно, треугольник AOB — прямоугольный.

Доказательство через теорему, обратную теореме Пифагора
Чтобы доказать, что треугольник является прямоугольным, можно показать, что для длин его сторон выполняется теорема Пифагора ($c^2 = x^2 + y^2$). Для этого найдем квадраты длин всех сторон треугольника AOB, используя формулу для квадрата расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
1. Квадрат длины стороны OA (расстояние между O(0; 0) и A(a; 0)):
$OA^2 = (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$.
2. Квадрат длины стороны OB (расстояние между O(0; 0) и B(0; b)):
$OB^2 = (0 - 0)^2 + (b - 0)^2 = b^2$.
3. Квадрат длины стороны AB (расстояние между A(a; 0) и B(0; b)):
$AB^2 = (0 - a)^2 + (b - 0)^2 = (-a)^2 + b^2 = a^2 + b^2$.
Теперь проверим равенство $OA^2 + OB^2 = AB^2$:
$a^2 + b^2 = a^2 + b^2$.
Равенство выполняется. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив наибольшей стороны (гипотенузы AB), то есть это угол при вершине O.

Ответ: Треугольник AOB является прямоугольным, так как его стороны OA и OB лежат на перпендикулярных координатных осях, образуя прямой угол $\angle AOB = 90^\circ$. Это также доказывается выполнением для его сторон теоремы Пифагора: $OA^2 + OB^2 = AB^2$.

Условие 2010-2022.

154. Точки $A(a; 0)$ и $B(0; b)$ принадлежат координатному углу $xOy$. Докажи, что треугольник $AOB$ является прямоугольным.

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).