Номер 147, страница 40, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Отрицание утверждений с кванторами. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 147, страница 40.

Условие 2023.

147 Пусть $A(x)$ – некоторое предложение. Преобразуй его с помощью кванторов общности и существования в высказывание. Построй отрицание получившихся высказываний, используя вместо символа $\neg A(x)$ символ $\overline{A}(x)$.

Решение 2 (2023).

Использование квантора общности
Исходное предложение (предикат): $A(x)$.
Преобразуем его в высказывание с помощью квантора общности ($\forall$ - "для любого", "для всех"). Это означает, что свойство $A(x)$ выполняется для всех возможных значений $x$ из некоторой предметной области.
Полученное высказывание: $ \forall x A(x) $.
Смысл: "Для любого $x$ верно $A(x)$".
Теперь построим отрицание этого высказывания. Отрицание высказывания "$ \forall x A(x) $" записывается как $ \neg(\forall x A(x)) $.
Согласно правилам де Моргана для кванторов, отрицание квантора общности равносильно квантору существования от отрицания предиката:
$ \neg(\forall x A(x)) \equiv \exists x (\neg A(x)) $
По условию, вместо символа $ \neg A(x) $ нужно использовать символ $ \bar{A}(x) $. Таким образом, отрицание имеет вид:
$ \exists x \bar{A}(x) $
Смысл: "Существует такой $x$, для которого неверно $A(x)$".
Ответ: высказывание $ \forall x A(x) $ и его отрицание $ \exists x \bar{A}(x) $.

Использование квантора существования
Исходное предложение (предикат): $A(x)$.
Преобразуем его в высказывание с помощью квантора существования ($\exists$ - "существует", "найдется"). Это означает, что существует хотя бы одно значение $x$, для которого свойство $A(x)$ выполняется.
Полученное высказывание: $ \exists x A(x) $.
Смысл: "Существует такой $x$, для которого верно $A(x)$".
Теперь построим отрицание этого высказывания: $ \neg(\exists x A(x)) $.
Согласно правилам де Моргана для кванторов, отрицание квантора существования равносильно квантору общности от отрицания предиката:
$ \neg(\exists x A(x)) \equiv \forall x (\neg A(x)) $
Используя заданное обозначение $ \bar{A}(x) $ вместо $ \neg A(x) $, получаем:
$ \forall x \bar{A}(x) $
Смысл: "Для любого $x$ неверно $A(x)$" (или "Не существует такого $x$, для которого $A(x)$ было бы верным").
Ответ: высказывание $ \exists x A(x) $ и его отрицание $ \forall x \bar{A}(x) $.

Условие 2010-2022.

147 Пусть $A(x)$ – некоторое предложение. Преобразуй его с помощью кванторов общности и существования в высказывание. Построй отрицание получившихся высказываний, используя вместо символа $\neg A(x)$ символ $\overline{A}(x)$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).