Номер 141, страница 38, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 3. Переменная и кванторы - номер 141, страница 38.

Условие 2023.

C 141

Произведение возрастов Таниных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Тани братьев?

Решение 2 (2023).

Пусть у Тани $n$ братьев, и их возрасты в порядке возрастания равны $a_1, a_2, \ldots, a_n$.

Согласно условию задачи, произведение их возрастов равно 1664:
$a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = 1664$.

Также известно, что младший брат вдвое моложе старшего:
$a_n = 2 \cdot a_1$.

Возрасты братьев — это натуральные числа, и они расположены в порядке строгого возрастания: $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$.

Для начала разложим число 1664 на простые множители:
$1664 = 2 \cdot 832 = 2^2 \cdot 416 = 2^3 \cdot 208 = 2^4 \cdot 104 = 2^5 \cdot 52 = 2^6 \cdot 26 = 2^7 \cdot 13$.

Теперь подставим второе условие в первое уравнение:
$a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot (2a_1) = 1664$.

Сгруппируем множители:
$2 \cdot a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}) = 1664$.

Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}) = 832$.

Из этого уравнения следует, что $a_1^2$ должен быть делителем числа 832, который является полным квадратом. Разложение числа 832 на простые множители: $832 = 2^6 \cdot 13$.

Найдём все делители числа 832, которые являются полными квадратами. Для этого показатели степеней простых множителей в их разложении должны быть чётными.
Возможные квадратные делители: $1^2=1$, $2^2=4$, $4^2=16$, $8^2=64$.
Следовательно, возраст младшего брата $a_1$ может быть равен $1, 2, 4$ или $8$.

Рассмотрим каждый из возможных вариантов для возраста младшего брата $a_1$:

1. Если $a_1 = 1$, то возраст старшего брата $a_n = 2 \cdot 1 = 2$. Так как между 1 и 2 нет других целых чисел, средних братьев быть не может. Произведение возрастов было бы $1 \cdot 2 = 2$, что не равно 1664. Этот вариант не подходит.

2. Если $a_1 = 2$, то возраст старшего брата $a_n = 2 \cdot 2 = 4$. Между 2 и 4 есть только одно целое число — 3. Возможные возрасты: 2, 3, 4. Их произведение $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, что не равно 1664. Этот вариант не подходит.

3. Если $a_1 = 4$, то возраст старшего брата $a_n = 2 \cdot 4 = 8$. Возрасты средних братьев должны быть строго между 4 и 8. Произведение их возрастов, согласно нашему уравнению, должно быть равно $832 / a_1^2 = 832 / 16 = 52$. Однако, среди целых чисел в интервале $(4, 8)$, то есть 5, 6, 7, нет таких, произведение которых равно 52. Этот вариант не подходит.

4. Если $a_1 = 8$, то возраст старшего брата $a_n = 2 \cdot 8 = 16$. Возрасты средних братьев должны быть строго между 8 и 16. Произведение их возрастов должно быть равно $832 / a_1^2 = 832 / 64 = 13$. Так как 13 — простое число, может быть только один средний брат, и его возраст равен 13. Проверим, выполняется ли условие $a_1 < a_2 < a_n$: $8 < 13 < 16$. Условие выполняется. Этот вариант подходит.

Таким образом, мы нашли единственное возможное решение: у Тани три брата, и их возрасты — 8, 13 и 16 лет.
Проверим оба условия задачи:
1) Произведение возрастов: $8 \cdot 13 \cdot 16 = 104 \cdot 16 = 1664$. Верно.
2) Младший брат (8 лет) вдвое моложе старшего (16 лет). Верно.
Все условия выполнены.
Ответ: 3.

Условие 2010-2022.

141 Произведение возрастов Таниных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Тани братьев?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).