Номер 144, страница 39, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Отрицание утверждений с кванторами. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 144, страница 39.

Условие 2023.

144 Опровергни утверждения и запиши их отрицания на математическом языке ($R$ – множество дробей):

1) $\forall n \in N: n$ – простое;

2) $\forall k \in N: k < k^2$;

3) $\forall a, b \in N:$ НОД $(a, b) = 1$;

4) $\forall x, y \in R: (x - y)^2 \neq x^2 - y^2$;

5) $\exists n \in N: n^3 = 3$;

6) $\exists k \in N: k^2 > k^3$;

7) $\exists a, b \in N:$ НОК $(a, b) = a - b$;

8) $\exists x, y \in R: (x + y)^2 \neq x^2 + 2xy + y^2$.

Решение 2 (2023).

1) Утверждение $\forall n \in N: n$ - простое, является ложным. Для его опровержения достаточно привести контрпример. Возьмем натуральное число $n=4$. Число 4 не является простым, так как оно делится не только на 1 и на себя, но и на 2. Отрицанием исходного утверждения является существование натурального числа, которое не является простым.
Ответ: $\exists n \in N: n \text{ - не простое}$.

2) Утверждение $\forall k \in N: k < k^2$, является ложным. Контрпримером является $k=1$. Для $k=1$ неравенство принимает вид $1 < 1^2$, что равносильно $1 < 1$. Это неверно. Отрицанием исходного утверждения является существование натурального числа $k$, для которого $k \ge k^2$.
Ответ: $\exists k \in N: k \ge k^2$.

3) Утверждение $\forall a, b \in N: \text{НОД}(a, b) = 1$, является ложным. Контрпример: пусть $a=2$ и $b=4$. Оба числа натуральные, но их наибольший общий делитель $\text{НОД}(2, 4) = 2$, что не равно 1. Отрицанием является существование пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых не равен 1.
Ответ: $\exists a, b \in N: \text{НОД}(a, b) \ne 1$.

4) Утверждение $\forall x, y \in R: (x-y)^2 \ne x^2 - y^2$, является ложным. Чтобы его опровергнуть, нужно найти такие $x, y \in R$, для которых $(x-y)^2 = x^2 - y^2$. Раскроем скобки: $x^2 - 2xy + y^2 = x^2 - y^2$, что упрощается до $2y^2 - 2xy = 0$, или $2y(y-x) = 0$. Это равенство верно, если $y=0$ или $y=x$. Например, при $x=1, y=0$, получаем $(1-0)^2 = 1$ и $1^2-0^2=1$. Отрицанием является существование $x, y$ из $R$, для которых равенство выполняется.
Ответ: $\exists x, y \in R: (x-y)^2 = x^2 - y^2$.

5) Утверждение $\exists n \in N: n^3 = 3$, является ложным. Не существует натурального числа, куб которого равен 3. Проверим первые натуральные числа: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$. Поскольку функция $f(n)=n^3$ является возрастающей для натуральных $n$, и $1 < 3 < 8$, то натурального $n$, удовлетворяющего условию, нет. Отрицанием будет утверждение, что для любого натурального $n$ его куб не равен 3.
Ответ: $\forall n \in N: n^3 \ne 3$.

6) Утверждение $\exists k \in N: k^2 > k^3$, является ложным. Так как $k \in N$, то $k > 0$, и можно разделить неравенство $k^2 > k^3$ на $k^2$. Получим $1 > k$. Однако в множестве натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ нет чисел, меньших 1. Следовательно, такое $k$ не существует. Отрицанием является утверждение, что для любого натурального $k$ выполняется обратное неравенство.
Ответ: $\forall k \in N: k^2 \le k^3$.

7) Утверждение $\exists a, b \in N: \text{НОК}(a, b) = a - b$, является ложным. По определению, наименьшее общее кратное $\text{НОК}(a, b)$ должно быть кратно $a$, поэтому $\text{НОК}(a, b) \ge a$. С другой стороны, разность $a-b$ должна быть положительной (т.к. НОК > 0), что означает $a > b$. Но если $a > b$, то $a - b < a$. Таким образом, мы приходим к противоречию $\text{НОК}(a, b) \ge a$ и $\text{НОК}(a, b) < a$. Таких чисел $a,b$ не существует. Отрицанием является то, что для любых натуральных $a, b$ это равенство неверно.
Ответ: $\forall a, b \in N: \text{НОК}(a, b) \ne a - b$.

8) Утверждение $\exists x, y \in R: (x+y)^2 \ne x^2 + 2xy + y^2$, является ложным. Равенство $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ — это формула квадрата суммы, которая является тождеством и верна для любых чисел, в том числе и для всех $x, y$ из множества дробей $R$. Поэтому не существует такой пары чисел, для которой это равенство не выполнялось бы. Отрицанием является то, что данное равенство верно для всех $x, y$ из $R$.
Ответ: $\forall x, y \in R: (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Условие 2010-2022.

144 Опровергни утверждения и запиши их отрицания на математическом языке

($R$ – множество дробей):

1) $\forall n \in N$: n – простое;

2) $\forall k \in N$: $k < k^2$;

3) $\forall a, b \in N$: НОД $(a, b) = 1$;

4) $\forall x, y \in R$: $(x - y)^2 \neq x^2 - y^2$;

5) $\exists n \in N$: $n^3 = 3$;

6) $\exists k \in N$: $k^2 > k^3$;

7) $\exists a, b \in N$: НОК $(a, b) = a - b$;

8) $\exists x, y \in R$: $(x + y)^2 \neq x^2 + 2xy + y^2$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).