Номер 145, страница 39, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 2. Переменная. 4. Отрицание утверждений с кванторами - номер 145, страница 39.

Условие 2023.

145 Придумай и запиши с помощью кванторов: а) общее высказывание; б) высказывание о существовании. Построй отрицание каждого из этих высказываний.

Решение 2 (2023).

а) общее высказывание

В качестве общего высказывания рассмотрим утверждение: "Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом".

Введем предикат $P(x) = \{x^2 \ge 0\}$, определенный на множестве действительных чисел $\mathbb{R}$. Тогда данное высказывание можно записать с помощью квантора всеобщности $\forall$ (для любого, для каждого):

$\forall x \in \mathbb{R} : (x^2 \ge 0)$.

Теперь построим отрицание этого высказывания. Отрицание общего высказывания является высказыванием о существовании. Для построения отрицания используется правило: $\neg(\forall x P(x)) \Leftrightarrow \exists x \neg P(x)$.

Отрицанием предиката $P(x)$, то есть $\neg P(x)$, будет высказывание $x^2 < 0$.

Следовательно, отрицание исходного высказывания в словесной форме: "Существует такое действительное число, квадрат которого отрицателен".

В символьной форме отрицание выглядит так:

$\exists x \in \mathbb{R} : (x^2 < 0)$.

Ответ: Исходное высказывание: $\forall x \in \mathbb{R} : (x^2 \ge 0)$. Его отрицание: $\exists x \in \mathbb{R} : (x^2 < 0)$.

б) высказывание о существовании

В качестве высказывания о существовании рассмотрим утверждение: "Существует натуральное число, являющееся корнем уравнения $x - 3 = 0$".

Введем предикат $Q(x) = \{x - 3 = 0\}$, определенный на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$. Тогда данное высказывание можно записать с помощью квантора существования $\exists$ (существует, найдется):

$\exists x \in \mathbb{N} : (x - 3 = 0)$.

Теперь построим отрицание этого высказывания. Отрицание высказывания о существовании является общим высказыванием. Для построения отрицания используется правило: $\neg(\exists x Q(x)) \Leftrightarrow \forall x \neg Q(x)$.

Отрицанием предиката $Q(x)$, то есть $\neg Q(x)$, будет высказывание $x - 3 \neq 0$.

Следовательно, отрицание исходного высказывания в словесной форме: "Любое натуральное число не является корнем уравнения $x - 3 = 0$".

В символьной форме отрицание выглядит так:

$\forall x \in \mathbb{N} : (x - 3 \neq 0)$.

Ответ: Исходное высказывание: $\exists x \in \mathbb{N} : (x - 3 = 0)$. Его отрицание: $\forall x \in \mathbb{N} : (x - 3 \neq 0)$.

Условие 2010-2022.

145 Придумай и запиши с помощью кванторов:

а) общее высказывание;

б) высказывание о существовании.

Построй отрицание каждого из этих высказываний.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).