Номер 140, страница 38, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Переменная и кванторы. Параграф 2. Переменная. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 140, страница 38.

Условие 2023.

140 Построй математическую модель задачи.

1) На станции технического обслуживания три механика отремонтировали за месяц 78 автомобилей. Первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше автомобилей, чем второй, а третий – на 6 автомобилей больше, чем первый. Сколько автомобилей отремонтировал каждый механик?

2) Грузчикам надо за определённое время разгрузить 192 ящика. Однако они выполнили работу на 2 ч раньше срока, так как разгружали в час на 8 ящиков больше, чем предполагали. Сколько ящиков в час они разгружали, если работали равномерно?

Решение 2 (2023).

1)

Для построения математической модели введем переменную. Пусть $x$ — количество автомобилей, отремонтированных вторым механиком.

Согласно условию, первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше, то есть $1.5x$ автомобилей.

Третий механик отремонтировал на 6 автомобилей больше, чем первый, то есть $(1.5x + 6)$ автомобилей.

Всего три механика отремонтировали 78 автомобилей. Составим и решим уравнение:

$x + 1.5x + (1.5x + 6) = 78$

$4x + 6 = 78$

$4x = 78 - 6$

$4x = 72$

$x = 72 / 4$

$x = 18$

Таким образом, второй механик отремонтировал 18 автомобилей.

Теперь найдем, сколько автомобилей отремонтировали первый и третий механики:

Первый механик: $1.5 * 18 = 27$ автомобилей.

Третий механик: $27 + 6 = 33$ автомобиля.

Проверим: $18 + 27 + 33 = 78$.

Ответ: первый механик отремонтировал 27 автомобилей, второй — 18 автомобилей, а третий — 33 автомобиля.

2)

Пусть $x$ — количество ящиков, которое грузчики разгружали в час по плану (планируемая производительность).

Тогда плановое время на разгрузку 192 ящиков составляет $t_{план} = \frac{192}{x}$ часов.

Фактически грузчики разгружали в час на 8 ящиков больше, то есть их фактическая производительность была $(x + 8)$ ящиков в час.

Фактическое время, затраченное на работу, составило $t_{факт} = \frac{192}{x+8}$ часов.

Известно, что работа была выполнена на 2 часа раньше срока, значит, разница между плановым и фактическим временем равна 2 часам. Составим уравнение:

$\frac{192}{x} - \frac{192}{x+8} = 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{192(x+8) - 192x}{x(x+8)} = 2$

$\frac{192x + 1536 - 192x}{x^2 + 8x} = 2$

$\frac{1536}{x^2 + 8x} = 2$

$1536 = 2(x^2 + 8x)$

$768 = x^2 + 8x$

$x^2 + 8x - 768 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-768) = 64 + 3072 = 3136$

$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$

$x_1 = \frac{-8 + 56}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-8 - 56}{2 \cdot 1} = \frac{-64}{2} = -32$

Так как производительность не может быть отрицательной, корень $x_2 = -32$ не подходит по условию задачи.

Следовательно, плановая производительность $x = 24$ ящика в час.

В задаче спрашивается, сколько ящиков в час они разгружали фактически.

Фактическая производительность: $x + 8 = 24 + 8 = 32$ ящика в час.

Ответ: грузчики разгружали 32 ящика в час.

Условие 2010-2022.

140 Построй математическую модель задачи:

1) На станции технического обслуживания три механика отремонтировали за месяц 78 автомобилей. Первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше автомобилей, чем второй, а третий – на 6 автомобилей больше, чем первый. Сколько автомобилей отремонтировал каждый механик?

2) Грузчикам надо за определенное время разгрузить 192 ящика. Однако они выполнили работу на 2 ч раньше срока, так как разгружали в час на 8 ящиков больше, чем предполагали. Сколько ящиков в час они разгружали, если работали равномерно?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).