Страница 38, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

140 Построй математическую модель задачи.

1) На станции технического обслуживания три механика отремонтировали за месяц 78 автомобилей. Первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше автомобилей, чем второй, а третий – на 6 автомобилей больше, чем первый. Сколько автомобилей отремонтировал каждый механик?

2) Грузчикам надо за определённое время разгрузить 192 ящика. Однако они выполнили работу на 2 ч раньше срока, так как разгружали в час на 8 ящиков больше, чем предполагали. Сколько ящиков в час они разгружали, если работали равномерно?

1)

Для построения математической модели введем переменную. Пусть $x$ — количество автомобилей, отремонтированных вторым механиком.

Согласно условию, первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше, то есть $1.5x$ автомобилей.

Третий механик отремонтировал на 6 автомобилей больше, чем первый, то есть $(1.5x + 6)$ автомобилей.

Всего три механика отремонтировали 78 автомобилей. Составим и решим уравнение:

$x + 1.5x + (1.5x + 6) = 78$

$4x + 6 = 78$

$4x = 78 - 6$

$4x = 72$

$x = 72 / 4$

$x = 18$

Таким образом, второй механик отремонтировал 18 автомобилей.

Теперь найдем, сколько автомобилей отремонтировали первый и третий механики:

Первый механик: $1.5 * 18 = 27$ автомобилей.

Третий механик: $27 + 6 = 33$ автомобиля.

Проверим: $18 + 27 + 33 = 78$.

Ответ: первый механик отремонтировал 27 автомобилей, второй — 18 автомобилей, а третий — 33 автомобиля.

2)

Пусть $x$ — количество ящиков, которое грузчики разгружали в час по плану (планируемая производительность).

Тогда плановое время на разгрузку 192 ящиков составляет $t_{план} = \frac{192}{x}$ часов.

Фактически грузчики разгружали в час на 8 ящиков больше, то есть их фактическая производительность была $(x + 8)$ ящиков в час.

Фактическое время, затраченное на работу, составило $t_{факт} = \frac{192}{x+8}$ часов.

Известно, что работа была выполнена на 2 часа раньше срока, значит, разница между плановым и фактическим временем равна 2 часам. Составим уравнение:

$\frac{192}{x} - \frac{192}{x+8} = 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{192(x+8) - 192x}{x(x+8)} = 2$

$\frac{192x + 1536 - 192x}{x^2 + 8x} = 2$

$\frac{1536}{x^2 + 8x} = 2$

$1536 = 2(x^2 + 8x)$

$768 = x^2 + 8x$

$x^2 + 8x - 768 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-768) = 64 + 3072 = 3136$

$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$

$x_1 = \frac{-8 + 56}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-8 - 56}{2 \cdot 1} = \frac{-64}{2} = -32$

Так как производительность не может быть отрицательной, корень $x_2 = -32$ не подходит по условию задачи.

Следовательно, плановая производительность $x = 24$ ящика в час.

В задаче спрашивается, сколько ящиков в час они разгружали фактически.

Фактическая производительность: $x + 8 = 24 + 8 = 32$ ящика в час.

Ответ: грузчики разгружали 32 ящика в час.

140 Построй математическую модель задачи:

1) На станции технического обслуживания три механика отремонтировали за месяц 78 автомобилей. Первый механик отремонтировал в 1,5 раза больше автомобилей, чем второй, а третий – на 6 автомобилей больше, чем первый. Сколько автомобилей отремонтировал каждый механик?

2) Грузчикам надо за определенное время разгрузить 192 ящика. Однако они выполнили работу на 2 ч раньше срока, так как разгружали в час на 8 ящиков больше, чем предполагали. Сколько ящиков в час они разгружали, если работали равномерно?

C 141

Произведение возрастов Таниных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Тани братьев?

Пусть у Тани $n$ братьев, и их возрасты в порядке возрастания равны $a_1, a_2, \ldots, a_n$.

Согласно условию задачи, произведение их возрастов равно 1664:
$a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = 1664$.

Также известно, что младший брат вдвое моложе старшего:
$a_n = 2 \cdot a_1$.

Возрасты братьев — это натуральные числа, и они расположены в порядке строгого возрастания: $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$.

Для начала разложим число 1664 на простые множители:
$1664 = 2 \cdot 832 = 2^2 \cdot 416 = 2^3 \cdot 208 = 2^4 \cdot 104 = 2^5 \cdot 52 = 2^6 \cdot 26 = 2^7 \cdot 13$.

Теперь подставим второе условие в первое уравнение:
$a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot (2a_1) = 1664$.

Сгруппируем множители:
$2 \cdot a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}) = 1664$.

Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1^2 \cdot (a_2 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}) = 832$.

Из этого уравнения следует, что $a_1^2$ должен быть делителем числа 832, который является полным квадратом. Разложение числа 832 на простые множители: $832 = 2^6 \cdot 13$.

Найдём все делители числа 832, которые являются полными квадратами. Для этого показатели степеней простых множителей в их разложении должны быть чётными.
Возможные квадратные делители: $1^2=1$, $2^2=4$, $4^2=16$, $8^2=64$.
Следовательно, возраст младшего брата $a_1$ может быть равен $1, 2, 4$ или $8$.

Рассмотрим каждый из возможных вариантов для возраста младшего брата $a_1$:

1. Если $a_1 = 1$, то возраст старшего брата $a_n = 2 \cdot 1 = 2$. Так как между 1 и 2 нет других целых чисел, средних братьев быть не может. Произведение возрастов было бы $1 \cdot 2 = 2$, что не равно 1664. Этот вариант не подходит.

2. Если $a_1 = 2$, то возраст старшего брата $a_n = 2 \cdot 2 = 4$. Между 2 и 4 есть только одно целое число — 3. Возможные возрасты: 2, 3, 4. Их произведение $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, что не равно 1664. Этот вариант не подходит.

3. Если $a_1 = 4$, то возраст старшего брата $a_n = 2 \cdot 4 = 8$. Возрасты средних братьев должны быть строго между 4 и 8. Произведение их возрастов, согласно нашему уравнению, должно быть равно $832 / a_1^2 = 832 / 16 = 52$. Однако, среди целых чисел в интервале $(4, 8)$, то есть 5, 6, 7, нет таких, произведение которых равно 52. Этот вариант не подходит.

4. Если $a_1 = 8$, то возраст старшего брата $a_n = 2 \cdot 8 = 16$. Возрасты средних братьев должны быть строго между 8 и 16. Произведение их возрастов должно быть равно $832 / a_1^2 = 832 / 64 = 13$. Так как 13 — простое число, может быть только один средний брат, и его возраст равен 13. Проверим, выполняется ли условие $a_1 < a_2 < a_n$: $8 < 13 < 16$. Условие выполняется. Этот вариант подходит.

Таким образом, мы нашли единственное возможное решение: у Тани три брата, и их возрасты — 8, 13 и 16 лет.
Проверим оба условия задачи:
1) Произведение возрастов: $8 \cdot 13 \cdot 16 = 104 \cdot 16 = 1664$. Верно.
2) Младший брат (8 лет) вдвое моложе старшего (16 лет). Верно.
Все условия выполнены.
Ответ: 3.

141 Произведение возрастов Таниных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько у Тани братьев?

142 В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальное количество тетрадей в первой пачке, а $y$ — первоначальное количество тетрадей во второй пачке.

Из условия задачи известно, что всего в двух пачках 30 тетрадей. Мы можем составить первое уравнение:
$x + y = 30$

Далее, по условию, если из первой пачки переложить 2 тетради во вторую, то в первой пачке станет $(x - 2)$ тетради, а во второй — $(y + 2)$ тетради. После этого количество тетрадей в первой пачке будет вдвое больше, чем во второй. Это позволяет составить второе уравнение:
$x - 2 = 2 \cdot (y + 2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} x + y = 30 \\ x - 2 = 2(y + 2) \end{cases} $

Решим эту систему. Сначала упростим второе уравнение:
$x - 2 = 2y + 4$
$x = 2y + 6$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(2y + 6) + y = 30$
$3y + 6 = 30$
$3y = 30 - 6$
$3y = 24$
$y = \frac{24}{3}$
$y = 8$

Итак, мы нашли, что во второй пачке изначально было 8 тетрадей. Теперь найдем количество тетрадей в первой пачке, подставив значение $y$ в первое уравнение:
$x + 8 = 30$
$x = 30 - 8$
$x = 22$

Таким образом, в первой пачке изначально было 22 тетради.

Ответ: в первой пачке было 22 тетради, во второй — 8 тетрадей.

142 В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

145 В треугольнике ABC отрезок BD перпендикулярен к основанию AC, $AC = a$, $BD = h$. Площадь треугольника ABC равна S. Построй формулу зависимости S от a и h. Вырази из этой формулы каждую из входящих в неё величин.

S: $S = \frac{1}{2}ah$

a: $a = \frac{2S}{h}$

h: $h = \frac{2S}{a}$

Построй формулу зависимости S от a и h.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. В треугольнике $ABC$ дано основание $AC = a$ и высота $BD = h$, которая перпендикулярна основанию $AC$.

Подставляя данные значения в общую формулу площади треугольника, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

$S = \frac{1}{2}ah$

Ответ: $S = \frac{1}{2}ah$

Вырази из этой формулы каждую из входящих в неё величин.

Мы имеем формулу $S = \frac{1}{2}ah$. Чтобы выразить из неё переменные $a$ и $h$, выполним следующие алгебраические преобразования.

1. Выражение основания $a$.

Сначала умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot S = 2 \cdot \frac{1}{2}ah$

$2S = ah$

Теперь, чтобы найти $a$, разделим обе части полученного равенства на $h$ (при условии, что высота $h \neq 0$):

$\frac{2S}{h} = \frac{ah}{h}$

$a = \frac{2S}{h}$

Ответ: $a = \frac{2S}{h}$

2. Выражение высоты $h$.

Возьмем то же преобразованное уравнение $2S = ah$.

Чтобы найти $h$, разделим обе части равенства на $a$ (при условии, что основание $a \neq 0$):

$\frac{2S}{a} = \frac{ah}{a}$

$h = \frac{2S}{a}$

Ответ: $h = \frac{2S}{a}$

145 В треугольнике ABC отрезок BD перпендикулярен к основанию AC, $AC = a$, $BD = h$. Площадь треугольника ABC равна S. Построй формулу зависимости S от a и h. Вырази из этой формулы каждую из входящих в нее величин.

146 Объясни, какие преобразования пропорций произведены:

a) $ \frac{7}{3} = \frac{14}{6} \Leftrightarrow \frac{6}{3} = \frac{14}{7}; $

б) $ \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{8}{1} = \frac{16}{2}; $

в) $ \frac{2}{5} = \frac{0.4}{1} \Leftrightarrow \frac{1}{0.4} = \frac{5}{2}; $

г) $ \frac{3}{9} = \frac{5}{15} \Leftrightarrow \frac{12}{9} = \frac{20}{15}; $

д) $ \frac{5}{6} = \frac{20}{24} \Leftrightarrow \frac{5}{1} = \frac{20}{4}; $

е) $ \frac{4}{3} = \frac{8}{6} \Leftrightarrow \frac{7}{1} = \frac{14}{2}. $

а) В исходной пропорции $\frac{7}{3} = \frac{14}{6}$ крайними членами являются 7 и 6, а средними — 3 и 14. В результате преобразования получили пропорцию $\frac{6}{3} = \frac{14}{7}$. Сравнивая ее с исходной, видим, что крайние члены (7 и 6) поменялись местами, а средние члены остались на своих позициях (знаменатель левой части и числитель правой).
Ответ: В пропорции поменяли местами крайние члены.

б) В исходной пропорции $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ средними членами являются 16 и 1, а крайними — 8 и 2. В новой пропорции $\frac{8}{1} = \frac{16}{2}$ средние члены (16 и 1) поменялись местами, а крайние члены остались на своих позициях (числитель левой части и знаменатель правой).
Ответ: В пропорции поменяли местами средние члены.

в) В исходной пропорции $\frac{2}{5} = \frac{0,4}{1}$ левая часть равна $0,4$, и правая часть равна $0,4$. В новой пропорции $\frac{1}{0,4} = \frac{5}{2}$ левая часть равна $1 \div 0,4 = 2,5$, и правая часть равна $5 \div 2 = 2,5$. Преобразование заключается в том, что каждое отношение (дробь) в исходной пропорции заменили на обратное ему отношение. То есть, $\frac{2}{5}$ заменили на $\frac{5}{2}$, а $\frac{0,4}{1}$ на $\frac{1}{0,4}$.
Ответ: Каждое отношение в пропорции заменено обратным.

г) Дана пропорция $\frac{3}{9} = \frac{5}{15}$. В результате преобразования получена пропорция $\frac{12}{9} = \frac{20}{15}$. Знаменатели обеих дробей (9 и 15) остались без изменений. Новые числители были получены путем прибавления к исходным числителям их знаменателей: $12 = 3 + 9$ и $20 = 5 + 15$. Это свойство производных пропорций: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то верно и $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.
Ответ: Была составлена производная пропорция путем прибавления к числителям соответствующих знаменателей.

д) Дана пропорция $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$. В новой пропорции $\frac{5}{1} = \frac{20}{4}$ числители (5 и 20) остались без изменений. Новые знаменатели были получены путем вычитания из исходных знаменателей их числителей: $1 = 6 - 5$ и $4 = 24 - 20$. Это свойство производных пропорций: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то верно и $\frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c}$.
Ответ: Была составлена производная пропорция путем вычитания из знаменателей соответствующих числителей.

е) Дана пропорция $\frac{4}{3} = \frac{8}{6}$. В результате получена пропорция $\frac{7}{1} = \frac{14}{2}$. В новой пропорции числитель каждого отношения равен сумме членов соответствующего отношения исходной пропорции ($7 = 4 + 3$ и $14 = 8 + 6$), а знаменатель — их разности ($1 = 4 - 3$ и $2 = 8 - 6$). Это свойство производных пропорций: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то верно и $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$.
Ответ: Была составлена производная пропорция, в которой каждое отношение заменено отношением суммы его членов к их разности.

П 146 Объясни, какие преобразования пропорций произведены:

а) $\frac{7}{3} = \frac{14}{6} \Leftrightarrow \frac{6}{3} = \frac{14}{7};$

б) $\frac{8}{16} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{8}{1} = \frac{16}{2};$

в) $\frac{2}{5} = \frac{0,4}{1} \Leftrightarrow \frac{1}{0,4} = \frac{5}{2};$

г) $\frac{3}{9} = \frac{5}{15} \Leftrightarrow \frac{12}{9} = \frac{20}{15};$

д) $\frac{5}{6} = \frac{20}{24} \Leftrightarrow \frac{5}{1} = \frac{20}{4};$

е) $\frac{4}{3} = \frac{8}{6} \Leftrightarrow \frac{7}{1} = \frac{14}{2}.$

147 Реши уравнения:

1) $\frac{a}{1,8} = \frac{5}{3}$;

2) $\frac{2,5}{3\frac{1}{3}} = \frac{3c}{0,4}$;

3) $\frac{x+1}{7,2} = \frac{x}{4}$;

4) $\frac{12y-9}{2y} = \frac{0,5}{1\frac{1}{3}}$.

1) $\frac{a}{1,8} = \frac{5}{3}$

Данное уравнение является пропорцией. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции $a$, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член. Либо можно воспользоваться основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$a \cdot 3 = 1,8 \cdot 5$

Выполним умножение в правой части:

$1,8 \cdot 5 = 9$

Теперь уравнение выглядит так:

$3a = 9$

Найдем $a$, разделив обе части уравнения на 3:

$a = \frac{9}{3}$

$a = 3$

Ответ: $3$.

2) $\frac{2,5}{3\frac{1}{3}} = \frac{3c}{0,4}$

Для удобства решения преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби.

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Подставим полученные дроби в исходную пропорцию:

$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{10}{3}} = \frac{3c}{\frac{2}{5}}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{3} \cdot 3c$

Упростим обе части уравнения:

$\frac{10}{10} = \frac{30c}{3}$

$1 = 10c$

Чтобы найти $c$, разделим обе части на 10:

$c = \frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: $0,1$.

3) $\frac{x+1}{7,2} = \frac{x}{4}$

Это уравнение также является пропорцией. Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение).

$(x+1) \cdot 4 = 7,2 \cdot x$

Раскроем скобки в левой части:

$4x + 4 = 7,2x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа - в другую. Вычтем $4x$ из обеих частей уравнения:

$4 = 7,2x - 4x$

$4 = 3,2x$

Найдем $x$, разделив обе части на 3,2:

$x = \frac{4}{3,2}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{40}{32}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

$x = \frac{5}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в десятичную:

$x = 1,25$

Ответ: $1,25$.

4) $\frac{12y - 9}{2y} = \frac{0,5}{1\frac{1}{3}}$

Сначала упростим правую часть пропорции, преобразовав числа в обыкновенные дроби.

$0,5 = \frac{1}{2}$

$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

Правая часть примет вид:

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{12y - 9}{2y} = \frac{3}{8}$

Заметим, что знаменатель $2y$ не может быть равен нулю, то есть $y \neq 0$.

Используем основное свойство пропорции:

$(12y - 9) \cdot 8 = 2y \cdot 3$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$96y - 72 = 6y$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа - в другую:

$96y - 6y = 72$

$90y = 72$

Найдем $y$:

$y = \frac{72}{90}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 72 и 90 — это 18.

$y = \frac{72 \div 18}{90 \div 18} = \frac{4}{5}$

Преобразуем в десятичную дробь:

$y = 0,8$

Полученное значение удовлетворяет условию $y \neq 0$.

Ответ: $0,8$.

147 Реши уравнения:

1) $ \frac{a}{1.8} = \frac{5}{3} $;

2) $ \frac{2.5}{\frac{1}{3}} = \frac{3c}{0.4} $;

3) $ \frac{x+1}{7.2} = \frac{x}{4} $;

4) $ \frac{12y-9}{2y} = \frac{0.5}{1\frac{1}{3}} $.

148 Упрости пропорции, используя равносильные преобразования, и найди x:

1) $\frac{3x + 2\frac{1}{7}}{2\frac{1}{7}} = \frac{9}{2}$;

2) $\frac{5,2}{2x - 5,2} = \frac{4\frac{1}{3}}{5\frac{2}{3}}$;

3) $\frac{19\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}} = \frac{1,3x - 0,72}{0,72}$.

1) Дана пропорция:

$$ \frac{3x + 2\frac{1}{7}}{2\frac{1}{7}} = \frac{9}{2} $$

Для упрощения используем свойство производных пропорций $ \frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + 1 $. Преобразуем левую часть:

$$ \frac{3x}{2\frac{1}{7}} + \frac{2\frac{1}{7}}{2\frac{1}{7}} = \frac{9}{2} $$

$$ \frac{3x}{2\frac{1}{7}} + 1 = \frac{9}{2} $$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$$ \frac{3x}{2\frac{1}{7}} = \frac{9}{2} - 1 $$

$$ \frac{3x}{2\frac{1}{7}} = \frac{7}{2} $$

Преобразуем смешанную дробь $ 2\frac{1}{7} $ в неправильную: $ 2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7} $.

Подставим это значение в уравнение:

$$ \frac{3x}{\frac{15}{7}} = \frac{7}{2} $$

Упростим выражение в левой части:

$$ 3x \cdot \frac{7}{15} = \frac{7}{2} $$

$$ \frac{7x}{5} = \frac{7}{2} $$

Разделим обе части на 7:

$$ \frac{x}{5} = \frac{1}{2} $$

Отсюда находим $ x $:

$$ x = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5 $$

Ответ: $ 2,5 $.

2) Дана пропорция:

$$ \frac{5,2}{2x - 5,2} = \frac{4\frac{1}{3}}{5\frac{2}{3}} $$

Сначала упростим правую часть. Переведем смешанные дроби в неправильные:

$$ 4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}; \quad 5\frac{2}{3} = \frac{17}{3} $$

Теперь разделим их:

$$ \frac{\frac{13}{3}}{\frac{17}{3}} = \frac{13}{3} \cdot \frac{3}{17} = \frac{13}{17} $$

Пропорция принимает вид:

$$ \frac{5,2}{2x - 5,2} = \frac{13}{17} $$

Используем свойство пропорции, "перевернув" обе дроби:

$$ \frac{2x - 5,2}{5,2} = \frac{17}{13} $$

Преобразуем левую часть по свойству $ \frac{a-b}{b} = \frac{a}{b} - 1 $:

$$ \frac{2x}{5,2} - \frac{5,2}{5,2} = \frac{17}{13} $$

$$ \frac{2x}{5,2} - 1 = \frac{17}{13} $$

Перенесем 1 в правую часть:

$$ \frac{2x}{5,2} = \frac{17}{13} + 1 = \frac{17+13}{13} = \frac{30}{13} $$

Выразим $ 2x $:

$$ 2x = \frac{30}{13} \cdot 5,2 $$

Представим $ 5,2 $ как $ \frac{52}{10} $ и выполним умножение:

$$ 2x = \frac{30}{13} \cdot \frac{52}{10} = \frac{30 \cdot 52}{13 \cdot 10} = 3 \cdot 4 = 12 $$

Найдем $ x $:

$$ x = \frac{12}{2} = 6 $$

Ответ: $ 6 $.

3) Дана пропорция:

$$ \frac{19\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}} = \frac{1,3x - 0,72}{0,72} $$

Упростим левую часть. Переведем смешанную дробь $ 19\frac{4}{13} $ в неправильную:

$$ 19\frac{4}{13} = \frac{19 \cdot 13 + 4}{13} = \frac{247 + 4}{13} = \frac{251}{13} $$

Теперь разделим дроби в левой части:

$$ \frac{\frac{251}{13}}{\frac{9}{13}} = \frac{251}{13} \cdot \frac{13}{9} = \frac{251}{9} $$

Теперь преобразуем правую часть по свойству $ \frac{a-b}{b} = \frac{a}{b} - 1 $:

$$ \frac{1,3x - 0,72}{0,72} = \frac{1,3x}{0,72} - 1 $$

Приравняем упрощенные части:

$$ \frac{251}{9} = \frac{1,3x}{0,72} - 1 $$

Перенесем 1 в левую часть:

$$ \frac{251}{9} + 1 = \frac{1,3x}{0,72} $$

$$ \frac{251+9}{9} = \frac{1,3x}{0,72} $$

$$ \frac{260}{9} = \frac{1,3x}{0,72} $$

Выразим $ 1,3x $:

$$ 1,3x = \frac{260}{9} \cdot 0,72 $$

Выполним умножение в правой части:

$$ 1,3x = \frac{260 \cdot 0,72}{9} = 260 \cdot 0,08 = 20,8 $$

Получили уравнение:

$$ 1,3x = 20,8 $$

Найдем $ x $:

$$ x = \frac{20,8}{1,3} = \frac{208}{13} = 16 $$

Ответ: $ 16 $.

148 Упрости пропорции, используя равносильные преобразования, и найди x:

1) $\frac{3x+2\frac{1}{7}}{2\frac{1}{7}}=\frac{9}{2}$;

2) $\frac{5,2}{2x-5,2}=\frac{4\frac{1}{3}}{5\frac{2}{3}}$;

3) $\frac{19\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{1,3x-0,72}{0,72}$.

149 Из посёлка А в посёлок В выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через 2 ч ему навстречу из В в А вышел пешеход, скорость которого составляет 35 % скорости велосипедиста. Через 1,5 ч после выхода пешехода расстояние между ним и велосипедистом стало равно 10,8 км. Чему равно расстояние между посёлками А и В?

Для нахождения расстояния между посёлками А и В, выполним расчёты по шагам.

1. Найдём скорость пешехода.

Скорость велосипедиста известна и равна $v_{в} = 16$ км/ч. Скорость пешехода составляет 35% от скорости велосипедиста. Переведём проценты в десятичную дробь: $35\% = 0,35$.

Вычислим скорость пешехода $v_{п}$:

$v_{п} = 16 \cdot 0,35 = 5,6$ км/ч.

2. Определим время в пути для велосипедиста и пешехода.

Пешеход вышел через 2 часа после велосипедиста. Расстояние между ними измерили через 1,5 часа после выхода пешехода. Значит, время пешехода в пути $t_{п}$ составляет 1,5 часа.

Велосипедист к этому моменту был в пути на 2 часа дольше, чем пешеход. Его общее время в пути $t_{в}$ составляет:

$t_{в} = 2 + 1,5 = 3,5$ часа.

3. Рассчитаем расстояние, которое преодолели велосипедист и пешеход.

Расстояние, которое проехал велосипедист от посёлка А ($S_{в}$):

$S_{в} = v_{в} \cdot t_{в} = 16 \text{ км/ч} \cdot 3,5 \text{ ч} = 56$ км.

Расстояние, которое прошёл пешеход от посёлка В ($S_{п}$):

$S_{п} = v_{п} \cdot t_{п} = 5,6 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 8,4$ км.

4. Найдём общее расстояние между посёлками А и В.

Общее расстояние между посёлками ($S_{АВ}$) равно сумме расстояний, которые преодолели велосипедист и пешеход, и расстояния, которое осталось между ними ($S_{ост} = 10,8$ км).

$S_{АВ} = S_{в} + S_{п} + S_{ост}$

$S_{АВ} = 56 + 8,4 + 10,8 = 75,2$ км.

Ответ: 75,2 км.

149 Из поселка А в поселок В выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через 2 ч ему навстречу из В в А вышел пешеход, скорость которого составляет 35% скорости велосипедиста. Через 1,5 ч после выхода пешехода расстояние между ним и велосипедистом стало равно 10,8 км. Чему равно расстояние между поселками А и В?

150. Два поезда выехали с одной станции в одном направлении. Скорость первого поезда $72 \, \text{км/ч}$, что составляет $80 \, \%$ скорости второго поезда. Второй поезд выехал на $2,5 \, \text{ч}$ позже первого.

Через сколько времени он догнал первый поезд?

На каком расстоянии друг от друга были поезда через $4 \, \text{ч}$ после выхода второго поезда?

Через $15 \, \text{ч}$ после выхода второго поезда?

Для решения задачи сначала найдем скорость второго поезда. Скорость первого поезда, $v_1 = 72 \text{ км/ч}$, составляет 80% (или 0,8) от скорости второго поезда ($v_2$).

$v_1 = 0,8 \cdot v_2$

$72 = 0,8 \cdot v_2$

$v_2 = \frac{72}{0,8} = 90 \text{ км/ч}$

Итак, скорость второго поезда — 90 км/ч.

Через сколько времени он догнал первый поезд?

Первый поезд выехал на 2,5 часа раньше второго. За это время он успел отъехать от станции на расстояние:

$S_{фора} = v_1 \cdot t_{фора} = 72 \text{ км/ч} \cdot 2,5 \text{ ч} = 180 \text{ км}$

Когда второй поезд начал движение, между поездами было 180 км. Так как скорость второго поезда больше, он будет догонять первый. Скорость сближения поездов равна разности их скоростей:

$v_{сближения} = v_2 - v_1 = 90 \text{ км/ч} - 72 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$

Время, которое потребуется второму поезду, чтобы преодолеть начальное расстояние в 180 км и догнать первый поезд, рассчитывается так:

$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_{сближения}} = \frac{180 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 10 \text{ ч}$

Ответ: второй поезд догнал первый через 10 часов после своего выезда.

На каком расстоянии друг от друга были поезда через 4 ч после выхода второго поезда?

Через 4 часа после своего выезда второй поезд еще не догнал первый (так как для этого требуется 10 часов). За эти 4 часа расстояние между ними сократилось. Изначальное расстояние было 180 км. Найдем, на сколько они сблизились за 4 часа:

$S_{сближения} = v_{сближения} \cdot 4 \text{ ч} = 18 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 72 \text{ км}$

Теперь вычтем это значение из начального расстояния, чтобы найти, какое расстояние между ними осталось:

$S_4 = S_{фора} - S_{сближения} = 180 \text{ км} - 72 \text{ км} = 108 \text{ км}$

Ответ: через 4 часа после выхода второго поезда расстояние между ними было 108 км.

Через 15 ч после выхода второго поезда?

Встреча поездов произошла через 10 часов после выезда второго. Следовательно, к моменту времени 15 часов они уже встретились, и второй поезд обогнал первый. С момента встречи прошло:

$t_{после\_встречи} = 15 \text{ ч} - 10 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

За эти 5 часов второй поезд удалялся от первого. Скорость удаления равна их относительной скорости — 18 км/ч. Найдем расстояние, на которое второй поезд уехал вперед:

$S_{15} = v_{сближения} \cdot t_{после\_встречи} = 18 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 90 \text{ км}$

Ответ: через 15 часов после выхода второго поезда расстояние между ними было 90 км.

150 Два поезда выехали с одной станции в одном направлении. Скорость первого поезда 72 км/ч, что составляет 80% скорости второго поезда. Второй поезд выехал на 2,5 ч позже первого. Через сколько времени он догнал первый поезд? На каком расстоянии друг от друга были поезда через 4 ч после выхода второго поезда? Через 15 ч после выхода второго поезда?

151 Автомобиль проехал по шоссе 250 км, а по просёлочной дороге – на $80 \, \%$ меньше, чем по шоссе. Расход на каждые 100 км по шоссе составлял 12 л, а по просёлочной дороге – на $50 \, \%$ больше. Сколько литров бензина в среднем расходовал автомобиль на каждые 10 км пути?

Для решения задачи разобьем ее на несколько этапов.

1. Вычисление расстояния, пройденного по просёлочной дороге

Автомобиль проехал по шоссе 250 км. По просёлочной дороге он проехал на 80% меньше. Это значит, что расстояние по просёлочной дороге составляет $100\% - 80\% = 20\%$ от расстояния по шоссе.
Найдём это расстояние:
$250 \text{ км} \cdot \frac{20}{100} = 250 \cdot 0.2 = 50$ км.

2. Вычисление общего расстояния

Сложим расстояния, пройденные по шоссе и по просёлочной дороге:
$250 \text{ км} + 50 \text{ км} = 300$ км.

3. Вычисление количества бензина, израсходованного на шоссе

Расход на шоссе составляет 12 л на каждые 100 км. Автомобиль проехал 250 км.
Рассчитаем, сколько раз по 100 км содержится в 250 км, и умножим на норму расхода:
$\frac{250}{100} \cdot 12 \text{ л} = 2.5 \cdot 12 \text{ л} = 30$ л.

4. Вычисление количества бензина, израсходованного на просёлочной дороге

Сначала определим норму расхода по просёлочной дороге. Она на 50% больше, чем на шоссе.
$12 \text{ л/100 км} \cdot (1 + \frac{50}{100}) = 12 \cdot 1.5 = 18$ л/100 км.
Теперь рассчитаем расход бензина на 50 км пути по просёлочной дороге:
$\frac{50}{100} \cdot 18 \text{ л} = 0.5 \cdot 18 \text{ л} = 9$ л.

5. Вычисление общего расхода бензина

Суммируем бензин, потраченный на обоих участках пути:
$30 \text{ л} + 9 \text{ л} = 39$ л.

6. Вычисление среднего расхода бензина на каждые 10 км пути

Всего автомобиль проехал 300 км и израсходовал 39 литров бензина. Чтобы найти средний расход на 10 км, мы можем сначала найти средний расход на 1 км, а затем умножить на 10.
Средний расход на 1 км:
$\frac{39 \text{ л}}{300 \text{ км}} = 0.13$ л/км.
Средний расход на 10 км:
$0.13 \text{ л/км} \cdot 10 \text{ км} = 1.3$ л.

Ответ: 1,3 л.

151 Автомобиль проехал по шоссе 250 км, а по проселочной дороге – на 80% меньше, чем по шоссе. Расход на каждые 100 км по шоссе составлял 12 л, а по проселочной дороге – на 50% больше. Сколько литров бензина в среднем расходовал автомобиль на каждые 10 км пути?

152 1) Среднее арифметическое трёх чисел равно 9,4. Первое число на 3,5 больше второго, а третье составляет 60 % второго. Найди меньшее число.

2) Среднее арифметическое четырёх чисел равно 5,6. Второе число в 2,5 раза больше первого, третье составляет 120 % второго, а четвёртое на 1,6 меньше первого. Найди среднее арифметическое первого и третьего чисел.

1)

Пусть второе число равно $x$.

Согласно условию, первое число на 3,5 больше второго, значит оно равно $(x + 3,5)$.

Третье число составляет 60% от второго, что в десятичной форме равно $0,6x$.

Среднее арифметическое трёх чисел равно 9,4. Это означает, что их сумма, делённая на их количество (3), равна 9,4.

Составим уравнение на основе определения среднего арифметического:

$\frac{(x + 3,5) + x + 0,6x}{3} = 9,4$

Чтобы найти сумму чисел, умножим среднее арифметическое на их количество:

$(x + 3,5) + x + 0,6x = 9,4 \times 3$

$2,6x + 3,5 = 28,2$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$2,6x = 28,2 - 3,5$

$2,6x = 24,7$

$x = \frac{24,7}{2,6}$

$x = 9,5$

Таким образом, второе число равно 9,5. Теперь найдём остальные числа:

Первое число: $x + 3,5 = 9,5 + 3,5 = 13$.

Третье число: $0,6x = 0,6 \times 9,5 = 5,7$.

Мы получили три числа: 13; 9,5 и 5,7. Сравнивая их, находим, что наименьшее число — это 5,7.

Ответ: 5,7

2)

Пусть первое число равно $y$.

Исходя из условий задачи, выразим остальные числа через $y$:

Второе число в 2,5 раза больше первого, то есть $2,5y$.

Третье число составляет 120% от второго. Переведём проценты в десятичную дробь: $120\% = 1,2$. Тогда третье число равно $1,2 \times (2,5y) = 3y$.

Четвёртое число на 1,6 меньше первого, то есть $(y - 1,6)$.

Среднее арифметическое этих четырёх чисел равно 5,6. Составим уравнение:

$\frac{y + 2,5y + 3y + (y - 1,6)}{4} = 5,6$

Найдём сумму чисел, умножив среднее арифметическое на их количество:

$y + 2,5y + 3y + y - 1,6 = 5,6 \times 4$

$7,5y - 1,6 = 22,4$

Решим уравнение:

$7,5y = 22,4 + 1,6$

$7,5y = 24$

$y = \frac{24}{7,5} = 3,2$

Мы нашли первое число, оно равно 3,2.

Теперь найдём третье число:

Третье число: $3y = 3 \times 3,2 = 9,6$.

Наконец, найдём среднее арифметическое первого и третьего чисел:

$\frac{3,2 + 9,6}{2} = \frac{12,8}{2} = 6,4$

Ответ: 6,4

152 1) Среднее арифметическое трех чисел равно 9,4. Первое число на 3,5 больше второго, а третье составляет 60% второго. Найди меньшее число.

2) Среднее арифметическое четырех чисел равно 5,6. Второе число в 2,5 раза больше первого, третье составляет 120% второго, а четвертое на 1,6 меньше первого. Найди среднее арифметическое первого и третьего чисел.